与一元二次方程有关的求值及证明问题课后练习

人教版 九年级数学 21.2 解一元二次方程 课后训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 关于x 的一元二次方程x 2＋4kx －1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2. 方程x 2－2020x ＝0的根是( )A ．x ＝2020B ．x ＝0C ．x 1＝2020，x 2＝0D ．x ＝－20203. 用配方法解方程x 2－6x －8＝0时，配方结果正确的是( )A ．(x －3)2＝17B ．(x －3)2＝14C ．(x －6)2＝44D ．(x －3)2＝14. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，则x 21－x 1＋x 2的值为( ) A. －1 B. 0 C. 2 D. 35. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k≤54B ．k>54C ．k<54且k≠1D ．k≤54且k≠16. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两根，则x 1·x 2的值为( )A ．－5B ．5C ．－4D ．47. 关于x 的一元二次方程x 2＋mx －1＝0根的判别式的值为( )A ．1－m 2B ．m 2－4C ．m 2＋4D ．m 2＋18. 代数式x 2－4x －2020的最小值是( )A．－2018 B．－2020 C．－2022 D．－20249. 下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是()A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值110. 一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是()A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3二、填空题（本大题共8道小题）11. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．12. 一元二次方程4x2＋12x＋9＝0的解为__________．13. 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2－2x＝－1.(第一步)x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)(x－1)2＝0.(第三步)x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；(2)请写出此题正确的解答过程．14. 2018·内江已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．15. 已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则1a＋c的值为________．16. 若一元二次方程x2－2x－3599＝0的两根分别为a，b，且a＞b，则2a－b的值为________．17. 已知关于x的方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的一个根是12，且b2－4ac＝0，则此方程的另一个根是________．18. 已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 解一元二次方程3x2=4-2x.20. 解方程:5x(3x-12)=10(3x-12).21. 解下列方程：(1)4x2－25＝0；(2)49(x＋1)2＝64.22. 已知xy＞0，且x2－8y2＝2xy，求5x－2yx＋2y的值．人教版九年级数学21.2 解一元二次方程课后训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析] 在方程x2＋4kx－1＝0中，Δ＝b2－4ac＝(4k)2－4×1×(－1)＝16k2＋4.∵16k2＋4＞0，∴方程x2＋4kx－1＝0有两个不相等的实数根．故选A.2. 【答案】C3. 【答案】A4. 【答案】D【解析】由题意可得x21－2x1－1＝0，x1＋x2＝2，即x21－2x1＝1，所以原式＝x21－2x1＋()x1＋x2＝1＋2＝3.5. 【答案】D[解析] ∵关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，即12－4×(k－1)×1≥0，解得k≤5 4.又∵k－1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围为k≤54且k≠1.故选D.6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】D[解析] x2－4x－2020＝x2－4x＋4－4－2020＝(x－2)2－2024.∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2－2024≥－2024，即代数式x2－4x－2020的最小值是－2024.9. 【答案】A10. 【答案】D[解析] 将一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5化简为x2－4x＋2＝0.其判别式Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴方程的两根为x＝－（－4）±82，即x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.∵2＋2＞3，2－2＞0，∴该方程有两个正根，且有一根大于3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝b 2－4ac ＞0，即⎩⎨⎧k≠0，16＋16k>0， 解得k ＞－1且k≠0，∴k 的最小整数值为1.12. 【答案】x 1＝x 2＝－32 [解析] 原方程可化为(2x ＋3)2＝0，所以x 1＝x 2＝－32.13. 【答案】解：(1)一 移项时没有变号(2)x 2－2x ＝1.x 2－2x ＋1＝1＋1.(x －1)2＝2.x －1＝±2.所以x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.14. 【答案】1 [解析] 设x ＋1＝t ，方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2＋bt ＋1＝0.由题意可知：t 1＝1，t 2＝2，∴t 1＋t 2＝3，∴x 3＋x 4＋2＝3，∴x 3＋x 4＝1.15. 【答案】2 [解析] 根据题意，得Δ＝4－4a(2－c)＝0，整理，得4ac －8a ＝－4，即4a(c －2)＝－4.∵方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0是一元二次方程，∴a≠0.等式两边同时除以4a ，得c －2＝－1a ，则1a ＋c ＝2.故答案为2.16. 【答案】181 [解析] x 2－2x －3599＝0，x 2－2x ＝3599，x 2－2x ＋1＝3599＋1，(x －1)2＝3600，所以x －1＝60或x －1＝－60，所以x ＝61或x ＝－59.又因为a ＞b ，所以a ＝61，b ＝－59，所以2a －b ＝2×61－(－59)＝181.17. 【答案】12[解析] 由b 2－4ac ＝0知原方程根的判别式为0，因此原方程有两个相等的实数根．故原方程的另一个根也是12.18. 【答案】1 [解析] 设方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根为x 3，x 4，则x 3＋1＝x 1，x 4＋1＝x 2，∴x 3＝0，x 4＝1，∴x 3＋x 4＝1.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:3x 2=4-2x ，即3x 2+2x -4=0，Δ=b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0，∴x=， ∴x 1=，x 2=.20. 【答案】 解:由5x (3x -12)=10(3x -12)，得5x (3x -12)-10(3x -12)=0，∴(3x -12)(5x -10)=0，∴5x -10=0或3x -12=0，解得x 1=2，x 2=4.21. 【答案】解：(1)移项，得4x 2＝25.系数化为1，得x 2＝254.所以x 1＝52，x 2＝－52.(2)系数化为1，得(x ＋1)2＝6449. 开方，得x ＋1＝±87.所以x 1＝17，x 2＝－157.22. 【答案】解：由已知，得x 2－2xy －8y 2＝0. 左边分解因式，得(x －4y)(x ＋2y)＝0. ∵xy ＞0，∴x ，y 同号，可见x ＋2y≠0. ∴x －4y ＝0，即x ＝4y.∴原式＝5×4y －2y 4y ＋2y＝18y 6y ＝3.。

