人教版七年级上册二元一次方程组的解法导学案答案

初一七年级数学上册导学案含答案记住永远要信自己初一数学上册学习资料目录正数和负数 1 2 正数和负数 2 3 有理数 5 数轴 7 相反数 8 绝对值 10有理数加法 1 12 有理数加法 2 14 有理数减法 1 16有理数减法 2 18 有理数乘法 1 19 有理数乘法 2 21有理数乘法 3 23 有理数除法 1 24 有理数除法 2 26有理数乘方 1 29 有理数乘方 2 29 科学记数法 30近似数 32 有理数 33 有理数检测试卷 37单项式 39 多项式 41 同类项 43合并月类项 44 去括号 46 整式的加减 48整式的复习 50 整式的测试卷 54 从算式到方程 56一元一次方程 58 等式的性质 60 解一元一次方程 1 62解一元一次方程 2 64 解一元一次方程 3 66 解一元一次方程 4 67解一元一次方程去括号一 69 解一元一次方程去括号二 71 解一元一次方程去分母三 73 解一元一次方程去分母四 75 实际问题与一元一次方程一77 实际问题与一元一次方程二79 实际问题与一元一次方程三 81 一元一次方程复习 83 一元一次方程检测试题 87 认识几何图形一 89 认识几何图形二 91 认识几何图形三 92 点浅面体 94 直线射线线段一 96 直线射线线段二 98 角 100 解的比较与运算 102 余角和补角一 104 余角和补角二 106 图形认识复习 108 图形认识检测试卷 111第一章有理数课题：1.1 正数和负数（1）【学习目标】：1、掌握正数和负数概念；2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数；3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】：正数和负数概念【导学指导】：一、知识链接：1、小学里学过哪些数请写出来：、、。

2、阅读课本P1和P2三幅图（重点是三个例子，边阅读边思考）回答下面提出的问题：3、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？二、自主学习1、正数与负数的产生（1）、生活中具有相反意义的量如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量。

第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个 方程，否则就会 得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相 等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用 加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（ ）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（ ）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（ ）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（ ）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节 二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （ ）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（ ）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（ ）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （ ） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（ ）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。

二元一次方程(组)的概念知识点:二元一次方程问题情境1: 判定一个方程是不是二元一次方程问题模型: 给出方程★, 方程★是否是二元一次方程？求解模型:1.★是整式方程;2.★含有两个未知数;3.★中含未知数的项的次数是1｡同时满足1，2，3的方程是二元一次方程；否则不是。

例题:在下列方程中, 是二元一次方程。

(1)6x -7y =8;(2)1x -1y =3;(3)3xy -7=0; (4)x +y =3z 。

分析:(1) 6x -7y =8是整式方程,含有两个未知数并且每一个未知数所在项的次数都是一次，所以6x -7y =8是二元一次方程;(2) 1x -1y =3不是整式方程，所以它不是二元一次方程;(3) 3xy -7=0中未知数所在项的次数不是一次，所以它不是二元一次方程;(4) x +y =3z 含有三个未知数，所以它不是二元一次方程。

答案:(1)练习:1.判定下列方程中，是二元一次方程的有 。

(1) 1x +2y =1; (2) xy +2y =1 ; (3) 3x +2y =1; (4)7x -2-y =3x ; (5) xy =1; (6)x +y =0.答案: (3),(6)2.方程2x-3y=5,xy=3,33=+yx ,3x-y+2z=0,62=+y x 中是二元一次方程的有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4答案:A3. 下列方程是二元一次方程的是( ).A .21x += B.222x y += C.14y x += D.103x y += 答案:D 4. 下列方程: ①213y x -=; ②332x y +=; ③224x y -=; ④5()7()x y x y +=+;⑤223x =;⑥14x y +=.其中是二元一次方程的是 . 答案:①④5.已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2,当k=______时,方程为二元一次方程｡答案:k=1问题情境2:根据二元一次方程的定义求参数的值情形1：二元一次方程的指数中含参数，求参数的值问题模型：已知关于x 、y 的二元一次方程 a x b y c +=★■ 中指数★或■含有参数，求参数的值求解模型：1.令★=1, ■=1,2.解方程（组）可求出★或■中的参数 例：如果y x k 4172=-是二元一次方程，那么k 的值是（ ） A 、2 B 、3 C 、1 D 、0 分析：指数2-k=1，从而k=1.答案:C情形2：二元一次方程的系数中含参数，求参数的取值范围问题模型：已知关于x 、y 的二元一次方程x y c +=★■中系数★或■含有参数，求参数的取值范围求解模型：1.令★0≠、■0≠,2.解不等式（组）求出★、■中参数的范围例题：已知方程13-=+x y ax 是二元一次方程，则a 满足的条件是( )A ． 0a ≠B ．1a ≠-C ． 3a ≠D ．1a ≠分析：方程13-=+x y ax 可整理为（a-3）x+y=-1,则a-3≠0，所以a ≠3.答案:C.情形3二元一次方程的系数和指数中都含参数，求参数的值问题模型：已知关于x 、y 的二元一次方程x y c +=☆◇★■中系数★或■和指数☆或◇含有参数，求参数求解模型：1.★0≠、■0≠，且☆=1、◇=1。

