2016年秋九年级数学上册2.2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程(第1课时)导学案(新版)北师大版

第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。

这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：探究析疑；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小测；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾活动内容：1、将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).（1）.x2+2x+________=(x+______)2（2）.x2-4x+________=(x-______)2（3）.x2+5x+________ =(x+______)2活动目的：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：学生对口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0 移项，得 x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得 x-3 =±7即 x-3=7或x-3=-7所以 x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：移项，配方，开平方，求解及注意事项。

A.x－132＝89，x＝13±2 3 2 B.x－132＝－89，原方程无实数解
C.x－232＝59，x1＝23＋
35，x2＝23－
5 3
D.x－132＝1，x1＝43，x2＝－23
11．把方程x2－8x＋3＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的
值是( C ) A．4，13
B．－4，19
C．－4，13
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一ห้องสมุดไป่ตู้时48分22秒16:48:228 November 2021
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午4时48 分22秒下午4时48分16:48:2221.11.8
D．4，19
12．方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，则x2－
6x＋q＝2可以配方成下列的( B )
A．(x－p)2＝5
B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9
D．(x－p＋2)2＝5
13．已知x，y为实数，且x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，运用配方
法可以求得x，y的值分别为( C )
17．(9 分)已知一元二次方程 x2－2x－54＝0 的某个根也是 一元二次方程 x2－(k＋2)x＋94＝0 的根，求 k 的值．
解：x2－2x－54＝0，(x－1)2＝94，∴x1＝52，x2＝－12.当 x＝52是 方程 x2－(k＋2)x＋94＝0 的一根时，k＝75；当 x＝－12是方程 x2－(k＋2)x＋94＝0 的一根时，k＝－7.∴k 的值为－7 或75.