已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数 y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（2）求代数式 (kc)2 b2 ab 的值； akc
已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数 y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
则 a2 1 2008a,a 1 2008 a
∴
a2

2007a

2008 a2 1

a2

2008a+a

2008 a2 1
1 a 2008 1 a 1
2008a
a
2007
已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数 y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

ab a2

a2 ab
ab a2
1.
已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数 y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等 的实数根.
已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数 y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
已知关于x的两个一元二次方程：
方程①: (1 k ) x2 (k 2) x 1 0 ; 2
方程②: x2 (2k 1) x 2k 3 0.
（1）若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个

证明一元二次方程总有实数根练习学校:___________姓名：___________一、解答题1．已知关于x 的方程2(21)(1)0x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为12,x x ，且12,x x 分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m 的值．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +3）x +3m ＝0．(1)求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m 的值．3．已知关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0．(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若此方程有一个根是0，求出m 的值和另一个根．4．已知关于x 的方程()222110x m x m -+++=．(1)若方程总有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)若两实数根1x ，2x 满足()()12118x x ++=，求m 的值．5．关于x 的一元二次方程x 2－（k －3）x －2k ＋2＝0(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＋x 1x 2＝2，求k 的值．6．已知关于x 的一元二次方程()210x k x k +--=(1)求证：不论k 为何实数，方程总有实数根；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且满足12112+=x x ，求k 的值．参考答案：1．(1)见解析(2)3【解析】【分析】（1）根据方程的根的判别式，得出△10=>，即可证出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于m 的方程，解方程并检验即可得答案．（1）证明：△222[(21)]4(1)4414410m m m m m m m =-+-+=++--=>， ∴△0>，2(21)(1)0x m x m m ∴-+++=总有两个不相等的实数根；（2）解：△方程的两根分别为12x x 、，△121221,(1)x x m x x m m +=+⋅=+，由题意知：121216,122x x x x == △(1)12m m +=2120m m +-=(3)(4)0m m -+=△3m =或4m =-．△120,0x x >>△120x x +> △1210,2m m +>>- △3m =．【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系得出1(1)62m m +=． 2．(1)见解析(2)m 的值为4或3【解析】【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．（1）证明：Δ＝[﹣（m +3）]2﹣4×1×3m ＝m 2﹣6m +9＝（m ﹣3）2．△（m ﹣3）2≥0，即Δ≥0，△无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x ＝4代入x 2﹣（m +3）x +3m ＝0，得，16﹣4m ﹣12+3m ＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，△Δ＝0，△（m﹣3）2＝0，△m＝3，综上所述，m的值为4或3．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．3．(1)见解析(2)m=2，方程的另一个根是2．【解析】【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值正负即可得证；（2）把x=0代入方程求出m的值，即可确定出另一根．