2020年宁夏银川市六盘山高中高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

宁夏银川市2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．【答案】C【解析】【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.2．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B【解析】【分析】 由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈； 对于乙，272748189969985.26x +++++=≈， 故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误；对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ．【点睛】 本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ， 所以23z x y =+的最小值为14.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 4．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=- B ．3x π=- C ．6x π= D ．3x π=【答案】D【解析】【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】对于函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,3x k k Z ππ+=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈， 当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π=-，3x π=-，6x π=. 故选：D.【点睛】 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．如图，设P为ABC∆内一点，且1134 AP ABAC=+u u u v u u u v u u u v，则ABP∆与ABC∆的面积之比为A．14B．13C．23D．16【答案】A【解析】【分析】作//PD AC交AB于点D，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADPS∆与ABCS∆的比例，再由ADPS∆与APBS∆的比例，可得到结果.【详解】如图，作//PD AC交AB于点D，则AP AD DP=+u u u r u u u r u u u r，由题意，13AD AB=u u u r u u u r，14DP AC=u u u r u u u r，且180ADP CAB∠+∠=o，所以11111||||sin||||sin223412ADP ABCS AD DP ADP AB AC CAB S∆∆=∠=⨯⨯∠=又13AD AB=u u u r u u u r，所以，134APB ADP ABCS S S∆∆∆==，即14APBABCSS∆∆=，所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.6．设0.08log0.04a=，0.3log0.2b=，0.040.3c=，则a、b、c的大小关系为（）A．c b a>>B．a b c>>C．b c a>>D．b a c>>【答案】D【解析】【分析】【详解】 因为0.080.08log 0.042log 0.20.20a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，所以0.20.211log log 0.3a b==且0.2log y x =在()0,∞+0.3< 所以11a b>，所以b a >，又因为0.21a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >， 所以b a c >>.故选：D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.7．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )A 1B C 1 D 【答案】C【解析】【分析】 由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以121z z -=，其中tan φ2=，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.8．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C ．2 D【答案】D【解析】【分析】 设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ．【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237qa a 4q 8+==，则q =负的舍去)，故选D ．【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +> 【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 【答案】B【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得：第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=； L L 第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.12．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或2B ．2C ．0D ．1或2【答案】C【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a-i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A. 5-4iB. 5+4iC. 3-4iD. 3+4i2.已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A. {x|x≥0}B. {x|x≤1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|0＜x＜1}3.等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.如图为一个圆柱中挖去两个相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.5.若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）A. 3B. 4C. 2D. 16.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A. 16B. 18C. 24D. 327.已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A. f（x）是偶函数B. f（x）是增函数C. f（x）是周期函数D. f（x）的值域为[-1，+∞）8.如图是将二进制数111111（2）化为十进制数的程序框图，判断框内填入条件是（）A. i＞5B. i＞6C. i≤5D. i≤69.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则( )A. B. C. D.10.已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11.定义域R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=-2f（-2），则（）A. a＞c＞bB. c＞b＞aC. c＞a＞bD. a＞b＞c12.如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A. B. 5 C. 6 D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为______．14.在△ABC中，已知=tan A，当A=时，△ABC的面积为______．15.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6：S3=3，则S9：S6=______．16.已知点A（0，1），抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：3，则实数a的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin（A+）的值．18.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立．Ⅰ求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；Ⅱ用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望及方差．19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D-AE-B的余弦值．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方的程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率分别为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21.设函数f（x）=x2-m ln x，g（x）=x2-（m+1）x，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．22.已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．23.设f（x）=|x-3|+|x-4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax-1，试求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵a-i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．先求A∪B，再根据补集的定义求∁U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．3.【答案】B【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选：B．设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积V=V圆柱-2V圆锥==，故选：C．V=V圆柱-2V圆锥，由三视图可观察圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，由圆柱和圆锥的体积公式，即可求得几何体的体积．本题通过三视图考查几何体体积的运算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，由图可知，当直线y=-3x+z过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选：C．本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列A33，得到结果．本题考查排列组合及简单的计数问题，在分类计数时，注意分类要做到不重不漏，在每一类中的方法数要分析清楚，本题还考查列举法，是一个基础题．7.【答案】D【解析】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cos x为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[-1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[-1，+∞），故正确．故选：D．由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．【解析】解：由已知中程序的功能是将二进制数111111（2）化为十进制数结合循环体中S=1+2S，及二进制数111111（2）共有6位可得循环体要重复执行5次又由于循环变量初值为1，步长为1，故循环终值为5，即i≤5时，继续循环，i＞5时，退出循环故选：A．由已知中的程序框图程序要要循环5次，根据循环变量的初值为1，步长为1，故循环变量的终值为5，由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论．本题考查的知识点是循环结构，其中根据已知条件判断出循环执行的次数，进而确定进入循环的条件是解答本题的关键．但易将程序错认为是当型结构而错选C．9.【答案】A【解析】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|-|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c，则由余弦定理得，cos∠AF2F1===．故选：A．根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．本题主要考查双曲线的定义和性质，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON则OM BC，ON PA，∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN=BC=4，PA=4，得OM=2，ON=2，MN=4，cos∠ONM===．∴∠ONM=30°．即异面直线PA与MN成30°的角．故选：A．连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由此能求出异面直线PA与MN所成的角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.【答案】A【解析】【分析】先构造函数g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，且g'（x）＜0恒成立，从而故g（x）在x∈（-∞，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出g（x）在（0，+∞）上递增，即可比较a，b，c的大小．【解答】解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（-∞，0）单调递减，则g（x）在（0，+∞）上递增，又a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），故a＞c＞b．故选：A．12.【答案】C【解析】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2a cosθ+2b sinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin（θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故答案为．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积公式，三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题.【解答】解：∵=tan A，A=，∴==tan=，∴，∴S△ABC=，故答案为：.15.【答案】【解析】解：因为等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比，（S n≠0）所以，又=3，即S3=S6，所以=，整理得=．故答案为：根据等比数列的性质得到S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比列出关系式，又S6：S3=3，表示出S3，代入到列出的关系式中即可求出S9：S6的值．此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题．解本题的关键是根据等比数列的性质得到S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比．16.【答案】【解析】解：依题意得焦点F的坐标为：（，0），设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|：|MN|=1：3，所以|KN|：|KM|=2：1，又k FN==，k FN=-=-2，所以=2，解得a=．故答案为：．作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．17.【答案】解：（1）因为：A=2B，所以：sin A=sin2B=2sin B cosB．由正、余弦定理得a=2b•．因为b=3，c=1，（2）由余弦定理得cos A===-．由于0＜A＜π，所以sin A===．故sin（A+）=sin A cos+cos A sin=×+（-）×=．【解析】（1）利用正弦定理，可得a=6cos B，再利用余弦定理，即可求a的值；（2）求出sin A，cos A，即可求sin（A+）的值．本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108；（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：,，，，随机变量X的分布列为因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．【解析】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列及期望与方差，属于中档题.（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（Ⅱ）写出X可取的值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．19.【答案】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC=C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC=EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC=BC=2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴=（-2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，-1），设平面DAE的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即，，令x1=1得=（1，0，2），令x2=1得=（1，1，0）．∴cos＜＞===．∵二面角D-AE-B是钝二面角，∴二面角D-AE-B的余弦值为-．【解析】（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC，故而DE∥平面ACD，于是平面ADE⊥平面ACD；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1，所以椭圆C的方程是；（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）∵直线OP、OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），将（•）代入得：m2=，经检验满足△＞0．【解析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m＞0，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）f（x）与g（x）图象的交点个数，即函数h（x）=f（x）-g（x）=-x2-m ln x+（m+1）x的零点个数问题，h′（x）=-，令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，∴h（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，∴h（x）极小值=h（1）=m+＞0，∴h（x）和x轴有1个交点，即函数f（x）与g（x）图象的交点个数是1个．【解析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数h（x）=f（x）-g（x）=-x2-m ln x+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数h（x）的单调区间，求出h（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察转化思想，函数的零点问题，是一道中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）l的普通方程为y=（x-1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，-）,所以|AB|==1,（Ⅱ）曲线C2（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2],当sin（）=-1时，d取得最小值．【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的参数方程，点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的定义域与值域，特殊角的三角函数值，属于中档题.（Ⅰ）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|,（Ⅱ）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可.23.【答案】解（1），由图象可得f（x）≤2的解集为-（5分）（2）函数y=ax-1，的图象是经过点（0，-1）的直线，由图象可得-----（10分）【解析】（1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集．（2）利用（1）的图象直接求出满足f（x）≤ax-1实数a的取值范围即可．本题考查绝对值不等式的解法，数形结合的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

宁夏六盘山高级中学2020届高三数学下学期第2次周练卷理时间：2020年4月6日 16:25—17:05班级 _____________ 姓名 ___________ 得分___________1.已知函数，．求函数的单调区间；若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值．2.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．求角A的大小；若，，求的面积．3.已知函数，将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最小值为．求m的值；在锐角中，若，求的取值范围．4.已知，，函数．Ⅰ求的对称轴方程；Ⅱ求使成立的x的取值集合；Ⅲ若对任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：1.【答案】解：，，令，，得，，可得函数的单调增区间为，；令，，得，，可得函数的单调减区间为，；若把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，，，．故在区间上的最小值为，最大值为1．2.【答案】解：，可得：，由余弦定理可得：，又，；由及正弦定理可得，，，由余弦定理可得，解得：，，．3.【答案】解：，，，，当，即时，取得最小值，；，，，，，即．是锐角三角形，，解得，，，．的取值范围是4.【答案】解：Ⅰ，令，解得．的对称轴方程为．Ⅱ由得，即，，解得，故x的取值集合为．Ⅲ，，又在上是增函数，，又，在上的最大值为，恒成立，，即，实数m的取值范围是．。

2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足(1+i)z=|3+4i|，则z对应的点位于复平面的()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x2−x−2>0}，B={x|log2x≤2}，则集合(∁R A)∩B=()A. {x|0<x≤4}B. {x|0<x≤2}C. {x|x≥2}D. {x|x≤4}3.已知命题p：直线a//b，且b⊂平面α，则a//α；命题q：直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是()A. p∧qB. p∨(非q)C. (非p)∧qD. p∧(非q)4.已知向量a⃗=(1,√3)，b⃗ 单位向量，若|a⃗−b⃗ |=√3，则<a⃗，b⃗ >=()A. π6B. π4C. π3D. 2π35.若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα的值为()A. −√72B. −12C. 12D. √726.y=4cosx−e|x|图象可能是()A. B.C. D.7.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P−BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A. 2B. 3C. 4D. 58. 抛物线y 2=ax(a >0)的准线与双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则a 的值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 29. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为( )A. 1213B. 1314C. 2129D. 141510. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. 40322017B. 20152016C. 20162017D. 2015100811. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的 离心率为( )A. √63B. 2√33C. 12D. √2212. 已知函数f(x)={(x −2)(x −e x )+3,(x ≥ln2)3−2x,(x <ln2)，当x ∈[m,+∞)时，f(x)的取值范围为(−∞,e +2]，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,1−e 2] B. (−∞,1] C. [1−e 2,1] D. [ln2,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有______种．(用数字作答)14. 若x ，y 满足|x|≤1−y ，且y ≥−1，则3x +y 的最大值为______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为______．16.棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥E−BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E−BCD的内切球半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）S n+1(n∈N∗)．17.已知数列的前n项和为S n，且满足a n=12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a n，c n=1，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．b n b n+118.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：(记纤维长度不低于300mm的为“长)为“纤维长度与土壤环境有关系”．；附：(1)k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望．19. 在底面为菱形的四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，A 1B =A 1D ，∠BAD =60°，AC ∩BD =O ，AO ⊥平面A 1BD ． (1)证明：B 1C//平面A 1BD ；(2)求二面角B −AA 1−D 的正弦值．20. 如图，点T 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点T 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 的轨迹记为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若点A ，B 分别位于x 轴与y 轴的正半轴上，直线AB 与曲线C 相交于M ，N 两点，|AB|=1，试问在曲线C 上是否存在点Q ，使得四边形OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)=x 3−3ax +e ，g(x)=1−lnx ，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)用max{m,n}表示m ，n 中较大者，记函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}，(x >0).若函数ℎ(x)在(0,+∞)上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2−y 2=2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点(异于极点O)，定点M(3,0)，求△MAB的面积．23.设不等式−2<|x−1|−|x+2|<0的解集为M，a、b∈M，(1)证明：|13a+16b|<14；(2)比较|1−4ab|与2|a−b|的大小，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：z=|3+4i|1+i =√32+42(1−i)(1+i)(1−i)=52−52i.