2020届宁夏六盘山高中高考理科数学二模试题

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题.1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．209．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．211．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题13．已知tan x＝2，求cos2x＝．14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选：B．2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为△OAB，则三角形的面积为S＝×1×2＝1，点P取自圆x2+y2＝2内部的面积为圆面积的，即×π×＝，则根据几何概型的概率公式可得，则点P取自圆x2+y2＝2内部的概率等于．故选：B．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m﹣1＝m＜1，当m≤0时，函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y＝log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．解：由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，故a≥﹣sin x恒成立，因为﹣1≤﹣sin x≤1，所以a≥1．故选：B．6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．＝﹣＝＝．故选：D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S＝1﹣，i＝4，第2次循环：S＝1﹣﹣，i＝8，第3次循环：S＝1﹣﹣﹣，i＝16，…依此类推，第7次循环：S＝1﹣﹣﹣﹣…﹣，i＝256，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：i≤128？，执行框②应填入：s＝s﹣，③应填入：i＝2i．故选：B．8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．20【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解：令x＝1可得展开式的各项系数之和为2n＝32，∴n＝5，故其展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝10，故选：C．9．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【分析】复数i的幂的计算，直接乘积展开可得结果．解：i3（1+i）2＝（﹣i）（2i）＝2，故选：A．10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9＝2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2＝1即可求出a1的值．解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8＝2（a1q4）2，即q2＝2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q＝，故a1＝．故选：B．11．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|＝2 ＝4b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得＝；∴e＝＝＝＝．故选：B．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y＝x与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+＝1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y＝x与第二个椭圆（x﹣4）2+＝1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y＝x代入（x﹣4）2+＝1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2＝0，令t＝9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t＝0，由△＝（8t）2﹣4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m＞，同样由y＝x与第三个椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）由△＜0可计算得m，综上可知m∈（，）．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan x＝2，求cos2x＝．【分析】已知tan x＝2，根据弦切互化公式得cos2x＝＝＝；而cos2x ＝2cos2x﹣1，代入求出值即可．解：∵tan x＝2，∴cos2x＝＝＝；所以cos2x＝2cos2x﹣1＝2×﹣1＝﹣故答案为﹣14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．【分析】根据即可得出，然后根据平面向量基本定理即可得出r，s的值，从而得出3r+s的值．解：如图，∵，∴，∴根据平面向量基本定理得，，∴．故答案为：．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为1或3．【分析】分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，由线段AB的中点到直线x＝的距离为1，设M（x 0，y 0），可得|x 0﹣|＝1，由此求得p值．解：分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，∴梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，可得x0+＝2，x0＝2﹣，∵线段AB的中点到直线x＝的距离为1，可得|x0﹣|＝1，∴|2﹣p|＝1，解得p＝1或p＝3，故答案为：1或3．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝45．【分析】由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个整数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个数，可得2×＜2021，解出即可得出．解：由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个正奇数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个奇数，∴2×＜2021，即n（n﹣1）＜2021，而45×44＝1980＜2021.46×45＝2070＞2021．∴n＝45，故答案为：45．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．【分析】（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A，得2cos A＝1，所以．（Ⅱ）由△ABC的面积为及⇒bc＝6，由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，，即可得．解：（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A……又0＜A＜π，所以sin A≠0，得2cos A＝1，所以……（Ⅱ）由△ABC的面积为及，得，即bc＝6……又a＝3，从而由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，所以……所以……18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．【分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为4，频率为0.0125×10＝0.125，∴全班人数为人．∴分数在[80，100]之间的频数为32﹣4﹣8﹣10＝10，∴分数在[80，100]之间的频率为＝0.3125；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为X0123P数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1.2．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．【分析】（1）取BC的中点F，连OF，PF，证明OF⊥BC，BC⊥PF，得到BC⊥面POF从而证明BC⊥PO，可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为，得到AC与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝解：（1）PA＝PE，OA＝OE∴PO⊥AE（1）取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为PB＝PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF从而BC⊥PO（2）由（1）（2）可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为AC 与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由已知条件推出，，所以λ1+λ2＝﹣3，即y1y2+m（y1+y2）＝0，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l过定点．解：（1）由题意可知，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由知，（x1，y1﹣m）＝λ1（x0﹣x1，﹣y1），∴y1﹣m＝﹣y1λ1，由题意λ1≠0，∴，同理由知，，∴λ1+λ2＝﹣3，∴y1y2+m（y1+y2）＝0 ①，联立方程，消去x得：（t2+3）y2﹣2mt2y+t2m2﹣3＝0，∴需△＝4m2t4﹣4（t2+3）（t2m2﹣3）＞0 ②，且有，③，把③代入①得：t2m2﹣3+m•2mt2＝0，∴（mt）2＝1，由题意mt＜0，∴mt＝﹣1，满足②式，∴直线l的方程为x＝ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得b ＝0，得到f（x）和g（x）的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得f（x）的解析式，由条件化简可得2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，求得导数和单调区间，可得h（t）的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的导数为：f′（x）＝﹣ax+b，可得图象在x＝1处的切线l的斜率为k＝1﹣a+b，切点为（1，1+b﹣a），由切线经过点（，），可得1﹣a+b＝，化简可得，b＝0，则f（x）＝lnx﹣ax2+1，g（x）＝lnx﹣ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），g′（x）＝﹣ax﹣（a﹣1）＝﹣，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得g（x）max＝g（）＝﹣lna﹣+1﹣1+＝﹣lna；（2）证明：a＝﹣4时，f（x）＝lnx+2x2+1，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2＝2，化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），即有2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，h′（t）＝1﹣，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．即有h（t）在t＝1取得最小值1，则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，则2x1+2x2﹣1≥0，可得x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【分析】（Ⅰ）由可得C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）求出A，B的极径，即可求|AB|．解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2＝1，由可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M＝4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c＝4，即[（a+b）+（b+c）]＝1∴+＝[（a+b）+（b+c）]（+）＝（1+1++）≥（2+2）≥×4＝1，当且仅当＝即a+b＝b+c＝2，即a＝c，a+b＝2时，取等号．∴+≥1成立．。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈+==,2，则 A ．M NB ．N M =C ．N MD ．φ=⋂N M2．复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为A ．32B ．12C ．12-D ．12i - 3．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+ 的最小值是A ．12 B ．－12C ．－2D ．44．若随机变量2~(,)X N μσ（0σ>），则有如下结论： ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布， 平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为 A ．19 B ．12 C ．6 D ．5 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A ．21B ．53C ．65D ．766．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的7名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服⊂≠⊂≠务时不相邻的概率为 A ．21 B ．31C ．61D ．41 7．