排列与组合[1].版块八.排列组合问题的常用方法总结2.学生版

例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。

在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。

下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。

1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。

解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。

2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。

典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。

解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。

3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。

高三数学排列和组合知识点数学作为一门理科学科，其中的排列和组合是高三学生必须掌握的重要知识点。

本文将为大家详细介绍高三数学排列和组合的知识，并提供一些相关例题和解析，帮助大家理解和掌握这一知识点。

一、排列的概念和性质排列是从给定的对象中选出一部分进行有序排列的方式，每个对象只能使用一次。

在排列中，对象的顺序是重要的。

下面是排列的一些基本概念和性质：1. 排列的定义：从n个不同的对象中取出m个进行有序排列，称为从n个对象中取出m个的排列，记作P(n,m)。

2. 排列的计算公式：P(n,m) = n!/(n-m)!3. 重要性质一：对于任意正整数n，有P(n,n) = n!，即n个不同的对象全排列的总数为n的阶乘。

排列数为1。

5. 重要性质三：P(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行排列的方式数为n。

二、组合的概念和性质组合是从给定的对象中选出一部分进行无序组合的方式，每个对象只能使用一次。

在组合中，对象的顺序不重要。

下面是组合的一些基本概念和性质：1. 组合的定义：从n个不同的对象中取出m个进行无序组合，称为从n个对象中取出m个的组合，记作C(n,m)。

2. 组合的计算公式：C(n,m) = n!/[(n-m)!*m!]3. 重要性质一：对于任意正整数n，有C(n,n) = 1，即n个不同的对象全组合的总数为1。

组合数为1。

5. 重要性质三：C(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行组合的方式数为n。

三、排列与组合的应用排列和组合在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。

下面是一些常见的应用领域：1. 排列的应用：排列在一些需要考虑顺序的情况下很有用，比如密码的穷举破解和赛车比赛的计算等。

2. 组合的应用：组合在一些不考虑顺序的情况下很有用，比如从一组物品中选取特定数量的搭配问题和抽奖活动中奖的计算等。

四、例题和解析下面是一些与排列和组合相关的例题和解析，帮助大家更好地理解和应用这一知识点：例题一：有6个人参加足球比赛，其中3人是A队的球员，3人是B队的球员。

高中数学的排列与组合总结在高中数学中，排列与组合是重要的概念和技巧，广泛应用于概率、统计以及其他数学领域。

通过对排列与组合的系统学习和应用，学生可以提升解决实际问题的能力和逻辑思维能力。

本文将对高中数学中的排列与组合进行总结和归纳。

一、排列排列是指将一组事物按照一定的顺序进行排列的方法。

在排列中，考虑的因素包括元素的个数和位置。

对于n个元素的排列，可以使用以下公式计算排列的数量：P(n)=n!其中，P(n)表示n个元素的排列数量，n!表示n的阶乘，即n的所有正整数连乘。

举例说明，假设有3个人A、B、C要站成一排，那么可能的排列方式有6种，分别是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

这里n=3，所以P(3)=3!=6。

在实际问题中，排列的应用非常广泛。

比如在选择委员会成员时，如果有n个候选人，要挑选m个人，那么可能的排列数量就是P(n,m)。

二、组合组合是指将一组事物中的一部分事物挑选出来形成一种组合的方法。

与排列不同，组合不考虑事物的顺序。

对于n个元素的组合，可以使用以下公式计算组合的数量：C(n,m)=P(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中挑选m个元素的组合数量，P(n,m)表示n个元素中挑选m个元素的排列数量。