∴z对应的点(52,−52)位于复平面的第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：【分析】考查描述法的定义，对数函数的单调性，补集和交集的运算．可解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A={x|x<−1或x>2}，B={x|0<x≤4}；∴∁R A={x|−1≤x≤2}；∴(∁R A)∩B={x|0<x≤2}．故选B．3.答案：C解析：解：根据线面平行的判定，我们易得命题p：若直线a//b，直线b⊂平面α，则直线a//平面α或直线a在平面α内，命题p为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题q：若直线l⊥平面α，则若直线l与平面α内的任意直线都垂直，命题q为真命题；故：A命题“p∧q”为假命题；B命题“p∨(￢q)”为假命题；C命题“(￢p)∧q”为真命题；D命题“p∧(￢q)”为假命题．故选：C．根据空间线面平行及线面垂直的判定与性质，我们易判断命题p与命题q的真假，进而根据复合命题的真假，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．本题考查的知识点是空间线面平行的判定，及空间线面垂直的定义，及复合命题的真假，其中根据空间点线关系的定义，判断命题p与命题q的真假，是解答本题的关键．属于基础题．4.答案：C解析：解：向量a⃗=(1,√3)，b⃗ 单位向量，若|a⃗−b⃗ |=√3，可得|a⃗−b⃗ |2=3，即a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=3．4−2|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >+1=3，cos<a⃗,b⃗ >=12．∴<a⃗,b⃗ >=π3．故选：C．通过向量的模的平方，结合数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积以及向量的夹角的求法，考查计算能力．5.答案：C解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数及二倍角公式，属基础题.由cos2α=cos2α−sin2α及sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)即可得解．【解答】解：∵cos2αsin(α−π4)=22√22(sinα−cosα)=−√2(sinα+cosα)=−√22，∴cosα+sinα=12，故选C．6.答案：D解析：解：显然y=4cosx−e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时，y′=−4sinx−e x=−(4sinx+e x)，显然当x∈(0,π]时，y′<0，当x∈(π,+∞)时，e x>eπ>e3>4，而4sinx≥−4，∴y′=−(4sinx+e x)<0，∴y′=−(4sinx+e x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴y=4cosx−e|x|在(0,+∞)上单调递减．故选：D．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论．本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图的面积计算，属于简单题．分析三棱锥P−BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，相加可得答案．【解答】解：三棱锥P−BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为1，三棱锥P−BCD的侧视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为1，故三棱锥P−BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A．8.答案：A解析：【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：抛物线y2=ax的准线为x=−a4，双曲线C：x28−y24=1的两条渐近线为y=±√22x，可得两交点为(−a4,√28a)，(−a4,−√28a)，即有三角形的面积为12⋅a4⋅√24a=2√2，解得a=8，故选：A．9.答案：C解析：解：设水深为x尺，则(x+2)2=x2+52，解得x=214，即水深214尺．又葭长214+2=294尺，则所求概率P=214294=2129，故选：C．设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长214+2=294尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查勾股定理的应用，是基础题．10.答案：D解析：解：第1次执行循环体后：S=1，t=22，i=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后：S=3，t=43，i=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后：S=6，t=64，i=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后：S=10，t=85，i=5，不满足退出循环的条件；…第n 次执行循环体后：S =n(n+1)2，t =2nn+1，i =n +1，不满足退出循环的条件；…第2014次执行循环体后：S =2039180，t =40282015，i =2015，不满足退出循环的条件； 第2015次执行循环体后：S =2041195，t =40302016=20151008，i =2016，满足退出循环的条件； 故输出的t 值为20151008，故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 11.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设右焦点F(c,0)，将y =b2代入椭圆方程求得B ，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F(c,0)，将y =b2代入椭圆方程可得x =±a √1−b 24b 2=±√32a ， 可得B(−√32a,b 2)，C(√32a,b2)，由∠BFC =90°，可得k BF ⋅k CF =−1， 即有b 2−√32a−c ⋅b 2√32a−c =−1，化简为b 2=3a 2−4c 2，由b 2=a 2−c 2，即有3c 2=2a 2， 由e =ca ，可得e 2=c 2a 2=23，可得e =√63，故选：A ． 12.答案：C解析：解：当x ≥ln2时，f(x)=(x −2)(x −e x )+3的导数为f′(x)=(x −1)(2−e x )，当ln2≤x ≤1时，f′(x)≤0，f(x)递减；x >1时，f′(x)>0，f(x)递增，x =1处f(x)取得极大值2+e ， 作出y =f(x)的图象，由当x ∈[m,+∞)时，f(x)的取值范围为(−∞,e +2]， 由3−2x =2+e ，可得x =1−e 2，可得1−e 2≤m ≤1．故选：C ．当x ≥ln2时，求得f(x)的导数和单调性、极大值，画出f(x)的图象，求得3−2x =2+e 的x 的值，结合额图象和条件可得m 的范围．本题考查分段函数的图象和性质，注意运用导数判断单调性和极值，考查数形结合思想方法和运算能力，属于中档题． 13.答案：60解析：解：男医生中唯一的主任医师必须参加，则从剩余5名男医生中选2名，从4名女医生中选2名，共有C 52C 42=10×6=60， 故答案为：60男主任医师必选，则从剩余5名男医生中选2名，从4名女医生中选2名，利用组合的公式进行计算即可．本题主要考查组合的应用，利用组合数公式是解决本题的关键．比较基础． 14.答案：5解析：解：由|x|≤1−y ，且y ≥−1，作出可行域如图，联立{y =−1x +y −1=0，解得A(2,−1)，令z =3x +y ，化为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过点A 时，z 有最大值为3×2−1=5． 故答案为：5．由约束条件作出可行域，令z =3x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 15.答案：9解析：【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用1的代换的方法进行求解即可．【解答】解：由题意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，即ac=a+c，得1a +1c=1，得4a+c=(4a+c)(1a +1c)=ca+4ac+5≥2√ca⋅4ac+5=4+5=9，当且仅当ca =4ac，即c=2a，亦即a=32，c=3时，取等号，故答案为：9．16.答案：3√2−√612a解析：解：∵棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥E−BCD的底面重合，由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，∴多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，且其外接球的直径为AE，由题意得正四面体ABCD的高为√63a，外接球的半径为√64a，设正三棱锥E−BCD的高为h，∵AE=√62a=√63a+ℎ，∴ℎ=√66a，∵底面△BCD的边长为a，∴EB=EC=ED=√22a，则正三棱锥E−BCD的三条侧棱两两垂直，由题意得正棱锥E−BCD的表面积S=3+√34a2，体积V E−BCD=13×12×√22a×√22a×√22a=√224a3，设正三棱锥E−BCD的内切球的半径为r，由13S⋅r=√224a3，得r=3√2−√612a．故答案为：3√2−√612a.多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，且其外接球的直径为AE，由题意得正四面体ABCD的高为√63a，外接球的半径为√64a，正三棱锥E−BCD的高为√66a，EB=EC=ED=√22a，则正三棱锥E−BCD的三条侧棱两两垂直，求出正棱锥E−BCD的表面积S=3+√34a2，体积为V E−BCD=√224a3，由此能求出正三棱锥E−BCD的内切球的半径．本题考查正三棱锥内切球的半径的求法，考查正四面体、正三棱锥及内切球性质等基础知识，考查运算求解能力和空间想象能力，是中档题．17.答案：解：(1)当n=1时，a1=12S1+1，解得a1=2当n≥2时，a n−1=12S n−1+1…①a n=12S n+1…②②−①得a n−a n−1=12a n即a n=2a n−1∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2n(2)b n=log2a n=log22n=nc n=1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1T n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1∵n∈N∗∴1n+1∈(0,12]∴T n∈[12,1)解析：(1)由a1=12S1+1，可求a1，然后由n≥2时，a n=s n−s n−1可得a n=2a n−1，根据等比数列的通项可求(2)由b n=log2a n=log22n=n，而c n=1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，利用裂项可求T n，即可求解本题主要考查了递推公式，a n=s n−s n−1，(n≥2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式的应用及裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．18.答案：9；16；25；11；4；15；20；20；402×2列联表：根据2×2列联表中的数据，可得K2=40(9×4−16×11)225×15×20×20≈5.227>5.024所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为1540×8=3，X的可能取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C 113C 153=3391，P(X =1)=C 112C 41C 153=4491，P(X =2)=C 111C 42C 153=66455，P(X =3)=C 43C 153=4455． X 0 1 2 3 P33914491654554455∴E(X)=0×3391+1×4491+2×65455+3×4455=364455=45． (I)利用k 2的计算公式即可得出．(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为1540×8=3，X 的可能取值为：0，1，2，3，利用P(X =k)=∁113−k ∁4k∁153即可得出．本题考查了独立性检验原理、超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)依题意，A 1B 1//AB ，A 1B 1C =AB ，AB//CD ，AB =CD ，∴A 1B 1=CD ，A 1B 1//CD ，∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形， ∴B 1C//A 1D ，∵B 1C ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ， ∴B 1C//平面A 1BD ；(2)∵AO ⊥平面A 1BD ，∴AO ⊥A 1O ，∵A 1B =A 1D 且O 为BD 的中点，∴A 1O ⊥BD ， ∵AO 、BD ⊂平面ABCD ，且AO ∩BD =O ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 则A(√3,0,0)，B(0,1，0)，D(0,−1,0)，A 1(0,0，1)，∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0),AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)， 设平面A 1AB 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{−√3x +z =0−√3x +y =0，取x =1，则n ⃗ =(1,√3,√3)，设平面A 1AD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{−√3x +z =0−√3x −y =0，取x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7×√7=17， 设二面角B −AA 1−D 的平面角为α，则sinα=√1−(17)2=4√37， ∴二面角B −AA 1−D 的正弦值为4√37．解析：(1)根据题意，得到四边形A 1B 1CD 是平行四边形，得到B 1C//A 1D ，再根据线面平行的判定定理证明即可；(2)根据题意，以O 为原点，分别以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，求出平面A 1AB 的法向量和平面A 1AD 的法向量，利用夹角公式求出即可． 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，中档题． 20.答案：解：(1)设T(x 0,y 0)，P(x,y)， 由A(x 0,0)，B(0,y 0)由题意BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A 为PB 的中点 ∴x =2x 0，y =−y 0， 即x 0=12x ，y 0=−y ，∵x 02+y 02=1故点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1，(2)由题意知l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y =kx +t ， ∵|AB|=1， ∴(−tk )2+t 2=1，即t 2k 2+t 2=1，① 联立{y =kx +tx 24+y 2=1，消y 可得(4k 2+1)x 2+8ktx +4(t 2−1)=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=−8kt1+4k 2，x 1x 2=4(t 2−1)4k 2+1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t =2t4k 2+1，∵四边形OMQN 为平行四边形，故Q(−8kt1+4k 2,2t4k 2+1)， ∴14(−8kt 1+4k2)2+(2t 4k 2+1)2=1，整理可得4t 2=4k 2+1，②，将①代入②可得4k 4+k 2+1=0，该方程无解， 故这样的直线不存在．解析：(1)设T(x 0,y 0)，P(x,y)，通过BA⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A 为PB 的中点，转化求解，点P 的轨迹C 的方程．(2)设直线l 的方程为y =kx +t ，先根据|AB|=1，可得t 2k 2+t 2=1，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得4t 2=4k 2+1，②，将①代入②可得4k 4+k 2+1=0，该方程无解，问题得以解决 本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=3x 2−3a ，当a ≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增， 当a >0时，f′(x)=3(x +√a)(x −√a)，当x ∈(−∞,−√a)，(√a,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(−√a,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减；(2)当x ∈(0,e)时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(0,e)无零点， 当x =e 时，g(e)=0，f(e)=e 3−3ae +e ， 若f(e)≤0，即a ≥e 2+13，则e 是ℎ(x)的一个零点， 若f(e)>0，即a <e 2+13，则e 不是ℎ(x)的零点，当x ∈(e,+∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f′(x)=3x 2−3a >3e 2−3a ，①当a ≤e 2时，f′(x)>0，f(x)在(e,+∞)上单调递增． 所以：(ⅰ)当a ≤e 2+13时，f(e)≥0，f(x)在(e,+∞)上无零点；(ⅰ)当e 2+13<a ≤e 2时，f(e)<0，又f(2e)=8e 3−6ae +e ≥8e 3−6e 2+e >0，所以此时f(x)在(e,+∞)上恰有一个零点；②当a >e 2时，由(1)知，f(x)在(e,√a)递减，(√a,+∞)递增，又因为f(e)=e 3−3ae +e <e 3−3e 3+e <0，f(2a)=8a 3−6a 2+e >8a 2−6a 2+e =2a 2+e >0，所以此时f(x)恰有一个零点． 综上，a >e 2+13．解析：(1)含参的求导判断单调性；(2)ℎ(x)=max{f(x),g(x)}，(x >0)，对x ∈(0,e)，x =e ，x ∈(e,+∞)三种情况讨论函数f(x)，与g(x)的零点问题，得出结论．本题考查用导数法判断含参问题的单调性，函数的零点问题，是一道函数与导数综合性很高的题，难度大，注意分类讨论的细节．22.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1：x 2−y 2=2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=2，---------(2分) ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)．∴曲线C 2的普通方程为：(x −2)2+y 2=4，---------(3分) ∴x 2+y 2−4x =0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ.---------------(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得：点A 的极坐标为(2,π6)，---------(5分) 点B 的极坐标为(2√3,π6)，----------(6分)∴|AB|=|2−2√3|=2√3−2，------------------(7分)M(3,0)点到射线θ=π6(ρ≥0)的距离为d =3sin π6=32，--------------------------(8分) ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB|d =12×(2√3−2)×32=3√3−32.---------(10分)解析：(Ⅰ)由曲线C 1的普通方程能求出曲线C 1的极坐标方程；由曲线C 2的参数方程能求出曲线C 2的普通方程，由此能求出曲线C 2的极坐标方程．(Ⅱ)点A 的极坐标为(2,π6)，点B 的极坐标为(2√3,π6)，从而|AB|=|2−2√3|=2√3−2，M(3,0)点到射线θ=π6(ρ≥0)的距离为d =3sin π6=32，由此能求出△MAB 的面积．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23.答案：解：(1)记f(x)=|x −1|−|x +2|={3,x ≤−2−2x −1,−2<x <1−3,x ≥1，由−2<−2x −1<0解得−12<x <12，则M =(−12,12).…(3分) ∵a 、b ∈M ，∴|a|<12，|b|<12所以|13a +16b|≤13|a|+16|b|<13×12+16×12=14.…(6分) (2)由(1)得a 2<14，b 2<14．因为|1−4ab|2−4|a −b|2=(1−8ab +16a 2b 2)−4(a 2−2ab +b 2) =(4a 2−1)(4b 2−1)>0，…(9分)所以|1−4ab|2>4|a −b|2，故|1−4ab|>2|a −b|.…(10分)解析：(1)利用绝对值不等式的解法求出集合M ，利用绝对值三角不等式直接证明：|13a +16b|<14； (2)利用(1)的结果，说明ab 的范围，比较|1−4ab|与2|a −b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。

普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1)i i-=A ．22i -+B ．2C ．2-D ．22i -2．设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则 A ．φ=⋂N M B ．φ=⋃N MC ．M N =D ．M N R =U3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45B ．45-C ．35 D ．35-4．若两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r rA ．2B ．3CD 5．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．236．已知233a -=，432b -=，ln3c =，则A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为A 5B ．2C 3D 58．三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA=2，AB=AC=3，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A ．π12B ．π8C ．π38D ．π349．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设 计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为 A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43， 则异面直线PA 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎡⎦⎤－π2，π6上的最小值是A ．－12B ．－32C ．22D ．1212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛2,5e B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,21e D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ee 25,4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．1 2 3 4 5 6月份代码x市场占有率y(%)2016年10月2016年11月2016年12月2017年1月2017年2月2017年3月20 15 5 10 25 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f (x )＝log 21－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________．14．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为__________． 15．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是__________．16．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 三．解答题17．（本小题满分12分）{a n }的前n 项和S n 满足：a n +S n =1 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若1+=n nn a a C ，数列{C n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1． 18．（本小题满分12分）随着互联网的快速发展，基 于互联网的共享单车应运而生， 某市场研究人员为了了解共享单 车运营公司M 的经营状况，对 该公司最近六个月的市场占有 率进行了统计，并绘制了相应 的折线图：（1）由折线图可以看出， 可用线性回归模型拟合月度市场占 有率y 与月份代码x 之间的关系， 求y 关于x 的线性回归方程，并 预测M 公司2017年4月的市场占 有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和 1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最 多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使 用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定 先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：回归直线方程为$$y bxa =+$，其中2121121)())((ˆx n xyx n y xx xy y x xb n i ini i in i ii ni i--=---=∑∑∑∑====，$ay bx =-$． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD =135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP =90°，AB =AC =PA =2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平 面ABCD 所成的角相等，求PDPM的值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q )(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是直线x =－4与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l 的参数方程为：22224x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数|1|||)(--=x x x f ．(1)若|1|)(-≥m x f 的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数y x ,满足M y x =+22，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：xy y x 2≥+．银川一中高三第二次模拟理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBDBDABCADB二．填空题：13. —2114.—24; 15.24<<-k ; 16. 212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤5e ，2B.⎣⎡⎭⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎡⎭⎫－12，－83e 2D.⎣⎡⎭⎫－4e ，－52e 答案 B解析 由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即 mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h′(x )<0， 得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x ) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )， y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足 g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时， 要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则需满足()()()()⎩⎨⎧-<--≥-,33,22g h g h即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎨⎧m ≥－52e ，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25ee ，故选B.16已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.三．解答题：17.解析：(1)由a n +S n =1得a n -1+S n -1=1(n ≥2) 两式相减可得：2a n =a n -1即211=-n n a a ，又211=a ∴{a n }为等比数列，∴a n =n )21( (2)n n n nn C 211211)21()21(<+=+= 故12112112112121212121321<-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++=n n nn n C C C C T ΛΛ18.解：(1)由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x=-=∑，35217.5b ==$，$162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=$，∴$29y x =+， 7x =时，$27923y =⨯+=.即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%.(2)由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1， ∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)∵175150>， ∴应该采购A 款车. 19.(1）证明：在平行四边形中，因为，， 所以．由分别为的中点，得，所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，所以，，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等， 所以，即，所以，解得，或（舍）．综上所得：20.【解析】（1）依题意，设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为c 2。