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：()1232100,3sin 1004y t y t πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后（即12y y y =+）的声波的振幅为 A ．62B ．332+C ．32D ．538．“元旦”期间，银川某游乐园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入游乐园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时园内的人数是A ．212－57B ．211－47C ．210－38D ．29－309．如图，网格纸的小正形的边长是1，粗线画出的是一个 几何体的三视图，则这个几何体的体积为 A ．25 B ．27 C ．432+ D ．333+ 10．已知向量b a ,的夹角为ο120，且||1a =r，||2b =r ，则向量b a +在向量a 方向上的投影是A ．0B ．23C ．-1D ．1211．函数193cos 3-=x x xy 的图象大致为A B C D12．对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若x x x f +=ln )(是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．10,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.11,1e ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．()1,1e +D ．()21,1e + 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = . 14．由直线52y x =-+和曲线1y x =围成的封闭图形的面积为 .15．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,y y x x y 且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n ，则=-n m .16．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线成绩 5 26 57 28 8 1 2 6 7 7 8 90 8于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设坐标原点为O ，若OP mOA nOB=+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，且29mn =，则该双曲线的离心率为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）已知函数())62sin(cos 22π-+=x x x f（1）求函数()x f 的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合； （2）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2,23=+=c b A f ，求实数a 的取值范围。

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为 万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ， 即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件． 故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ， 则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β． 故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值． 故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}， 当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°， 由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95． 故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值． 故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0， 可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ， 由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ， 即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条． 设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400． 故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8， 当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元． 故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径 为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5， 设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165． 即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)． 若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75． （Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8， 所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600； 当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660； 当n ≥18时，Y ＝18×40＝720． 所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712． 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点， 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2）， 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π， 所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ． 故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0； （Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立， 设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）． 则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增， 则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ， 令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1， 故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意， 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解， 综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4， 故函数f （x ）的最小值是2， 故m ＝2，即a 2+b 2＝4， 则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95， 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4， 即a 2=103，b 2=23取“＝”， 故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。

2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8πB ．4πC ．2π D ．34π 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题：①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．5C 43D 537．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D8．若231()nx x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．5 C ．10 D ．209．复数32(1)(i i += )A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B 2C 2D ．2 11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．43B ．53C ．54D ．11412．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()1|2|,(1,3]m x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．15(，7)B ．4(3，7)C ．3(4，8)3D ．15(，8)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = ．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为 ．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 ．16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率； （2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【思路分析】根据题意，列举出A 的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案． 【解析】：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-、{1-，0，1}，四个； 故选：B ．【归纳与总结】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想． 2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8π B ．4πC ．2πD ．34π【思路分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论． 【解析】：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB ∆，则三角形的面积为11212S =⨯⨯=，点P 取自圆222x y +=内部的面积为圆面积的18，即21(2)84ππ⨯⨯=，则根据几何概型的概率公式可得，则点P 取自圆222x y +=内部的概率等于4π．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．利用数形结合是解决此类问题的基本方法． 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．【解析】：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确； ③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确． 所以正确的命题有①②④， 故选：C ．【归纳与总结】本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于基础题．4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】根据函数的性质求出m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：若函数()21x y f x m ==+-有零点，则(0)111f m m =+-=<， 当0m „时，函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数不成立，即充分性不成立，若log m y x =在(0,)+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点成立，即必要性成立，故“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的必要不充分条件， 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【思路分析】由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．【解析】：由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立， 故sin a x -…恒成立， 因为1sin 1x --剟， 所以1a …． 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础试题． 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C ．43 D ．53【思路分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．【解析】：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．11111111PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=- 2231322213=⨯⨯-⨯⨯⨯ 53=． 故选：D ．【归纳与总结】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D【思路分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累加并输出S 的值，由此得出结论． 【解析】：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：112S =-，4i =，第2次循环：11124S =--，8i =，第3次循环：1111248S =---，16i =，⋯依此类推，第7次循环：11111248128S =----⋯-，256i =，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：128i „？