第08练二元一次方程组及其解法知识点一、二元一次方程：（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．（3）二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．知识点二、二元一次方程组的定义：（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．知识点三、二元一次方程组的解法：（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．一、单选题1．方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．23xy=⎧⎨=⎩B．21xy=⎧⎨=-⎩C．11xy=⎧⎨=⎩D．11xy=⎧⎨=-⎩【答案】B【解析】【分析】由2x-y=5可得y=2x-5，将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2进行求解，得到x的值，再将x 的值代入y=2x-5求解即可．【详解】解：由2x-y=5可得y=2x-5将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2得：3x＋4（2x-5）＝2，解得：x＝2，将x＝2代入方程y=2x-5得：y=2×2-5=-1，∴该方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩故选：B ． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能根据题目选择合适的消元方法进行计算．2．已知关于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩，则关于方程组111222(1)2(1)3(1)2(1)3a x b y c a x b y c ++-=⎧⎨++-=⎩的解为（ ） A ．57x y =⎧⎨=⎩B ．513x y =⎧⎨=⎩C ．13x y =⎧⎨=⎩D ．17x y =⎧⎨=⎩【答案】A 【解析】 【分析】将方程组变形，结合题意得出()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即可求出x ，y 的值．【详解】解：方程组()()()()11122212131213a x b y c a x b y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩变形为()()()()111222121133121133a x b y c a x b y c⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩，设()()113213x m y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则111222a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩，x 和y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是24x y =⎧⎨=⎩，∴24m n =⎧⎨=⎩，∴()()11232143x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得57x y =⎧⎨=⎩，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．3．若二元一次联立方程式2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为,x a y b==，则a b+之值（）A．192B．212C．7 D．13【答案】D【解析】【分析】先求出二元一次方程组的解，然后代入代数式求解即可．【详解】解：解方程组214 3221x yx y+=⎧⎨-+=⎩得112 xy=⎧⎨=⎩因为二元一次方程组2143221x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为x ay b=⎧⎨=⎩，所以a=1，b=12，所以a+b=13．故选D．【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．4．已知关于x，y的方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，则m的值为（）A．63 B．7 C．－7 D．－63【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义得到x=-y，代入第一个方程求出x、y的值，再代入第二个方程求出m．【详解】解：∵方程组34754x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解互为相反数，∴x=-y，∵3x +4y =7，∴-3y +4y =7，得y =7， ∴x =-7，∴m =5x -4y =-35-28=-63， 故选：D ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组的解法，正确理解题意得到x=-y 是解题的关键．5．已知关于x ，y 的方程组1427x y ax y a +=+⎧⎨-=--⎩，则下列结论中正确的是：①当0a =时方程组的解是方程1x y +=的解；②当x y =时，52a =-；③当1y x =，则a 的值为1或3-；④不论a 取什么实数，3x y -的值始终不变．（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】B 【解析】 【分析】①把a 看作已知数表示出方程组的解，把0a =代入求出x 与y 的值，代入方程检验即可； ②令x y =求出a 的值，即可作出判断；③把x 与y 代入3x y -中计算得到结果，判断即可； ④令23x y =求出a 的值，判断即可． 【详解】解：1427x y a x y a +=+⎧⎨-=--⎩，据题意得：336x a =-， 解得：2=-x a ，把2=-x a 代入方程14x y a +=+得：33y a =+， 当0a =时，2x =-，3y =，把2x =-，3y =代入1x y +=得：左边231=-+=，右边1=， 所以2x =-，3y =是方程的解，故①正确； 当x y =时，233a a -=+， 即52a =-，故②正确；当1y x =时，()3321a a +-=，即1a =±或3，故③错误336339x y a a -=---=-，无论a 为什么实数，3x y -的值始终不变为-9，故④正确．∴正确的结论是：①②④，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如果32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a 2008+2b 2008的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将方程组的解代入方程组可得关于a 、b 的二元一次方程组321325a b a b -=⎧⎨+=⎩，再求解方程组即可求解． 【详解】解：∵32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，∴321325a b a b -=⎧⎨+=⎩①②，①＋②得，a ＝1， 将a ＝1代入①得，b ＝1， ∴a 2008＋2b 2008＝1＋2＝3， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．二、填空题7．对于实数,x y ，规定新运算：1x y ax by *=+-，其中,a b 是常数．若124*=，()2*310-=，则a b *= ___________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据题意得到关于a 、b 的二元一次方程组21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，求出a 、b 的值，然后根据221a b a b *=+-进行求解即可． 【详解】解：由题意得：21423110a b a b +-=⎧⎨-+-=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩，∴()222211319a b a b *=+-=-+-=， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意求出a 、b 的值是解题的关键．8．若x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，则22a b -=______．【答案】3 【解析】 【分析】先解方程组求出x 和y 的值，然后代入计算即可． 【详解】解：34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②×4，得 11x =22， ∴x =2． 把代入②，得 4-y =5， ∴y =-1，∵x ＝a ，y ＝b 是方程组342,25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，∴a =2，b =-1， ∴22a b -=4-1=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 9．若()22x y -与25x y +-互为相反数，则()2021x y -=______．【答案】1- 【解析】 【分析】由题意，得到()22250x y x y -++-=，然后利用非负数的性质，求出x 、y 的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵()22x y -与|25|x y +-互为相反数， ∴()22250x y x y -++-=， ∴20x y -=，250x y +-=，联合两个方程，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴()20212021 (12)1x y -=-=-故答案为：-1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，解题的关键是熟练运用非负数的性质进行解题． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（0m >，0n >），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A '，B '，则=a ______，m =______，n =______．若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，则点F 的坐标为______．【答案】12，12，2，（1，4） 【解析】 【分析】首先根据点A 到A '，B 到B '的点的坐标可得方程组3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩，3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩，解可得a 、m 、n 的值，设F 点的坐标为(x ，y )，点F '、点F 重合可列出方程组，再解可得F 点坐标． 【详解】解：将点A (-3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（- 3a + m ， n ）， 又知点A '的坐标为（-1，2）， ∴3102a m a n -+=-⎧⎨⨯+=⎩①， 解得2n =，将点B (3，0)的横、纵坐标都乘以实数a ，再将得到的点向右平移m 个单位，向上平移n 个单位后的坐标为：（3a + m ，n ）， 又知点B '的坐标为（2，2）， ∴3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩②，①+②得：2m = 1， 解得12m =，将12m =代入②得：1322a +=，解得12a =， ∴正方形进行的操作为：把每个点的横、纵坐标都乘以实数12，再将得到的点向右平移12个单位，向上平移2个单位，设点F 的坐标为（x ，y ），依题意得1122122x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，∴点F 的坐标为（1，4）． 故答案为：12，12，2，（1，4）． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组． 11．对于x 、y 定义一种新运算“※”：x y ax by =+※，其中a 、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知5227=※，3419=※，那么23=※_______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用题中的新定义化简已知等式求出a 与b 的值，即可确定出所求． 【详解】解：根据题中的新定义得：52273419a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，①×2﹣②得：7a =35， 解得：a =5，把a =5代入①得：b =1， 则23=※2×5+3×1=13． 故答案为13． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．已知关于x ，y 的二元一次方程组3226x y kx y k +=⎧⎨-=+⎩有下列说法：①当x 与y 相等时，解得k ＝﹣4；②当x 与y 互为相反数时，解得k ＝3；③若4x •8y ＝32，则k ＝11；④无论k 为何值，x 与y 的值一定满足关系式x ＋5y ＋12＝0，其中正确的序号是_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x ＝y 列出方程，求出a 即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a 即可判断；③把底数统一化成a ，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x ，y 的方程，把方程组的解代入求出a ；④在原方程中，我们消去a ，即可得到x ，y 的关系． 【详解】解：3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，由②得：x ＝2y +k +6③， 把③代入①中，得：y ＝187k --④，把④代入③中，得：x ＝567k +，∴原方程组的解为567187k x k y +⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．①当x 与y 相等时，x ＝y ， 即567k +＝187k --，解得：k ＝﹣4，∴①正确；②∵方程的两根互为相反数，∴x +y ＝0， 即567k ++187k --＝0，解得：k ＝3，∴②正确；③4x •8y ＝32，∴（22）x •（23）y ＝25，∴22x •23y ＝25，∴22x +3y ＝25，∴2x +3y ＝5，将方程组的解代入得： 2×567k ++3×187k --＝5，解得：k ＝11，∴③正确；④3226x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩①②，①﹣②×2得x +5y ＝﹣12，即x +5y +12＝0．∴④正确．综上所述，①②③④都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．三、解答题13．解二元一次方程组：3324x y x y -=⎧⎨+=⎩． 【答案】21x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】利用加减消元法即可求解．【详解】3324x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①×2+②得：5x =10，解得x =2；将x =2代入①中，得y =-1,∴方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法、代入消元法是解答本题的关键． 14．解方程组：(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩(2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩【答案】(1)373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2)23x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】利用两个整式加减消元或者代入消元来解二元一次方程组；(1)11912435x y x y -=⎧⎨-+=-⎩①②②式×3+①式得，x =3，将x =3，代入①式得，y =73， 故方程组的解为373x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； (2)()()22341312x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩①② ②式化简后得，4x -y =5 ③，①式×3+③式得，x =2，将x =2代入①得，y =3，故方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整式加减消元或代入消元是解题的关键． 15．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者；(2)调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【解析】【分析】（1）根据题意，找到等量关系式，列一元一次方程求解即可；（2）由（1）得，志愿者有218人，根据题意，列二元一次方程，找整数解即可．(1)解：设计划调配36座新能源客车x 辆，则调配22座新能源客车（x +4）辆，由题意，得36x +2=22（x +4）-2解得x=6则志愿者的人数为：36x+2=36×6+2=218答：计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者．(2)解：设调配36座新能源客车a辆，则调配22座新能源客车b辆，由题意，得36a+22b=218∴18a+11b=109∵a，b为正整数∴当a=3，b=5时，既保证每人有座，又保证每车不空座答：调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．16．将1到2021之间的所有奇数按顺序排成下图：记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．(1)P45＝；(2)若Pmn＝2021，则m＝，n＝；(3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．【答案】(1)45；(2)169，3；(3)覆盖的4个数之和能等于200【解析】【分析】（1）根据题意可知P45表示第4行第5个数，每行都有6个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值；（2）根据题意，可以得到2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，然后m为整数，1≤n≤6，即可得到m、n的值；（3）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由．(1)解：（1）由题意可得，P 45＝2×（6×3+5）﹣1＝45， 故答案为：45；(2)解：∵Pmn ＝2021，∴2[6（m ﹣1）+n ]﹣1＝2021，∴12m +2n ﹣13＝2021，∵m 为正整数，1≤n ≤6，∴m ＝169，n ＝3，故答案为：169，3；(3)解：所覆盖的4个数之和能等于200，理由：设4个阴影格子中的数分别为2n ﹣3、2n ﹣1、2n +1、2n +11，由题意可得（2n ﹣3）+（2n ﹣1）+（2n +1）+（2n +11）＝200，解得：n ＝24，∴所覆盖的4个数之和能等于200．【点睛】此题考查了数字类规律的运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解数字的排列规律并应用是解题的关键．17．对于任意的实数x ，y ，规定运算“※”如下：x y ax by =+※．(1)当3a =，4b =时，求12-※（）的值； (2)若5316=※，232-=-※（），求a 与b 的值．【答案】(1)-5(2)a 的值为2，b 的值为2【解析】【分析】（1）根据规定运算“※”，进行计算即可解答；（2）根据题意可得关于a ，b 的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．(1)当a =3，b =4时，∴1※（-2）=3×1+4×（-2）=-5，∴1※（-2）的值为-5；(2)∵5※3=16，2※（-3）=-2，∴5316232a b a b +⎧⎨--⎩＝①＝②， ①+②得：2a +5a=14解得a =2，把a =2代入①得：10+3b =16，解得b =2，∴原方程组的解为22a b ⎧⎨⎩＝＝， ∴a 的值为2，b 的值为2．【点睛】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键．18．备解二元一次方程组4*8x y x y -=⎧⎨+=⎩，现系数“*”印刷不清楚． (1)李宁同学把“*”当成3，请你帮助李宁解二元一次方程组438x y x y -=⎧⎨+=⎩； (2)数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x 、y 是一对相反数，你知道原题中“*”是 ．【答案】(1)31x y ==-⎧⎨⎩(2)5【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加消掉未知数y ，得到x 的一元一次方程，求出x 的值，把x 的值代入第一个方程，求出y 的值，即得方程组的解；（2）用x -y =4与x +y =0组成方程组，求出x 、y 的值，把x 、y 的值代入*x +y =8，求出*的值．(1)438x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得，4x =12，把x =3代入①，得，3-y =4，∴y =-1，∴31x y ==-⎧⎨⎩； (2)04x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②，得，2x =4，∴x =2，把x =2代入①，得，2+y =0，∴y =-2，∴22x y =⎧⎨=-⎩， ∴228*-=，∴5*=．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义，运用加减消元法解二元一次方程组，是解决问题的关键．1．定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a ※b ＝am －bn ，等式右边是通常的减法和乘法运算．若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－7D ．－11 【答案】A【解析】【分析】按照定义新运算的法则，先求出m 和n 的值，再把算式转化为有理数运算即可．解：根据题意，3※2＝5，1※（－2）＝－1，得，32521m n m n -=⎧⎨+=-⎩， 解得，11m n =⎧⎨=-⎩， 则（－3）※1=（-3）×1-1×（-1）=-2，故选：A ．【点睛】本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m 、n 的值．2．已知关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩给出下列结论：正确的有_____．（填序号） ①当1a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 都为正整数的解有3对【答案】①②【解析】【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；②将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可做出判断；③将a 看做已知数求出方程组的解表示出x 与y ，即可判断正整数解；【详解】解关于x ，y 的方程组25241x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩得2122x a y a =+⎧⎨=-⎩①当1a =时，原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩，此时30x y =⎧⎨=⎩是213x y a +=+=的解，故①正确； ②原方程组的解是2122x a y a =+⎧⎨=-⎩，∴30x y +=≠，即无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数，故②正确；③x ，y 都为正整数，则210220x a y a =+>⎧⎨=->⎩，解得112a -<<，正整数解分别是当10,2a a ==时，故只有两组，故③错误；故答案为①②【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．3．阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩，再求k的值；乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组3232m nm n+=⎧⎨+=-⎩，再求k的值．（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x，y的方程组()()11821a x byb x ay⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．【解析】【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．【详解】解：（1）选择甲，3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩①②，①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝2185k-，②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝2145k-，代入m+n＝3得：21821455k k--+＝3，去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移项合并得：7k＝21，解得：k＝3；选择乙，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得：5m +5n ＝7k ﹣6，解得：m +n ＝7-65k ， 代入m +n ＝3得：7-65k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，解得：k ＝3；选择丙，联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩①②， ①×3﹣②得：m ＝11，把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，代入3m +2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，解得：k ＝3；（2）根据题意得：1327a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：52b a =⎧⎨=⎩， 检验符合题意，则a 和b 的值分别为2，5．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．[阅读材料]善于思考的小明在解方程组253(1)4115(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程(2)变形：4105x y y ++=，即()2255(3)x y y ++=，把方程(1)代入(3)得：235y ⨯+=，所以1y =-，将1y =-代入(1)得4x =，所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．21 [解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩， （2）已知x ，y 满足方程组2222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求224x y +的值． 【答案】（1）原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩；（2）22420x y += 【解析】【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．【详解】解：()13259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①② 将方程②变形得:()332219x y y -+=③把方程①代入③得:35219y ⨯+=，所以2,y =将2y =代入①得3x =，所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩； ()22222321250425x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②， 把方程①变形，得到223(4)550x xy y xy ++-=③，然后把②代入③，得325550xy ⨯-=，∴5xy =，∴22425520x y +=-=；【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．。