2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷（一）（全国）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＞1}，则A∩B的元素个数为（）A. 0B. 2C. 3D. 52.复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A. 25B.C. 5D.3.函数f（x）=sin2x-2cos2x+1的最小正周期为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π4.已知向量=（-1，2），=（3，1），=（k，4），且，则k=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.已知双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.6.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A. 3B.C. 2D.7.若x、y满足约束条件，则z=4x-3y的最小值为（）A. 0B. -1C. -2D. -38.已知x＝lnπ，y＝log52，，则( )A. x＜y＜zB. z＜x＜yC. z＜y＜xD. y＜z＜x9.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的两角和公式．如：设是非零实数，且满足，则 ( )A. B. C. D.10.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A.B.C.D.11.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（）A. B. C. D.12.已知点A（0，2），抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A. B. C. 1 D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=2x-sin x，当x∈[0，1]时，函数y=f（x）的最大值为______．14.已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lg x，则的值为______．15.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=，AC=，AB⊥AC，AA2=2，则球O的表面积为______．16.在△ABC中，已知（a+b）：（c+a）：（b+c）=6：5：4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝三角形；③sin A：sin B：sin C=7：5：3；④若b+c=8，则△ABC的面积是．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}中，a3a7=-16，a4+a6=0，求：（1）求{a n}的通项公式；（2）{a n}的前n项和S n．18.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=AC=AB=3，SA=CD=4，为线段AB上一点，AP=2PB，SQ=QC．（1）证明：PQ∥平面SAD；（2）求四面体C-DPQ的体积．19.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x（万人）13981012原材料y（袋）3223182428（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程．（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入-原材料费用）．参考公式：，．参考数据：，，．20.已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21.已知函数f（x）=x-a ln（x+1）．（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，关于x的不等式kx2≥f（x）在[0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．22.以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线C1的方程为（x-1）2+y2=1，C2的方程为x+y=3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线．（1）求C1与C2的极坐标方程；（2）若C1与C3的一个公共点为A（异于点O），C2与C3的一个公共点为B，求|OA|-的取值范围．23.已知a，b，c均为正实数，且，证明；已知a，b，c均为正实数，且，证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＞1}，所以A∩B=，即A∩B的元素个数为2，故选：B．由集合的交集及其运算得：因为A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＞1}，所以A∩B=，即A∩B的元素个数为2，得解．本题考查了集合的交集及其运算，属简单题．2.答案：C解析：解：因为复数z==，所以|z|==．故选：C．化简复数z，然后求出复数的模即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3.答案：A解析：解：函数f（x）=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x=sin（2x-）的最小正周期为=π，故选：A．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查向量垂直的充要条件，向量的减法和数量积的坐标运算．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k．【解答】解：；∵；∴；∴k=1．故选：A．5.答案：B解析：解：由渐近线方程为y=x，得b=a，由此可得e==．故选：B．利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的离心率的求法，渐近线方程的应用，考查计算能力．6.答案：D解析：解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别等于1和，棱柱高等于，故几何体的体积V=×1××=．故选：D．根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于1和的直角三角形，高为，代入棱柱体积公式即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图答案求体积，其中根据三视图判断几何体的形状，及棱长等几何量，是解答的关键．7.答案：C解析：【分析】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划中的最值问题，属于基础题．作出不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=4x-3y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=2时，z取得最小值．【解答】解：作出x、y满足约束条件表示的平面区域，得到如图所示的△ABO及其内部，其中A（1，2），B（3，0），因为z=4x-3y，将直线l：4x-3y=0进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值，所以z min=4×1-2×3=-2．故选：C．8.答案：D解析：【分析】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞ln e=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，），1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．先把已知条件转化为tan==tan（+θ），利用正切函数的周期性求出，即可求得结论．【解答】解：∵，∴tan==tan（+θ），且tanθ=，∴+θ=kπ+，k∈Z，∴θ=kπ+，k∈Z，∴tanθ=tan（kπ+）=．∴=故选：D．10.答案：D解析：解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第20次剩下，可得①为i≤20？②s=，③i=i+1，故选：D．由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第20次剩下，结合程序框图即可得出答案．本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键，属于基础题．11.答案：C解析：解：从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有15个，分别为：（1，1），（2，2），（2，1），（3，3），（3，2），（3，1），（4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），∴抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是p==．故选：C．基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有15个，由此能求出抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率．本题概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：D解析：解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==-，k FN=-=-2∴=2，求得a=4，故选：D．作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．13.答案：2-sin1解析：解：函数f（x）=2x-sin x，可得f′（x）=2-cos x＞0恒成立，所以函数f（x）=2x-sin x，当x∈[0，1]时，函数是增函数，函数的最大值为：2-sin1．故答案为：2-sin1．求出导函数，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．14.答案：-lg2解析：解：∵当x＞0时，f（x）=lg x，∴f（）=lg=-2，则=f（-2），∵函数y=f（x）是奇函数，∴=-f（2）=-lg2，故答案为-lg2；根据题意先求出f（）=-2，再根据奇函数的性质知=-f（2），代入解析式进行求解．本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，对于多层函数值问题，需要从内到外的顺序进行逐层求解，结合奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力．15.答案：36π解析：【分析】本题考查直三棱柱的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．底面△ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球球O的直径，由此能求出球O的表面积．【解答】解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，AB=，AC=，AB⊥AC，AA1=2，∴底面△ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球球O的直径，所以外接球球O半径为R==3，∴球O的表面积S=4πR2=36π．故答案为：36π．16.答案：②③解析：【分析】本题主要考查命题的真假判断，结合三角形的边长关系，属于基础题.根据边长比例关系，求出a，b，c的关系，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式分别进行计算，判断即可．【解答】解：∵（a+b）：（c+a）：（b+c）=6：5：4，∴设a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，（k＞0），得a=k，b=k，c=k，则a：b：c=7：5：3，则sin A：sin B：sin C=7：5：3，故③正确，由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故①错误，cos A===-＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故②正确，若b+c=8，则k+k=4k=8，则k=2，即b=5，c=3，由②知A=120°，∴△ABC的面积S=bc sin A==．故④错误，故正确的是②③，故答案为：②③．17.答案：解（1）设{a n}的公差为d，a3a7=-16，a4+a6=0=a3+a7，解得a3=4，a7=-4或a3=-4，a7=4．∴a1+2d=4，a1+6d=-4，或a1+2d=-4，a1+6d=4．解得或．∴a n=8-2（n-1）=10-2n，或a n=-8+2（n-1）=2n-10．（2）由（1）可得：或．因此S n=-8n+2=n（n-9），或S n=8n+×（-2）=-n（n-9）．解析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：（1）证明：由已知得，，如图，取DS中点T，连接AT，TQ，由N为PC的中点，知TQ∥DC，TQ=．又AB∥DC，∴TQ∥AP，TQ=AP，∴四边形APQT为平行四边形，则PQ∥AT，∵PQ⊄平面SAD，AT⊂平面SAD，∴PQ∥平面SAD；（2）解：∵SA⊥平面ABCD，Q为SC的中点，∴Q到平面ABCD的距离为，如图，取DC中点E，连接AE，由AD=AC=3，得AE⊥DC，则AE=．故．∴四面体C-DPQ的体积V C-DPQ=V Q-DCP==．解析：（1）由已知得，，取DS中点T，连接AT，TQ，可证四边形APQT 为平行四边形，得PQ∥AT，再由线面平行的判定可得PQ∥平面SAD；（2）SA⊥平面ABCD，Q为SC的中点，则Q到平面ABCD的距离为，取DC中点E，连接AE，可得AE⊥DC，且AE=．由此可得三角形DCP的面积，再由V C-DPQ=V Q-DCP 求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.答案：解：（1）由所给数据可得：，，，，则y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当x=15时，y=36.5，即预计需要原材料36.5袋，因为当t=36时，C=380，L=700×36-380×36=11520．当t=37时，C=400，L max=700×36.5-380×37=11490．综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元．解析：（1）由题中所给的数据结合线性回归方程计算公式求解线性回归方程即可；（2）由题意得到利润函数，然后结合函数的解析式讨论利润的最大值即可．本题考查线性回归方程及其应用，利润最大化问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20.答案：解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2-10x-15=0，则x1+x2=，x1x2=-，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2-10k2x+5k2-20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0-y2=-y2=-k（x2-1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．解析：（I）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，由A，M，N三点共线，求得N点坐标，y0-y2=-y2=-k（x2-1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=x-2ln（x+1）（x＞-1），∴f'（x）=1-=，令f'（x）=0，则x=1，当x＞1时，f'（x）＞0,当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．（2）当a=1时，f（x）=x-ln（x+1），kx2≥f（x）在[0，+∞）上恒成立，即kx2-x+ln（x+1）≥0在[0，+∞）上恒成立，令g（x）=kx2-x+ln（x+1），x≥0，只需g（x）≥0，在[0，+∞）上恒成立即可，∵g（0）=0，g'（x）=，∴①当k≤0时，g'（x）≤0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）=0，与题设矛盾；②当0＜k＜时，令g'（x）=0，则x=0或x=，∴当x∈（0，）时，g'（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，又g（0）=0，∴在x∈（0，）上g（x）＜0，与题设矛盾；③当k≥时，g'（x）≥0，此时g（x）在[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）=0在[0，+∞）上恒成立，∴k≥；综上，k的取值范围为[，+∞）．解析：本题考查了求函数的单调区间和最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属中档题．（1）求出当a=2时函数的导数，令f'（x）=0，由f'（x）＞0得到增区间，由f'（x）＜0得到减区间；（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=kx2-f（x），通过讨论k的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的k的具体范围即可．22.答案：解：（1）曲线曲线C1的方程为（x-1）2+y2=1，转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．C2的方程为x+y=3，转换为极坐标方程为：．（2）C3是一条过原点且斜率为正值的直线，C3的极坐标方程为θ=α，联立C1与C3的极坐标方程，得ρ=2cosα，即|OA|=2cosα．联立C1与C2的极坐标方程，得，即所以：=又，所以．解析：（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：证明：（1）因为a，b，c均为正实数,++=++=++1+++1+++1=++++++3≥9，当a=b=c时等号成立；（2）因为a，b，c均为正实数,++=（+++++）≥×（2+2+2），又因为abc=1，所以=c，=b，=a，∴．当a=b=c时等号成立，即原不等式成立．解析：（1）根据a+b+c=1，利用基本不等式即可证明；（2）根据++=（+++++），利用基本不等式即可证明．本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．。

2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（文科）（一） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z 满足(1+2i)z =3−4i ，则z 的实部为( )A. 1B. −1C. 2D. −22. 已知集合A ={x|x +1>0}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {1}B. {−1}C. {0,1}D. {−1,0}3. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A. 15B. 25C. 825D. 9254. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=k|b ⃗ |，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，若a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为2π3，则实数k 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 125. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. (1,√52) B. (√52,+∞) C. (1,54)D. (54,+∞)7. 在四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1，CD =3，cos∠B =√33，则边AC 的长( )A. √3B. 4C. 2√2D. 2√38. 如图，给出的是计算1+14+17+⋯+1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A. i >100，n =n +1B. i <34，n =n +3C. i >34，n =n +3D. i ≥34，n =n +39. 四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA =AB =2，则直线PB 与平面PAC 所成角为( )A. π6B. π4C. π3D. π210. 定义行列式运算∣∣∣a 1a 2b 1b 2∣∣∣=a 1b 2−a 2b 1，已知函数f(x)=∣∣∣sinωx −1cosω√3∣∣∣(ω>0)，满足：f(x 1)=0，f(x 2)=−2，且|x 1−x 2|的最小值为π2，则ω的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，若C 是x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)椭圆上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC =OF ，AB//OC 则该椭圆的离心率为( )A. √63B. √66C. 13D. √3312. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−1f(x)，且在(0,1)上f(x)=3x ，则f(log 354)=( )A. 32B. 23C. −32D. −23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(2x +1)lnx 在点(1,0)处的切线方程为______．14. 设实数x ，y 满足约束条件{3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0y ≥0，则z =3x +4y 的最大值为______．)=7，则tan2α=______．15.已知tan(α+π416.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a8=82，S41=S9．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最大值．18.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：(1)请填写表(先写出计算过程再填表)：(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2]参考公式：s2=1n19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A1为正方形．(Ⅰ)求证：A1C//平面AB1D；(Ⅱ)若∠BAC=60°，BC=4，求点A1到平面AB1D的距离．20.已知抛物线C1：x2=2py(p>0)和圆C2：(x+1)2+y2=2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2相切．(1)求p的值；(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．21. 已知函数f(x)=lnx +1ax (a ∈R)在x =1处的切线与直线x −2y +1=0平行．(Ⅰ)求实数a 的值，并判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)=m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1+x 2>1．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =1+tsinα(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(2cos 2θ+cos2θ)=3． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为(2,1)，求直线l 的方程．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≤x+1；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a+b=c，求证：a2+a+1b2≥1．b+1答案和解析1.【答案】B【解析】解：由(1+2i)z=3−4i，得z=3−4i1+2i =(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5−10i5=−1−2i，∴z的实部为−1．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集的运算．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x>−1}；∴A∩B={0,1}．故选：C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，由此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，设另外三位学生分别为A ，B ，C ，基本事件有(甲、乙)，(甲、A)、(甲、B)、(甲、C)、(乙、A)、(乙、B)、(乙、C)、(A,B)，(A,C)、(B,C)共10种，甲被选中包含的基本事件的个数有4个， ∴甲被选中的概率P =410=25． 故选B ．4.【答案】A【解析】解：∵|a ⃗ |=k|b ⃗ |，<a⃗ ,b ⃗ >=2π3，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，∴b ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=|a ⃗ ||b ⃗ |cos 2π3+2b ⃗ 2=−k2b ⃗ 2+2b ⃗ 2=0，且b ⃗ 2≠0， ∴−k2+2=0，解得k =4．故选：A ．根据b ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )即可得出b ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=0，然后根据|a ⃗ |=k|b ⃗ |,<a ⃗ ,b ⃗ >=2π3进行数量积的运算即可得出−k2b ⃗ 2+2b ⃗ 2=0，再由b ⃗ 2≠0即可求出k ． 本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出． 