，执行框②应填入：1s s i=-，③应填入：2i i =． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键．8．若231()n x x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( )A ．1B ．5C ．10D ．20【思路分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解析】：令1x =可得231()n x x +展开式的各项系数之和为232n=， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=g ð，令1050r -=，求得2r =， 可得常数项为2510=ð， 故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 9．复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【思路分析】复数i 的幂的计算，直接乘积展开可得结果． 【解析】：32(1)()(2)2i i i i +=-=， 故选：A ．【归纳与总结】复数代数形式的运算，注意i 的幂的运算，是基础题．10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B C D ．2【思路分析】设等比数列的公比为q ，根据等比数列的通项公式把23952a a a =g 化简得到关于q 的方程，由此数列的公比为正数求出q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比q 的值和21a =即可求出1a 的值．【解析】：设公比为q ，由已知得28421112()a q a q a q =g ， 即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =，故21a a q ===． 故选：B ．【归纳与总结】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．43 B ．53 C ．54D【思路分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，进而求出离心率．【解析】：依题意212||||PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知可知1||2PF =4b =根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-，代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =；53c e a ∴==．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．12．已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3【思路分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当(1x ∈-，1]，[3，5]，[7，9]上时，()f x 的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线13y x =与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．【解析】：Q 当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线13y x =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第三个半椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …无公共点时，方程恰有5个实数解，将13y x =代入222(4)1y x m -+=(0)y …得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >，同样由 13y x =与第三个椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …由△0<可计算得m <，综上可知m ∈．故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查了函数的周期性．采用了数形结合的方法，很直观． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = 35- ．【思路分析】已知tan 2x =，根据弦切互化公式得222111cos sec 1tan 5x x x ===+；而2cos22cos 1x x =-，代入求出值即可．【解析】：tan 2x =Q ，222111cos sec 1tan 5x x x ∴===+； 所以213cos22cos 12155x x =-=⨯-=-故答案为35-【归纳与总结】考查学生会进行弦切互化，会化简二倍角的余弦，整体代入思想的运用能力．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则3r s +的值为 85．【思路分析】根据4CD DB =u u u r u u u r 即可得出4455CD AB AC =-u u u r u u u r u u u r，然后根据平面向量基本定理即可得出r ，s 的值，从而得出3r s +的值．【解析】：如图， Q 4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴444555CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，44,55r s ==-， ∴12483555r s +=-=． 故答案为：85．【归纳与总结】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 1或3 ．【思路分析】分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ，根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，由线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，设0(M x ，0y )，可得0||12px -=，由此求得p 值．【解析】：分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ， 设1(A x ，1y )，2(B x ，2y )，0(M x ，0y )根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，∴梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，可得022p x +=，022px =-，Q 线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，可得0||12px -=，|2|1p ∴-=，解得1p =或3p =， 故答案为：1或3．【归纳与总结】本题考查抛物线中参数的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = 45 ．【思路分析】由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个整数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个数，可得(1)220212n n -⨯<，解出即可得出．【解析】：由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个正奇数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个奇数，(1)220212n n -∴⨯<，即(1)2021n n -<，而454419802021.464520702021⨯=<⨯=>． 45n ∴=，故答案为：45．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、归纳推理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆，求11b c+的值． 【思路分析】（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==，得2cos 1A =，所以3A π=．（Ⅱ）由ABC ∆的面积为及6A bc π=⇒=，由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，b c +=，即可得11b c b c bc ++==． 【解析】：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==⋯⋯（3分）又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=⋯⋯（6分）（Ⅱ）由ABC ∆及3A π=，得1sin 23bc π=6bc =⋯⋯（8分） 又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=， 所以b c +=（10分）所以11b c b c bc ++==（12分）【归纳与总结】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率； （2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【思路分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60)之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列和数学期望． 【解析】：（1）由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频数为4，频率为0.0125100.125⨯=，∴全班人数为40.125人．∴分数在[80，100]之间的频数为32481010---=，∴分数在[80，100]之间的频率为100.312532=；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，则363101(0)6C P X C ===，12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，X 0 123P16 12 310 130 数学期望()0123 1.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【归纳与总结】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，考查分布列和数学期望，频率分布直方图，茎叶图，是统计和概论比较综合的应用，学会用图并掌握相关的重要公式是解答的关键．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．【思路分析】（1）取BC 的中点F ，连OF ，PF ，证明OF BC ⊥，BC PF ⊥，得到BC ⊥面POF从而证明BC PO ⊥，可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系，设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r r g r r u u u rr g ，得到AC 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r 【解析】：（1）PA PE =，OA OE PO AE =∴⊥（1） 取BC 的中点F ，连OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥面POF 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系{,,}OG OF OP u u u r u u u r u u u r，(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)A B C P AC AP AB --=-=-=u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r g r r u u u rr g 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r【归纳与总结】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,1)l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．【思路分析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-，由已知条件推出111m y λ=-，221my λ=-，所以123λλ+=-，即1212()0y y m y y ++=，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l 过定点．【解析】：（1）由题意可知2221b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-， 由1PM MQ λ=u u u u r u u u u r知，1(x ，1101)(y m x x λ-=-，1)y -，111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，∴111my λ=-，同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知，221my λ=-，123λλ∴+=-，1212()0y y m y y ∴++=①，联立方程2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，消去x 得：22222(3)230t y mt y t m +-+-=，∴需△2422244(3)(3)0m t t t m =-+->②，且有212223mt y y t +=+，2212233t m y y t -=+③，把③代入①得：222320t m m mt -+=g ，2()1mt ∴=，由题意0mt <，1mt ∴=-，满足②式，∴直线l 的方程为1x ty =+，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．【思路分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得0b =，得到()f x 和()g x 的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得()f x 的解析式，由条件化简可得2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-，求得导数和单调区间，可得()h t 的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．