第八章 二元一次方程（一）——二元一次方程学习目标：1、了解二元一次方程（组）、二元一次方程（组）的解的概念； 2、会利用有关知识解决相关问题。

学习环节：环节一 ：复习回顾： 解方程：()222348x x +-= …………①解：环节二：新授课：1、二元一次方程（组）的概念： 23y x =- …………②2248x y += …………③（1）观察以上所列的方程，它们有何区别：方程①：含有 个未知数，未知数的次数都是 ，这样的方程叫做 ； 方程②③：含有 个未知数，未知数的次数都是 ，这样的方程叫做 。

（2）把两个二元一次方程组成一个方程组，即把方程②③写成以下形式： ②③ 称为二元一次方程组。

2、二元一次方程的解：满足二元一次方程的一对未知数的值。

（1）以下 是二元一次方程 2x y +=的解（填编号）(a)10x y =⎧⎨=⎩ (b)24x y =-⎧⎨=⎩ (c) 2.64.6x y =-⎧⎨=⎩ (d)46x y =-⎧⎨=-⎩ (e) 1.512x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (f)46x y =⎧⎨=-⎩ 3、二元一次方程组的解：判断下列各对数，哪些是方程②的解，哪些是方程③的解：(a)⎩⎨⎧==33y x (b)⎩⎨⎧==75y x (c)⎩⎨⎧==175y x (d)⎩⎨⎧==159y x (e)1014x y =⎧⎨=⎩方程②的解有： （填编号） 方程③的解有：其中方程②和方程③的公共解是：（2）我们把两个二元一次方程的 ，叫做二元一次方程组的解。

即：方程组⎩⎨⎧=+-=482232y x x y 的解为 x y =⎧⎨=⎩环节三： 练习A 组1、下列各式中，是二元一次方程的是 （填编号）①37x y -= ②243x z y +=- ③310x += ④3450p q +-= ⑤698x y -= ⑥468a b -=2、下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）（A ）23275x y x y +=⎧⎨=⎩ (B) 212x y x z +=⎧⎨+=⎩ （C ）132342x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（D ）513223y x x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩3、填下表，使上下每对x ，y 的值是方程35x y +=的解。

2013—2014年下期 七年级 数学 导学案 第 1 课时 编案教师：何曦 审核：徐建全 审批：钟晓 授课教师：初一全体数学教师 授课时间： 班级： 姓名： 教师评价：二元一次方程组的解法（加减消元法1） 课堂目标导航1.让我们进一步理解解方程的消元思想。

2.让我们了解加减法是消元法的又一种基本方法，并会用加减法解一些简单的二元一次方程组，（重难点）3.在探索过程中品尝成功的喜悦，体验数学学习的乐趣，树立学号数学的信心。

自主学习方案请同学们预习教材P31~32的内容，完成下面问题。

1.将二元一次方程组中的两个方程的两边分别___________________消去一个未知数，从而将方程组转化为________________来解的方法称为加减消元法，简称加减法。

2.用加减法解方程组 x+3y=4，①时，由①+②得3x=________，解得x=______，把x=____ 2x-3y=-1 ②代入①得________，解得y________，所以原方程组的解是_________ 课堂导学案教学点 加减消元法解二元一次方程组 例1 解方程组 2x+3y=4，① 2x-5y=20，② 例2 解方程组 5x+6y=-9，① 2x-6y=30，② 例3.解方程组 x+y=-6，① x-y=-2，② 学点训练 1.解下列方程组：（1） 5x+y=7 （2） 0.5x-3y=-1 3x-y=1 21-x+5y=32.已知方程组 3m+2n=8k ，① 求nmk 23+的值。

3m-2n=16k ，②当堂评价方案1.用加减法解下列方程组时，能直接用①+②进行消元的是（ ） A. 2x-5y=3 ① B. x+21y=5 ① 3x-5y=4 ② 21-x-y=1 ②C. 3p-8z=-4 ①D. m+2n=-3，①5p+8z=-4 ② 4n+m=6，② 2.二元一次方程组 x+y=10，的解是（ ） 2x-y+4=0， A. x=2 B. x=314 y=8 y=316C. x=8D. x=7y=23 y=33.如果二元一次方程ax+by+2=0有两个解： x=2 与 x=1，那么在下列各组中，仍是这个方 y=2 y=-1， 程的解的是（ ）A. x=3B. x=6C. x=5D. x=2y=5 y=2 y=3 y=6 4.已知方程组 x+2y=k ，的满足x+y=3，则k 的值为（ ） 2x+y=1A.10B.8C.2D.-85.下列方程组中：（1） 3x-y=2 （2） x=y （3） 3x+2y+1=0________，适宜用代入 3x=11-2y 2x+3y=5 3x+4y+3=0 求解；_________适宜用加减法求解；_______两种方法都使用导 学案 装 定 线6.已知二元一次方程组 2x+y=7 则x-y=_______，x+y=_____ x+2y=87.若方程组 x+y=8m ，的解满足2x-5y=-1，那么m=_______ x-y=2m 8.解方程组 x+2y=1 3x-2y=119.已知 3x+2y=a ，求xyx +的值 x-2y=a 课堂反思对照课堂目标导航思考： 1.这节课我学到了什么知识？2.我感受到了什么？3.还存在什么疑惑呢？课后作业方案1.解二元一次方程组 4x+7y=-19 ① ，方程①减去方程②，得（ ） 4x-5y=17 ②A.2y=-2B.2y=36C.12y=-2D.12y=-36 2.已知 2x+y=5 那么x-y 的值是（ ） x+2y=6A.1B.-1C.0D.23.已知a 、b 满足方程组 a+2b=3-m ， 则a-b 的值为（ ） 2a+b=4-m A.-1 B.m-1 C.0 D.14.已知方程组 2x+y=12，① 将方程①+②得________，将①-②得________，解得________、 2x-y=14，②5.已知 x=-1 和 x=1 都是方程mx+ny=10的解，则m=_______，n=_______ y=2 y=36.解方程组 3x-4y=2 ① 既可用________消去y ，求得x=_______；也可用_________，消 3x+4y=1 ② 消去x ，求得y=________7.若 3x-y=m ，且m ≠0，则x ：y=___________ x+3y=m8.若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15，则x+y+z=__________ 9.解方程组： （1） 5x-3y=2， 2x-3y=-10 （2） 6x+7y=5， 6x-7y=1910.已知 x=2， 是方程组 2x+（m-1）y=2 的解，求2m-3n 的值 y=1 nx+y=12013—2014年下期七年级数学导学案第1 课时编案教师：何曦审核：徐建全审批：钟晓授课教师：初一全体数学教师授课时间：班级：姓名：教师评价：二元一次方程组的解法（加减消元法2）课堂目标导航1.让我们进一步了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组。

第七章二元一次方程组导学案7.1二元一次方程组和它的解一、学习目标：1、能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解。

2、能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系。

二、学习重难点：重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。

难点：弄懂二元一次方程组解的含义。

三、学习过程： （一）、带着以下问题，自主学习课本第22页，第23页。

1、思考问题1,试着列一元一次方程求解。

若设两个未知数又会怎样呢？2、什么是二元一次方程？你能举出一些二元一次方程的例子吗？3、什么是二元一次方程组？举例说明。

4、什么是二元一次方程组的解？如何检验？（二）、巩固练习 1、下列方程3x-5y=1,x=3y+1, 3x -12=y ,xy+2x-y=0,x=4,2x 2-y=9, 01=+y x中二元一次方程有___个。

2、已知方程组：（1）⎩⎨⎧=-=+4302y x y x （2）⎩⎨⎧==+5723xy y x （3）⎩⎨⎧=+=+212z x y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-243134y x yx其中是二元一次方程组的是____________3、判断下列各组数是否是方程组⎩⎨⎧-==+-y x x y 213032的解。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧-==221y x (2)⎩⎨⎧-==11y x 4、如果（m-1）x +(1+m)y+4=0是关于x 、y 的二元一次方程，则m 必须满足的条件是_________5、若⎪⎩⎪⎨⎧-==121y x 是方程组⎩⎨⎧=-=-1253by x y ax 的解，那么a 2+b 2=_________ （三）、课后作业1. 教材第24页习题第1，2题。