【解答】解：∵函数f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)， f(−x)=−x(e x −e −x )4x 2−1=x(e −x −e x )4x 2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称，故排除A ；在区间(0,12)上，e x−e−x<0,x>0,4x2−1<0,故f(x)>0，故排除C；当x趋向于正无穷大，e−x−e x趋向于负无穷大，故f(x)趋向于负无穷大，故排除D；综上所述，只有B符合．故选B．6.【答案】B【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为：y=bax，∵点(2,1)在“右”区域内，∴ba ×2>1，即ba>12，∴e=ca =√1+(ba)2>√52，又e>1，则双曲线离心率e的取值范围是(√52,+∞)．故选：B．由于双曲线的一条渐近线方程为：y=ba x，及点(2,1)在“右”区域内，得出ba>12，从而得出双曲线离心率e的取值范围．本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式(组)与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．7.【答案】D【解析】解：如图所示：，∵∠D=2∠B，cos∠B=√33，∴cosD=cos2B=2cos2B−1=2×13−1=−13，在△ACD中，AD=1，CD=3，由余弦定理得：cosD=AD2+CD2−AC22AD×CD，∴1+9−AC22×1×3=−13，解得：AC=2√3，故选：D．先利用二倍角公式求出cosD=−13，再在△ACD中，利用余弦定理即可求出AC的长．本题主要考查了二倍角公式，以及余弦定理，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵算法的功能是计算S=1+14+17+⋯+1100的值，由题意及等差数列的性质，可得，100=1+(i−1)×3，解得i=34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框的条件为i>34，根据n值的规律得：执行框②应为n=n+3，故选：C．根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值及n值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，因此BD⊥平面PAC；故B O⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2√2，BO=√2．所以sin∠BPO=BOPB =12，所以∠BPO=π6．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB与平面PAC 所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：函数f(x)=∣∣∣sinωx−1cosω√3∣∣∣=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)(ω>0)， 满足f(x 1)=0，f(x 2)=−2，且|x 1−x 2|的最小值为π2， ∴T4=π2，解得T =2π， ∴ω=2πT=1．故选：A ．化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求得T 和ω的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题可知，点A(−a,0)，B(0,b)，∴k AB =ba ， ∵AB//OC ，∴直线OC 的方程为y =ba x ， 联立{y =bax x 2a 2+y 2b 2=1，解得x 2=a 22,y 2=b 22，∴|OC|=√x 2+y 2=√a 2+b 22，∵OC =OF =c ，∴√a2+b 22=c ，由于b 2=a 2−c 2，∴离心率e =c a=√2√3=√63． 故选：A ．根据AB//OC ，可知直线OC 的斜率以及方程，联立该方程与椭圆的方程，可解得点C 的坐标，利用两点间距离公式可得到线段|OC|的长，并与|OF|=c 建立等量关系，再结合b 2=a 2−c 2和e =ca 即可得解．本题考查椭圆的离心率、顶点等几何性质，还涉及曲线方程与直线方程联立后求交点坐标，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，指数函数、对数函数的运算与性质，函数的周期性及奇函数性质的综合应用，利用条件求出函数的周期以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键．由已知条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出f(log354)的值．【解答】=f(x)，解：由f(x+2)=−1f(x)得，f(x+4)=−1f(x+2)所以函数f(x)的周期是4，因为f(x)是定义在R上的奇函数，且3<log354<4，则0<4−log354<1，且在(0,1)上，f(x)=3x，所以f(log354)=f(log354−4)=−f(4−log354)．故选C．13.【答案】3x−y−3=0【解析】解：由y=(2x+1)lnx，得：+2，y′=2lnx+1x∴f′(1)=3，即曲线y=(2x+1)lnx在点(1,0)处的切线的斜率为3，则曲线y=(2x+1)lnx在点(1,0)处的切线方程为y−0=3×(x−1)，整理得：3x−y−3=0．故答案为：3x−y−3=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14.【答案】18【解析】解：作出约束条件{3x +2y ≤12x +2y ≤8x ≥0y ≥0，所示的平面区域，如图：作直线3x +4y =0，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由{3x +2y =12x +2y =8， 可得A(2,3)，此时z =18． 故答案为：18．先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z =3x +4y 的最大值． 本题主要考查了线性规划中的最值问题，属于基础题．15.【答案】247【解析】解：∵tan(α+π4)=7，可得tanα+11−tanα=7， ∴解得tanα=34， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−(34)2=247．故答案为：247．由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】36π【解析】解：设圆柱的底面半径为r.因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ． 因为该圆柱的体积为54π，πr 2ℎ=2πr 3=54π，解得r =3， 所以，该圆柱的侧面积为2πr ×2r =36π． 故答案为：36π．通过圆柱的体积与求出圆柱的底面半径，转化求解圆柱的侧面积即可． 本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17.【答案】解：(1)a 2+a 8=82=2a 5，∴a 5=41由S 41=S 9得41a 21=9a 5⇒a 2=9，得：d =a 21−a 521−5，解得d =−2(4分)故a n =a 5+(n −5)d =41+2(n −5)=51−2n ， 由(1)，得S n =−n 2+50n =−(n −25)2+625.(10分) 由二次函数的性质，当n =25时S n 有最大值625.(12分)【解析】(1)根据公式S 2n−1=(2n −1)a n ，列方程求解即可． (2)由S n 的表达式，根据二次函数的性质处理．本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，属基础题．18.【答案】7 5.4 3【解析】解：(I)由列联表中数据，计算由题图，知：甲射击10次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7． 将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9． 乙射击10次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10． 将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10． (1)x −乙=110×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=7(环)，s 乙2=110×[(2−7)2+(4−7)2+(6−7)2+(7−7)2×2+(8−7)2×2+(9−7)2×2+(10−7)2]=110×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4． 填表如下：平均数 方差 命中9环及9环以上的次数甲 7 1.2 1 乙75.43(2)①∵平均数相同，s 甲<s 乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些． ③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．(I)由拆线图，求出x −乙和S 乙2，完成列联表．(2)①平均数相同，s 甲<s 乙，从而甲成绩比乙稳定．②平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，乙成绩比甲好些．③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力．本题考查列联表的求法，考查平均数、方差的求法，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：如图，连接BA 1，交AB 1于点E ，再连接DE ，由已知得，四边形ABB 1A 1为正方形，E 为AB 1的中点， ∵D 是BC 的中点，∴DE//A 1C ，又DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， ∴A 1C//平面AB 1D .(Ⅱ)解：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，且BC 为它们的交线， 又AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面CBB 1C 1，又∵B 1D ⊂平面CBB 1C 1， ∴AD ⊥B 1D ，且AD =2√3,B 1D =2√5．同理可得，过D 作DG ⊥AB ，则DG ⊥面ABB 1A 1，且DG =√3． 设A 1到平面AB 1D 的距离为ℎ，由等体积法可得：V A 1−AB 1D =V D−AA 1B 1， 即13×12AD ⋅DB 1⋅ℎ=13×12AA 1⋅A 1B 1⋅DG ， 2√3×2√5⋅ℎ=4×4×√3，ℎ=4√55． 即点A 1到平面AB 1D 的距离为4√55．【解析】(Ⅰ)连接BA 1，交AB 1于点E ，再连接DE ，由证明DE//A 1C ，然后证明A 1C//平面AB 1D .(Ⅱ)设A 1到平面AB 1D 的距离为ℎ，由等体积法可得：V A 1−AB 1D =V D−AA 1B 1，转化求解点A 1到平面AB 1D 的距离．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：(1)依题意设直线l 1的方程为y =x +p2，由已知得：圆C 2：(x +1)2+y 2=2的圆心C 2(−1,0)，半径r =√2， 因为直线l 1与圆C 2相切，所以圆心到直线l 1：y =x +p 2的距离d =|−1+p 2|√12+(−1)2=√2，即|−1+p2|√2=√2，解得p =6或p =−2(舍去)．所以p =6；(2)解法一：依题意设M(m,−3)，由(1)知抛物线C 1方程为x 2=12y ，所以y =x212，所以y′=x6，设A(x 1,y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1．令x =0，y =−16x 12+y 1=−16×12y 1+y 1=−y 1，即l 2交y 轴于B 点坐标为(0,−y 1)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1+3)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,−y 1+3)， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2m,6)， ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,3)． 设N 点坐标为(x,y)，则y =3， 所以点N 在定直线y =3上．解法二：设M(m,−3)，由(1)知抛物线C 1方程为x 2=12y ，① 设A(x 1,y 1)，以A 为切点的切线l 2的方程为y =k(x −x 1)+y 1②，联立①②得：x 2=12[k(x −x 1)+112x 12]， 因为△=144k 2−48kx 1+4x 12=0，所以k =x 16，所以切线l 2的方程为y =16x 1(x −x 1)+y 1． 令x =0，得切线l 2交y 轴的B 点坐标为(0,−y 1)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1+3)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,−y 1+3)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2m,6)， ∴ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,3)， 设N 点坐标为(x,y)，则y =3， 所以点N 在定直线y =3上．【解析】本题主要考查了抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于中等题． (1)设出直线l 1的方程为y =x +p2，由直线和圆相切的条件：d =r ，解得p ； (2)方法一、设出M(m,−3)，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；方法二、设出l 2的方程，联立抛物线方程，运用判别式为0，可得切线斜率和方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域：(0,+∞)，因为f ′(x)=1x −1ax 2所以f′(1)=1−1a =12,解得a =2， ∴f(x)=lnx +12x ，∴f′(x)=1x −12x 2=2x−12x 2令f ′(x)<0，解得0<x <12，故上单调递减， 令f ′(x)>0，解得x >12，故上单调递增．(Ⅱ)由x 1，x 2为函数f(x)=m 的两个零点， 得lnx 1+12x 1=m,lnx 2+12x 2=m ，两式相减，可得lnx 1−lnx 2+12x 1−12x 2=0，即ln x1x 2=x 1−x 22x 1x 2，x 1x 2=x 1−x 22lnx 1x 2，因此x 1=x 1x 2−12ln x 1x 2，x 2=1−x 2x 12ln x 1x 2，令，则x 1+x 2=t−12lnt+1−1t2lnt =t−1t2lnt ， 构造函数ℎ(t)=t −1t −2lnt(0<t <1)，则ℎ′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2>0，所以函数ℎ(t)在(0,1)上单调递增，故ℎ(t)<ℎ(1)=0，即t−1t −2lnt<0，又0<t<1,所以lnt<0，所以t−1t2lnt>1，故x1+x2>1.命题得证．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．(Ⅰ)求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出x1=x1x2−12ln x1x2，x2=1−x2x12ln x1x2，令t=x1x2，则x1+x2=t−12lnt+1−1t2lnt=t−1t2lnt，构造函数ℎ(t)=t−1t−2lnt(0<t<1)，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：(Ⅰ)∵曲线C的极坐标方程为ρ2(2cos2θ+cos2θ)=3，即ρ2(4cos2θ−1)=3，即4ρ2cos2θ−ρ2=3，∴曲线C的直角坐标方程为4x2−x2−y2=3，即x2−y23=1．(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵直线l与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点M的直角坐标为(2,1)，∴x1+x2=4，y1+y2=2，把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入曲线C，得：{3x12−y12=33x22−y22=3，整理，得：3(x1+x2)(x1−x2)−y1+y2)(y1−y2)=0，∴直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=6，∴直线l的方程为y−1=6(x−2)，即6x−y−11=0．【解析】(Ⅰ)曲线C的极坐标方程转化为4ρ2cos2θ−ρ2=3，由此能求出曲线C的直角坐标方程．(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线l与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点M的直角坐标为(2,1)，得到x1+x2=4，y1+y2=2，由此利用点差法能求出直线l的方程．本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1．①当x<1时，不等式可化为4−2x≤x+1，解得x≥1，又∵x<1，∴x∈⌀；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，解得x≥1，又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3．③当x>3时，不等式可化为2x−4≤x+1，解得x≤5，又∵x>3，∴3<x≤5．综上所得，1≤x≤5，∴原不等式的解集为[1,5]．(Ⅱ)证明：由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，∴c=2，即a+b=2．令a+1=m，b+1=n，则m>1，n>1，a=m−1，b=n−1，m+n=4，a2 a+1+b2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m+n+1m+1n−4=4mn ≥4(m+n2)2=1，当且仅当m=n即a=b时取等号，原不等式得证．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的运用，考查转化思想，是中档题．(Ⅰ)f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1.通过①当x<1时，②当1≤x≤3时，③当x>3时，去掉绝对值符号，求解即可．(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，推出a+b=2.令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．。

2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z =1−i ，则复数z +z 2在复平面上对应的点的坐标为( )A. (1,−3)B. (−3,1)C. (1,1)D. (−1,1)2. 设集合A ={x|(x +3)(x −6)≥0}，B ={x|2x ≤14}，则(∁R A)∩B =( )A. (−3,6)B. [6,+∞)C. (−3,−2]D. (−∞,−3)U(6,+∞)3. 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若α//β，l ⊂α，m ⊂β，则l//m ，命题q ：l//α，m ⊥l ，m ⊂β，则α⊥β则下列命题为真命题的是( )A. p ∨qB. p ∧qC. (￢p)∨qD. p ∧(￢q)4. △ABC 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小为( )A. 2π3B. π4C. π3D. π65. 已知sin (α−π4)=7√210，cos 2α=725，则sin α=( )A. 45B. −45C. 35D. −356. 函数y =3cos x −e |x|的图象可能是( )A. B. C. D.7. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1,AA 1=2，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P −ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为( )A. 1B. 2C. 12D. 148.抛物线x2=16y的准线与双曲线x29−y23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积是()A. 16√3B. 8C. 4D. 29.“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央．露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺．若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为()A. 1213B. 113C. 314D. 21310.如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是()A. 1B. 10C. 19D. 2811.在平面直角坐标系xOy中，以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. (√6−√22,√5−12) B. (√6−√22,1)C. (√5−12,1)D. (0,√5−12) 12. 函数f(x)={2x 3+3x 2 x ≤0ax ex ,x >0在[−2,2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞)B. [0,e]C. (−∞,0]D. (−∞,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答) 14. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥3x +2y ≤5x ≥0y ≥0，则y −2x 的最大值是__________．15. 在面积为2的△ABC 中，a 2+2b 2+c 2的最小值_________．16. 已知正三棱锥P −ABC 的侧面是直角三角形，P −ABC 的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P −ABC 的体积为36，则球O 的表面积为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n =12(1−a n ).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，求T n =1b 1+1b 2+1b 3+⋯1b n的值．18. 为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统方法和“新课堂”两种不同的教学方法，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100)甲班频数56441乙班频数1365(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计，(n=a+b+c+d)附：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635(2)先从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π，M为A1D的中点．3(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知点A(−√2,0)和圆B：(x−√2)2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=e x−ax(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性．(2)当a=e2时，设x1，x2是函数f(x)的两个零点，证明：x1+x2<4．22.已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+√5cosα(α为参数)，直线l1：x=0，直y=2+√5sinα线l2：x−y=0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴(取相同的长度单位)建立极坐标系．(1)求曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求线段AB的长．23.设f(x)=−x+|2x+1|，不等式f(x)<2的解集是M．(1)求集合M；(2)设a,b∈M，证明：2|ab|+1>|a|+|b|．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题．根据复数的运算得z+z2=1−3i，在复平面上对应点的坐标为(1,−3)．解：z+z2=1−i+(1−i)2=1−i−2i=1−3i，在复平面上对应点的坐标为(1,−3)，故选A．2.答案：C解析：解：A={x|x≤−3，或x≥6}，B={x|x≤−2}；∴∁R A={x|−3<x<6}；∴(∁R A)∩B={x|−3<x≤−2}=(−3,−2]．故选：C．可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的运算．3.答案：C解析：解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α//β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p为假命题；则￢p真命题；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线A1B1分别是直线m，l，显然满足l//α，m⊥l，m⊂β，而α//β，故命题q假命题；￢q为真命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，￢p∨q是真命题，p∧￢q是假命题，故选：C对于命题p ，q ，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．4.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．根据平面向量的夹角公式求出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，再求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小． 解：△ABC 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×0+1×1=1， |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1=2，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∴cos <BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×1=12， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为2π3． 故选A ．5.答案：C解析：利用两角差的正弦公式和二倍角公式把条件等式都转化为 α角的正弦余弦函数，联立可解得sin α．解：由sin (α−π4)=7√210得sin α−cos α=75，① 由cos 2α=725得cos 2α−sin 2α=725，所以(cos α−sin α)·(cos α+sin α)=725，②由①②可得cos α+sin α=−15，③由①③可得sinα=35．故选C．6.答案：B解析：本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论．解：显然y=3cosx−e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时，y′=−3sinx−e x=−(3sinx+e x)，显然当x∈(0,π]时，y′<0，当x∈(π,+∞)时，e x>eπ>e3>4，而3sinx≥−3，∴y′=−(3sinx+e x)<0，∴y′=−(3sinx+e x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴y=3cosx−e|x|在(0,+∞)上单调递减．只有B符合，故选B．7.答案：B解析：解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C1D1上，AB在正视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA1=2，所以三棱锥P−ABC的正视图的面积为12×1×2=1；三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值为12×1×1=12，所以三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为112=2，故选：B．由题意确定棱锥P−ABC的正视图的面积，三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．8.答案：A解析：解：抛物线x2=16y的准线方程为y=−4，双曲线x29−y23=1的两条渐近线方程为y=√3∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为(±4√3,−4)∴抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是12×8√3×4=16√3故选A．确定抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的方程，求得交点坐标，即可求得面积．