（1）证明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，△（m-2）2≥0，△（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，△方程总有两个不等实数根；（2）解：△方程有一个根是0，△m-2=0，解得：m=2，△x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得：x1=0，x2=2，△此方程的另一个根是2．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义以及因式分解法解一元二次方程．4．(1)m＞0(2)1-+【解析】【分析】∆>即可．（1）由方程求出判别式0（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含m代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．(1)解： ()()2221418m m m ⎡⎤∆=-+-+=⎣⎦， △方程总有两个不相等的实数根，△8m ＞0，△m ＞0．(2)解：由()()()1212121118x x x x x x ++=+++=，△()1221x x m =+，2121x x m =+，△原式()212118m m =++++=，整理得2240m m +-=，解得1m =-1m =-△m ＞0，故m 的值为1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．5．(1)见解析(2)-3【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k +1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，再将它们代入x 1+x 2+x 1x 2=2，即可求出k 的值．(1)证明：△Δ=b 2-4ac=[-（k -3）]2-4×1×（-2k +2）=k 2+2k +1=（k +1）2≥0，△方程总有两个实数根；(2)解：由根与系数关系得x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，△x 1+x 2+x 1x 2=2，△k -3+（-2k +2）=2，解得k =-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=c a ． 6．(1)见解析(2)1k =-【解析】【分析】（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得0∆≥，进而即可得到结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得121x x k +=-，12x x k =-，结合12122x x +=，可得关于k 的方程，进而解方程即可求解．(1)△2(1)4k k ∆=-+2214k k k =-++2(1)k =+， △2(1)0k +≥，△0∆≥，△无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)根据题意得：121x x k +=-，12x x k =-，12112+=x x ，即12122x x x x += 即12122x x x x =+21k k ∴-=-解得1k =-【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握20(a 0)++=≠ax bx c 的根12,x x 满足12b x x a +=-，12c x x a⋅=，是解题的关键．。

完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)1、(x+4)=5(x+4)^22、(x+1)=4x3、(x+3)=(1-2x)^24、2x^2-10x=35、x^2=646、(x+5)^2=167、2(2x-1)-x(1-2x)=08、5x^2-2/5=09、8(3-x)^2-72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、(1-3y)^2+2(3y-1)=012、x^2+2x+3=013、x^2+6x-5=014、x^2-4x+3=015、x^2-2x-1=016、2x^2+3x+1=017、3x^2+2x-1=018、5x^2-3x+2=019、3x-3=020、-2x+12=021、x^2-6x+9=022、3x-2=2x+323、x-2x-4=024、x=3/425、3x^2+8x-3=026、3x^2+11x+14=027、x=-9 or x=-228、2(x-3)^2=x^2-929、-3x^2+22x-24=030、4t^2-4t+1=031、(2x-3)^2-121=032、x^2-4x=033、(x+2)^2=8x34、x=1/3 or x=-235、7x^2+2x-36=036、x=1 or x=-1 or x=3/237、4(x-3)^2+x(x-3)=038、6x^2-31x+35=039、x=1/2 or x=140、2x^2-23x+65=0这是一组一元二次方程的计算题练，需要用不同的方法来解决这些问题。

为了方便，我们可以将这些方程按照不同的方法分类。

一种方法是因式分解法，另一种方法是开平方法，还有一种方法是配方法，最后一种方法是公式法。

根据不同的题目，我们可以选择不同的方法来解决问题。

例如，对于方程(x-2)^2=(2x-3)^2，我们可以使用因式分解法来解决。

将方程化简后，得到x=5/3或x=-1/3.对于方程2x^2-5x+2=0，我们可以使用配方法来解决。

将方程化简后，得到x=1/2或x=2.对于方程-3x^2+22x-24=0，我们可以使用公式法来解决。