2. 选做题：请你用方程组⎩⎨⎧=-=+1228y x y x 编一道具有实际意义的题。

四、巩固检测： 1．有效训练（1）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A ．2x-y=z B. 3xy+1=0 C. 0.5+y=3 D. x=0.5y (2)以⎩⎨⎧==13y x 为解建立一个二元一次方程，不正确的是（ ） A. 3x-4y=5 B.031=-y x C. 32-=+y x D. 65322=-y x (3)若方程组⎩⎨⎧=-=+a by x b y x 2的解是⎩⎨⎧==01y x ，那么b a -=_________(4)我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？（只列方程组）2.经典检测（1）已知下列三对数值： ⎩⎨⎧-==10y x ⎩⎨⎧==415y x ⎩⎨⎧==15y x ① 哪几对数值是方程x-3y=3的解，哪几对数值是方程3x-10y=5的解？ ② 哪一对数值是方程组⎩⎨⎧=-=-510333y x y x 的解？（2）若⎩⎨⎧==21y x 是方程ax-y=3的解，则a=__________. ( 3 )根据下列条件，列出二元一次方程组：小亮的储蓄罐里有面值0.5元和1元的两种硬币共20枚，合计15元。

第八章《二元一次方程组》提要：本章的考查重点是二元一次方程组的解法——代入法、加减法，以及列出二元一次方程组解简单应用题．难点是熟练地解二元一次方程组，解决难点的办法关键在于了解消元的思想方法，设法消去方程中的一个未知数，把“二元”变成“一元”（对于“三元”一次方程组，一般也要先消去一个未知数，变成“二元”，再变成“一元”）．正确地列出二元一次方程组解简单应用题，关键在于正确地找出应用题中的两个条件（相等关系），并把它们表示成两个方程，这两个方程正好表示了应用题的全部含义．习题：一、填空题1．一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是 ．2．已知甲、乙两人从相距36k m 的两地同时相向而行，1.8h 相遇．如果甲比乙先走23h ，那么在乙出发后23h 与甲相遇．设甲、乙两人速度分别为x k m /h 、y k m /h ，则x ＝ ，y ＝ ．3．甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是 ．4．一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，全队一天就超额30件；若平均每人一天做4件，全队一天就比定额少完成20件．若设这队工人有x 人，全队每天的数额为y 件，则依题意可得方程组 ．5．某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了 ．6．一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米．则轮船在静水中的速度为 ______，水流速度为______．7．一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件． 则这队工人有_____人，全队每天制造的工件数额为_____件． 8．若()235230x y x y -++-+=，则_______x y +=．9．小红有5分和2分的硬币共20枚，共6角7分，设5分硬币有x 枚，2分硬币有y 枚，则可列方程组为 ．10．小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规．售货员告诉他：这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元． 11．已知二元一次方程1213-+y x ＝0，用含y 的代数式表示x ，则x ＝_________；当y ＝－2时，x ＝___12．在（1）⎩⎨⎧-==23y x ，（2）⎪⎩⎪⎨⎧-==354y x ，（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2741y x 这三组数值中，_____是方程组x －3y ＝9的解，______是方程2 x ＋y ＝4的解，______是方程组⎩⎨⎧=+=-4293y x y x 的解． 13．已知⎩⎨⎧=-=54y x ，是方程41x ＋2 my ＋7＝0的解，则m ＝_______．14．若方程组⎩⎨⎧=-=+137by ax by ax 的解是⎩⎨⎧-=-=12y x ，则a ＝_ _，b ＝ _ ． 15．已知等式y ＝kx ＋b ，当x ＝2时，y ＝－2；当x ＝－21时，y ＝3，则k ＝____，b ＝____． 16．若|3a ＋4b －c |＋41（c －2 b ）2＝0，则a ∶b ∶c ＝_________． 17．当m ＝_______时，方程x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，mx －y ＝0有公共解．18．一个三位数，若百位上的数为x ，十位上的数为y ，个位上的数是百位与十位上的数的差的2倍，则这个三位数是_______________． 二、选择题 19．已知方程组其中正确的说法是（ ）A ．只有（1）、（3）是二元一次方程组B ．只有（1）、（4）是二元一次方程组C ．只有（2）、（3）是二元一次方程组D ．只有（2）不是二元一次方程组20．已知下列方程组：（1）⎩⎨⎧-==23y y x ，（2）⎩⎨⎧=-=+423z y y x ，（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0131y x y x ，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0131yx y x ， 其中属于二元一次方程组的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．421．已知2 x b ＋5y 3a 与－4 x 2a y 2－4b 是同类项，则b a 的值为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－122．已知方程组⎩⎨⎧-=-=+1242m ny x n y mx 的解是⎩⎨⎧-==11y x ，那么m 、n 的值为（ ） A ．⎨⎧-==11n m B ．⎨⎧==12n m C ．⎨⎧==23n m D ．⎨⎧==13n m23．三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+651x z z y y x 的解是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧===501z y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧===421z y x C ．⎪⎩⎪⎨⎧===401z y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧===014z y x24．若方程组⎩⎨⎧=+=-+14346)1(y x y a ax 的解x 、y 的值相等，则a 的值为（ ）A ．－4B ．4C ．2D ．1 25．方程组125x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩ B ．21x y =⎧⎨=-⎩ C ．12x y =⎧⎨=⎩ D ．21x y =⎧⎨=⎩26．若实数满足（x ＋y ＋2）(x ＋y －1)=0，则x ＋y 的值为（ ）A ．1B ．－2C ． 2或－1D ．－2或127．在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人．问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x ，组数为y ，根据题意，可列方程组（ ）．28．若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+ky x ky x 73的解满足方程2x ＋3y ＝6，那么k 的值为（ ）A ．－23B ．23C ．－32D ．－2329．若方程y ＝kx ＋b 当x 与y 互为相反数时，b 比k 少1，且x ＝21，则k 、b 的值分别是（ ）A ．2，1B ．32，35C ．－2，1D ．31，－3230．某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x 人，分成y 个小组，则可得方程组（ ）A ．⎩⎨⎧=-=+y x y x 3847B ．⎩⎨⎧=++=x y x y 3847C ．⎩⎨⎧+=-=3847x y x yD ．⎩⎨⎧+=+=3847x y x y 三、解答题31．若12x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程3x -y +a=0的一个解，求a 的值．32．解关于x，y的方程组32165410x y kx y k+=⎧⎨-=-⎩，并求当解满足方程4x－3y＝21时的k值．33．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．34．甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？35．小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组31122x yx y+=⎧⎨+=-⎩中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是12xy=⎧⎨=⎩，你能由此求出原来的方程组吗？36．一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？37．师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？38．有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112c m，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6c m，求这两个长方形的面积．39．在汶川大地震之后，全国各地区都有不少热心人参与抗震救灾行动中去，家住成都的小李也参加了，他要在规定的时间内由成都赶往绵阳地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达绵阳地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达．40．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元．若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？41．《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将贪污受贿的580名官员和600名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病或患病致死者共444人，试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几？42．某校2009年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2010年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加25％，这样2010年秋季初一年级、高一年级招生总数比2006年将增加21％，求2010年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？43．某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩．游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的3，问晚会上男、女生各有几人？544．随着奥运会成功召开，福娃系列商品也随之热销．一天小林在商场看到一件奥运吉祥物的纪念品，标价为每件３３元，他的身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，他买了一件这种商品．若无需找零钱，则小林付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？参考解析 一、填空题1． 52 2． ９，１１ 3． 甲跑6米，乙跑4米5． 19道题 6．18千米/时，2千米/时． 7． 25，155． 8. -3； 9. 205267x y x y +=⎧⎨+=⎩10． 4．11．x ＝62y -；x ＝32（点拨：把y 作为已知数，求解x ） 12（1），（2）；（1），（3）；（1）（点拨：将三组数值分别代入方程、方程组进行检验．方程组的解一定是方程组中各个方程共同的解）13．－53（点拨：把⎩⎨⎧=-=54y x 代入方程，求m ）14．a ＝－5，b ＝3（点拨：将⎩⎨⎧-=-=12y x 代入⎩⎨⎧=-=+137by ax by ax 中，原方程组转化为关于a 、b 的二元一次方程组，再解之）15．k ＝－2，b ＝2（点拨：把x 、y 的对应值代入，得关于k 、b 的二元一次方程组。

第八章二元一次方程组..问题4：判断下列方程是不是二元一次方程？(1)x+y=11；(2)m+1=2；(3)x2+y=5；(4)3x－π=11；(5) －5x=4y+2；(6)7+a=2b+11c（7）2713xy；(8)4xy+5=0.方法归纳：判断一个方程是否为二元一次方程的方法：一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.典例精析例 1.已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．方法总结:由方程是二元一次方程可知：(1)未知数的系数不为0；(2)未知数的次数都是1.针对训练1.若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=____，n=____.2.下列方程组是二元一次方程组的是（）探究点2：二元一次方程组的解问题1：什么叫二元一次方程的解？问题2：你已知下面三对数值：0,2,xy2,3,xy1,5,xy哪几对是方程2x-y=7的解？哪几对是方程x+2y=-4的解？问题3：方程组,2742x yx y的解是什么？问题4：由此归纳总结出二元一次方程组的解的定义典例精析教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-13）3.探究点2新知讲授（见幻灯片14-22）教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片14-22）4.课堂小结例2.若2,3xy是方程x-ky=1的解,则k的值为.例3..加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组.针对训练A.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本二、课堂小结二元一次方程组二元一次方程（组）的概念二元一次方程（组）的解的概念根据实际问题列二元一次方程组1.下列不是二元一次方程组的是( )当堂检测教学备注配套PPT讲授5.当堂检测（见幻灯片23-28）2.二元一次方程组的解是( )3.关于x、y的方程ax2+bx+2y=3是一个二元一次方程，则a、b的值分别为（）A.a=0且b=0B.a=0或b=0C.a=0且b≠0D.a≠0且b≠04.小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x 张，2元的贺卡y张，那么可列方程组( )5.已知,13xy是方程2x-4y+2a=3的一组解，则a=____.6.若方程2x2m+3+3y3n-7=0 是关于x、y的二元一次方程，则m=______，n=______.7.写出方程x+2y=5 在自然数范围内的所有解.8.【拓展题】把一根长13m的钢管截成2m长或3m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？。

