浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章

2018年硕士生统考（全日制）入学考《控制理论》考试大纲控制理论第一章引论1、了解自动控制的基本概念；2、开环与闭环控制系统的构成及各自特点；3、控制系统的典型应用案例。

第二章数学模型1、掌握用微分方程和传递函数建立系统的数学模型方法；2、非线性系统模型的线性化；3、典型控制系统环节的数学模型及其推导方法；4、掌握方框图的绘制及其简化方法；5、应用信号流图和梅逊公式求系统的传递函数第三章时域分析1.掌握一阶系统、二阶系统在脉冲输入和阶跃输入下时域响应及性能指标计算；2.分析一阶系统、二阶系统参数变化对性能指标的影响；3.掌握稳态误差计算方法、系统型式对稳态误差的影响，理解积分环节对改善稳态误差作用；4.掌握线性系统稳定性的定义，并能用相应的判据分析和判断系统稳定性的方法。

第四章根轨迹法1、了解根轨迹法的概念；绘制根轨迹依据是什么？幅值方程作用是什么？2、掌握常规根轨迹、相角为π，0及迟后系统的根轨迹绘制方法及要点；3、对于多回路系统和参数根轨迹，如何绘制根轨迹并对系统稳定性进行分析；4、利用根轨迹定性分析参数对性能的影响。

第五章频域分析法1、频域特性定义及它与传递函数关系；2、掌握绘制典型环节及串联系统的频率特性方法（极坐标图，伯德图）；3、熟悉奈奎斯特稳定性原理，并能灵活应用于系统稳定性分析；4、掌握相对稳定性分析方法，分析相对稳定性与时域指标关系；5、了解闭环频率特性绘制和闭环频率特性与系统时域响应的关系。

第六章控制系统校正1、系统为什么要进行校正，校正分哪两类（有源和无源），各有何特点；2、掌握用频率特性法进行串联超前、滞后、超前－滞后和PID校正方法；3、掌握用根轨迹法进行串联超前、滞后和PID校正方法；4、分析校正前后系统稳定性或性能指标的变化。

第七章非线性系统分析1、了解非线性系统的基本概念、特点（与线性系统比较）；2、掌握相轨迹的定性绘制方法；3、掌握用相轨迹分析非线性系统的稳定性；4、典型非线性环节的描述函数计算；5、掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性，并注意其应用条件。

第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。

（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。

由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。

（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。

或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。

【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。

由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。

求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。

2-2 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a eAt，由状态转移矩阵的定义)0()()0()(x t x e t x AtΦ==得， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----12211222112112221121122a a a a e e a a a a e e t t t t 求解得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---==Φ--------t ttt tt t t Ate eee ee e e et 22222222)( 由状态转移矩阵的性质)0(Φ= A 得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-==--------312042422202222t tttt tttt eeee ee e e A 复习状态转移矩阵的性质：(0)IΦ=；()()()t A t t A Φ=Φ=Φ ；121221()()()()()t t t t t t Φ±=ΦΦ±=Φ±Φ；11()(),()()t t t t --Φ=Φ-Φ-=Φ；2211()()()x t t t x t =Φ-；202110()()()t t t t t t Φ-=Φ-Φ-；[()]()kt kt Φ=Φ；若A B B A =则()A B tAt BtBt Atee ee e +==2-3（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-211s sA sI ()22122222222121(1)(1)()111(1)(1)(1)1111(1)(1)111(1)1(1)s s s s adj sI A sI A s s sI As s s s s s s s s -+⎡⎤⎢⎥+++⎡⎤-⎢⎥-===⎢⎥---+⎢⎥⎣⎦⎢⎥++⎣⎦⎡⎤+⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥+++⎣⎦11()()t t tt tt e te te t L sI A teete --------⎡⎤+⎡⎤Φ=-=⎢⎥⎣⎦--⎣⎦2-4（1）求系数矩阵的特征根3,121-==λλ将其带入式(2-24)得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----tt t t t te e e e e e a a 333110414141433111所以，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+==Φ--ttttAteee eA a I a et 331004141)( 2-5（2）求系数矩阵的特征根2,1,0321===λλλ根据公式0)(=-i i P A I λ求相应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-011011011Q P，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0212110002121P 因此，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===Φ-t t ttt tttA Ate e e ee e eP e P et 0002121212102121212102121100021210000101101101)(2222212-6（1）求特征根2321===λλλ，因为系数矩阵为约当标准型，因此直接写出⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φtttt tt tJt ete ee t te e e t t t et 2222222220002110010211)(2-7（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，11111331411(1)(3)(1)(3)()[()]343(1)(3)(1)(3)3111311122221313222233133222221313t ttt t s ss s s s t L sI A L L s s s s s s e e e e s s s s L e s s s s -------⎡⎤⎢⎥⎡⎤-----⎡⎤⎢⎥Φ=-==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥----⎣⎦⎡⎤⎢⎥--+--+⎢⎥----⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥----⎣⎦33313222tt t ee e⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦再根据非齐次状态方程的解： 033()3()()3()033()3()()3()3()()(0)()131113111122222222(0)3313331312222222231122t t ttt t t t t t t t t t t t t t t t x t t x t B d e e e e e e e ex d e e e ee e eee e τττττττττττ--------=Φ+Φ-⋅⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--=⎰⎰3331122(0)331312222tt t t t t t t e e e x e e e e e⎡⎤+⎢⎥⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦2-8（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，1211112111112211()[()]222021002t tse t L sI A L L s s s s e s -----⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=-===⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦ 22111()()22TTeG T T e⎡⎤-+⎢⎥=Φ=⎢⎥⎣⎦2220222011111110124244()()2211110222TT T T T e T e eH T Bd d ee e ττττττττ⎡⎤⎡⎤-+-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎡⎤⎢⎥=Φ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰当1.0=T 时，离散化方程为：10.11070.0054(1)()()01.22140.1107x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦或者当采样周期T 很小时，可采用()()G T TA I H T TB=+=得到10.1(0.1)0 1.20()0.1G H T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦得到10.10(1)()()0 1.20.1x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