本题考查抛物线的准线与双曲线的两条渐近线，考查学生的计算能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：设水深为x尺，根据勾股定理得：(x+1)2=x2+52，解得x=12，∴水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式得：从芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为p=113．故选：B．设水深为x尺，根据勾股定理求出水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式能求出从芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：C解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行，正确写出每次循环得到的S，A的值可得答案．解：模拟执行程序框图，A =1，S =1，满足条件A ≤2， S =10，A =2，满足条件A ≤2， S =19，A =3，不满足条件A ≤2， 退出循环，输出S 的值为19． 故选C ．11.答案：A解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设椭圆的右焦点F(c,0)，代入椭圆的标准方程可得A(c,b 2a ).根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD <45°，且1>cb 2a>√22，化为{e 2+√2e −1>0e 2+e −1<0，解出即可． 解：如图所示，设椭圆的右焦点F(c,0)，代入椭圆的标准方程可得：y 2=b 4a 2， 取y =b 2a ，A(c,b 2a)． ∵△ABC 是锐角三角形， ∴∠BAD <45°， ∴1>cb 2a>√22，化为{e 2+√2e −1>0e 2+e −1<0，解得√6−√22<e <√5−12． 故选A ．12.答案：D解析：分别讨论x≤0，x>0时的情况，x≤0时，通过求导得到f(x)max=f(−1)=1，x>0时，讨论①a> 0时，②a≤0时a的范围，综合得出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的最值问题，求参数的范围，是一道基础题．解：x≤0时，f′(x)=6x(x+1)，令f′(x)=0，解得：x=−1，x=0，∴f(x)在(−∞,−1)递增，在(−1,0)递减，∴f(x)max=f(−1)=1，x>0时，f′(x)=ae x(1−x)，e2x①a>0时，若f′(x)>0，则0<x<1，若f′(x)<0，则x>1，≤1，∴f(x)max=f(1)=ae解得：a≤e，②a≤0时，f(x)≤0，符合题意，综上：a≤e，故选D．13.答案：90解析：解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有C63C42=120种取法，若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生，其取法有C53C32=30种，则至少有一名主任医师参加的取法有120−30=90种，故答案为：90．根据题意，先计算从A 医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．14.答案：0解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x +y −3≥0x +2y −5≤0x ≥0y ≥0作出可行域如图，令z =y −2x ，化为y =2x +z ，由图可知，当直线y =2x +z 过点C 时，y −2x 取得最大值， 联立{x +2y −5=0x +y −3=0，解得C(1,2)．所以y −2x 的最大值为2−2×1=0． 故答案为：0．15.答案：8√5解析：本题考查解三角形的实际应用，属于较难题． 构造三角形，再运用基本不等式即可求得最小值． 解：作图如下：a2+2b2+c2=x2+y2+2ℎ2+2b2⩾12(x+y)2+2ℎ2+2b2=5b2+2ℎ2⩾2√5bℎ，第一个等号当且仅当x=y时取到，第二个等号当且仅当5b2=4ℎ2时取到，∵△ABC的面积为2，则bℎ=4则2√5bℎ=8√5．故答案为8√5．16.答案：108π解析：本题考查正三棱锥外接球的表面积，关键是求球的半径，属于中档题．依据题目条件求出三棱锥的侧棱长，将棱锥置于正方体中求出球半径，即可求解．解：设正三棱锥的侧棱长为a，球O的半径为R，正三棱锥P−ABC的侧面是直角三角形，∴13×12a3=36，解得a=6，把正三棱锥补形为正方体，则其体对角线长为2R=√62+62+62=6√3，解得R=3√3，所以球O的表面积为4πR2=4π×27=108π．故答案为108π．17.答案：解：(1)n≥2时，a n=12(1−a n) −12(1−a n−1) =−12a n+12a n−1，2a n=−a n+a n−1a n a n−1=13， S 1=a 1=12(1−a 1)得a 1=13，∴数a n 是以首a 1=13，公比13的等比数列，∴a n =(13)n(2)∵f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，∴b n =log 13a 1+log 13a 2 +⋯+log 13a n =log 13(a 1⋅a 2…⋅a n )即log 13(13)1+2+⋯+n=1+2+⋯+n =n(n+1)2∴1b n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，∴T n =11+12 +⋯+1n =2[(1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)]=2n解析：(1)n ≥2时由a n =s n −s n−1，再利用S 1=a 1=12(1−a 1)求得a 1，分析可求数列{a n }的通项公式；(2)由f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，a n =(13)n 可求得b n ，再用裂项法可求T n 的值． 本题考查数列求和，重点考查裂项法求和，考查学生的理解与转化及运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据2×2列联表中的数据，得K 2的观测值为k =40(9×4−16×11)225×15×20×20≈5.227>5.024，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为1540×8=3，则X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 113C 153=3391，P(X =1)=C 112C 41C 153=4491，P(X =2)=C 111C 42C 153=66455，P(X =0)=C 43C 153=4455．∴X 的分布列为：∴E(X)=0×3399+1×4499+2×66455+3×4455=364455．解析：(1)利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到2×2列联表中的数据，求出K 2的观测值，判断即可．(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为1540×8=3，则X 的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．19.答案：(1)证明：取AA 1的中点N ，连接MN ，BN ．在△ADA 1中，MN//AD 且MN =12AD ，又BC//AD 且BC =12AD ，所以MN//BC 且MN =BC ， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而CM//BN ，又BN ⊂平面AA 1B 1B ，MC ⊄平面AA 1B 1B ，所以CM//平面AA 1B 1B . (2)解：取A 1B 1的中点P ，连接AP ，AB 1， 因为在菱形AA 1B 1B 中，∠B 1BA =π3， 所以AB =AA 1=AB 1=A 1B 1， 所以AP ⊥A 1B 1， 又AB//A 1B 1， 所以AP ⊥AB ，又侧面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，侧面ABB 1A 1∩平面ABCD =AB ， 所以AP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴 建立空间直角坐标系A −xyz(如图所示)，则A(0,0，0)，D(0,4，0)，C(2,2，0)，P(0,0,√3)， A 1(−1,0,√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2,√3)．因为AP ⊥平面ABCD ，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)为平面ABCD 的一个法向量．设平面A 1CD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⊥CD⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{−2x +2y =0−3x −2y +√3z =0，取n ⃗ =(1,1,5√33)为平面A 1CD 的一个法向量， 所以cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×5√33√3×√12+12+(5√33)2=5√3131．设二面角A 1−CD −A 大小为θ，θ∈(0,π2)，故cosθ=5√3131，解析：本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查计算能力．(1)取AA 1的中点N ，连接MN ，BN.证明四边形MNBC 是平行四边形，推出CM//BN ，然后证明CM//平面AA 1B 1B .(2)取A 1B 1的中点P ，连接AP ，AB 1，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz(如图所示)，求出平面ABCD 的一个法向量．平面A 1CD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．20.答案：解：(1)因为|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|=4>|AB|= 2√2 ，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，方程为x 24+y 22=1 ；(2)若存在满足条件的点S ，T ，设直线ST 的方程为 y =12x +m ，与 x 24+y 22=1联立，消去y 并化简可得3x 2+4mx −4m 2−8=0，由已知知Δ>0，即16m 2−4×3×4(m 2−2)>0，解得 −√3<m <√3， 设点S (x 1,y 1)，T (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−43m ， x 1x 2=4(m 2−2)3，∵线段ST 的中点 (−23m,23m) 在对称轴2x +y +1=0上， ∴ −43m +23m +1=0，解得 m =32 ，且 32∈(−√3,√3)，所以满足条件的点S ，T 是存在的， 直线ST 的方程为 y =12x +32 ，即x −2y +3=0．解析：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，难度较大．(1)根据题干描述可以知道|PA|、|PB|、|PQ|、|PB|的关系，即|PA|+|PB|=|PQ|+|PB|=4>|AB|= 2√2，再根据椭圆的定义，可以求出点P的轨迹方程；(2)假设满足条件的点S、T存在，则根据这两点关于直线2x+y+1=0对称，可以设出直线ST的方程，将其与(1)中求出的椭圆方程联立，消去y，利用Δ>0，求出m的范围以及点S、T的横坐标之和、之积，利用线段ST的中点在对称轴2x+y+1=0上，可以求出m，从而得到直线ST的方程．21.答案：(1)解：由题得f′(x)=e x−a．当a⩽0时，f′(x)>0对x∈R恒成立，所以f(x)在R上单调递增．当a>0时，令f′(x)=0，．当时，则f(x)单调递减；，则f(x)单调递增．综上，当a⩽0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增．(2)证明：不妨设x1<x2，由f(x)=e x−e2x，得f′(x)=e x−e2，令f′(x)=0，得x=2．f(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，f(0)=1>0，f(4)=e4−4e2=(e2−4)e2>0，所以0<x1<2<x2<4，构造函数F(x)=f(4−x)−f(x)(０<ｘ<２)，+e x)+2e2⩽−2e2+2e2=0，则F′(x)=−(e4−x−e2)−(e x−e2)=−e4−x−e x+2e2=−(e4e x所以函数F(x)在区间(0,2)内单调递减．因为0<x1<2，所以2<4−x1<4，所以F(x1)=f(4−x1)−f(x1)>F(2)=0，又f(x1)=f(x2)=0，所以f(4−x1)>f(x2).因为函数f(x)在区间内单调递增，所以4−x1>x2，即x1+x2<4．解析：本题考查利用导数判断函数的单调性以及研究函数的零点问题，难度较大．(1)利用导函数的定义分类讨论即可；(2)首先利用函数单调性求出x1、x2的取值范围，再通过构造新函数求解即可．22.答案：解：(1)∵曲线C的参数方程为{x=1+√5cosαy=2+√5sinα(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x−1)2+(y−2)2=5，即x2+y2−2x−4y=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ．∵直线l1：x=0，∴直线l1的极坐标方程为θ=π2(ρ∈R)，∵直线l2：x−y=0，∴直线l2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(2)设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，在ρ=2cosθ+4sinθ中，令θ=π2，得ρ1=2cosθ+4sinθ=4，令θ=π4，得ρ2=2cosθ+4sinθ=3√2，∵π2−π4=π4，∴|AB|=√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cosπ4=√10．解析：本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由曲线C的参数方程消去参数，求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程，由直线l1：x=0，能求出直线l1的极坐标方程，由直线l2：x−y=0，能求出直线l2的极坐标方程．(2)设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，在ρ=2cosθ+4sinθ中，令θ=π2，得ρ1=2cosθ+4sinθ=4，令θ=π4，得ρ2=2cosθ+4sinθ=3√2，由此能求出|AB|．23.答案：(1)解：当x≥−12时，f(x)=−x+2x+1=x+1．由f(x)<2，得x<1，所−12≤x<1．当x<−12时，f(x)=−x−2x−1=−3x−1．由f(x)<2，得x>−1，所以−1<x<−12．综上可知，M={x|−1<x<1}．(2)证明：因为a，b∈M，所以−1<a<1，−1<b<1，即|a|<1，|b|<1．于是2|ab|+1−(|a|+|b|)=|ab|+|ab|+1−(|a|+|b|)=|ab|+(|a|−1)·(|b|−1)>0，故2|ab|+1>|a|+|b|．解析：本题考查含绝对值不等式的解法和不等式的证明，属中档题．(1)讨论x和−1的大小去绝对值，解不等式即可；2(2)分析2|ab|+1−(|a|+|b|)与0的关系即可得2|ab|+1>|a|+|b|．。

宁夏银川市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】1sin 3α=Q ，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22211cos cos cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c ca b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜ D ．11()()22ab<【答案】C 【解析】 【分析】A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．3．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D 【解析】 【分析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ，【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）．A 10B ．6C 23D 3【答案】A 【解析】直线l 的方程为bx y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =u u u r u u u r 得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【详解】由题意可知直线l 的方程为bx y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-将x by c =-代入双曲线方程2221y x b-=中，得到()4234120b y b cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =u u u r u u u r ，可得122y y =-，故32442242121b cy b b y b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则c ==所以双曲线离心率3c e a ==故选：A 【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.7．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C．22- D．22+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模与除法运算即可得到结果.解: )()())1111111222i i i z ii i i ---=====-+++-， 故选：C 【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.8．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =u u u v u u u v,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】设出A ，B 的坐标，利用导数求出过A ，B 的切线的斜率，结合0PA PB ⋅=u u u r u u u r，可得x 1x 2＝﹣1．再写出OA ，OB 所在直线的斜率，作积得答案． 【详解】解：设A （2114x x ，），B （2224x x ，），由抛物线C ：x 2＝1y ，得214y x =，则y′12x =． ∴112AP k x =，212PB k x =， 由0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，可得12114x x =-，即x 1x 2＝﹣1．又14OA x k =，24OB xk =，∴124116164OA OB x x k k -⋅===-． 故选：A ．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A 2(2,)a a ,B 2(2,)b b ,a b ¹,再求切线PA,PB 方程，求点P 坐标，再根据.0PA PB =u u u v u u u v得到1,ab =-最后求直线OA 与OB 的斜率之积.如果先设点P 的坐标，计算量就大一些.9．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>【答案】A 【解析】 【分析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA =u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>>故选：A 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论．根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．π B ．2πC ．3π D ．4π 【答案】A 【解析】 【分析】先化简已知得()2sin()6f x wx π=-,再根据题意得出f （x ）的最小值正周期T 为1×2，再求出ω的值．【详解】由题得()2sin()6f x wx π=-,设x 1，x 2为f （x ）=2sin （ωx ﹣6π）（ω＞0）的两个零点，且12x x -的最小值为1， ∴T=1，解得T=2；解得ω=π． 故选A ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 12．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640 B ．416C ．406D ．236-【答案】B 【解析】 【分析】2m n +=，有02m n =⎧⎨=⎩，11m n =⎧⎨=⎩，20m n =⎧⎨=⎩三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n y 的系数，然后相加可得．【详解】当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m nx y 的系数为358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足2m n +=的m nx y 的系数之和为8024096416++=．故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8πB ．4πC ．2π D ．34π 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题：①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．5C 43D 537．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D8．若231()nx x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．5 C ．10 D ．209．复数32(1)(i i += )A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B 2C 2D ．2 11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．43B ．53C ．54D ．11412．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()1|2|,(1,3]m x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．15(，7)B ．4(3，7)C ．3(4，8)3D ．15(，8)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = ．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为 ．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 ．16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率； （2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【思路分析】根据题意，列举出A 的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案． 【解析】：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-、{1-，0，1}，四个； 故选：B ．【归纳与总结】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想． 2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8π B ．4πC ．2πD ．34π【思路分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论． 【解析】：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB ∆，则三角形的面积为11212S =⨯⨯=，点P 取自圆222x y +=内部的面积为圆面积的18，即21(2)84ππ⨯⨯=，则根据几何概型的概率公式可得，则点P 取自圆222x y +=内部的概率等于4π．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．利用数形结合是解决此类问题的基本方法． 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．【解析】：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确； ③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确． 所以正确的命题有①②④， 故选：C ．【归纳与总结】本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于基础题．4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】根据函数的性质求出m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：若函数()21x y f x m ==+-有零点，则(0)111f m m =+-=<， 当0m „时，函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数不成立，即充分性不成立，若log m y x =在(0,)+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点成立，即必要性成立，故“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的必要不充分条件， 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【思路分析】由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．【解析】：由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立， 故sin a x -…恒成立， 因为1sin 1x --剟， 所以1a …． 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础试题． 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C ．43 D ．53【思路分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．【解析】：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．11111111PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=- 2231322213=⨯⨯-⨯⨯⨯ 53=． 故选：D ．【归纳与总结】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D【思路分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累加并输出S 的值，由此得出结论． 【解析】：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：112S =-，4i =，第2次循环：11124S =--，8i =，第3次循环：1111248S =---，16i =，⋯依此类推，第7次循环：11111248128S =----⋯-，256i =，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：128i „？，执行框②应填入：1s s i=-，③应填入：2i i =． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键．8．若231()n x x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( )A ．1B ．5C ．10D ．20【思路分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解析】：令1x =可得231()n x x +展开式的各项系数之和为232n=， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=g ð，令1050r -=，求得2r =， 可得常数项为2510=ð， 故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 9．复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【思路分析】复数i 的幂的计算，直接乘积展开可得结果． 【解析】：32(1)()(2)2i i i i +=-=， 故选：A ．【归纳与总结】复数代数形式的运算，注意i 的幂的运算，是基础题．10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B C D ．