【解析】：（1）函数21()12f x lnx ax bx =-++的导数为：1()f x ax b x'=-+，可得图象在1x =处的切线l 的斜率为1k a b =-+，切点为1(1,1)2b a +-，由切线经过点1(2，1)2，可得111221112b a a b +---+=-， 化简可得，0b =，则21()12f x lnx ax =-+，21()1(1)(02g x lnx ax a x x =-+-->，0)a >，1(1)(1)()(1)x ax g x ax a x x +-'=---=-， 当10x a <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x a>时，()0g x '<，()g x 递减．可得1111()()1122max g x g lna lna a a a a==--+-+=-；（2）证明：4a =-时，2()21f x lnx x =++， 121212()()32f x f x x x x x ++++=，可得2211221212212132lnx x lnx x x x x x ++++++++=， 化为2212121212122(2)()()x x x x x x x x ln x x ++++=-， 即有2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-， 1()1h t t'=-，当1t >时，()0h t '>，()h t 递增；当01t <<时，()0h t '<，()h t 递减．即有()h t 在1t =取得最小值1，则212122()()1x x x x +++…， 可得1212(1)(221)0x x x x +++-…，则122210x x +-…，可得1212x x +…．【归纳与总结】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化和变形，以及构造函数的方法，考查运算能力，属于难题． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【思路分析】（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）求出A ，B 的极径，即可求||AB ．【解析】：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A 的极径为12cos 6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=所以12||||AB ρρ=-． 【归纳与总结】本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…． 【思路分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解析】：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+--+=厔， 若不等式|2||3||1|x x m --++…有解， 则满足|1|5m +„，解得64m -剟．4M ∴=．（2）由（1）知正数a ，b ，c 满足足24a b c ++=，即1[()()]14a b b c +++=∴11111111[()()]()(11)(2414444b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c +++=++++=++++⨯=++++++厖， 当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c +=+=，即a c =，2a b +=时，取等号．∴111a b b c+++…成立．【归纳与总结】本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————附:《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD）资料已分享目录——（1）2020上海市春季高考数学试卷(精美纯WORD版全详解)（2）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（3）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（4）2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（5）2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（6）2020年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（7）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（8）2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（10）2020年安徽省合肥市数学一模试卷（文科）(精美纯WORD版全详解)（11）2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）(精美纯WORD版全详解)（12）2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)不断更新中.......。

2020年宁夏六盘山高中高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={0,2,a}，B={1,a2}，若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为()A. 0B. 1C. 2D. 43.等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项和为()A. −24B. −3C. 3D. 84.设向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(0,−2).则与a⃗+2b⃗ 垂直的向量可以是()A. (3,2)B. (3,−2)C. (4,6)D. (4,−6)5.用一平面去截体积为4√3π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为()A. 2B. √3C. √2D. 16.(x+y)(2x−y)5的展开式中的x3y3系数为()A. −80B. −40C. 40D. 807.下列命题中，错误命题是()A. “若1a <1b，则a>b>0”的逆命题为真B. 线性回归直线ŷ=b̂x+â必过样本点的中心(x−,y−)C. 在平面直角坐标系中到点(0,−1)和(0,1)的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D. 在锐角△ABC中，有sin2A>cos2B8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x=()A. 35 B. 911 C. 2123 D. 45479. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2]C. (√3,+∞)D. [2,+∞)10. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A −BD −C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°． 其中错误的结论是( )A. ①B. ②C. ③D. ④11. 函数f(x)=ln √x 3+mx 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−13e ,0)B. (−13e ,+∞)C. (−∞,−13e )D. (−1e ,−13e )12. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为( ) A. 3 B. 2√2 C. √5 D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X =4)<P(X =6)，则p =______．14. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(−π3)的值是______．15. 若数列{a n }满足a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n 2a n ，a 2020=______． 16. “解方程(35)x +(45)x =1”有如下思路；设f(x)=(35)x +(45)x ，则f(x)在R 上单调递减，且f(2)=1，故原方程有唯一解x =2，类比上述解题思路，不等式x 6−(x +2)>(x +2)3−x 2的解集是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsinA =3csinB ，a =3，cosB =23． (Ⅰ)求b 的值；(Ⅱ)求sin(2B −π3)的值．18. 某公司(人数众多)为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工1：3的比例分层抽样，得到200名员工的月使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如图所示． (1)求a 的值，并估计这200名员工月使用流量的平均值x −(同一组中的数据用中点值代表)(2)若将月使用流量在800M 以上(含800M)的员工称为“手机营销达人”，填写如表的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“成为手机营销达人与员工的性别有关”；男员工女员工合计手机营销达人5______ ______非手机营销达人______ ______ ______合计______ ______ 200参考公式及数据：K2=n(ab−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.005k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879(3)若这200名员工中有2名男员工每月使用流量在[900,1000]，从每月使用流量在[900,1000]的员工中随机抽取名3进行问卷调查，记女员工的人数为X，求X的分布列和数学期望．19.如图所示，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠ABC=90°，AB=√3，BC=1，AD=2√3，CD=4，E为CD的中点．求证：(1)AE//平面PBC；(2)求二面角B−PC−D的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4√3x的焦点重合，且离心率为√32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率与k1，k，k2点成等比数列，求直线l的斜率及|OM|2+|ON|2的值．21.已知函数f(x)=ax2−ax−xlnx，且f(x)≥0．(Ⅰ)求a；(Ⅱ)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e−2<f(x0)<2−2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C的极坐标方程；(2)设M的极坐标为(√2,π4)，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若|MA|= 2|MB|，求AB的弦长．23.(1)设函数f(x)=|x−1a|+|x+a|(a>0).证明：f(x)≥2；(2)若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．利用“ab =0”与“复数a +bi 为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件． 【解答】解：因为“ab =0”得a =0或b =0，只有a =0，并且b ≠0，复数a +bi 为纯虚数，否则不成立；复数a +bi =a −bi 为纯虚数，所以a =0并且b ≠0，所以ab =0，因此a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数a +bi 为纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B ．2.【答案】D【解析】解：∵A ={0,2,a}，B ={1,a 2}，A ∪B ={0,1,2,4,16}∴{a 2=16a =4∴a =4， 故选：D ．根据题意，由并集的计算方法，结合a 与a 2的关系，易得{a 2=16a =4，即可得答案． 本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查等差数列前n项和的求法，等比数列的性质，属于基础题．根据题意，求出公差d，即可得解．【解答】解：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，(d≠0)，又a1=1，∵a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2⋅a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，解得d=−2，则{a n}的前6项和为：6a1+6×52d=6×1+6×52×(−2)=−24．故选A．4.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(0,−2)．∴a⃗+2b⃗ =(2,−3)，∵(2,−3)⋅(3,2)=6−6=0，∴与a⃗+2b⃗ 垂直的向量可以是(3,2)．故选：A．求出a⃗+2b⃗ =(2,−3)，由此利用向量垂直的性质能求出与a⃗+2b⃗ 垂直的向量的可能结果．本题考查向量的坐标运算、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：球的体积4√3π，则球的半径是√3，截面的面积为π，则截面圆的半径是1，所以球心到截面的距离为√2故选C．先求球的半径，再求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．本题考查球的体积，点到平面的距离，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，考查了计算能力，属于中档题．先写出(2x−y)5的展开式的通项公式：T r+1=25−r(−1)r C5r x5−r y r.令5−r=2，解得r=3.令5−r=3，解得r=2.即可得到最终答案．【解答】解：(2x−y)5的展开式的通项公式：T r+1=C5r(2x)5−r(−y)r=25−r(−1)r C5r x5−r y r．令5−r=2，解得r=3．令5−r=3，解得r=2．∴(x+y)(2x−y)5的展开式中的x3y3系数为22×(−1)3C53+23×1×C52=40．