3.3 导数的应用(同步学案含课堂练习及课后作业)

§3 计算导数 课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤：(1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0)(2)确定平均变化率：Δy Δx ＝0＋Δ－0Δx(3)当Δx 趋于0时，得到导数：f′(x 0)＝0lim x ∆→0－Δ－0Δx 2．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x)，则f′(x)＝______________________，则f′(x)为f(x)的__________，简称导数．3．导数公式表函数 导函数 函数 导函数y ＝c (c 是常数)y′＝0 y ＝sin x y′＝cos x y ＝x α (α为实数)y′＝αx α－1 y ＝cos x y′＝－sin x y ＝a x(a>0，a≠1) y′＝a x ln a 特别地(e x )＝e xy ＝tan x y′＝1cos 2x y ＝log a x (a>0，a≠1) y′＝1x ln a特别地(ln x)′＝1x y ＝cot x y′＝－1sin 2x一、选择题1．已知函数f(x)＝13，则f′(x)等于( ) A ．－33 B ．0 C .33D . 3 2．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( ) A ．x －4y －4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －4y ＝0D ．2x －4y －4＝03．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( )A ．3B ．7C ．8D ．14．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，145．函数y ＝(x －1)2的导数是( )A ．(x －1)2B ．2(x －1)C ．2(1－x)D ．－26．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )A .32 B ．－ 32 C ．－12 D .12题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．8．函数f(x)＝x 2＋3x 导数为5的点是________．9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．11.已知f(x)＝log 2x ，利用导数公式求f′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．已知f′(x)是一次函数，x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．1．“函数f(x)在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x 0)是其导数y ＝f′(x)在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．§3 计算导数知识梳理2．f′(x)=lim x ∆→＋Δ－Δx 导函数 作业设计1．B2．A3．C4．D5．B6．C7．58．(1,4)9．1解析 y′＝1x，∴f′(1)＝1. 10．解 f′(1)=0lim x ∆→＋Δ－Δx=0limx ∆→＋Δ2＋＋Δ－1－4Δx =0lim x ∆→Δ2＋ΔΔx ＝6. f′(2)=0limx ∆→＋Δ－Δx =0lim x ∆→＋Δ2＋＋Δ－22－4×2Δx＝8.11．解 ∵f′(x)＝(log 2x)′＝1x ln 2＝2x ln 2， ∴f′(2)＝1ln 2. 12．B13．解 由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。

《3.3.3导数的实际应用》教学案教学目标：1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题.解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．三．典例分析例1 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方形的无盖容器.为使其容积最大，截下的小正方形边长应该多少？解：设截下的小正方形边长为x ，容器的容积为V (x )，则做成的长方形无盖容器底面边长为a -2x ，高为x ，2322()(2),0.2()44,0.2aV x a x x x aV x x ax a x x =-<<=-+<<即实际问题归结为求V (x )在(0,)2a上的最大值点.为此，先求V (x )的极值点.在开区间 (0,)2a 内，222212111'()128.'()0,1280.11x ,x ().621.620'()0;0'()0.2V x x ax a V x x ax a a a ax a x x x V x ax V x =-+=-+====<<><<<令即令解得舍在区间（0，）内，可能是极值点且当时，当时， 因此x 1是极大值点，且在区间(0,)2a 内， x 1是唯一的极值点，所以116x x a == 是V (x )的最大值点.即当截下的小正方形边长为16a 时，容积最大.例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比.要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解：如图所示，设断面宽为x ，高为h ，则222.h d x =-横梁的强度函数为2(),f x kxh =2222()()(0).'()(3)0.f x kx d x x d f x k d x ∴=-<<=-=令解方程d 2-3x 2=0，得两个根,3x d =±其中负根没有意义，舍去，所以在区间(0，d)只有一个极大值点.x=所以f(x)在x=时取最大值.这时.h==即当宽为3d，高为3d时，横梁的强度最大.四．课堂练习1．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x c m，则箱高602xh-=cm，得箱子容积260)(322xxhxxV-==)600(<<x．23()602xV x x'=-)600(<<x令23()602xV x x'=-＝0，解得x=0(舍去)，x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x =40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 32．在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C (x )，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R (x )，R (x )－C (x )称为利润函数，记为P (x ).(1)、如果C (x )＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)(2)、如果C (x )=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q <<1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大3．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b .解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ，其中AD =2DE +BC ，DE =33h ，BC =b ∴AD =332h +b ， ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ① ∵CD =h h 3230cos =︒，AB =CD .∴l =h 32×2+b②由①得b =33-h S h ，代入②，∴l =hSh h h S h +=-+333334l ′=23h S -=0，∴h =43S ， 当h <43S 时，l ′<0，h >43S 时，l ′>0.∴h =43S 时，l 取最小值，此时b =S 33244．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y )，且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为(－x ，y )，在x 轴上的两个顶点为(－x ，0)、(x ，0)，其中0＜ x ＜2．设矩形的面积为S ，则S ＝2 x (4－x 2)，0＜ x ＜2． 由S′(x )＝8－6 x 2＝0，得x ＝332，易知 x ＝34是S 在(0，2)上的极值点， 即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为332和38．【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假设每次进书x 千册，手续费与库存费之和为y 元， 由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即2x，故有 y ＝x 150×30＋2x ×40，y′＝－24500x＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝39000x ，f″(15)＞0， 所以当x ＝15时，y 取得极小值，且极小值唯一， 故 当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15150＝10(次)． 即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D 点与乙城到岸的垂足B 点之间的距离为x 千米，总费用为y 元， 则CD ＝2240+x ．y ＝500(50－x )＋70016002+x ＝25000－500 x ＋70016002+x ， y′＝－500＋700 ·21(x 2＋1600)21-· 2 x ＝－500＋16007002+x x ，令y ′＝0，解得x ＝3650． 答：水厂距甲距离为50－3650千米时，总费用最省． 点评：当要求的最大(小)值的变量y 与几个变量相关时，我们总是设几个变量中的一个为x ，然后会根据条件用x 来表示其他的变量，并写出y 的函数表达式.五．回顾总结12．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具.。