七年级数学二元一次方程组(教师讲义带答案)work Information Technology Company.2020YEAR第一章 二元一次方程组【知识要点】1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；(不是整式的化成整式) ②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。

3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法三、理解解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组四、解二元一次方程组的一般步骤（一）、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解（二）、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解1.1 二元一次方程组的解法（1）用代入法解二元一次方程组例：解方程组⎩⎨⎧=+=+1523y x y x※解题方法：①编号：将方程组进行编号；②变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y=ax+b （或x=ay+b ）的形式；③代入：将y=ax+b （或x=ay+b ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；④求x （或y ）：解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；⑤求y （或x ）：把x （或y ）的值代入y=ax+b （或x=ay+b ）中，求出y （或x ）的值；⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

8.2解二元一次方程组【考点梳理】考点一：代入消元法考点二：加减消元法考点三：二元一次方程组的特别的解法考点四：二元一次方程组的综合考点一、二元一次方程组的解法——消元（整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”）1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。

考点二、加减消元法两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。

注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。

题型一：代入消元法1．（23-24七年级下·河北邢台）用代入法解方程组23328y x x y =-⎧⎨+=⎩①②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（）A ．3438x x +-=B ．3468x x +-=C ．3230x x --=D ．3268x x +-=【答案】B 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，把①代入②得，32(23)8x x +-=，整理后即可得答案．熟练掌握代入法是解题的关键．【详解】把①代入②得，32(23)8x x +-=，整理得，3468x x +-=，故选：B ．2．（2024七年级下·全国·专题练习）利用带入消元法解方程组：(1)379x y x y +=⎧⎨=-⎩；(2)5217345x y x y -=⎧⎨+=⎩．【答案】(1)54x y =-⎧⎨=⎩(2)31x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题关键，（1）利用代入消元法即可解方程求解；（2）利用代入消元法即可解方程求解即可．【详解】（1）解：379x y x y +=⎧⎨=-⎩①②，把②代入①得937y y -+=，解得4y =，把4y =代入②得495x =-=-，所以方程组的解为54x y =-⎧⎨=⎩；（2）解：5217345x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，由①得5172x y -=③，把③带入②中得5173452x x -+´=解得3x =，把3x =代入③得53172y ´-=，解得1y =-，所以方程组的解为31x y =⎧⎨=-⎩．3．（23-24七年级下·山东济宁·期中）解下列方程组：(1)3(2)12(1)58y x x y -=+⎧⎨-=-⎩；(2)1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩．【答案】(1)178x y =⎧⎨=⎩(2)51x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并灵活运用是解答的关键．（1）先整理原方程组，再利用代入消元法解方程组即可；（2）先整理方程组，再利用代入消元法解方程组即可．【详解】（1）解：原方程组化为37256x y x y =-⎧⎨-=-⎩①②，将①代入②中，得()23756y y --=-，则8y =，将8y =代入①中，得17x =，∴原方程组的解为178x y =⎧⎨=；（2）解：原方程可为6129x y x y =-⎧⎨-=⎩①②，将①代入②中，得()2619y y --=，则1y =，将1y =代入①中，得5x =，∴原方程组的解为51x y =⎧⎨=⎩．题型二：加减消元法4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）用加减法解方程组237322x y x y +=⎧⎨--=⎩①②下列解法正确的是（）A ．32⨯-⨯①②，消去x ．B ．23⨯-⨯①②，消去yC ．()32⨯-+⨯��，消去x ．D ．()23⨯-⨯-��，消去y 【答案】D【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据等式的可加性直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，32⨯+⨯①②，消去x ，故A 选项不符合题意，23⨯+⨯①②，消去y ，故B 选项不符合题意，()32⨯--⨯①②，消去x ，故C 选项不符合题意，()23⨯-⨯-��，消去y ，故D 选项符合题意，故选：D ．5．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）解方程组(1)62x y x y +=⎧⎨-=⎩(2)2335x y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】(1)42x y =⎧⎨=⎩(2)21x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．（1）用加减消元法求解即可；（2）用加减消元法求解即可．【详解】（1）62x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，+①②，得28x =，∴4x =，把4x =代入①得，46y +=，∴2y =，∴42x y =⎧⎨=⎩；（2）2335x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，3⨯+①②，得714x =，∴2x =，把2x =代入①得，43y +=，∴1y =-，∴21x y =⎧⎨=-⎩．6．（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：(1)248x y x y -=⎧⎨+=⎩；(2)422237x y x y -=⎧⎨+=-⎩．【答案】(1)44x y =⎧⎨=⎩(2)122x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键．（1）运用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）整理为x 系数相同后，再运用加减消元法即可求解．【详解】（1）解：248x y x y -=⎧⎨+=⎩①②①+②得，4x =，把x 的值代入②得，4y =，∴原方程组的解为44x y =⎧⎨=⎩；（2）解：422237x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②2-⨯①②得，816y -=，解得，2y =-，把y 的值代入①得，12x =-，∴原方程组的解为122x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．题型三：二元一次方程组的特别的解法7．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是 2.14.5x y =⎧⎨=⎩．则关于x ，y 的方程组()()111222232232a x b y c a x b y c ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩的解是（）A ． 4.113.5x y =⎧⎨=⎩B ． 4.24.5x y =⎧⎨=⎩C ． 6.29x y =⎧⎨=⎩D ． 6.23x y =⎧⎨=⎩【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用换元法，得到()()111222232232a x b y c a x b y c ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩的解为()12 2.123 4.52x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进一步求解即可．【详解】解：()()111222232232a x b y c a x b y c ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩可化为：()()1112221322213222a x b y c a x b y c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∵关于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是 2.14.5x y =⎧⎨=⎩，∴()()1112221322213222a x b y c a x b y c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩的解为：()12 2.123 4.52x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解得： 6.23x y =⎧⎨=⎩．故选D ．8．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程组237351a b a b +=⎧⎨-=⎩的解是21a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()2132731521x y x y ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩的解是（）A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．31x y =⎧⎨=-⎩D ．11x y =⎧⎨=-⎩【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是观察题目特点，灵活运用换元法求解．两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答，即可获得答案．【详解】解：对于方程组()()()()2132731521x y x y ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩，可设1a x =-，2b y =+，可得237351a b a b +=⎧⎨-=⎩，结合题意可知1221x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩．故选：C ．9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=的解是（）A ．8.31.2x y =⎧⎨=⎩B ．10.31.2x y =⎧⎨=⎩C ． 6.32.2x y =⎧⎨=⎩D ．10.30.2x y =⎧⎨=⎩【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据加减法，可得()()2 ,1x y +-的解，再根据解方程，可得答案，解决本题的关键是先求()()2 ,1x y +-的解，再求x y 、的值．【详解】解：∵方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，∴方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是28.31 1.2x y +=⎧⎨-=⎩，解得 6.32.2x y =⎧⎨=⎩，故选：C ．题型四：二元一次方程组的综合10．（23-24七年级下·甘肃天水）阅读探索（1）知识积累解方程组()()()()12262126a b a b ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩解：设1a x -=，2b y +=，原方程组可变为2626x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组，得22x y =⎧⎨=⎩即1222a b -=⎧⎨+=⎩所以有30a b =⎧⎨=⎩此种解方程组的方法叫换元法．（2）拓展提高运用上述方法解方程组：122435212535a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩【答案】95a b =⎧⎨=-⎩【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设1235a b m n -=+=，，则原方程组可变为2425m n m n +=⎧⎨+=⎩，解方程组得到122135a b -=+=，，据此求解即可．【详解】解：设1235a b m n -=+=，，则原方程组可变为2425m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴122135a b -=+=，，∴95a b =⎧⎨=-⎩．11．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，学习完“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组后，聪明的小燕在解方程组231271797x y x y +=⎧⎨-=⎩①②时，采用了一种“平均值换元法”，解法如下：由①可设266x t =+，366y t =-，即33x t =+，22y t =-，代入②，得7(33)17(22)97t t +--=，解得2t =．所以3329x =+⨯=，2222y =-⨯=-．所以原方程组的解为92x y =⎧⎨=-⎩．请你模仿小燕的“平均值换元法”解方程组：577073166x y x y +=⎧⎨+=⎩．【答案】2810x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题考查解二元一次方程组及解一元一次方程，结合已知条件设得53535x m =+，73535y m =-是解题的关键．由题意设53535x m =+，73535y m =-，然后利用含m 的代数式分别表示出x ，y ，再将其代入第二个方程中求得m 的值，最后将其代入表示x ，y 的含m 的代数式中即可求得答案．【详解】解：577073166x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①可设53535x m =+，73535y m =-，则77x m =+，55y m =-，将其代入②得：7(77)3(55)166m m ++-=，解得：3m =，则77328x =+⨯=，55310y =-⨯=-，故原方程组的解为2810x y =⎧⎨=-⎩．12．（2024七年级下·全国·专题练习）用换元法解二元一次方程组：(1)22163522754x y x y x y x y +-⎧-=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩(2)23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【答案】(1)4010x y =⎧⎨=⎩(2)914x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，观察方程组，（1）中都含有2x y +，2x y -，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键；（2）中都含23x y +，23x y -，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键．【详解】（1）解：22163522754x y x y x y x y +-⎧-=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩，设2x y m +=，2x y n -=，则1635754m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解这个方程组得6020m n =⎧⎨=⎩，则260220x y x y +=⎧⎨-=⎩，解这个方程组得4010x y =⎧⎨=⎩，∴原方程组的解为4010x y =⎧⎨=⎩．