故选C．7.【答案】C【解析】解：选项A：“若1a <1b，则a>b>0”的逆命题为：若a>b>0，则1a<1b显然是真命题；选项B：线性回归直线ŷ=b̂x+â必过样本点的中心，所以B正确；选项C：在平面直角坐标系中到点(1,0)和(0,1)的距离的和为√2的点的轨迹为线段，所以C不正确．选项D：在锐角△ABC中，有A+B>π2，A>π2−B，所以sinA>sin(π2−B)=cosB，可得sin2A>cos2B，所以D正确；故选：C．利用四中命题是真假判断选项A的正误；回归直线方程的性质判断B的正误；椭圆的定义判断C的正误；三角形的性质以及正弦函数的单调性判断D的正误；本题主要考查数学的基本概念：命题、回归直线、轨迹、解三角形，是基本知识的考查．8.【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．【解答】解：i=1时．x=2x−1，i=2时，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3时，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4时，退出循环，此时8x−7=13x解得x=2123，故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．先求出切线的斜率，再利用圆(x−1)2+y2=34的一条切线y=kx与双曲线C：x2a2−y2 b2=1(a>0,b>0)没有公共点，得到ba≤√3，1+b2a2≤4，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=√k2+1=√32，∴k=±√3，圆(x−1)2+y2=34的一条切线y=kx与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)没有公共点，与其中一条渐近线y=bax斜率比较即可，∴ba ≤√3，1+b2a2≤4，∴双曲线C的离心率的取值范围是(1,2]．故答案选：B．【解析】 【分析】取BD 的中点E ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD.根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC 长后，可以判断②的真假；求出AB 与平面BCD 所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB 与CD 所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A −BD −C ，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键． 【解答】解：取BD 的中点E ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD.∴BD ⊥面AEC ． ∴BD ⊥AC ，故①正确．设正方形边长为a ，则AD =DC =a ，AE =√22a =EC ．∴AC =a ．∴△ACD 为等边三角形，故②正确．∠ABD 为AB 与面BCD 所成的角为45°，故③不正确．以E 为坐标原点，EC 、ED 、EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系， 则A(0,0,√22a)，B(0,−√22a,0)，D(0,√22a,0)，C(√22a,0,0)．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√22a,−√22a)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a,−√22a,0)．cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=12a 2a 2=12∴<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°，故④正确． 故选C ．【解析】解：函数f(x)=ln √x 3+mx 在R +上有两个不同的零点可化为 y =13lnx 与y =−mx 在R +上有两个不同的交点，作函数y =13lnx 与y =−mx 在R 上的图象如下，当直线与y =13lnx 相切时，设切点(x,f(x)) 则13x=13lnx x，解得，x =e ；故直线与y =13lnx 相切时，切线的斜率−m =13e ；m =−13e ； 故实数m 的取值范围是(−13e ,0)； 故选：A ．函数f(x)=ln √x 3+mx 有两个不同的零点，可化为y =13lnx 与y =−mx 在R +上有两个不同的交点，作图求解．本题考查了数形结合的应用及函数的零点与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于较难题．以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2)，根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进行求解即可． 【解答】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)， ∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ， ∵BC =2，CD =1，∴BD =√22+12=√5∴12BC ⋅CD =12BD ⋅r ， ∴r =√5，∴圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=45， 设点P 的坐标为(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2)，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2√55cosθ+1,2√55sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)， ∴2√55cosθ+1=λ，2√55sinθ+2=2μ，∴λ+μ=2√55cosθ+√55sinθ+2=sin(θ+φ)+2，其中tanφ=2，∵−1≤sin(θ+φ)≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选A ．13.【答案】0.6【解析】解：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布，则D(X)=10p(1−p)=2.4，解得p=0.4或p=0.6，又P(X=4)<P(X=6)，即C104p4(1−p)6<C106p6(1−p)4，化简得(1−p)2<p2，解得p>12，所以p=0.6．故答案为：0.6．说明使用移动支付的人数X服从二项分布，利用D(X)=2.4，求出概率，通过P(X=4)< P(X=6)，列出不等式，判断概率即可．本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．14.【答案】−√62【解析】【分析】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(−π3)的值．【解答】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象，得A=√2，T4=14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2．再根据五点法作图可得，，则取φ=π3，故f(x)=√2sin(2x+π3).∴f(−π3)=−√62，故答案为−√62．15.【答案】12020【解析】解：因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n2a n，所以当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=(n−1)2a n−1，两式相减得：na n=n2a n−(n−1)2a n−1，即n(n−1)a n=(n−1)2a n−1，所以na n=(n−1)a n−1=⋯=2a2=a1，由a1=1可知a n=a1n =1n，所以a2020=12020．故答案为：12020．因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n2a n，可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=(n−1)2a n−1，两式相减得：na n=n2a n−(n−1)2a n−1，化简整理即可得出．本题考查了数列递推关系、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】(−∞,−1)∪(2,+∞)【解析】【分析】本题考查了合情推理的应用问题，解题时应把复杂的高次不等式转化为一元二次不等式，构造函数并利用函数的单调性进行转化是关键，是中档题．根据题意，把不等式变形为x6+x2>(x+2)3+(x+2)，利用函数f(x)=x3+x的单调性把该不等式转化为一元二次不等式，从而求出解集．【解答】解：不等式x6−(x+2)>(x+2)3−x2变形为，x6+x2>(x+2)3+(x+2)；令u=x2，v=x+2，则x6+x2>(x+2)3+(x+2)⇐⇒u3+u>v3+v；考察函数f(x)=x3+x，知f(x)在R上为增函数，∴f(u)>f(v)，∴u>v；不等式x6+x2>(x+2)3+(x+2)可化为x2>x+2，解得x<−1或x>2；∴不等式的解集为：(−∞,−1)∪(2,+∞)． 故答案为(−∞,−1)∪(2,+∞)．17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理a sinA =bsinB ，可得bsinA =asinB ，又bsinA =3csinB ，可得a =3c ，又a =3，所以c =1． 由余弦定理可知：b 2=a 2+c 2−2accosB ，cosB =23， 即b 2=32+12−2×3×cosB ， 可得b =√6．(Ⅱ)由cosB =23，可得sinB =√53，所以cos2B =2cos 2B −1=−19， sin2B =2sinBcosB =4√59， 所以sin(2B −π3)=sin2Bcos π3−sin π3cos2B=4√59×12−(−19)×√32=4√5+√318．【解析】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，属于较易题． (Ⅰ) 直接利用正弦定理推出bsinA =asinB ，结合已知条件求出c ，利用余弦定理直接求b 的值；(Ⅱ) 利用(Ⅰ)求出B 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解sin(2B −π3)的值．18.【答案】35 40 45 115 160 50 150【解析】解：(1)由已知：a =1100×[1−(0.001+0.0015+0.003+0.0015+0.0005)×100]=0.0025，x −=450⋅0.1+550⋅0.15+650⋅0.25+750⋅0.3+850⋅0.15+950⋅0.05=690． (2)由已知得2×2列联表如下：男员工女员工合计手机营销达人53540非手机营销达人45115160合计50150200由表中数据可得：K2的观测值k=200×(5×115−35×45)240×160×50×150=256≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“手机营销达人与员工的性别有关”．(3)由频率分布直方图可得在[900,1000]的员工共有：200×0.05=10人，X的取值为1，2，3，P(X=1)=C22C81C103=8120，P(X=2)=C21C82C103=56120，P(X=3)=C20C83C103=56120，所以X的分布列如下：X123P81205612056120所以E(X)=1×8120+2×56120+3×56120=125．(1)由频率分布直方图能求出a，从而能估计这200名员工月使用流量的平均值x−．(2)由已知作出2×2列联表，求出K2的观测值k=256≈4.167>3.841，从而有超过95%的把握认为“手机营销达人与员工的性别有关”．(3)由频率分布直方图可得在[900,1000]的员工共10人，X的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查频率、平均数廓散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：∵AB=√3，BC=1，∠ABC=90°，∴AC=2，∠BCA=60°，又AD=2√3，CD=4，∴AC2+AD2=CD2，∴AC⊥AD．∵E是CD的中点，∴AE=12CD=CE，tan∠ACD =AD AC=√3，∴∠ACD =60°，∴△ACE 是等边三角形，∴∠CAE =60°， ∴∠BCA =∠CAE ，∴BC//AE ，又BC ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ， ∴AE//平面PBC ．(2)由(1)可知AB ⊥AE ，以A 为原点，以AB ，AE ，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则P(0,0,2)，B(√3,0,0)，C(√3,1,0)，D(−√3,3,0)，E(0,2,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−2)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)． 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{√3x 1−2z 1=0√3x 1+y 1−2z 1=0，{√3x 2+y 2−2z 2=02y 2−2z 2=0，令x 1=1得m ⃗⃗⃗ =(1,0,√32)，令y 2=1得n ⃗ =(√33,1,1)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33+0+√32√74⋅√73=57． ∴二面角B −PC −D 的余弦值为−57．【解析】(1)分别计算∠BCA 和∠CAE 得出两角相等，得出AE//BC ，故而AE//平面PBC ； (2)建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小． 本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)依题意得c =√3，c a =√32，得a =2，又a 2−b 2=3得b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +m x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， ∴x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2．