以选择考试科目的例子来说明组合的应用。

假设学生可以选择从5个科目中选修3个，那么可能的组合数量就是C(5,3)。

三、排列与组合的应用排列与组合在数学中的应用非常广泛。

以下是一些常见的应用领域：1. 概率与统计：在概率与统计中，排列与组合用于计算事件的样本空间的大小，从而计算概率。

比如投掷硬币的结果，抽取扑克牌的可能性等。

2. 组合数学：排列与组合是组合数学的重要概念，在组合数学中有着广泛的应用。

比如计算二项式系数、计算全排列等。

3. 信息论：在信息论中，排列与组合用于计算信息的熵、编码等问题。

排列与组合在信息论中的应用可以帮助我们理解信息的传输与压缩。

挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．于是安排方法数为1192928C A ．【答案】1192928C A ；【例2】 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，典例分析排列组合问题的常用方法总结 2可在12个名额中的11个空档中插入7块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 330=种． 【答案】330；【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】当项中只有一个字母时，有14C 种（即,,,a b c d ），而指数的次数为15， 故这样的项有14C 个；当项中有2个字母时，有24C 种，指数和为15，即将15个1分配给2个字母，用挡板法知为114C ，于是一共这样的项有21414C C ⋅；当项中有3个字母时，同上讨论知这样的项有32414C C ⋅种． 当项中有4个字母时，同上讨论知这样的项有43414C C ⋅种． 于是()15a b c d +++的项数为12132434414414414C C C C C C C 816+⋅+⋅+⋅=．或者化为123415x x x x +++=的不定方程非负整数解的问题，答案为318C 816=． 【答案】816；【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为216C 120=． 【答案】120；【例5】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为4999C ；非负整数解的问题，等价于 ()()()()12350111...1150x x x x ++++++++=的非负整数解问题，等价于1i i y x =+，12350...150y y y y ++++=的正整数解问题，一共有49149C 组．【答案】4999C ，49149C ；【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法． 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例7】 将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】考虑将74+个球放入4个盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将11个球放入4个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：将11写成11个1相加，共有10个加号，从中任取3个，刚可将这些数分成4份，共310C 120=种． 【答案】120；【例8】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题，共有612C 924=种不同的走法．【答案】924；【例9】 有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将10写成10个1相加，其中有9个加号，选出其中的5个加号，于是10可以被分成6数之和，且每个数都不小于1，故共有59C 126=种分配方案．【答案】126；【例10】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】用隔板法，18人排成一排，有17个间隔，在17个间隔里插入9个隔板，故共有917C 种分配方案．【答案】917C【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有2615C =种方法．【答案】15插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】 从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同的白球，其中黑球不相邻的排列问题，也就是从990个白球形成的991个空档中选择10个放黑球，共有10991C 种不同的取法．【答案】10991C【例13】 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，西城1模【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24 种排法． 【答案】C ；【例14】 三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将三个人插入5个空位中间的四个空档中，共有34A 43224=⨯⨯=种． 【答案】24；【例15】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】6个歌唱节目排列有66Α种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有47Α种方法．因此，由计数原理总方法有6467ΑΑ种．【答案】6467ΑΑ【例16】 马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种． （用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯．有3620C =种．【答案】20；【例17】 为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将无机染料和添加剂全排，有44Α种，包括两端共5个空，再将3种有机染料插入空中，有35Α种，故总要试验的次数为43451440=ΑΑ．【答案】1440；【例18】 一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】六个人全排后，将3空位插入六个人之间的五个空档中，共6365A C 720107200=⨯=种坐法．【答案】7200；【例19】 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）A ．360B ．520C ．600D ．720【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2009年，海淀区2模【解析】只有甲参加时，有3454C 240=Α种；同理，只有乙参加时也有240种；甲、乙都参加时，先从剩下的5人中选2个排好，然后将甲、乙两人插入3个空中，故共有2253120=ΑΑ种． 因此不同发言顺序的种数为2402120600⨯+=．【答案】C ；【例20】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为21010990A =⋅=． 【答案】90；【例21】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有25A 20=种不同的结果． 【答案】20；捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：4444A A 576⋅=．【答案】576；【例23】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先选取4个小球中的2个捆绑在一个，然后此3个群体放入3个盒子，一共的方法数有2343C A 36⋅=种．【答案】36【例24】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．【答案】1192928C A ⋅【例25】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将8辆车全排有88Α种，再将4个空车位看成整体插入8辆车形成的9个空档中，有19C 种方法，故所求的方法为889Α．【答案】889Α；【例26】 四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】4个盒子选一个为空的方法14C 种，4个小球放入剩下3个盒子，每盒都至少有一个，只有112，，这种可能，故总共有111234432322C C C C 144=ΑΑ种放法． 换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有24C 种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有34Α种不同的方法，故共有2344C 144=Α种放法．【答案】144；除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有33A 6=种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有22264233C C C 15A =种 【答案】15【例28】 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有22A 4=种，而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有41162122C C C 15A =种 【答案】15；【例29】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴7733A A ；⑵773434A A A【例30】 一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星【题型】解答 【关键字】无【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为12，故本例所求的排法种数就是所有排法的12，即661A 3602=种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为6622A 360A =． 【答案】360【例31】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，海南宁夏高考【解析】A ；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有35C 10=种，其中甲要排在三天中的第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有20种安排方法．【答案】A ；【例32】 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B C ，校必选，且B 在C 前，问此考生共有 种不同的填表方法（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，东城1模【解析】第一档次的志愿填法有26Α种；第二档次的学校除B C ，外另一个有13C 种选法，排顺序有3332=Α种（因为B 在C 前和B 在C 后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有21633C 270⨯=Α种．【答案】270递推法【例33】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设上n 级楼梯的走法有n a 种，易知121,2a a ==，当2n ≥时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有1n a -种走法，第二类是最后一步跨两级，有2n a -种走法，由加法原理知：12n n n a a a --=+，据此3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．【答案】89；用转换法解排列组合问题【例34】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A 20=种． 【答案】20【例35】 6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例36】 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题．于是答案为10991C ．【答案】10991C【例37】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C 35=种．【答案】35；【例38】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C 924=种．【答案】924；【例39】 求()10a b c ++的展开式的项数．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无【解析】展开使的项为a b c αβγ，且10αβγ++=，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C 66=种． 【答案】66【例40】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设亚洲队队员为a 1，a 2，…，a 5，欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）【答案】252；【例41】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C 1365 个． 【答案】1365；。

挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．【例2】 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？典例分析排列组合问题的常用方法总结 2【例5】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．【例7】 将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【例8】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【例9】 有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【例10】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【例11】10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A．12B．16 C．24 D．32【例14】三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【例16】马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）【例18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【例19】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）A．360B．520C．600D．720【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【例21】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【例25】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【例26】四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【例32】某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B C，校必选，且B在C前，问此考生共有种不同的填表方法（用数字作答）．递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【例35】6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【例39】求()10++的展开式的项数．a b c【例40】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例41】圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？【例42】。

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

排列组合学习中的常用方法与技巧1.排列与组合的定义排列是指从一组对象中选取一部分对象（有顺序地排列）的方法。

组合是指从一组对象中选取一部分对象（不考虑顺序）的方法。

设集合A包含n个元素，k是一个非负整数，排列的数量记作P(n,k)，组合的数量记作C(n,k)。

这里有两个重要的定理:P(n,k)=n!/(n-k)!C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)2.乘法原理乘法原理是排列组合学中最基本的推理方法之一、它指出，如果一个任务可以被分解为几个独立的子任务，那么完成整个任务的方式数等于各个子任务方式数的乘积。

举例来说，如果一个班级有3个男生和4个女生，要从中选取一个男生和一个女生担任班级的代表，那么总共的方式数为3*4=12种。

3.加法原理加法原理是排列组合学中另一个基本的推理方法，它指出，如果一个任务可以通过几种不同的方式完成，那么完成任务的总方式数等于各个方式数的和。

举例来说，如果一个班级要在体育馆选取5个学生参加篮球比赛，班级有12个男生和8个女生，那么总的方式数为12+8=20种。

4.阶乘函数的应用阶乘函数在排列组合学中经常出现，我们可以利用它来计算排列和组合的数量。

阶乘函数定义为n!=n*(n-1)*...*2*1、这个函数有以下几个重要的性质:-0!=1-对于任意正整数n,n!=n*(n-1)!-P(n,k)=n!/(n-k)!-C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)5.特殊问题的解决方法在排列组合学中，有一些特殊的问题需要使用特殊的解决方法。

例如，对于一些问题，我们可以使用集合的包含排除原理来求解。

对于其他问题，我们可以使用二项式系数和二项式定理来计算排列和组合的数量。

这些特殊的解决方法在实际问题中非常有用。

在学习排列组合学时，需要掌握的还有一些重要的概念和技巧，如容斥原理、鸽笼原理、分组问题的解决方法等。

此外，多做题目、理解概念和定理的证明，以及灵活运用解决问题的方法，都是学习排列组合学的关键。

高中数学排列与组合的解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和题型。

它们不仅在数学考试中常常出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。

掌握排列与组合的解题技巧，不仅可以帮助我们在考试中取得好成绩，还可以在解决实际问题时提供有效的思路和方法。

一、排列问题排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序是重要的。

在排列问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。

1.1 有关位置的排列对于有关位置的排列问题，我们可以利用“填空法”来解决。

例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。

根据乘法原理，可以得到答案为10×9×8=720种不同的排列方式。

1.2 有关重复元素的排列在有些排列问题中，给定的元素中可能存在重复的元素。

对于这类问题，我们需要注意重复元素的处理。

例如，某班有5名同学，其中2名同学是双胞胎，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从5名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的4名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的3名同学中选择一个填入第三个空格。

根据乘法原理，可以得到答案为5×4×3=60种不同的排列方式。

但是由于双胞胎两名同学是相同的，所以要将重复的排列方式去掉。

即答案为60/2=30种不同的排列方式。

二、组合问题组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不重要。

在组合问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。

2.1 有关位置的组合对于有关位置的组合问题，我们可以利用“填空法”来解决。

例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。

组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。

在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。

下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。

1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。

假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。

计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。

同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。

计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。

在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。

例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。

如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。

在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。

例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。

通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。

在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。

例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。

知识要点1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。

一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．排列组合n m ⋅⋅-+）（n m -+）（开始，后面每个因数比前一个因数小，共有m 个因数相乘。

一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为1321n n ⋅-⋅⋅⋅⋅⋅（）（）．个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因还可以写为：n n P =321⋅⋅⋅⋅）日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种我们将着重研究有多少种分组方法的问题。