2.1 系统的动态特性由下列微分方程描述u u u y y y y 23375......++=+++写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321321321001521573100010x x x y u x x x x x x 。

相应的模拟结构图如下：2.2 将下列状态空间表达式化成约旦标准型[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321021523311201214x x x y u x x x x x x解：1. 先求A 的特征值。

A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I A 的特征值1,332,1==λλ2. 求特征值所对应的特征向量。

当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p p 当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p p 当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p解之得 3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p p 3. 取A 的特征向量组成变换矩阵P 并求逆阵P -1,即有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201011P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1102112101P4. 计算各矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1000300131012010113112012141102112101AP P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-3585231102112101B P[][]413101*********=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=CP5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为[]xy u x x ~413358~100030013~=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 2.3 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W )1)(2)(3()3(2)3(2+++=+++=-s s s s s s A sI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21s s s s s s s s s s s s A sI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI[])1)(2()12()1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=+++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s G 2.4 已知差分方程为)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++试将其用离散状态空间表达式表示。

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

（2） A=1141⎛⎫⎪⎝⎭解：第一种方法： 令0I A λ-=则11041λλ--=-- ，即()2140λ--=。

求解得到13λ=，21λ=- 当13λ=时，特征矢量11121p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由 111Ap p λ=，得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩，可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当21λ=-时，特征矢量12222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由222Ap p λ=，得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ，可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，111241124T -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦3333311111111024224422111102422t tt t tAtt t tt t e ee e e e e e e e e-----⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第二种方法，即拉氏反变换法：1141s sI A s --⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦[]()()11114131s sI A s s s --⎡⎤-=⎢⎥--+⎣⎦()()()()()()()()113131413131s s s s s s s s s s -⎡⎤⎢⎥-+-+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-+-+⎣⎦1111112314311111131231s s s s s s s s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎛⎫-+⎢⎥⎪-+-+⎝⎭⎣⎦()331133111122441122t tt t At t t t t e e e e e L sI A e e e e ------⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=，21λ=-313303113131344441111114444t t t tt t t t e e e e e e e e -----⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3333331111101113132244014111444422t tt t At t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e ------⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。