2【思路分析】设等比数列的公比为q ，根据等比数列的通项公式把23952a a a =g 化简得到关于q 的方程，由此数列的公比为正数求出q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比q 的值和21a =即可求出1a 的值．【解析】：设公比为q ，由已知得28421112()a q a q a q =g ， 即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =，故21a a q ===． 故选：B ．【归纳与总结】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．43 B ．53 C ．54D【思路分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，进而求出离心率．【解析】：依题意212||||PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知可知1||2PF =4b =根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-，代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =；53c e a ∴==．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．12．已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3【思路分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当(1x ∈-，1]，[3，5]，[7，9]上时，()f x 的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线13y x =与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．【解析】：Q 当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线13y x =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第三个半椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …无公共点时，方程恰有5个实数解，将13y x =代入222(4)1y x m -+=(0)y …得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >，同样由 13y x =与第三个椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …由△0<可计算得m <，综上可知m ∈．故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查了函数的周期性．采用了数形结合的方法，很直观． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = 35- ．【思路分析】已知tan 2x =，根据弦切互化公式得222111cos sec 1tan 5x x x ===+；而2cos22cos 1x x =-，代入求出值即可．【解析】：tan 2x =Q ，222111cos sec 1tan 5x x x ∴===+； 所以213cos22cos 12155x x =-=⨯-=-故答案为35-【归纳与总结】考查学生会进行弦切互化，会化简二倍角的余弦，整体代入思想的运用能力．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则3r s +的值为 85．【思路分析】根据4CD DB =u u u r u u u r 即可得出4455CD AB AC =-u u u r u u u r u u u r，然后根据平面向量基本定理即可得出r ，s 的值，从而得出3r s +的值．【解析】：如图， Q 4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴444555CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，44,55r s ==-， ∴12483555r s +=-=． 故答案为：85．【归纳与总结】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 1或3 ．【思路分析】分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ，根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，由线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，设0(M x ，0y )，可得0||12px -=，由此求得p 值．【解析】：分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ， 设1(A x ，1y )，2(B x ，2y )，0(M x ，0y )根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，∴梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，可得022p x +=，022px =-，Q 线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，可得0||12px -=，|2|1p ∴-=，解得1p =或3p =， 故答案为：1或3．【归纳与总结】本题考查抛物线中参数的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = 45 ．【思路分析】由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个整数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个数，可得(1)220212n n -⨯<，解出即可得出．【解析】：由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个正奇数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个奇数，(1)220212n n -∴⨯<，即(1)2021n n -<，而454419802021.464520702021⨯=<⨯=>． 45n ∴=，故答案为：45．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、归纳推理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆，求11b c+的值． 【思路分析】（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==，得2cos 1A =，所以3A π=．（Ⅱ）由ABC ∆的面积为及6A bc π=⇒=，由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，b c +=，即可得11b c b c bc ++==． 【解析】：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==⋯⋯（3分）又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=⋯⋯（6分）（Ⅱ）由ABC ∆及3A π=，得1sin 23bc π=6bc =⋯⋯（8分） 又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=， 所以b c +=（10分）所以11b c b c bc ++==（12分）【归纳与总结】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率； （2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【思路分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60)之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列和数学期望． 【解析】：（1）由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频数为4，频率为0.0125100.125⨯=，∴全班人数为40.125人．∴分数在[80，100]之间的频数为32481010---=，∴分数在[80，100]之间的频率为100.312532=；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，则363101(0)6C P X C ===，12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，X 0 123P16 12 310 130 数学期望()0123 1.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【归纳与总结】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，考查分布列和数学期望，频率分布直方图，茎叶图，是统计和概论比较综合的应用，学会用图并掌握相关的重要公式是解答的关键．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．【思路分析】（1）取BC 的中点F ，连OF ，PF ，证明OF BC ⊥，BC PF ⊥，得到BC ⊥面POF从而证明BC PO ⊥，可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系，设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r r g r r u u u rr g ，得到AC 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r 【解析】：（1）PA PE =，OA OE PO AE =∴⊥（1） 取BC 的中点F ，连OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥面POF 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系{,,}OG OF OP u u u r u u u r u u u r，(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)A B C P AC AP AB --=-=-=u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r g r r u u u rr g 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r【归纳与总结】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,1)l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．【思路分析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-，由已知条件推出111m y λ=-，221my λ=-，所以123λλ+=-，即1212()0y y m y y ++=，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l 过定点．【解析】：（1）由题意可知2221b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-， 由1PM MQ λ=u u u u r u u u u r知，1(x ，1101)(y m x x λ-=-，1)y -，111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，∴111my λ=-，同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知，221my λ=-，123λλ∴+=-，1212()0y y m y y ∴++=①，联立方程2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，消去x 得：22222(3)230t y mt y t m +-+-=，∴需△2422244(3)(3)0m t t t m =-+->②，且有212223mt y y t +=+，2212233t m y y t -=+③，把③代入①得：222320t m m mt -+=g ，2()1mt ∴=，由题意0mt <，1mt ∴=-，满足②式，∴直线l 的方程为1x ty =+，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．【思路分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得0b =，得到()f x 和()g x 的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得()f x 的解析式，由条件化简可得2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-，求得导数和单调区间，可得()h t 的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．【解析】：（1）函数21()12f x lnx ax bx =-++的导数为：1()f x ax b x'=-+，可得图象在1x =处的切线l 的斜率为1k a b =-+，切点为1(1,1)2b a +-，由切线经过点1(2，1)2，可得111221112b a a b +---+=-， 化简可得，0b =，则21()12f x lnx ax =-+，21()1(1)(02g x lnx ax a x x =-+-->，0)a >，1(1)(1)()(1)x ax g x ax a x x +-'=---=-， 当10x a <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x a>时，()0g x '<，()g x 递减．可得1111()()1122max g x g lna lna a a a a==--+-+=-；（2）证明：4a =-时，2()21f x lnx x =++， 121212()()32f x f x x x x x ++++=，可得2211221212212132lnx x lnx x x x x x ++++++++=， 化为2212121212122(2)()()x x x x x x x x ln x x ++++=-， 即有2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-， 1()1h t t'=-，当1t >时，()0h t '>，()h t 递增；当01t <<时，()0h t '<，()h t 递减．即有()h t 在1t =取得最小值1，则212122()()1x x x x +++…， 可得1212(1)(221)0x x x x +++-…，则122210x x +-…，可得1212x x +…．【归纳与总结】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化和变形，以及构造函数的方法，考查运算能力，属于难题． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【思路分析】（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）求出A ，B 的极径，即可求||AB ．【解析】：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A 的极径为12cos 6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=所以12||||AB ρρ=-． 【归纳与总结】本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…． 【思路分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解析】：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+--+=厔， 若不等式|2||3||1|x x m --++…有解， 则满足|1|5m +„，解得64m -剟．4M ∴=．（2）由（1）知正数a ，b ，c 满足足24a b c ++=，即1[()()]14a b b c +++=∴11111111[()()]()(11)(2414444b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c +++=++++=++++⨯=++++++厖， 当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c +=+=，即a c =，2a b +=时，取等号．∴111a b b c+++…成立．【归纳与总结】本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————附:《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD）资料已分享目录——（1）2020上海市春季高考数学试卷(精美纯WORD版全详解)（2）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（3）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（4）2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（5）2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（6）2020年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（7）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（8）2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（10）2020年安徽省合肥市数学一模试卷（文科）(精美纯WORD版全详解)（11）2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）(精美纯WORD版全详解)（12）2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)不断更新中.......。

宁夏六盘山高级中学2020届高三第二学期第一次高考模拟考试试题数学（文）【含解析】一、选择题：（每题5分，共60分，每题只有一个答案是正确的） 1.若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为 A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得复数z 的表达式，再根据复数的除法运算，将复数z 的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，计算化简得复数z ，从而得解. 【详解】由()1234i z i +=-得()()()()22341234310851012121212145i i i i i iz i i i i i ----+--=====--++--，所以复数z 的实部为1-， 故选B .【点睛】本题考查复数的概念与乘法、除法运算，属于基础题. 2.已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =（ ）A. {1}B. {}1-C. {0,1}D. {1,0}-【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，又由{1,0,1}B =-， 所以{0,1}AB =，故选C.【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中正确求解集合A ，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A.15B.25C.825D.925【答案】B 【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510n C ==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C ==，所以甲被选中的概率25m p n ==，故选B ． 考点：古典概型及其概率的计算．4.已知非零向量a ，b 满足a k b =，且()2b a b ⊥+，a ，b 的夹角为23π，则实数k 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据(2)b a b ⊥+即可得出(2)0b a b +=，然后根据2||||,,3a kb a b π=<>=进行数量积的运算即可得出22202kb b -+=，再由20b ≠即可求出k ． 【详解】()2b a b ⊥+，()22222cos ,0b a b b a b b a b a b ∴⋅+=+⋅=+=，且0a ≠，0b ≠，22cos 03b a π∴+=， 即1202b a -=，4a b ∴=， 4k ∴=.故选：A ．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．5.函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项. 【详解】2221()()410,()()24141x x x x x e e x e e x x f x f x x x ------≠∴≠±-===∴--()f x 为偶函数，舍去A; 当102x <<时()0f x >,舍去C ； 当12x >时()0f x <,舍去D ； 故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.6.双曲线22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. 512⎛ ⎝⎭， B. 52⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭， C. 514⎛⎫⎪⎝⎭， D. 54，⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据点在不等式表示的区域内，即可求得,a b 的不等关系，据此求得离心率范围.【详解】由题意可得双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，且“右”区域由不等式组b y x ab y x a ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩确定，∵点(2,1)在“右”区域内， ∴21ba >，即12b a >， ∴22151()1()2c b e a a ==+>+=， 即双曲线离心率e 的取值范围是5()2+∞． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题.7.在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，3cos B ∠=，则边AC 的长（ ） 3 B. 4C. 2D. 23【答案】D 【解析】 分析】利用二倍角的余弦公式求出cos D ∠，然后利用余弦定理可求得边AC 的长.【详解】2D B ∠=∠，2231cos cos 22cos 1213D B B ∴∠=∠=∠-=⨯-=-⎝⎭，由余弦定理得2222212cos 13213123AC AD CD AD CD D ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因此，23AC =. 故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8.如图，给出的是计算111147100++++的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是（ ）A. i >100，n ＝n ＋1B. i <34，n ＝n ＋3C. i >34，n ＝n ＋3D. i ≥34，n ＝n ＋3【答案】C 【解析】 【分析】根据算法的功能确定跳出循环的i 值，可得判断框内的条件，根据n 值的出现规律可得执行框②的执行式子.【详解】算法的功能是计算111147100++++的值，易知1，4，7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内(1)处应为i >34. 故选：C.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i 值及n 值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．9.如图四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为（ ）A.2π B.3π C.4π D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】证明出BD ⊥平面PAC ，可得出直线PB 与平面PAC 所成角为OPB ∠，计算出OB 和PB ，可求得OPB ∠，即可得解.【详解】四边形ABCD 是边长为2的正方形，则BD AC ⊥，且22BD =122OB BD == PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PA ∴⊥，同理可得PA AB ⊥， ACPA A =，BD ∴⊥平面PAC ，所以，直线PB 与平面PAC 所成角为OPB ∠，2PA AB ==，2222PB PA AB ∴=+=，BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，BD PO ∴⊥，在Rt OPB 中，2BOP π∠=，1sin 2OB OPB OP ∠==，6OPB π∴∠=. 因此，直线PB 与平面PAC 所成角为6π. 故选：D.【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，考查计算能力，属于中等题. 10.定义行列式运算12122112a a ab a b b b =-.已知函数())sin 10cos 3x f x xωωω-=>满足()()120,2f x f x ==-且12x x -的最小值为2π，则ω的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的解析式，然后由12x x -的最小值为2π可以求出周期2T π=，进而求出1ω=. 【详解】由题意得，()3sin cos 2sin 6f x x x x πωωω=+=+（），(0)ω>，因为12x x -的最小值为42T π=，所以2T π=，则由2T πω=得1ω=. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．11.如图，若C 是()222210x y a b a b+=>>椭圆上位于第一象限内的点，A 、B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC OF =，//AB OC ，则该椭圆的离心率为（ ）66 C.133 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线OC 的方程，将直线OC 的方程与椭圆的方程联立，求出点C 的坐标，由OC OF =建立等式，可求得椭圆的离心率. 【详解】直线AB 的斜率为b k a=，//AB OC ，所以，直线OC 的方程为by x a =，联立22221b y x a x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由于点C 在第一象限，则22,22C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，OC OF =，则22222c ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2222a b c +=， 22222a c c ∴-=，23a c =，因此，该椭圆的离心率为2633c e a ===. 故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是求出点C 的坐标，并由此建立有关a 、b 、c 的齐次方程，考查计算能力，属于中等题. 12.定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ） A.32B. 23-C.23D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：（每小题5分，共20分）13.曲线()21ln y x x =+在点()1,0处的切线方程为__________. 【答案】330x y --= 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在1x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【详解】求导可得212ln x y x x+'=+，故切线斜率为31y x '==， 故切线方程()31y x =-，即330x y --=.故答案为：330x y --=．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14.若实数x ，y 满足条件32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨⎪⎪⎩，则34z x y =+的最大值为_____________.【答案】18 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,3p 处取得最大值， 最大值为：max 34324318z x y =+=⨯+⨯=. 故答案为 18．15.已知tan 74πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=__________. 