由题设知k 2=k 1k 2=y 1y2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2，∴km(x 1+x 2)+m 2=0，∴−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，∵m ≠0，∴k 2=14，k =±12此时(x 1+x 2)2=(−8km1+4k 2)2=4m 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2=2(m 2−1)，则|OM|2+|ON|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+1−14x 12+x 22+1−14x 22=34×(x 12+x 22)+2=34×[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2=34×[4m 2−4(m 2−1)]+2=5，故直线l 的斜率为k =±12，|OM|2+|ON|2=5．【解析】(1)由题得关于a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据k 2=k 1k 2=y 1y2x 1x2和韦达定理求出k 的值．再根据|OM|2+|ON|2=x 12+y 12+x 22+y 22和韦达定理求出|OM|2+|ON|2=5．本题主要考查椭圆标准方程的计算和简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．21.【答案】(1)解：因为f(x)=ax 2−ax −xlnx =x(ax −a −lnx)(x >0)，则f(x)≥0等价于ℎ(x)=ax −a −lnx ≥0，求导可知ℎ′(x)=a −1x ． 则当a ≤0时ℎ′(x)<0，即y =ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减， 所以当x 0>1时，ℎ(x 0)<ℎ(1)=0，矛盾，故a >0． 因为当0<x <1a 时ℎ′(x)<0，当x >1a 时ℎ′(x)>0， 所以ℎ(x)min =ℎ(1a )，又因为ℎ(1)=a −a −ln1=0， 所以1a =1，解得a =1；另解：因为f(1)=0，所以f(x)≥0等价于f(x)在x >0时的最小值为f(1)， 所以等价于f(x)在x =1处是极小值， 所以解得a =1；(2)证明：由(1)可知f(x)=x 2−x −xlnx ，f ′(x)=2x −2−lnx ，令f ′(x)=0，可得2x −2−lnx =0，记t(x)=2x −2−lnx ，则t ′(x)=2−1x ， 令t ′(x)=0，解得：x =12，所以t(x)在区间(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，所以t(x)min =t(12)=ln2−1<0，从而t(x)=0有解，即f ′(x)=0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′(x)在(0,x 0)上为正、在(x 0,x 2)上为负、在(x 2,+∞)上为正， 所以f(x)必存在唯一极大值点x 0，且2x 0−2−lnx 0=0，所以f(x 0)=x 02−x 0−x 0lnx 0=x 02−x 0+2x 0−2x 02=x 0−x 02， 由x 0<12可知f(x 0)<(x 0−x 02)max =−122+12=14； 由f ′(1e )<0可知x 0<1e <12，所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,1e )上单调递减， 所以f(x 0)>f(1e )=1e 2；综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e −2<f(x 0)<2−2．【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．(1)通过分析可知f(x)≥0等价于ℎ(x)=ax −a −lnx ≥0，进而利用ℎ′(x)=a −1x 可得ℎ(x)min =ℎ(1a )，从而可得结论；(2)通过(1)可知f(x)=x 2−x −xlnx ，记t(x)=f′(x)=2x −2−lnx ，解不等式可知t(x)min =t(12)=ln2−1<0，从而可知f′(x)=0存在两根x 0，x 2，利用f(x)必存在唯一极大值点x 0及x 0<12可知f(x 0)<14，另一方面可知f(x 0)>f(1e )=1e 2．22.【答案】解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=0， 即曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ；(2)由点M 的极坐标为(√2,π4)，直角坐标为M (1,1)， 设直线l 的参数方程是{x =1+t ⋅cosαy =1+t ⋅sinα(t 为参数)①， 曲线C 的直角坐标方程是x 2+y 2−4y =0，②， ①②联立，得t 2+2(cosα−sinα)t −2=0， ∴t 1t 2=−2，且|MA|=2|MB|， ∴t 1=−2t 2，则t1=2，t2=−1或t1=−2，t2=1，∴AB的弦长|AB|=|t1−t2|=3．【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用，属于中档题．(1)由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；(2)先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2(cosα−sinα)t−2=0，由此能求出AB的弦长．23.【答案】证明：(1)由a>0，有f(x)=|x−1a |+|x+a|≥|(x−1a)−(x+a)|=1a+a≥2，又1a+a≥2，当且仅当a=1时取等号．所以f(x)≥2；(2)∵实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，∴由柯西不等式得：[x2+(2y)2+z2](1+1+1)≥(x+2y+z)2，当且仅当x1=2y1=z1即x=z=1，y=12时取“=”号，整理得：(x+2y+z)2≤9，∴|x+2y+z|≤3．【解析】本题考查不等式的证明，考查绝对值、均值定理、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由a>0，得f(x)=|x−1a |+|x+a|≥|(x−1a)−(x+a)|=1a+a，由此能证明f(x)≥2．(2)由柯西不等式得：[x2+(2y)2+z2](1+1+1)≥(x+2y+z)2，当且仅当x=z=1，y=12时取“=”号，由此能证明|x+2y+z|≤3．第21页，共21页。

高中高考数学二模试卷（理科） 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a -i 与2+bi 互为共轭复数，则（a +bi ）2=（ ）A. 5-4iB. 5+4iC. 3-4iD. 3+4i2.已知全集U =R ，A ={x |x ≤0}，B ={x |x ≥1}，则集合∁U （A ∪B ）=（ ）A. {x |x ≥0}B. {x |x ≤1}C. {x |0≤x ≤1}D. {x |0＜x ＜1}3.等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.如图为一个圆柱中挖去两个相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B. C. D.5.若变量x ，y 满足约束条件，则z =3x +y 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 2D. 16.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）A. 16B. 18C. 24D. 327.已知函数f （x ）=，则下列结论正确的是（ ）A. f （x ）是偶函数B. f （x ）是增函数C. f （x ）是周期函数D. f （x ）的值域为[-1，+∞）8.如图是将二进制数111111（2）化为十进制数的程序框图，判断框内填入条件是（）A. i＞5B. i＞6C. i≤5D. i≤69.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则( )A. B. C. D.10.已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11.定义域R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=-2f（-2），则（ ）A. a＞c＞bB. c＞b＞aC. c＞a＞bD. a＞b＞c12.如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（ ）A. B.5 C.6 D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为______．14.在△ABC中，已知=tan A，当A=时，△ABC的面积为______．15.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6：S3=3，则S9：S6=______．16.已知点A（0，1），抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：3，则实数a的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．（1）求a的值；（2）求sin（A+）的值．18.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立．Ⅰ求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；Ⅱ用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望及方差．19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D-AE-B的余弦值．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方的程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP 、OQ的斜率分别为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21.设函数f（x）=x2-m ln x，g（x）=x2-（m+1）x，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．22.已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．23.设f（x）=|x-3|+|x-4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax-1，试求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵a-i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．先求A∪B，再根据补集的定义求∁U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．3.【答案】B【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选：B．设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积V=V圆柱-2V圆锥==，故选：C．V=V圆柱-2V圆锥，由三视图可观察圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，由圆柱和圆锥的体积公式，即可求得几何体的体积．本题通过三视图考查几何体体积的运算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，由图可知，当直线y=-3x+z过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选：C．本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列A33，得到结果．本题考查排列组合及简单的计数问题，在分类计数时，注意分类要做到不重不漏，在每一类中的方法数要分析清楚，本题还考查列举法，是一个基础题．7.【答案】D【解析】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cos x为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[-1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[-1，+∞），故正确．故选：D．由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．8.【答案】A【解析】解：由已知中程序的功能是将二进制数111111（2）化为十进制数结合循环体中S=1+2S，及二进制数111111（2）共有6位可得循环体要重复执行5次又由于循环变量初值为1，步长为1，故循环终值为5，即i≤5时，继续循环，i＞5时，退出循环故选：A．由已知中的程序框图程序要要循环5次，根据循环变量的初值为1，步长为1，故循环变量的终值为5，由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论．本题考查的知识点是循环结构，其中根据已知条件判断出循环执行的次数，进而确定进入循环的条件是解答本题的关键．但易将程序错认为是当型结构而错选C．9.【答案】A【解析】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|-|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c，则由余弦定理得，cos∠AF2F1===．故选：A．根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．本题主要考查双曲线的定义和性质，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON则OM BC，ON PA，∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN=BC=4，PA=4，得OM=2，ON=2，MN=4，cos∠ONM===．∴∠ONM=30°．即异面直线PA与MN成30°的角．故选：A．连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由此能求出异面直线PA与MN所成的角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.【答案】A【解析】【分析】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．先构造函数g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，且g'（x）＜0恒成立，从而故g（x）在x∈（-∞，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出g（x）在（0，+∞）上递增，即可比较a，b，c的大小．