3.3.3 导数的实际应用课标要求1．通过实例体会导数在解决实际问题中的作用．2．能利用导数解决实际问题．3．提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的意识．核心扫描利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重点)课前探究学习：1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤第一步：建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点；第三步：比较函数在区间端点和极值点处的取值大小，确定其最大值或最小值．2．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围.课堂讲练互动：题型一用料、费用最省问题例1：如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．变式1：一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？题型二面积、容积的最值问题例2：如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？规律方法(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．变式2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？题型三成本最省、利润最大问题例3：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？题后反思：正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．变式3：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？方法技巧 转化与化归思想在生活优化问题中的应用生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体现了转化与化归的思想，基本思路如图：例4：某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？方法点评 用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤： (1)建立函数关系式y ＝f (x )；(2)求导函数y ′； (3)令y ′＝0，求出相应的x 0； (4)指出x ＝x 0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值.参考答案：例1：解：(1)设长为x m ，则宽为200x m.据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0＜200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝⎛⎭⎫252≤x ≤16. (2)y ′＝800－259 200x 2＝0，解得x ＝18.当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元． 变式1：解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元， 那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元， 那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以，行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时取得最小值，即速度为20海里/小时， 航行1海里所需费用总和最小．例2：解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25.令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．变式2：解 如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2， 由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2VR ＋2πR 2，令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得R ＝ 3V 2π，从而h ＝V πR 2＝Vπ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝ 34V π＝2 3V 2π，即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例3：解：(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋bv 2·sv ＝s ⎝⎛⎭⎫a v＋bv ， ∴所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ] (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数． y ′＝s ⎝⎛⎭⎫b －av 2＝0得v ＝ ab.但v ∈(0，c ]． ①若 ab≤c ，则当v ＝ ab时，全程运输成本y 最小； ②若ab>c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数． 所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当 ab≤c 时，行驶速度v ＝ a b； 当ab>c 时，行驶速度v ＝c .变式3：解：收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2， 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84.所以产量为84时，利润L 最大．例4：解：(1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，所以年利润y ＝(年收入)－(年成本)－(年广告费) ＝32(32a ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12·(32Q ＋3－x ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)，所以所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得f ′(x )＝(－2x ＋98)·2(x ＋1)－2(－x 2＋98x ＋35)4(x ＋1)2＝－x 2－2x ＋632(x ＋1)2令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0. 所以x ＝－9(舍去)或x ＝7. 又x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (7)＝42. 又因为在(0，＋∞)上只有一个极值点， 所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．。