【答案】247【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出tan α的值，再利用二倍角的正切公式可求出tan2α的值.【详解】tan tan71344tan tan 4417141tan tan 44ππαππααππα⎛⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥+⨯⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭， 因此，22322tan 316244tan 21tan 277314ααα⨯===⨯=-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：247. 【点睛】本题考查利用两角差和二倍角的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题. 16.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为________. 【答案】36π 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ，可知该圆柱的高为2r ，计算出圆柱的体积，可求得r 的值，进而可求得圆柱的侧面积.【详解】设圆柱的底面半径为r ，由于该圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱的高为2r ， 所以，圆柱的体积为232254V r r r πππ=⨯==，解得3r =. 因此，该圆柱的侧面积为222244336S r r r ππππ=⨯==⨯=. 故答案为：36π.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，同时也考查了圆柱的体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2882a a +=，419S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值.【答案】（1）512n a n =-；（2）625 【解析】 【分析】（1）由题，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2882a a +=，419S S =，求得1,a d ，可求得通项公式； （2）先利用求和公式，求得n S ，即可求得最大值.【详解】（1）由题，因为等差数列{}n a ，2882a a +=，所以12882a d += 又419S S =，所以4191141409841(9)022S S a d a d ⨯⨯-=+-+= 解得149,2a d ==-所以1(1)512n a a n d n =+-=- （2）由（1）可得：221()50(25)6252n n n a a S n n n +==-+=--+ 可得当n=25时，n S 取最大值为625【点睛】本题考查了数列，熟悉等差数列的通项和求和公式是解题的关键，熟记基础题. 18.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：（1）请填写下表（先写出计算过程再填表）： 平均数 方差命中9环及9环以上的次数甲 71.21乙（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.参考公式：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦.【答案】（1）详见解析；（2）①甲成绩比乙稳定；②乙成绩比甲好些；③乙更有潜力. 【解析】 【分析】（1）根据统计图列举出甲、乙两人各射击10次中靶环数，并计算出乙射击10次中靶环数的平均数、方差以及命中9环及9环以上的次数，由此可完善表格；（2）①根据表格中的数据甲、乙两人的平均数和方差的大小，由此可得出结论；②根据表格中的数据甲、乙两人的平均数和命中9环及9环以上的次数的大小，由此可得出结论； ③根据甲、乙两人射击命中环数的波动情况可得出结论. 【详解】解：（1）由列联表中数据，计算由题图，知：甲射击10次中靶环数分别为9、5、7、8、7、6、8、6、7、7.将它们由小到大排列为5、6、6、7、7、7、7、8、8、9.乙射击10次中靶环数分别为2、4、6、8、7、7、8、9、9、10. 将它们由小到大排列为2、4、6、7、7、8、8、9、9、10； （1）x 乙()124672829210710=⨯+++⨯+⨯+⨯+=（环）， ()()()()()()()22222222127476777287297210710s ⎡⎤=⨯-+-+-+-⨯+-⨯+-⨯+-⎣⎦乙()125910289 5.410=⨯++++++=. 填表如下： 平均数 方差命中9环及9环以上的次数甲71.2 1乙 7 5.4 3（2）①平均数相同，22s s <甲乙，∴甲成绩比乙稳定；②平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些；③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力. 【点睛】本题考查统计图表的应用，同时也考查了平均数、方差的计算，考查计算能力与数据处理能力，属于基础题.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，且AD BC ⊥，四边形11ABB A 为正方形.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）若60BAC ∠=， 4BC =，求点1A 到平面1AB D 的距离.【答案】45【解析】 【分析】（Ⅰ）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）根据等体积法求高，即得结果.【详解】（Ⅰ）连接1BA ，交1AB 于点E ，再连接DE ， 由已知得，四边形11ABB A 为正方形，E 为1AB 的中点，∵D 是BC 的中点，∴1//DE A C ，又DE ⊂平面1AB D ，1AC ⊄平面1AB D ， ∴1//AC 平面1AB D . （Ⅱ）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ,且BC 为它们的交线，又AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵1B D ⊂平面11BCC B , ∴1AD B D ⊥，且123,25AD B D ==.同理可得，过D 作DG AB ⊥，则DG ⊥面11ABB A ，且3DG =设1A 到平面1AB D 的距离为h ,由等体积法可得：1111A AB D D AA B V V --=，即111111113232AD DB h AA A B DG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，即45325443,5h h =⋅∴=. 即点1A 到平面1AB D 45. 【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题.20.已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （1）求p 的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】（1）6p ；（2）点N 在定直线3y =上．【解析】 【分析】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；【详解】解：（1）依题意设直线1l 的方程为2py x =+， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径2r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离221221(1)p d -+==+-1222p -+=6p 或2p =-（舍去）．所以6p ；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，∴()12,6MN MA MB x m =+=-， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 21.已知函数()()1ln f x x a ax=+∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行． (1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增. （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由()1'12f =可得2a =，利用导数可求()f x 的单调区间.（2）由121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=可得1211212ln x x x x x -=，2121212lnx x x x x -=，令12x t x =，则()0,1t ∈且121+=2ln t t x x t-，构建新函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，利用导数可以证明()1h t >即121x x +>. 【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a =-='，解得2a =， ()1ln 2f x x x ∴=+，()22112122x f x x x x -∴=-=' 令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减； 令()0f x '>，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增. （2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+= 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-= 即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x xx x x x -=， 因此1211212ln x x x x x -=，2121212lnx x x x x -=令12x t x =，由12x x <，得01t <<. 则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=， 构造函数()()12ln 01h t t t t t=--<<，则()()22211210t h t t t t -=+-=>'所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->.故命题121x x +>得证.【点睛】（1）一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤． （2）函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，考虑它们的和或积的性质时，我们可以通过设12x t x =，再利用()()120,0f x f x ==得到12x x +、12x x 与t 的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos cos23ρθθ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为（2,1），求直线l 的方程.【答案】（1）2213y x -=；（2）611y x =- 【解析】 【分析】（1）曲线C 的极坐标方程中将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程2{1x tcos y tsin αα=+=+代入C 的直角坐标方程得()()2232cos 1sin 3t t αα+-+=，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得122212cos 2sin 03cos sin t t αααα-+=-=-，从而可得结果.【详解】（1）由题目知曲线C 的极坐标方程可化为()2223cos sin 3ρθθ-=，即22223cos sin 3ρθρθ-=，即2233x y -=，∴ 曲线C 的直角坐标方程为2213y x -=.（2）将直线l 的参数方程2{1x tcos y tsin αα=+=+代入C 的直角坐标方程得()()2232cos 1sin 3t t αα+-+=，整理可得()()2223cos sin 12cos 2sin 80t t αααα-+-+=，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=， ∴ 122212cos 2sin 012cos 2sin 03cos sin t t αααααα-+=-=⇒-=-， ∴ 直线l 的斜率tan 6k α==， ∴ 直线l 的方程为611y x =-.【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可. 23.已知函数()13f x x x =-+- （1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a ba b +≥++.【答案】（1）[]1,5；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对x 按1x <，13x ≤≤，3x ≥进行分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；（2）根据绝对值三角不等式得到()f x 最小值c 的值，再令1a m +=，1b n +=，由基本不等式进行证明. 【详解】①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥. 又1x <，x ∴∈∅；②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥. 又13x ≤≤，13x ∴≤≤.③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤. 又3x >，35x ∴<≤.综上所得，15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1,5.（2）证明：由绝对值不等式性质得，()13(1)(3)2f x x x x x =-+-≥-+-=，2c ∴=，即2a b +=.令1a m +=，1b n +=，则1m ，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，2222(1)(1)11a b m n a b m n--+=+++ 21144412m n m n mn m n =+-++=≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，原不等式得证．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用基本不等式进行证明，属于中档题.。

普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第二次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1)i i-= A ．22i -+B ．2C ．2-D ．22i -2．设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则 A ．φ=⋂N M B ．φ=⋃N MC ．M N =D ．M N R =U3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45 B ．45-C ．35 D ．35-4．若两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r rA ．2B ．3C D5．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．236．已知233a -=，432b -=，ln3c =，则 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为A 5B ．2C 3D 58．三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA=2，AB=AC=3，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A ．π12B ．π8C ．π38D ．π349．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设 计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为 A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43， 则异面直线PA 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．若将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g(x)＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是A ．－12B ．－32C ．22D ．12 12．已知函数f(x)＝(3x ＋1)ex ＋1＋mx(m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m 的取值范围是20120120120120120A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛2,5eB ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e eC ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,21eD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--e e 25,4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f(x)＝log 21－x 1＋x ，若f(a)＝12，则f(－a)＝________．14．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为__________．15．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是__________．16．已知点A(0,1)，抛物线C ：y 2＝ax(a>0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a 的值为________． 三．解答题17．（本小题满分12分）{a n }的前n 项和S n 满足：a n +S n =1 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若1+=n nn a a C ，数列{C n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1． 18．（本小题满分12分）随着互联网的快速发展，基 于互联网的共享单车应运而生， 某市场研究人员为了了解共享单 车运营公司M 的经营状况，对 该公司最近六个月的市场占有 率进行了统计，并绘制了相应 的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占 有率y 与月份代码x 之间的关系， 求y 关于x 的线性回归方程，并 预测M 公司2017年4月的市场占 有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和 1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最 多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使 用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定 先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两 款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：回归直线方程为$$y bx a =+$，其中2121121)())((ˆx n xyx n y xx xy y x xb n i ini i in i ii ni i--=---=∑∑∑∑====，$ay bx =-$． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平 面ABCD 所成的角相等，求PDPM的值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q)(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是直线x=－4与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l的参数方程为：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数|1|||)(--=x x x f ．(1)若|1|)(-≥m x f 的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数y x ,满足M y x =+22，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：xy y x 2≥+．高三第二次模拟理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBDBDABCADB二．填空题：13. —2114.—24; 15.24<<-k ; 16. 212．已知函数f(x)＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx(m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤5e ，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－83e 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4e ，－52e 答案 B解析 由f(x)≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)ex ＋1，设g(x)＝mx ，h(x)＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h ′(x)＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)ex ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h ′(x)>0，得－(3x ＋4)>0，即x<－43，由h ′(x)<0， 得－(3x ＋4)<0，即x>－43，故当x ＝－43时，函数h(x) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x)， y ＝g(x)的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足 g(x)≤h(x)的整数解超过两个，不满足条件；当m<0时， 要使g(x)≤h(x)的整数解只有两个，则需满足()()()()⎩⎨⎧-<--≥-,33,22g h g h即⎩⎨⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－52e ，m<－83e 2，即－52e ≤m<－83e 2，即实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e e ，故选B.16已知点A(0,1)，抛物线C ：y 2＝ax(a>0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|∶|MN|＝1∶3，所以|KN|∶|KM|＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN||KM|＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.三．解答题：17.解析：(1)由a n +S n =1得a n-1+S n-1=1(n ≥2) 两式相减可得：2a n =a n-1即211=-n n a a ，又211=a ∴{a n }为等比数列，∴a n =n )21((2)n n n nn C 211211)21()21(<+=+= 故12112112112121212121321<-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++=n n nn n C C C C T ΛΛ 18.解：(1)由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x=-=∑，35217.5b ==$，$162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=$，∴$29y x =+， 7x =时，$27923y =⨯+=.即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%.(2)由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1， ∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)∵175150>， ∴应该采购A 款车. 19.(1）证明：在平行四边形中，因为，， 所以．由分别为的中点，得，所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，所以，，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等， 所以，即，所以，解得，或（舍）．综上所得：20.【解析】（1）依题意，设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为c 2。