【解答】解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（-∞，0）单调递减，则g（x）在（0，+∞）上递增，又a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），故a＞c＞b．故选：A．12.【答案】C【解析】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2a cosθ+2b sinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin（θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故答案为．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积公式，三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题.利用平面向量的数量积运算法则和三角形的面积公式，即可求出答案.【解答】解：∵=tan A，A=，∴==tan=，∴，∴S△ABC=，故答案为：.15.【答案】【解析】解：因为等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比，（S n≠0）所以，又=3，即S3=S6，所以=，整理得=．故答案为：根据等比数列的性质得到S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比列出关系式，又S6：S3=3，表示出S3，代入到列出的关系式中即可求出S9：S6的值．此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题．解本题的关键是根据等比数列的性质得到S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比．16.【答案】【解析】解：依题意得焦点F的坐标为：（，0），设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|：|MN|=1：3，所以|KN|：|KM|=2：1，又k FN==，k FN=-=-2，所以=2，解得a=．故答案为：．作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．17.【答案】解：（1）因为：A=2B，所以：sin A=sin2B=2sin B cosB．由正、余弦定理得a=2b•．因为b=3，c=1，所以a2=12，解得：a=2．（2）由余弦定理得cos A===-．由于0＜A＜π，所以sin A===．故sin（A+）=sin A cos+cos A sin=×+（-）×=．【解析】（1）利用正弦定理，可得a=6cos B，再利用余弦定理，即可求a的值；（2）求出sin A，cos A，即可求sin（A+）的值．本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108；（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：,，，，随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72．【解析】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列及期望与方差，属于中档题.（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（Ⅱ）写出X可取的值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．19.【答案】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC=C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC=EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC=BC=2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴=（-2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，-1），设平面DAE的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即，，令x1=1得=（1，0，2），令x2=1得=（1，1，0）．∴cos＜＞===．∵二面角D-AE-B是钝二面角，∴二面角D-AE-B的余弦值为-．【解析】（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC，故而DE∥平面ACD，于是平面ADE⊥平面ACD；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1，所以椭圆C的方程是；（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）∵直线OP、OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），将（•）代入得：m2=，经检验满足△＞0．【解析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP 、OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m＞0，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）f（x）与g（x）图象的交点个数，即函数h（x）=f（x）-g（x）=-x2-m ln x+（m+1）x的零点个数问题，h′（x）=-，令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，∴h（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，∴h（x）极小值=h（1）=m+＞0，∴h（x）和x轴有1个交点，即函数f（x）与g（x）图象的交点个数是1个．【解析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数h（x）=f（x）-g（x）=-x2-m ln x+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数h（x）的单调区间，求出h（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察转化思想，函数的零点问题，是一道中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）l的普通方程为y=（x-1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，-）,所以|AB|==1,（Ⅱ）曲线C2（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2],当sin（）=-1时，d取得最小值．【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的参数方程，点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的定义域与值域，特殊角的三角函数值，属于中档题.（Ⅰ）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|,（Ⅱ）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可.23.【答案】解（1），由图象可得f（x）≤2的解集为-（5分）（2）函数y=ax-1，的图象是经过点（0，-1）的直线，由图象可得-----（10分）【解析】（1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集．（2）利用（1）的图象直接求出满足f（x）≤ax-1实数a的取值范围即可．本题考查绝对值不等式的解法，数形结合的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

宁夏2020年高考数学二诊试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·定州期末) 已知集合A={x|ln（x﹣1）≤0}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B等于（）A . [﹣1，3]B . [﹣1，2]C . （1，2]D . [1，2）2. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 命题“∀x∈R，sinx＞1”的否定是（）A . ∀x∈R，sinx≤1B . ∀x∈R，sinx＞1C . ∃x0∈R，sinx0≤1D . ∃x0∈R，sinx0＞14. （2分）(2017·榆林模拟) 已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+ ）等于（）A . ﹣B . ﹣7C .D . 75. （2分） (2018高二下·鸡西期末) 要得到函数的图象,只需要将函数的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位6. （2分）(2020·济南模拟) 已知点，，均在半径为的圆上，若，则的最大值为（）A .B .C . 4D .7. （2分）等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是（）A . 130B . 170C . 210D . 2608. （2分）设{an}是首项为a1 ，公比为q的等比数列，则“a1q＞0”是“{an}为递增数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）已知函数,根据下列框图,输出S的值为（）A . 670B .C . 671D . 67210. （2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图是半径均为的圆，则该几何体的表面积是（）A . 14πB . 12πC . 10πD . 8π11. （2分） (2015高二上·广州期末) （题类A）双曲线 =1（a＞0，b＞0），过焦点F1的弦AB长为m（A，B在同一支上），另一个焦点为F2 ，则△ABF2的周长为（）A . 4a﹣2mB . 4aC . 4a+mD . 4a+2m12. （2分） (2017高一上·孝感期中) 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，e）D . （3，4）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·来宾期末) 设 ,则 ________.14. （1分） (2016高一下·大同期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为________．15. （1分）(2017·长沙模拟) 已知抛物线的顶点为原点，焦点为F（1，0），过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|AB|=6，则点P的坐标为________．16. （1分） (2015高二下·周口期中) 如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2018高一下·湖州期末) 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．Ⅰ 求角A的大小；Ⅱ 若，求的取值范围．18. （10分） (2019高二上·天河期末) 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分） (2018高二上·河北月考) 某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2016级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)：南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163.北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.（1）根据抽测结果，画出茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出统计结论．（2）设抽测的10名南方大学生的平均身高为 cm，将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的s大小为多少？并说明s的统计学意义。