现代控制理论第⼆章线性系统的状态空间描述1.线性系统状态空间表达式连续系统离散系统2.已知系统状态⽅程，画出系统结构图3.已知系统结构图，求系统状态⽅程4.由系统的微分⽅程建⽴状态空间表达式（状态变量转换，转换后矩阵A为友矩阵）已知系统结构图可改写成传递函数表达式，再进⾏变换5.由传递函数建⽴状态空间表达式（N(S)/D(S)）①串联分解U(s)=D(s)*Z(s) Y(s)=N(s)*Z(s)②只含单实极点求解特征值,B阵全是1，C阵特征值相应系数③重实极点6.线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型①转换成标准型求特征值及其对应特征向量若A为友矩阵，则P为范德蒙矩阵②转换成约当标准型具有重实特征值，且只有⼀个独⽴实特征向量，⾃定义⼴义实特征向量满⾜P*λ(约当)=A*P ③转换成约当标准型A为友矩阵，P阵的取法不同④转换成约当标准型A具有重实特征值...第三章线性系统的运动分析1.齐次⽅程求解（幂级数、拉⽒变换）2.⾮齐次状态⽅程求解（⽅程多个Bu项）记住额外的积分项3.状态转移矩阵e At 的计算直接幂级数法、拉⽒变换、对⾓化矩阵、待定系数法（系数⽅程组，e At表达式）4.离散系统状态⽅程的解Z变换5.线性定长连续系统动态⽅程的离散化①先求e At ⽤T替代t ，求G（T）H（T）6.离散状态⽅程求解①递推②Z变换记住Z变换的⼏个常⽤的转换第四章线性系统的可控性和可观性1.可控性判别①判别矩阵②对⾓标准型，特征值不同B阵不存在全零⾏③具有重特征值，每⼀个重特征值只对应⼀个独⽴特征向量变换后的约当阵的每个约当⼩块最后⼀⾏所对应的B阵的各⾏元素不全为0.2.离散系统的可控性从⾮零初始状态经过有限步转移到零状态即是可控的或者采⽤判别矩阵判断3.将可控系统的状态⽅程化为可控标准型P逆阵的第⼀⾏取的QC逆的最后⼀⾏P阵的构造4.输出可控存在输⼊u（t）在有限时间内使初始输出转移到指定的任意输出判别矩阵Qyc=[CB CAB CA2B ```CA n-1B D]5.线性定常连续系统的可观测性①判别矩阵②对⾓标准型C阵不含全为0的列③具有重特征值转换成约当阵后约当块⾸列对应的C阵的列的元素不全为06.离散系统的可观测性判别矩阵可观性的物理解释：⽤y（k）在第n步确定每个x（k）7.采样周期对离散化系统可控性和可观测性的影响8.线性系统可控性和可观测性的对偶关系由相应对偶系统的可控性判别矩阵求出可观测标准型9可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系G（s）=C（sI-A）B-1+D两种情况：SISO和MIMO10.最⼩实现充要条件：可控可观测如何实现：已知传递函数输⼊维数⼤时（列），选可观测，再⽤判别矩阵检验是否可控输出维数⼤时（⾏），选可控，再⽤判别矩阵检验是否可观测11.SISO可控可观测：不存在零极点对消可控：（sI-A）-1b不存在零极点对消可观测：c（sI-A）-1 不存在零极点对消MIMO可控：（sI-A）-1B的n⾏线性⽆关可观测：C（sI-A）-1 n列线性⽆关12.线性系统的规范分解可控：构造RC可观测：构造RO （初始为逆阵）第五章线性定长系统的状态反馈和状态观测器设计1.状态反馈k为状态反馈矩阵（A-bk）为闭环系统矩阵过程：先写出可控标准型写出状态反馈系统的特征⽅程写出期望闭环极点对应的闭环系统期望特征⽅程对应特征值系数相等注意：系统不可控时（5.2.3）2.超调量相关公式3.状态反馈不影响可控性可能影响可观性，（配置的极点与原来的零点存在对消）4.镇定：闭环系统的极点具有负实部可控必然可镇定，可镇定不⼀定可控（5.3.1）再做⼀遍5.输出反馈（A-HC）配置极点问题同状态反馈H为列阵，k为⾏阵6.状态观测器（A-HC）：全维状态观测器系统矩阵H：n*q维，n为受控系统的特征多项式最⾼次幂，q为输出维数闭环系统极点的配置为k值的配置全维状态观测器极点配置为H值配置第六章李雅普诺夫稳定性分析1.外部稳定系统对所有有界输⼊引起的零状态响应的输出是有界的判据：G(s)=C(sI-A)-1B 对应极点都在s的左半平⾯内2.内部稳定系统的特征值为负？内部稳定=外部稳定+可控可观测3.李雅普诺夫概念4.李雅普诺夫稳定性判别间接法：A的所有特征值均具有⾮正实部，且具有零实部的特征值为A的最⼩多项式的单根系统的唯⼀平衡状态Xe=0 是渐进稳定的充要条件：A的所有特征值均具有负实部直接法：存在正定矩阵V(x)，其导数为负定的。