宁夏银川市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由图可知月收入的极差为903060-=，故选项A 正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B 正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.2．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.3．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题4．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为y =，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为()0,1可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题. 5．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的1（纵坐标不变），再向右平移π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π个单位长度，故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =， 所以2,()22-==-x x a f x ，()f x 在R 上单调递增， 所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D. 【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ）A ．48B ．63C ．99D ．120【答案】C 【解析】 【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n. 【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1 所以210199n =-= 故选：C. 【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题. 8．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题9．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的．故选：B ． 【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题． 10．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π【答案】C 【解析】 【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】 ∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭. 22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 11．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．12．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年宁夏六盘山高中高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={0,2,a}，B={1,a2}，若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为()A. 0B. 1C. 2D. 43.等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项和为()A. −24B. −3C. 3D. 84.设向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(0,−2).则与a⃗+2b⃗ 垂直的向量可以是()A. (3,2)B. (3,−2)C. (4,6)D. (4,−6)5.用一平面去截体积为4√3π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为()A. 2B. √3C. √2D. 16.(x+y)(2x−y)5的展开式中的x3y3系数为()A. −80B. −40C. 40D. 807.下列命题中，错误命题是()A. “若1a <1b，则a>b>0”的逆命题为真B. 线性回归直线ŷ=b̂x+â必过样本点的中心(x−,y−)C. 在平面直角坐标系中到点(0,−1)和(0,1)的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D. 在锐角△ABC中，有sin2A>cos2B8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x=()A. 35 B. 911 C. 2123 D. 45479. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2]C. (√3,+∞)D. [2,+∞)10. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A −BD −C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°． 其中错误的结论是( )A. ①B. ②C. ③D. ④11. 函数f(x)=ln √x 3+mx 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−13e ,0)B. (−13e ,+∞)C. (−∞,−13e )D. (−1e ,−13e )12. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为( ) A. 3 B. 2√2 C. √5 D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X =4)<P(X =6)，则p =______．14. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(−π3)的值是______．15. 若数列{a n }满足a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n 2a n ，a 2020=______． 16. “解方程(35)x +(45)x =1”有如下思路；设f(x)=(35)x +(45)x ，则f(x)在R 上单调递减，且f(2)=1，故原方程有唯一解x =2，类比上述解题思路，不等式x 6−(x +2)>(x +2)3−x 2的解集是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsinA =3csinB ，a =3，cosB =23． (Ⅰ)求b 的值；(Ⅱ)求sin(2B −π3)的值．18. 某公司(人数众多)为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工1：3的比例分层抽样，得到200名员工的月使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如图所示． (1)求a 的值，并估计这200名员工月使用流量的平均值x −(同一组中的数据用中点值代表)(2)若将月使用流量在800M 以上(含800M)的员工称为“手机营销达人”，填写如表的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“成为手机营销达人与员工的性别有关”；男员工女员工合计手机营销达人5______ ______非手机营销达人______ ______ ______合计______ ______ 200参考公式及数据：K2=n(ab−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.005k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879(3)若这200名员工中有2名男员工每月使用流量在[900,1000]，从每月使用流量在[900,1000]的员工中随机抽取名3进行问卷调查，记女员工的人数为X，求X的分布列和数学期望．19.如图所示，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠ABC=90°，AB=√3，BC=1，AD=2√3，CD=4，E为CD的中点．求证：(1)AE//平面PBC；(2)求二面角B−PC−D的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4√3x的焦点重合，且离心率为√32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率与k1，k，k2点成等比数列，求直线l的斜率及|OM|2+|ON|2的值．21.已知函数f(x)=ax2−ax−xlnx，且f(x)≥0．(Ⅰ)求a；(Ⅱ)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e−2<f(x0)<2−2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C的极坐标方程；(2)设M的极坐标为(√2,π4)，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若|MA|= 2|MB|，求AB的弦长．23.(1)设函数f(x)=|x−1a|+|x+a|(a>0).证明：f(x)≥2；(2)若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．利用“ab =0”与“复数a +bi 为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件． 【解答】解：因为“ab =0”得a =0或b =0，只有a =0，并且b ≠0，复数a +bi 为纯虚数，否则不成立；复数a +bi =a −bi 为纯虚数，所以a =0并且b ≠0，所以ab =0，因此a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数a +bi 为纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B ．2.【答案】D【解析】解：∵A ={0,2,a}，B ={1,a 2}，A ∪B ={0,1,2,4,16}∴{a 2=16a =4∴a =4， 故选：D ．根据题意，由并集的计算方法，结合a 与a 2的关系，易得{a 2=16a =4，即可得答案． 本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查等差数列前n项和的求法，等比数列的性质，属于基础题．根据题意，求出公差d，即可得解．【解答】解：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，(d≠0)，又a1=1，∵a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2⋅a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，解得d=−2，则{a n}的前6项和为：6a1+6×52d=6×1+6×52×(−2)=−24．故选A．4.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(0,−2)．∴a⃗+2b⃗ =(2,−3)，∵(2,−3)⋅(3,2)=6−6=0，∴与a⃗+2b⃗ 垂直的向量可以是(3,2)．故选：A．求出a⃗+2b⃗ =(2,−3)，由此利用向量垂直的性质能求出与a⃗+2b⃗ 垂直的向量的可能结果．本题考查向量的坐标运算、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：球的体积4√3π，则球的半径是√3，截面的面积为π，则截面圆的半径是1，所以球心到截面的距离为√2故选C．先求球的半径，再求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．本题考查球的体积，点到平面的距离，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，考查了计算能力，属于中档题．先写出(2x−y)5的展开式的通项公式：T r+1=25−r(−1)r C5r x5−r y r.令5−r=2，解得r=3.令5−r=3，解得r=2.即可得到最终答案．【解答】解：(2x−y)5的展开式的通项公式：T r+1=C5r(2x)5−r(−y)r=25−r(−1)r C5r x5−r y r．令5−r=2，解得r=3．令5−r=3，解得r=2．∴(x+y)(2x−y)5的展开式中的x3y3系数为22×(−1)3C53+23×1×C52=40．故选C．7.【答案】C【解析】解：选项A：“若1a <1b，则a>b>0”的逆命题为：若a>b>0，则1a<1b显然是真命题；选项B：线性回归直线ŷ=b̂x+â必过样本点的中心，所以B正确；选项C：在平面直角坐标系中到点(1,0)和(0,1)的距离的和为√2的点的轨迹为线段，所以C不正确．选项D：在锐角△ABC中，有A+B>π2，A>π2−B，所以sinA>sin(π2−B)=cosB，可得sin2A>cos2B，所以D正确；故选：C．利用四中命题是真假判断选项A的正误；回归直线方程的性质判断B的正误；椭圆的定义判断C的正误；三角形的性质以及正弦函数的单调性判断D的正误；本题主要考查数学的基本概念：命题、回归直线、轨迹、解三角形，是基本知识的考查．8.【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．【解答】解：i=1时．x=2x−1，i=2时，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3时，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4时，退出循环，此时8x−7=13x解得x=2123，故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．先求出切线的斜率，再利用圆(x−1)2+y2=34的一条切线y=kx与双曲线C：x2a2−y2 b2=1(a>0,b>0)没有公共点，得到ba≤√3，1+b2a2≤4，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=√k2+1=√32，∴k=±√3，圆(x−1)2+y2=34的一条切线y=kx与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)没有公共点，与其中一条渐近线y=bax斜率比较即可，∴ba ≤√3，1+b2a2≤4，∴双曲线C的离心率的取值范围是(1,2]．故答案选：B．【解析】 【分析】取BD 的中点E ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD.根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC 长后，可以判断②的真假；求出AB 与平面BCD 所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB 与CD 所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A −BD −C ，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键． 【解答】解：取BD 的中点E ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD.∴BD ⊥面AEC ． ∴BD ⊥AC ，故①正确．设正方形边长为a ，则AD =DC =a ，AE =√22a =EC ．∴AC =a ．∴△ACD 为等边三角形，故②正确．∠ABD 为AB 与面BCD 所成的角为45°，故③不正确．以E 为坐标原点，EC 、ED 、EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系， 则A(0,0,√22a)，B(0,−√22a,0)，D(0,√22a,0)，C(√22a,0,0)．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√22a,−√22a)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a,−√22a,0)．cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=12a 2a 2=12∴<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°，故④正确． 故选C ．【解析】解：函数f(x)=ln √x 3+mx 在R +上有两个不同的零点可化为 y =13lnx 与y =−mx 在R +上有两个不同的交点，作函数y =13lnx 与y =−mx 在R 上的图象如下，当直线与y =13lnx 相切时，设切点(x,f(x)) 则13x=13lnx x，解得，x =e ；故直线与y =13lnx 相切时，切线的斜率−m =13e ；m =−13e ； 故实数m 的取值范围是(−13e ,0)； 故选：A ．函数f(x)=ln √x 3+mx 有两个不同的零点，可化为y =13lnx 与y =−mx 在R +上有两个不同的交点，作图求解．本题考查了数形结合的应用及函数的零点与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于较难题．以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2)，根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进行求解即可． 【解答】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)， ∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ， ∵BC =2，CD =1，∴BD =√22+12=√5∴12BC ⋅CD =12BD ⋅r ， ∴r =√5，∴圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=45， 设点P 的坐标为(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2)，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)， ∴2√55cosθ+1=λ，2√55sinθ+2=2μ，∴λ+μ=2√55cosθ+√55sinθ+2=sin(θ+φ)+2，其中tanφ=2，∵−1≤sin(θ+φ)≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选A ．13.【答案】0.6【解析】解：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布，则D(X)=10p(1−p)=2.4，解得p=0.4或p=0.6，又P(X=4)<P(X=6)，即C104p4(1−p)6<C106p6(1−p)4，化简得(1−p)2<p2，解得p>12，所以p=0.6．故答案为：0.6．说明使用移动支付的人数X服从二项分布，利用D(X)=2.4，求出概率，通过P(X=4)< P(X=6)，列出不等式，判断概率即可．本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．14.【答案】−√62【解析】【分析】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(−π3)的值．【解答】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象，得A=√2，T4=14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2．再根据五点法作图可得，，则取φ=π3，故f(x)=√2sin(2x+π3).∴f(−π3)=−√62，故答案为−√62．15.【答案】12020【解析】解：因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n2a n，所以当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=(n−1)2a n−1，两式相减得：na n=n2a n−(n−1)2a n−1，即n(n−1)a n=(n−1)2a n−1，所以na n=(n−1)a n−1=⋯=2a2=a1，由a1=1可知a n=a1n =1n，所以a2020=12020．故答案为：12020．因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n2a n，可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=(n−1)2a n−1，两式相减得：na n=n2a n−(n−1)2a n−1，化简整理即可得出．本题考查了数列递推关系、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】(−∞,−1)∪(2,+∞)【解析】【分析】本题考查了合情推理的应用问题，解题时应把复杂的高次不等式转化为一元二次不等式，构造函数并利用函数的单调性进行转化是关键，是中档题．根据题意，把不等式变形为x6+x2>(x+2)3+(x+2)，利用函数f(x)=x3+x的单调性把该不等式转化为一元二次不等式，从而求出解集．【解答】解：不等式x6−(x+2)>(x+2)3−x2变形为，x6+x2>(x+2)3+(x+2)；令u=x2，v=x+2，则x6+x2>(x+2)3+(x+2)⇐⇒u3+u>v3+v；考察函数f(x)=x3+x，知f(x)在R上为增函数，∴f(u)>f(v)，∴u>v；不等式x6+x2>(x+2)3+(x+2)可化为x2>x+2，解得x<−1或x>2；∴不等式的解集为：(−∞,−1)∪(2,+∞)． 故答案为(−∞,−1)∪(2,+∞)．17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理a sinA =bsinB ，可得bsinA =asinB ，又bsinA =3csinB ，可得a =3c ，又a =3，所以c =1． 由余弦定理可知：b 2=a 2+c 2−2accosB ，cosB =23， 即b 2=32+12−2×3×cosB ， 可得b =√6．(Ⅱ)由cosB =23，可得sinB =√53，所以cos2B =2cos 2B −1=−19， sin2B =2sinBcosB =4√59， 所以sin(2B −π3)=sin2Bcos π3−sin π3cos2B=4√59×12−(−19)×√32=4√5+√318．【解析】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，属于较易题． (Ⅰ) 直接利用正弦定理推出bsinA =asinB ，结合已知条件求出c ，利用余弦定理直接求b 的值；(Ⅱ) 利用(Ⅰ)求出B 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解sin(2B −π3)的值．18.【答案】35 40 45 115 160 50 150【解析】解：(1)由已知：a =1100×[1−(0.001+0.0015+0.003+0.0015+0.0005)×100]=0.0025，x −=450⋅0.1+550⋅0.15+650⋅0.25+750⋅0.3+850⋅0.15+950⋅0.05=690． (2)由已知得2×2列联表如下：男员工女员工合计手机营销达人53540非手机营销达人45115160合计50150200由表中数据可得：K2的观测值k=200×(5×115−35×45)240×160×50×150=256≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“手机营销达人与员工的性别有关”．(3)由频率分布直方图可得在[900,1000]的员工共有：200×0.05=10人，X的取值为1，2，3，P(X=1)=C22C81C103=8120，P(X=2)=C21C82C103=56120，P(X=3)=C20C83C103=56120，所以X的分布列如下：X123P81205612056120所以E(X)=1×8120+2×56120+3×56120=125．(1)由频率分布直方图能求出a，从而能估计这200名员工月使用流量的平均值x−．(2)由已知作出2×2列联表，求出K2的观测值k=256≈4.167>3.841，从而有超过95%的把握认为“手机营销达人与员工的性别有关”．(3)由频率分布直方图可得在[900,1000]的员工共10人，X的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查频率、平均数廓散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：∵AB=√3，BC=1，∠ABC=90°，∴AC=2，∠BCA=60°，又AD=2√3，CD=4，∴AC2+AD2=CD2，∴AC⊥AD．∵E是CD的中点，∴AE=12CD=CE，tan∠ACD =AD AC=√3，∴∠ACD =60°，∴△ACE 是等边三角形，∴∠CAE =60°， ∴∠BCA =∠CAE ，∴BC//AE ，又BC ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ， ∴AE//平面PBC ．(2)由(1)可知AB ⊥AE ，以A 为原点，以AB ，AE ，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则P(0,0,2)，B(√3,0,0)，C(√3,1,0)，D(−√3,3,0)，E(0,2,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−2)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)． 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{√3x 1−2z 1=0√3x 1+y 1−2z 1=0，{√3x 2+y 2−2z 2=02y 2−2z 2=0，令x 1=1得m ⃗⃗⃗ =(1,0,√32)，令y 2=1得n ⃗ =(√33,1,1)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33+0+√32√74⋅√73=57． ∴二面角B −PC −D 的余弦值为−57．【解析】(1)分别计算∠BCA 和∠CAE 得出两角相等，得出AE//BC ，故而AE//平面PBC ； (2)建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小． 本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)依题意得c =√3，c a =√32，得a =2，又a 2−b 2=3得b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +m x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， ∴x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2．由题设知k 2=k 1k 2=y 1y2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2，∴km(x 1+x 2)+m 2=0，∴−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，∵m ≠0，∴k 2=14，k =±12此时(x 1+x 2)2=(−8km1+4k 2)2=4m 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2=2(m 2−1)，则|OM|2+|ON|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+1−14x 12+x 22+1−14x 22=34×(x 12+x 22)+2=34×[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2=34×[4m 2−4(m 2−1)]+2=5，故直线l 的斜率为k =±12，|OM|2+|ON|2=5．【解析】(1)由题得关于a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据k 2=k 1k 2=y 1y2x 1x2和韦达定理求出k 的值．再根据|OM|2+|ON|2=x 12+y 12+x 22+y 22和韦达定理求出|OM|2+|ON|2=5．本题主要考查椭圆标准方程的计算和简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．21.【答案】(1)解：因为f(x)=ax 2−ax −xlnx =x(ax −a −lnx)(x >0)，则f(x)≥0等价于ℎ(x)=ax −a −lnx ≥0，求导可知ℎ′(x)=a −1x ． 则当a ≤0时ℎ′(x)<0，即y =ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减， 所以当x 0>1时，ℎ(x 0)<ℎ(1)=0，矛盾，故a >0． 因为当0<x <1a 时ℎ′(x)<0，当x >1a 时ℎ′(x)>0， 所以ℎ(x)min =ℎ(1a )，又因为ℎ(1)=a −a −ln1=0， 所以1a =1，解得a =1；另解：因为f(1)=0，所以f(x)≥0等价于f(x)在x >0时的最小值为f(1)， 所以等价于f(x)在x =1处是极小值， 所以解得a =1；(2)证明：由(1)可知f(x)=x 2−x −xlnx ，f ′(x)=2x −2−lnx ，令f ′(x)=0，可得2x −2−lnx =0，记t(x)=2x −2−lnx ，则t ′(x)=2−1x ， 令t ′(x)=0，解得：x =12，所以t(x)在区间(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，所以t(x)min =t(12)=ln2−1<0，从而t(x)=0有解，即f ′(x)=0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′(x)在(0,x 0)上为正、在(x 0,x 2)上为负、在(x 2,+∞)上为正， 所以f(x)必存在唯一极大值点x 0，且2x 0−2−lnx 0=0，所以f(x 0)=x 02−x 0−x 0lnx 0=x 02−x 0+2x 0−2x 02=x 0−x 02， 由x 0<12可知f(x 0)<(x 0−x 02)max =−122+12=14； 由f ′(1e )<0可知x 0<1e <12，所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,1e )上单调递减， 所以f(x 0)>f(1e )=1e 2；综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e −2<f(x 0)<2−2．【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．(1)通过分析可知f(x)≥0等价于ℎ(x)=ax −a −lnx ≥0，进而利用ℎ′(x)=a −1x 可得ℎ(x)min =ℎ(1a )，从而可得结论；(2)通过(1)可知f(x)=x 2−x −xlnx ，记t(x)=f′(x)=2x −2−lnx ，解不等式可知t(x)min =t(12)=ln2−1<0，从而可知f′(x)=0存在两根x 0，x 2，利用f(x)必存在唯一极大值点x 0及x 0<12可知f(x 0)<14，另一方面可知f(x 0)>f(1e )=1e 2．22.【答案】解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=0， 即曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ；(2)由点M 的极坐标为(√2,π4)，直角坐标为M (1,1)， 设直线l 的参数方程是{x =1+t ⋅cosαy =1+t ⋅sinα(t 为参数)①， 曲线C 的直角坐标方程是x 2+y 2−4y =0，②， ①②联立，得t 2+2(cosα−sinα)t −2=0， ∴t 1t 2=−2，且|MA|=2|MB|， ∴t 1=−2t 2，则t1=2，t2=−1或t1=−2，t2=1，∴AB的弦长|AB|=|t1−t2|=3．【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用，属于中档题．(1)由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；(2)先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2(cosα−sinα)t−2=0，由此能求出AB的弦长．23.【答案】证明：(1)由a>0，有f(x)=|x−1a |+|x+a|≥|(x−1a)−(x+a)|=1a+a≥2，又1a+a≥2，当且仅当a=1时取等号．所以f(x)≥2；(2)∵实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，∴由柯西不等式得：[x2+(2y)2+z2](1+1+1)≥(x+2y+z)2，当且仅当x1=2y1=z1即x=z=1，y=12时取“=”号，整理得：(x+2y+z)2≤9，∴|x+2y+z|≤3．【解析】本题考查不等式的证明，考查绝对值、均值定理、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由a>0，得f(x)=|x−1a |+|x+a|≥|(x−1a)−(x+a)|=1a+a，由此能证明f(x)≥2．(2)由柯西不等式得：[x2+(2y)2+z2](1+1+1)≥(x+2y+z)2，当且仅当x=z=1，y=12时取“=”号，由此能证明|x+2y+z|≤3．第21页，共21页。