高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修1107192451．掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点)2．灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．(难点)[基础·初探]教材整理优化问题阅读教材P99～P100，完成下列问题．1．优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值.2．用导数解决优化问题的基本思路甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3­3­8所示：图3­3­8现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢；③第四年后该产品停止生产；④第四年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的有( )A．①④B．②④C．①③D．②③【解析】由图象可知，②④是正确的．【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]面积、体积最值问题用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图3­3­9)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？图3­3­9【精彩点拨】设自变量(高)为x→根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数→利用导数求出容积的最大值→结论【自主解答】设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则：V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x ＜10时，V ′(x )＞0，即V (x )是增加的； 当10＜x ＜24时，V ′(x )＜0，即V (x )是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．[再练一题]1．若将铁皮改为边长为60 cm 的正方形，则容器底边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 【导学号：25650134】图3­3­10【解】 法一：设容器底边长为x cm ，则高h ＝60－x2 cm ，∴容器容积V (x )＝x 2h ＝－12x 3＋30x 2(0<x <60)．则V ′(x )＝－32x 2＋60x ，令V ′(x )＝0，解得x ＝40，且是定义域(0,60)内的唯一极大值点， ∴此时V (x )取得最大值，且V (x )max ＝16 000 cm 3.即容器底边长为40 cm 时，容器容积最大，最大容积是16 000 cm 3. 法二：设容器的高为x cm ，则容器底边长为(60－2x ) cm ， 则容器的容积V (x )关于容器的高x 的函数为V (x )＝(60－2x )2x＝4x 3－240x 2＋3 600x (0<x <30)，∴V ′(x )＝12x 2－480x ＋3 600 ＝12(x 2－40x ＋300)(0<x <30)．令V ′(x )＝0，得x ＝10或x ＝30(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，函数单调递增； 当10<x <30时，V ′(x )<0，函数单调递减． ∴当x ＝10时，函数V (x )取得最大值．此时底面边长为40 cm ，V (10)＝V (x )max ＝16 000 cm 3.即当容器底边长为40 cm 时，容器的容积最大，最大容积是16 000 cm 3.用料(费用)最省问题某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【精彩点拨】 先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费用之和． 【自主解答】 设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041 000x ＝1 280x元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来表示，所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1 280x ＝800＋160ln x ＋1 280x(x ＞0)，所以g ′(x )＝160x －8x 2(x ＞0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0＜x ＜8时，g ′(x )＜0，当x ＞8时，g ′(x )＞0，所以x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．[再练一题]2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v . (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值. 【导学号：25650135】【解】 (1)Q ＝P ·400v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．[探究共研型]利润最大(成本最低)问题探究 关于利润问题常用的等量关系有哪些？ 【提示】 关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【精彩点拨】 (1)利用题中等量关系列出y 与x 的函数关系式，将x ＝100代入所求关系式判断y >0还是y <0；(2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值．【自主解答】 (1)由题意，每年销售Q 万件，成本共计为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝12(32Q ＋3－x ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)，∴所求的函数关系式为：y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)．因为当x ＝100时，y <0，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)，得f ′(x )＝－2x ＋98·2x ＋1－2－x 2＋98x ＋354x ＋12＝－x 2－2x ＋632x ＋12(x ≥0)． 令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0. ∴x ＝－9(舍去)或x ＝7. 又∵当x ∈(0,7)时，f ′(x )>0； 当x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴f (x )极大值＝f (7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．[再练一题]3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)【解】 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0， 故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[构建·体系]1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( )A.2033cm B ．100 cm C ．20 cmD.203cm 【解析】 设圆锥的高为h cm ，则V ＝13π(400－h 2)×h ，所以V ′(h )＝13π(400－3h 2)．令V ′(h )＝0，得h 2＝4003，所以h ＝2033.故选A.【答案】 A2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台【解析】 利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，求导得y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0，得x ＝6或x ＝0(舍去)．因0<x <6时，y ＝18x 2－2x 3递增，x >6时，y ＝18x 2－2x 3递减，∴x ＝6时利润最大，故选C. 【答案】 C3．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最小值为________. 【导学号：25650136】【解析】 设其中一段长为x ，则另一段长为16－x ，设两正方形的面积分别为S 1，S 2，面积之和为S ，则S ＝S 1＋S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫16－x 42＝116x 2＋116x 2－2x ＋16 ＝18x 2－2x ＋16(0<x <16)． 令S ′＝14x －2＝0，得x ＝8.即x ＝8时， S 有最小值，最小值为8. 【答案】 84．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的售价为________元时，利润最大．【解析】 利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000，S ′(x )＝－2x ＋230， 由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大．【答案】1155．某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)．求：(1)利润函数P(x)(提示：利润＝产值－成本)的解析式；(2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？【解】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N且x∈[1,20])．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x＋9)(x－12)(x∈N且x∈[1,20])，当1≤x≤12时，P′(x)＞0，P(x)单调递增；当12＜x≤20时，P′(x)＜0，P(x)单调递减；∴x＝12时，P(x)取最大值，即年造船12艘时，造船公司的年利润最大．。