（2）解：23237432323832x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，设23x y m +=，23x y n -=，则743832m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解这个方程组得6024m n =⎧⎨=-⎩，则23602324x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解这个方程组得914x y =⎧⎨=⎩，∴原方程组的解为914x y =⎧⎨=⎩．一、单选题13．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如果142m x y --与25n m n x y -是同类项，则m 、n 的值分别为（）A ．2,3-B ．2,3-C ．2,3--D ．2,3【答案】C【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．先根据同类项的定义求出m 和n 的值，再把求得的m 和n 的值代入所给代数式计算即可．【详解】解：∵142m x y --与25n m n x y -是同类项，∴124m n m n -=⎧⎨-=⎩，∴23m n =-⎧⎨=-⎩．故选：C ．14．（23-24七年级下·河南洛阳·阶段练习）已知方程组2425x y x y +=⎧⎨+=⎩，则22x y +的值为（）A ．2-B ．0C ．4D ．6【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，由①+②得339x y +=，利用整体思想进行求解即可．【详解】解：2425x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：339x y +=，3x y ∴+=，226x y ∴+=，故选：D ．15．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若方程组35661516x y x y +=⎧⎨+=⎩的解也是方程310x ky =+的解，则k 的值是（）A ．110-B ．10C ．83-D ．38【答案】B【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入310x ky =+，求解即可得到答案．【详解】35661516x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组得：2345x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入310x ky =+，得42105k +=，解得：10k =，故选：B ．16．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x ，y 的方程组4242x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩给出下列结论：①当3a =时，方程组的解也是21x y a +=+的解；②无论a 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数；③x ，y 都为自然数的解有4对；④若29x y +=，则1a =．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组；①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程4x y a +=+即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x 、y ，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程26x y +=的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解．【详解】解：4242x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩①②，-①②得363y a=-2y a ∴=-，将2y a ∴=-代入②得22x a =+，∴方程组的解为222x a y a=+⎧⎨=-⎩∴4x y a +=+当3a =时，7x y +=，而217a +=，∴①正确；②2224x y a a a +=++-=+ ，当4a =-时，0x y +=∴②不正确；③∵222x a y a =+⎧⎨=-⎩、x ，y 为自然数，∴26x y +=03x y =⎧∴⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩或60x y =⎧⎨=⎩，∴③正确；④()22222369x y a a a +=++-=+=，解得1a =，∴④正确．故选：C17．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）解下列方程组：(1)32218x y x y -=⎧⎨+=⎩（代入法）(2)20436a b a b +=⎧⎨+=⎩（加减法）【答案】(1)82x y =⎧⎨=⎩(2)36a b =-⎧⎨=⎩【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．（1）按照代入法的步骤解二元一次方程组即可．（2）按照加减消元法的步骤解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：32218x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由①得：23x y =+，把23x y =+代入②得：()22318y y ++=，解得：2y =，∴2328x =+⨯=，∴方程组的解为：82x y =⎧⎨=⎩．（2）20436a b a b +=⎧⎨+=⎩①②由①2⨯-②得：6b -=-，解得6b =，把6b =代入①得：260a +=，解得：3a =-，∴方程组的解集为：36a b =-⎧⎨=⎩．18．（2024七年级下·全国·专题练习）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：11x y x y +=⎧⎨-=⎩，124x y x y +=⎧⎨-=⎩，139x y x y +=⎧⎨-=⎩，⎧⎪⎨⎪⎩．……10x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=-⎩，32x y =⎧⎨=-⎩，x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．……(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处．(2)猜想第n 个方程组和它的解并验证．(3)若方程组116x y x my +=⎧⎨-=⎩的解是54x y =⎧⎨=-⎩，求m 的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律．【答案】(1)43x y =⎧⎨=-⎩(2)见解析(3)114m =，它不符合（1）中的规律【分析】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数、常数与解的关系是解题的关键．（1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数、常数与解的关系，确定第4个方程组，求解即可；（2）通过观察，知第n 个方程组及其解，将解代入方程组验证；（3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律．【详解】（1）解：解方程组1416x y x y +=⎧⎨-=⎩，得43x y =⎧⎨=-⎩；（2）解：猜想第n 个方程组为21x y x ny n +=⎧⎨-=⎩，解为1x n y n =⎧⎨=-⎩，验证如下：把1x n y n=⎧⎨=-⎩代入21x y x ny n +=⎧⎨-=⎩得()11n n +-=，()21n n n n --=，所以成立；（3）解：将54x y =⎧⎨=-⎩代入16x my -=，解得114m =，即方程组为111164x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以它不符合（1）中的规律．一：单选题19．（23-24七年级下·山东聊城）如果32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则202220222a b +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，根据方程组的解得到关于a 、b 的方程组，解方程组得到a 、b 的值，代入代数式即可得到答案.【详解】解：∵32x y =⎧⎨=-⎩是方程组15ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，∴321325a b a b -=⎧⎨+=⎩①②①＋②得，66a =解得1a =，把1a =代入①得，321b -=解得1b =，∴202220222022202213221a b =+⨯=+，故选：C20．（2024·浙江宁波·一模）{}a 表示小于a 的最大整数，[]b 表示不小于b 的最小整数，若整数x 、y 满足4{}[]9,3{}[]5x y x y -=+=，则32x y +的平方根为（）A ．5±B ．1±C ．2±D ．7±【答案】D【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意先求出{}x 和[]y 的值，从而可得x 3,1y ==-，然后把x y ，的值代入式子中进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：{}{}4[]93[]5x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：{}2[]1x y ⎧=⎨=-⎩，∵,x y 为整数，∴3,1x y ==-，∴32332(1)927x y +=⨯+⨯-=-=，∴32x y +的平方根是7±，故选：D ．21．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是41x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组()()()()111222112112a x b y c a x b y c⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩的解是（）A ．41x y =⎧⎨=-⎩B ．51x y =⎧⎨=⎩C ．312x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．51x y =⎧⎨=-⎩【答案】C【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，令11122x t y s -=-=，，则111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩，进而根据题意得到关于s ，t 的方程组111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩的解是41t s =⎧⎨=⎩，则1212x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解之即可得到答案．【详解】解：令11122x t y s -=-=，，∴111222111222111222a t b s c a t b s c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩，∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是41x y =⎧⎨=⎩，∴关于s ，t 的方程组111222a tb sc a t b s c +=⎧⎨+=⎩的解是41t s =⎧⎨=⎩，∴1212x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴312x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故选：C ．22．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若方程组()()()()111222a x y b x y c a x y b x y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩的解为23x y =⎧⎨=-⎩，则方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为（）A ．51x y =⎧⎨=-⎩B ．32x y =-⎧⎨=⎩C ．15x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩【答案】C【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组．对方程组变形，然后根据二元一次方程组解的定义，利用整体思想求解．【详解】解：∵方程组()()()()111222a x y b x y c a x y b x y c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩的解为23x y =⎧⎨=-⎩，∴15x y x y +=-⎧⎨-=⎩，∴方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为15x y =-⎧⎨=⎩，故选：C ．23．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）对x 、y 定义一种新运算T ，规定：(),1T x y axy bx =+-（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：()0,101011T a b =⨯⨯+⨯-=-，若()2,15T -=，()1,25T =-，则下列结论正确的有（）个．①1a =-，2b =-；②若()(),02T m n n =≠-，则12m n =-+；③若(),0T m n =，则m 、n 有且仅有3组整数解；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．首先根据题意可得2215215a b a b ---=⎧⎨+-=-⎩，求解即可判断结论①；由()(),02T m n n =≠-可得210mn m ---=，结合2n ≠-即可判断结论②；由(),0T m n =可得210mn m ---=，整理可得12m n =-+，结合m n 、均为整数可知21n +=±，进一步求得m 的值，即可判断结论③．【详解】解：根据题意，()2,15T -=，()1,25T =-，∴2215215a b a b ---=⎧⎨+-=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，故结论①正确；∵0()T m n =,，即210mn m ---=，∵2n ≠-，∴12m n =-+，故结论②正确；∵(),0T m n =，即210mn m ---=，∵2n ≠-，∴12m n =-+，又∵m n 、均为整数，∴21n +=±，∴1n =-或3-，∴满足条件的m n 、值为11m n =-⎧⎨=-⎩或13m n =⎧⎨=-⎩，故结论③错误．故选：C ．24．（23-24七年级上·山东滨州·期末）以下解方程组227m n m n -=⎧⎨+=⎩①②的步骤正确的是（）A ．代入法消去m ，由①得2m n =+B ．代入法消去n ，由②得27n m =-C ．加减法消去n ，+①②得5m =D ．加减法消去m ，2⨯-①②得33n -=【答案】A【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键．利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案．【详解】解：A 、代入法消去m ，由①得2m n =+，故符合题意；B 、代入法消去n ，由②得72n m =-，故不符合题意；C 、加减法消去n ，+①②得39m =，故不符合题意；D 、加减法消去m ，2⨯-①②得11n -=，故不符合题意；故选A ．二、填空题25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果5x y -+与210y x -+互为相反数，则x y +=．【答案】35【分析】本题考查绝对值非负性，二次根式的非负性，相反数，解二元一次方程组，根据互为相反数和为0，结合非负式子和为0它们分别等于0列方程组求解即可得到答案【详解】解：∵5x y -+与210y x -+互为相反数，∴21050y x x y -++-+=，∵2100y x -+≥，50x y -+≥，∴210050y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得：1520x y =⎧⎨=⎩，∴152035x y +=+=，故答案为：35．