2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程教师备课 素材示例●情景导入 在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决．例如：要使一块长方形场地的长比宽多4m ，并且面积为12m 2，则场地的长和宽应各是多少米？【教学与建议】教学：让学生感受到“生活中处处有数学”，从而激发学生的求知欲．建议：列出方程后用列表法求方程的根，发现工作量大，从而引入课题．●复习导入 (1)课件出示，下面两个图形各验证了什么公式呢？(a ＋b)2＝__a 2＋2ab ＋b 2__ (a －b)2＝__a 2－2ab ＋b 2__(2)填空：x 2＋__8x__＋16＝(x ＋4)2，x 2＋bx ＋b 24＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ b 2 2.(3)思考：你会解一元二次方程x 2＋8x ＋16＝0吗？【教学与建议】教学：利用验证完全平方公式常用的图形，引出配方的依据．建议：可以让学生自己表述，其他学生互相补充．方程是x 2＝p 的形式，那么x ＝±p ；方程是(n ＝±p. 【例1】(1)关于x 的一元二次方程x 2－9＝0的解是(C) A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x 1＝9，x 2＝－9(2)一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，那么另一个一元一次方程是__x ＋6＝－4__．当一元二次方程的二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，将其配成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．【例2】(1)用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝－1时，此方程可变形为(D)A ．(x －2)2＝1B ．(x －2)2＝5C ．(x ＋2)2＝3D ．(x －2)2＝3(2)用配方法解方程：①x 2＋2x －4＝0; ②x 2－3x ＝12.解：①x 1＝－1＋5，x 2＝－1－5；②x 1＝32＋112，x 2＝32－112.运用配方法把一个二次项系数为1的二次三项式化为一个完全平方式与一个常数之和的形式，然后可以求得这个二次三项式的最小值．【例3】(1)对于任意实数x ，代数式x 2－2x ＋3的值一定是(B) A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定 (2)将x 2－6x －3进行配方变形后，可得该多项式的最小值为__－12__．高效课堂 教学设计1．理解配方的意义．2．会用直接开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程．▲重点运用配方法解一元二次方程． ▲难点了解并掌握用配方法求解一元二次方程．◆活动1 创设情境 导入新课(课件) 1．课件出示，下面两个图形各验证了什么公式呢？与同伴交流一下．（1） （2）2．在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x 2＋12)的精确解吗？你认为解这个方程的困难在哪里？◆活动2 实践探究 交流新知【探究1】用直接开平方法解一元二次方程 课件出示做一做：填上适当的数，使下列等式成立．(选4个学生口答) x 2＋12x ＋__36__＝(x ＋6)2；x 2－6x ＋__9__＝(x －3)2；x 2＋8x ＋__16__＝(x ＋__4__)2； x 2－4x ＋__4__＝(x －__2__)2.问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？ 解下列方程：(1)x 2－16＝0； (2)3x 2－27＝0； (3)(2y －3)2＝16. 解：(1)x ＝__±4__；(2)两边同除以3得：x 2＝__9__，x ＝__±3__；(3)根据平方根定义得2y －3＝__±4__，所以y 1＝__－12__，y 2＝__72__．【探究2】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 解方程：x 2＋12x －15＝0.把常数项移到方程的右边，得x 2＋12x ＝15. 两边都加62，得x 2＋12x ＋__62__＝15＋__62__， 即( x ＋6 )2＝51，两边开平方，得x ＋66＝51或x ＋6＝－51.∴x 1＝，x 2＝． 归纳：这种解一元二次方程的方法称为配方法．解题步骤：一移项，二配方，三求解． ◆活动3 开放训练 应用举例例1 (教材P 37例1)解方程：x 2＋8x －9＝0.【方法指导】先配成完全平方公式，再求出一元二次方程的根． 解：把常数项移到方程右边，得x 2＋8x ＝9. 两边都加42，得， x 2＋8x ＋42＝9＋42. 即(x ＋4)2＝25.两边开平方，得x ＋4＝±5， 即x ＋4＝5，或x ＋4＝－5. ∴x 1＝1，x 2＝－9. 例2 x 2－5x －6＝0.【方法指导】先配成完全平方公式，再求出一元二次方程的根． 解：把常数项移到方程的右边，得x 2－5x ＝6，两边都加⎝ ⎛⎭⎪⎫522，得x 2－5x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即⎝⎛⎭⎪⎫x －522＝494.两边开平方，得x －52＝±72，即x －52＝72，或x －52＝－72.∴x 1＝6，x 2＝－1. ◆活动4 随堂练习1．方程4x 2＝16的解是(D) A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x ＝4 C ．x ＝－4D ．x 1＝2，x 2＝－2 2．把多项式配成完全平方式．(1)x 2＋10x ＋__25__＝(x ＋__5__)2；(2)x 2＋5x ＋__254__＝(x ＋__52__)2；(3)x 2__±6__x ＋9＝(x±3)2. 3．解方程：(1)x 2＋6x ＝－7；解：两边都加32，得x 2＋6x ＋32＝－7＋32， 即(x ＋3)2＝2.两边开平方，得x ＋3＝±2， 即x ＋3＝2，或x ＋3＝－ 2. ∴x 1＝2－3，x 2＝－2－3； (2)x 2＋22x ＝4.解：两边都加(2)2，得x 2＋22x ＋(2)2＝4＋(2)2， 即(x ＋2)2＝6.两边开平方，得x ＋2＝±6， 即x ＋2＝6，或x ＋2＝－ 6. ∴x 1＝6－2，x 2＝－6－ 2. ◆活动5 课堂小结与作业学生活动：这节课的主要收获是什么？教学说明：用配方法解一元二次方程，先移项，再配成完全平方公式求解．作业：课本P37习题2.3中的T1、T2、T3.本节课在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过加上一次项系数一半的平方构成完全平方式．。

写成完全平方式，得 （x 3)2 1
1 0 原方程无解
总结知识
2.2 用配方法解一元二次方程
直接开平方法
新课探究 自主探究
知识总结
归纳总结
课后反思
—9—
同学们，大家谈谈用配方法解一元二次方程的基 本思路和关键，以及在应用配方法时应注意的问题。
谢谢大家！
x2+12x+ 62 =(x+6)2 x2-4x+ 22 =(x - 2 )2 x2+8x+ 42 =(x + 4 )2
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？
x2+ax+
a2 4
=(x+
a 2
)2
二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的 平方。
讲授新课
2.2 用配方法解一元二次方程
注意：正数的平方根有两个.
即
x+4=5,或x+4=-5.
所以
x1=1, x2=-9.
在例1中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元 二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
知识回顾
2.2 用配方法解一元二次方程
直接开平方法
新课探究 自主探究
例题讲解 归纳总结
知识总结
—5—
这里，解一元二次方程的思路是将方程
转化为（x+m）2=n的形式，它的一边是一 个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边同时开平方。转化为一元一次方 程，便可求出它的根。
新课引入
2.2 用配方法解一元二次方程
直接开平方法
新课探究 自主探究
知识总结
—6—
例题讲解 归纳总结