26．（2024七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组32ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩，则a b +的值．【答案】1【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程组的解，代数式求值是解题的关键．将32x y =⎧⎨=⎩代入原方程组得：323232a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，+①②得：555a b +=，然后计算求解即可．【详解】解：将32x y =⎧⎨=⎩代入原方程组得：323232a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，+①②得：555a b +=，∴1a b +=．故答案为：1．27．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x ，y 的方程组236x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，（1）x ，y 互为相反数时，=a ；（2）2x y +=；（3）若x ，y 满足9327x y ⋅=，则()20241a -=．【答案】2-；6；0．【分析】（1）解出二元一次方程组，然后根据x ，y 互为相反数即可求出a 的值；（2）解出二元一次方程组，然后代入求值即可；（3）根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算求出2x y +的值，把x ，y 代入即可求出a 的值；；本题考查了解二元一次方程组，幂的乘方和同底数幂的乘法，有理数的乘方，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键．【详解】（1）由236x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，解得：224x a y a=-⎧⎨=-⎩，∵0x y +=，∴20a +=，解得：2a =-，故答案为：2-；（2）由236x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，解得：224x a y a=-⎧⎨=-⎩，∴()222246x y a a +=-+-=，故答案为：6；（3）由236x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，解得：224x a y a =-⎧⎨=-⎩，∵9327x y ⋅=，∴23333x y ⋅=，∴23x y +=，则()22243a a -+-=，解得：1a =，∴()()202420241110a -=-=，故答案为：0．28．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()1112222131621316a x b y c a x b y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩的解为．【答案】135x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程()()()()1112222131621316a x b y c a x b y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩变形为11122211321132x y a b c x y a b c -+⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨-+⎪⋅+⋅=⎪⎩，根据方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩得到143132x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即可求出135x y =⎧⎨=⎩．【详解】解：()()()()1112222131621316a x b y c a x b y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩变形为11122211321132x y a b c x y a b c -+⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨-+⎪⋅+⋅=⎪⎩，∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩，∴143132x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴135x y =⎧⎨=⎩．故答案为：135x y =⎧⎨=⎩29．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于x y ，的二元一次方程组21346x y a x y a +=-+⎧⎨-=+⎩（a 是常数），若不论a 取什么实数，代数式2kx y -（k 是常数）的值始终不变，则k =，2kx y -=.【答案】2-4-【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a 即可得出结论．【详解】解：21346x y a x y a +=-+⎧⎨-=+⎩①②-①②得，555y a =--，解得，1y a =--，把1y a =--代入①，得，3x a =+，∴2226224x y a a --=--++=-，∵不论a 取什么实数，代数式2kx y -（k 是常数）的值始终不变，∴2k =-，24kx y -=-，故答案为：2-，4-三、解答题30．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）解方程组：(1)()()1216321132x y x y --⎧-=⎪⎨⎪-=-+⎩(2)43165220x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】(1)53x y =⎧⎨=⎩(2)40x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查了解二元一次方程组；（1）先整理方程组，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解；（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．【详解】（1）解：原方程组可化为211213x y x y +=⎧⎨+=⎩①②2⨯-①②得，42213y y -=-解得：3y =，将3y =代入①得，611x +=，解得：5x =，所以方程组的解为：53x y =⎧⎨=⎩（2）解：43165220x y x y +=⎧⎨+=⎩①②23⨯-⨯①②得，8153260x x -=-解得：4x =将4x =代入①得，16316y +=，解得：0y =所以方程组的解为：40x y =⎧⎨=⎩31．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②，由①得1x y -=③，把③代入②，得415y ⨯-=，解得1y =-，把1y =-代入③得0x =．∴01x y =⎧⎨=-⎩，这种解法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组：310622243x y x y y -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②．【答案】132x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．【分析】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用．仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y 的值，进一步求出方程组的解即可．【详解】解：由①得31x y -=-③，即622x y -=-，把622x y -=-代入②，得22243y -++=，解得2y =，把2y =代入③得321x -=-，解得13x =．∴132x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．32．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组：()2034x y x y y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②，由①，得2x y +=．③把③代入②，得324y ⨯-=，解得2y =．把2y =代入③，得0x =．∴原方程组的解为02x y =⎧⎨=⎩；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：321032526x y x y y --=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②．【答案】11x y =⎧⎨=⎩．【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可．【详解】解：由①，得321x y -=．③把③代入②，得1526y ++=，解得1y =．把1y =代入③，得1x =．∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．33．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）规定：形如关于x 、y 的方程x ky b +=与kx y b +=的两个方程互为共轭二元一次方程，其中1k ≠；由这两个方程组成的方程组x ky b kx y b+=⎧⎨+=⎩叫做共轭方程组．（1）方程35x y +=的共轭二元一次方程是________________；（2）若关于x 、y 的方程组()()12224x a y b a x y b ⎧+-=+⎪⎨-+=-⎪⎩为共轭方程组，则=a ________，b =________；（3）若方程x ky b +=中x 、y 的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是________；x1-0y 02（4）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：2323x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为________；32102310x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为________；2424x y x y -=⎧⎨-+=⎩的解为________．拓展：共轭方程组202320248094202420238094x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是________________．【答案】（1）35x y +=；（2）1；1；（3）112x y -+=-；（4）11x y =⎧⎨=⎩；22x y =⎧⎨=⎩；44x y =⎧⎨=⎩；拓展：22x y =⎧⎨=⎩【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义方程及方程组：（1）根据共轭二元一次方程的定义解答；（2）由题意得122a a -=-，24b b +=-，解方程即可得到答案；（3）将x 与y 的对应值代入x ky b +=中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；（4）分别根据代入消元法或加减消元法解方程组即可；拓展：用加减消元法解方程组mx ny b nx my b +=⎧⎨+=⎩①②得到b x m n b y m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，据此可得答案．【详解】解：（1）由题意得，方程35x y +=的共轭二元一次方程是35x y +=，故答案为：35x y +=；（2）∵关于x 、y 的方程组()()12224x a y b a x y b ⎧+-=+⎪⎨-+=-⎪⎩为共轭方程组，∴12224a a b b -=-+=-，，∴11a b ==，，故答案为：1；1；（3）由题意得12b k b=-⎧⎨=⎩，∴112b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴原方程为112x y -=-，∴方程112x y -=-的共轭二元一次方程是112x y -+=-，故答案为：112x y -+=-；（4）解方程组2323x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①得32x y =-③，将③代入②得，()2323y y -+=，解得1y =，将1y =代入③得321x =-=，∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩；解方程组32102310x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，23⨯-⨯①②得：510y -=-，解得2y =把2y =代入①得：3410x +=，解得2x =，∴原方程组的解是22x y =⎧⎨=⎩；解方程组2424x y x y -=⎧⎨-+=⎩①②，由①得24y x =-③，将③代入②得()2244x x -+-=，解得4x =，将4x =代入③得4y =，∴原方程组的解是44x y =⎧⎨=⎩；故答案为：11x y =⎧⎨=⎩；22x y =⎧⎨=⎩；44x y =⎧⎨=⎩；拓展：mx ny b nx my b +=⎧⎨+=⎩①②n m ⨯-⨯①②得：()()22n m y b n m -=-，解得b y m n=+，把b y m n =+代入①得：nb mx b m n +=+，解得b x m n=+，∴方程组的解为b x m n b y m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴共轭方程组202320248094202420238094x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是80942202320248094220232024x y ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩．故答案为：22x y =⎧⎨=⎩．34．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组141516171819x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，由于x 、y 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：②-①得：333x y +=，所以1x y +=③③×14得：141414x y +=④①-④得：2y =，从而得=1x -所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩①②(1)请你运用上述方法解方程组202220232024202520262027x y x y +=⎧⎨+=⎩(2)请你直接写出方程组207720782079207820792080x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是____________；(3)猜测关于x 、y 的方程组()()()1212mx m y m m n nx n y n ⎧++=+⎪≠⎨++=+⎪⎩的解是什么？并用方程组的解加以验证．【答案】(1)12x y =-⎧⎨=⎩(2)12x y =-⎧⎨=-⎩(3)12x y =-⎧⎨=⎩，验证见解析【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握题干给定的方法，是解题的关键；（1）根据题干给定的方法求解即可；（2）根据题干给定的方法求解即可；（3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可．【详解】（1）解：202220232024202520262027x y x y +=⎧⎨+=⎩①②-②①得：333x y +=，所以1x y +=③③2022⨯得：202220222022x y +=④-①④得：2y =，把2y =代入③得：21x +=，解得：=1x -所以原方程组的解是：12x y =-⎧⎨=⎩；（2）207720782079207820792080x y x y -=⎧⎨-=⎩①②-②①得：1x y -=③③2077⨯得：207720772077x y -=④-①④得：2y -=，解得：=2y -把=2y -代入③得：21x +=，解得：=1x -所以原方程组的解是：12x y =-⎧⎨=-⎩；故答案为：12x y =-⎧⎨=-⎩；（3）猜测：12x y =-⎧⎨=⎩当1,2x y =-=时，第一个方程：左边(1)2222m m m m m =-++⨯=-++=+=右边第二个方程：左边(1)2222n n n n n =-++⨯=-++=+=右边12x y =-⎧∴⎨=⎩是原方程组的解．。

课程主题： 二元一次方程组及其解法学习目标会解二元一次方程组教学内容【知识梳理】1.二元一次方程：含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫二元一次方程.2.二元一次方程的解（1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.（2）二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解得全体叫做这个二元一次方程的解集.3.二元一次方程组：由几个方程组成的一组方程叫做方程组.如果方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解.5.代入消元法：简称代入法，它是通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程的解法.6.加减消元法：通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程的解法. 【典型类型讲解】 题型一：二元一次方程【例1】下列各式：①23x y -=；②2103x y -=；③4x y -=；④12xy =；⑤32x y +；⑥11y x+=；⑦6x y z ++=；⑧523x y x y -=-中，属于二元一次方程的个数是( )． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】根据二元一次方程概念来判断． ①23x y -=是二元一次方程；②2103x y -=中的213y -是二次项，所以它不是二元一次方程；③4x y -=是二元一次方程； ④12xy =中xy 是二次项，所以它不是二元一次方程； ⑤32x y +是代数式不是方程；⑥11y x +=中的左边1x不是整式，所以它不是二元一次方程；⑦6x y z ++=含有三个未知数，所以它不是二元一次方程； ⑧523x y x y -=-是二元一次方程． 【答案】C.【例2】已知方程2123513m n x y +-+=是二元一次方程，分别求m 和n 的值．【分析】此题考查对二元一次方程概念的理解，解题时应挖掘题中的隐含条件．因为方程是二元一次方程，所以方程中x 的指数m+2=1，y 的指数121n -=，由此易求出m 、n 的值． 【答案】由题意，得m+2 =1，121n -=，即1,0m n =-=． 【巩固练习】1.已知方程3214222n m x y -++=是二元一次方程，分别求m 和n 的值．【答案】3,2n m ==-.【例3】将方程452x y -=变形为用含x 的式子表示y 的形式，并求x 分别取12-，12时相应y的值．【分析】用含x 的式子表示y ，就是把x 看成已知的字母，把y 看成未知数，再解关于y 的方程.【答案】方程变形为542y x =-. 两边同除以5，得425x y -=． 将11,22x x =-=分别代人425x y -=，得1142422242222;055555y y ⎛⎫⨯--⨯- ⎪---⎝⎭===-===.所以当x 分别取12-，12时相应的y 的值分别是45-，0.【巩固练习】1.将方程2330x y +=变形为用含x 的式子表示y 的形式，并求x 分别取3-，6-时相应y 的值． 【答案】x 分别取3-，6-时相应y 的值分别是12，14. 【例4】求二元一次方程25x y +=的非负整数解．【分析】二元一次方程虽然有无限多个解，但本题只求非负整数解，因而可能只有有限多个解．把方程25x y +=变形为用含有y 的式子表示x 比较简单，然后取y 的值（非负整数），求出x 的值（非负整数）【答案】将原方程25x y +=变形为52x y =-．①分别取y =0，y =l, y =2代人①，求出相应的x 的值分别为 5205,5213,5221x x x =-⨯==-⨯==-⨯=.所以二元一次方程25x y +=的非负整数解是5,3,1,0;1; 2.x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 【巩固练习】1.求二元一次方程416x y +=的自然数解.【答案】4,3,2,1,0,0;4;8;12; 5.x x x x x y y y y y =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====-⎩⎩⎩⎩⎩. 题型二：二元一次方程组及其解法【例5】下列方程组中哪些是二元一次方程组，哪些不是，为什么？（1）20,21;x y y x -=⎧⎨=+⎩（2）230.50,210;x y x +=⎧⎨-=⎩ （3）1,2,35;x y x y x y +=⎧⎪=-⎨⎪+=⎩（4）234,457;a b a b +=⎧⎨+=-⎩（5）970,6812;a b a c -=⎧⎨+=⎩（6）139,428.x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩【分析】判断一个方程组是否为二元一次方程组，识别方法有：①方程组中一共含有两个未知数；②方程组中每个方程都是一次方程．【答案】(1)(3)(4)是二元一次方程组，因为这三个方程组中所含的方程都是一次方程，且均含有两个相同的未知数．(2)不是二元一次方程组，因为方程组中有一个方程2210x -=是二次方程． (5)不是二元一次方程组．因为方程组中共含有三个未知数,,a b c . (6)不是二元一次方程组，因为1y不是整式,方程组中两个方程都不是整式方程．也就不是二元一次方程组．【例6】用代入法解下列方程组．(1)37;528.x y x y -=⎧⎨+=⎩①② (2)2319,5 1.x y x y +=-⎧⎨+=⎩①②【分析】方程组(1)：观察两个方程系数的特点，可以发现方程①中的y 的系数是1-，所以,选择方程①变形比较简便；方程组(2)：比较两个方程系数特点可知，应将方程②变形为15x y =-．再代入①比较简单．【答案】(1)由①，得37y x =-，③把③代人②，得()52378x x +-=.解得2x =．把2x =代人③，得1y =-，即2,1.x y =⎧⎨=-⎩．(2)由②，得15x y =-，③把③代入①，得()215319y y -+=-．解得y =3．把y =3代人③，得14x =-．即14,3.x y =-⎧⎨=⎩.【巩固练习】1.用代入法解下列方程：（1）1,2 4.y x x y =-⎧⎨-=⎩ （2）13,2522.y x x y -=⎧⎨-=-⎩【答案】（1）3,2.x y =⎧⎨=⎩（2）1,4.x y =-⎧⎨=⎩.【例7】用加减消元法解下列方程组．（1）561,2610.x y x y -=⎧⎨-=⎩①② （2）8973,17374.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②【分析】方程组(1)中未知数y 的系数相等，两个方程相减就可以消去y ；方程组(2)中方程①中y 的系数的绝对值是方程②中y 的系数绝时值的3倍，把②的两边都乘以3，然后与方程①相加，可以消去y ．【答案】(1)①一②得39x =-．解得3x =-． 把3x =-代人②，得()23610y ⨯--=．解得83y =-，即3,8.3x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(2)②×3，得519222x y -=.③ ①+③，得59295x =，解得5x =．把5x =代人①，得8×5+9y = 73，解得113y =．即5,113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．【巩固练习】1.用加减法解下列方程组：（1）352,3 4.x y x y +=-⎧⎨-=⎩ （2）5370,2370.x y x y --=⎧⎨+-=⎩【答案】（1）1,1.x y =⎧⎨=-⎩（2）2,1.x y =⎧⎨=⎩.【随堂练习】 一、选择题1. 下列方程组中解为12x y =⎧⎨=⎩的是 （ ）Ａ．135x y x y -=⎧⎨+=⎩Ｂ．135x y x y -=⎧⎨-=-⎩Ｃ．331x y x y -=⎧⎨-=⎩Ｄ．2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩2. 二元一次方程组2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解为（ ）Ａ．12x y =⎧⎨=⎩Ｂ．12x y =-⎧⎨=⎩Ｃ．12x y =⎧⎨=-⎩Ｄ．12x y =-⎧⎨=-⎩3. 下列四对数值中，是方程组23921x y x y -=⎧⎨+=⎩的解的是（ ）Ａ．1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ Ｂ．7132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩Ｃ．31x y =⎧⎨=-⎩Ｄ．02x y =⎧⎨=-⎩4.. 方程组371x y y x +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）Ａ．12x y =⎧⎨=⎩Ｂ．01x y =⎧⎨=⎩Ｃ．70x y =⎧⎨=⎩Ｄ．12x y =⎧⎨=-⎩5. 现有2分硬币和5分硬币共14枚，共4角6分，若设2分硬币x 枚，5分硬币y 枚，则列方程组 （ ）Ａ．14250.46x y x y +=⎧⎨+=⎩Ｂ．140.020.0546x y x y +=⎧⎨+=⎩Ｃ．142546x y x y +=⎧⎨+=⎩Ｄ．1425 4.6x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】DACA Ｃ． 二、选择题6. 在方程25x y +=中，用x 的代数式表示y ，得_______y =． 【答案】52x -．7. 已知22(1)0x y +-=，则____x =，____y =． 【答案】0，1．8. 已知123x y+=，则____x =，____y =．【答案】223y-+，332x-+．三、用适当的方法解下面的方程组9.30,7.xx y-=⎧⎨+=⎩10.25,3 1.y xx y=-⎧⎨+=-⎩11.3210,4313.x yx y-=⎧⎨-=⎩12.2320,4910.x yx y+-=⎧⎨-+=⎩【答案】9.3,4.xy=⎧⎨=⎩；10.2,1.xy=⎧⎨=-⎩；11.4,1.xy=⎧⎨=⎩；121,21.3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；四、解答题13.求二元一次方程38x y+=-的负整数解.【答案】2,1,2. 5. x xy y=-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩.14将方程511x y+=变形为用含x的式子表示y，并分别求31,10x x=-=时相应的y的值.【答案】511y x=-+；16；19 2.【课堂总结】【课后作业】一、基础复习巩固一、选择题1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．324x y z-= B．690xy+= C．1x+4y=6 D．4x=24y-2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．228423119 (23754624)x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 3．二元一次方程51121a b -= （ ）A ．有且只有一解B ．有无数解C ．无解D ．有且只有两解 4．方程y =1－x 与3x +2y =5的公共解是（ ）A ．3333 (24)22x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩5．若()22320x y -++=，则的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．326．解方程组⎩⎨⎧=-=+534734y x y x 时，较为简单的方法是（ ）A.代入法B.加减法C.试值法D.无法确定 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy +2x －y =7； ②4x +1=x －y ； ③1x+y =5； ④x =y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x +y +z =1 ⑧()2212y y y y x -=-+ A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）A ．246246216246...22222222x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=+=+=+⎩⎩⎩⎩【答案】DABCCBCB. 二、填空题9．已知方程2x +3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y =_______；用含y 的代数式表示x为：x =________． 10．在二元一次方程1322x y -+=中，当x =4时，y =_______；当1y =-时，x =______．11．若33125m n x y ---=是二元一次方程，则m=_____，n=______．12．已知2,3x y =-⎧⎨=⎩是方程1x ky -=的解，那么k =_______．13．已知()21210x y -++=，且24x ky -=，则k =_____． 14．二元一次方程5x y +=的正整数解有______________．15．已知2316x mx y y x ny =-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______． 【答案】 9．424332x y-- ； 10．43 －10； 11．43，2 ； 12．－1 ； 13．4 ；14．解：12344321x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩； 15．1 4 .三、用合适的方法解下列方程.16.⎩⎨⎧=+-=18050y x y x 17.⎩⎨⎧=-=+173x y y x18.3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ 19.234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】16.65,115.x y =⎧⎨=⎩；17.1,2.x y =⎧⎨=⎩；18.2,5.m n =⎧⎨=⎩；19.5412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；四、解答题20.试求二元一次方程38x y +=的正整数解.【答案】1,2,5. 2.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩. 21.求二元一次方程238x y +=的非负整数解.【答案】1,4,2.0.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩22.将方程123x y-=变形为含有y 的式子表示x ，并分别求出1,3y y ==-时相应的x 的值.【答案】263y x +=；8;03x x ==.。