2020年宁夏六盘山高中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=i(a+bi)(a,b∈R)，则“z为纯虚数”的充分必要条件为()A. a2+b2≠0B. ab=0C. a=0，b≠0D. a≠0，b=02.若集合A={x|0<x<3}，B={x|x≤1}，则A∪B=()A. (−∞,1]B. (−∞,3)C. (0,1]D. (1,3)3.已知{a n}是等差数列，公差d不为0，前n项和是S n.若a3，a4，a8成等比数列，则()A. a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>04.已知平面向量a⃗=( 3, 1 ), b⃗ =( t, −3 )，且a⃗⊥b⃗ ，则t=()A. −1B. 1C. 3D. −35.已知球的半径为5，球心到截面的距离为3，则截面圆的面积为()A. 4πB. 6πC. 9πD. 16π6.(2−√x)8展开式中x4项的系数为()A. 16B. 1C. 8D. 27.下列说法正确的是()A. 对于任意的x都有|x|≤2x恒成立B. 同时向上抛掷2枚硬币，2枚都是反面朝上的概率是14C. 回归直线必须过(0,0)并呈现一条直线D. 在k班高三数学期中测试中，平均数能够代表K班数学总体水平8.根据如图所示的程序框图，当输入x为6时，输出的y=()A. 1B. 2C. 5D. 109.双曲线x29−y24=1与直线y=−23x+m(m∈R)的公共点的个数为()A. 0B. 1C. 0或1D. 0或1或210.四棱锥P−ABCD的底面是正方形，且各侧棱与底面所成角均为45∘，点M是PC的中点，则异面直线AM与CD所成角的余弦值为()A. √510B. 3√510C. −3√510D. √5511.设函数若关于x的方程f(f(x))=m有5个不同的实数根，则实数m的取值范围为()A. [−4,12]B. [−4,12)C. (0,12)∪{−4}D. (0,12]∪{−4}12.在边长为1的正方形中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则λ+μ的最大值是()A. 3B. 2√2C. 2√3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X+3)=______ ．14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(7π6)的值为______．15.数列{a n}满足(a n+1−1)(1−a n)=a n，a8=2，则S2017=______．16.研究问题：“已知关于x的不等式ax2−bx+c>0的解集为(1,2)，则关于x的不等式cx2−bx+a>0有如下解法：由ax2−bx+c>0⇒a−b(1x )+c(1x)2>0，令y=1x，则y∈(12,1)，所以不等式cx2−bx+a>0的解集为(12,1).参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为(−2,−1)∪(2,3)，则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1<0的解集______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．(Ⅰ)若B=60°，求sin C的值；(Ⅱ)若cosC=2，求sin(A−B)的值．318.某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如图，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表．若按是否优秀来判断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异．文科理科总计优秀非优秀总计5050100(2)某高校派出2名教授对该校随机抽取的学生成绩中一练数学成绩在140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试．若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和均值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB//CD，∠BAD=60°，PD=AD=AB=2，CD=4，E为PC的中点．(1)证明：BE//平面PAD；(2)求二面角B−PC−D的余弦值．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线C2：y2=4√2x的焦点重合，且椭圆的离心率为e=√63．(Ⅰ)求C1的方程；(Ⅱ)过点P(0,2)的动直线l与椭圆C1相交于A，B两点，O为原点，求△OAB面积的最大值．21.设函数f(x)=lnx−12ax2−bx．(Ⅰ)若x=1是f(x)的极大值点；求a的取值范围；(Ⅱ)当a=0，b=−1时，方程x2=2mf(x)(其中m>0)有唯一实数解，求m的值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C:x2+y2−6x=0，直线l1：x−√3y=0，直线l2：√3x−y=0以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C的参数方程以及直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线l2与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积．23.若关于x的不等式|2x+2|−|2x−1|−t≥0在实数范围内有解．(1)求实数t的取值范围；(2)若实数t的最大值为m，且正实数a,b,c满足a+2b+3c=m，求证：1a+c +2b+c≥3．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用纯虚数的定义、充要条件的意义即可得出．解：复数z=i(a+bi)=ai−b(a,b∈R)，则“z为纯虚数”的充分必要条件为−b=0，a≠0．故选D．2.答案：B解析：本题考查集合，属于基础题．由并集运算得答案．解：∵A={x|0<x<3}，B={x|x≤1}，∴A∪B=(−∞,3)故选B．3.答案：B解析：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2，整理得d(5d+3a1)=0，又d≠0，∴a1=−53d，则a1d=−53d2<0，又∵S4=4a1+6d=4×(−53d)+6d=−23d，∴dS 4=−23d 2<0． 故选B ．4.答案：B解析：解：∵平面向量a ⃗ =( 3, 1 ), b ⃗ =( t, −3 )，且a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =3t −3=0， 解得t =1． 故选：B ．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查平面向量垂直的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．5.答案：D解析：解：由题意知，球的半径为5，球心到截面的距离为3， ∴截面圆的半径为4． ∴截面圆的面积为π⋅42=16π 故选：D ．由题意求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积．本题考查截面圆的面积，是基础题，解题时要认真审题，注意球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理．6.答案：B解析：本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．由题意，可得(2−√x)8的展开式的通项为T r+1=C 8r ⋅28−r ⋅(−1)r ⋅x r2，令r2=4，求出r ，由此可得其展开式中x 4项的系数．解：(2−√x)8的展开式的通项为T r+1=C 8r ⋅28−r (−√x)r =C 8r⋅28−r ⋅(−1)r ⋅x r2，当r2=4，即r =8时，T 9=C 88⋅20⋅(−1)8x 4=x 4，所以x4的系数为1．故选B．7.答案：B解析：解：当x<0时，|x|>2x，故A错误；，故B正确；同时向上抛掷2枚硬币，2枚都是反面朝上的概率是14回归直线必须过(x,y)并呈现一条直线，但不一定经过(0,0)点，故C错误；如果数学成绩差距较大，则平均数不能够代表K班数学总体水平，故D错误，故选：B举出反例x<0，可判断A；求出满足条件的事件的概率，可判断B；根据回归直线的几何特征，可判断C；根据平均数表示刻画数据总体水平的适用范围，可判断D．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．8.答案：D解析：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．解：模拟执行程序框图，可得x=6，x=3，满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=−3不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选D．9.答案：C解析：本题考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．由已知得到直线的斜率为−23，双曲线的渐近线斜率为±２３，当ｍ=０时，直线为双曲线的一条渐近线，此时与双曲线无交点；当ｍ≠０时，此直线与双曲线有一个交点，即可得出选项． 解：直线y =−23x +m 斜率为−23，双曲线x 29−y 24=1渐近线斜率为±２３，所以当ｍ=０时，直线为双曲线的一条渐近线，此时与双曲线无交点； 当ｍ≠０时，此直线与双曲线有一个交点． 故选C ．10.答案：B解析：本题考查直线与平面所成角与异面直线所成角，属基础题．依题意，知该四棱锥为正四棱锥，且∠PAC =45°，设底面正方形的边长为2，则侧棱长为2，高PO =√2， 以O 为原点，建立空间坐标系，根据空间向量法即可求得结果．解：连AC ，BD 交于O ，由四棱锥P −ABCD 的底面是正方形，且各侧棱与底面所成角均为45∘，知该四棱锥为正四棱锥，且∠PAC =45°，设底面正方形的边长为2，则侧棱长为2，高PO =√2，以O 为原点，建立如图坐标系，则A(√2,0,0)，C(−√2,0,0)，D(0,−√2,0)，M (−√22,0,√22)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√22,0√22)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗=(√2,−√2,0)，所以cos ﹤AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹥=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−3√510， 所以异面直线AM 与CD 所成角的余弦值为3√510， 故选B ．11.答案：C解析：本题主要考查的是方程根的个数问题，可先换元后再利用排除法求解． 解：令t =f(x)，由f(f(x))=m ，得f(t)=m ， 若m =0，即f(t)=0， 当t >2时，有，当t ≤2时，有t 2−4=0，解得t =−2或t =2， 函数f(x)图象如图，由图象知y =f(x)与y =−2和y =3及y =2一共有7个交点， 则原方程有7个不同实数根，不符合题意， 所以排除A ，B ， 若m =12， 当t >2时，有，当t ≤2时，有t 2−4=12，解得t =−4， 因为函数y =f(x)与y =−4有两个公共点， 与y =2+e −12也有两个公共点，所以原方程y 只有4个不同的实数根，不符合题意，所以排除D ，故选C ．12.答案：A解析：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为，根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，D(0,1)，C(1,1)， ∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ，∵BC =1，CD =1，，∴圆的方程为(x −1)2+(y −1)2=12，设点P 的坐标为，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，即，，，，，∴1⩽λ+μ⩽3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．13.答案：256解析：解：∵随机变量X～B(100,0.2)，∴Dξ=100×0.2×0.8=16，∴D(4X+3)=16Dξ=16×16=256．故答案为：256．利用二项分布的方差的性质求解．本题考查二项分布的方差的计算，解题时要认真审题，是基础题．14.答案：1解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(7π6)的值．解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得12⋅2πω=π12+5π12，∴ω=2，再根据五点法作图可得2⋅π12+φ=kπ(k∈Z)，求得φ=−π6，∴函数f(x)=2sin(2x−π6)，∴f(7π6)=2sin(7π3−π6)=2sin13π6=2sinπ6=1，故答案为：1．15.答案：20172解析：解：∵(a n+1−1)(1−a n)=a n，a8=2，∴(2−1)(1−a7)=a7，解得a7=12，同理可得a6=−1，a5=2，…，a1=12.∴a n+3=a n．则S2017=a1+672(a6+a7+a8)=12+672×32=20172．故答案为：20172．(a n+1−1)(1−a n)=a n，a8=2，∴(2−1)(1−a7)=a7，解得a7=12，同理可得a6=−1，a5=2，…，a1=12.可得a n+3=a n.S2017=a1+672(a6+a7+a8).本题考查了数列递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：(−12,−13)∪(12,1)解析：本题是创新题目，考查理解能力，读懂题意是解答本题关键，将方程问题和不等式问题进行转化是解答本题的关键，先明白题目所给解答的方法：ax2−bx+c>0化为a−b(1x )+c(1x)2>0，类推为cx2−bx+a>0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．解：关于x的不等式ka+x +b+xc+x<0的解集为(−2,−1)∪(2,3)，用−1x 替换x，不等式可以化为：k(−1x)+a+(−1x)+b(−1x)+c=kxax−1+bx−1cx−1<0，可得−1x∈(−2,−1)∪(2,3)可得12<x<1或−12<x<−13，故答案为(−12,−13)∪(12,1)．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB，又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=√33，∵a：b=2：3，∴A<B，即cosA=√63，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√3+3√26．(Ⅱ)∵3a=2b，可得：a=2b3，cosC=23，∴23=a2+b2−c22ab=4b29+b2−c22×2b3×b，解得：c2=5b29，c=√5b3，∴cosB=a2+c2−b22ac =4b29+5b29−b22ac=0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=23，A为锐角，可得cosA=√1−sin2A=√53．∴sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB=−cosA=−√53．解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sin A，利用大边对大角可得A为锐角，可求cos A，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sin C的值．(Ⅱ)由已知及正弦定理可求a=2b3，由余弦定理可求c=√5b3，cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=23，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cos A，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．18.答案：解(1)由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成绩优秀的人数为(0.010+0.004+ 0.002)×10×50=8，故非优秀人数为50−8=42．该校理科学生中数学成绩优秀的人数为(0.020+0.014+0.006)×10×50=20，故非优秀人数为50−20=30．则2×2列联表如下：∴K2的观测值k=100×(8×30−42×20)250×50×28×72≈7.143>6.635，故有99%的把握认为该校文理科数学成绩有差异．(2)由(1)知，该校随机抽取的学生成绩中一练数学成绩在140分以上的学生为4人，ξ的可能取值为1，2，3．将4人分给两名教授每名教授至少1名学生的不同分法种数为(C43+C42C22A22)A 22=14，则P(ξ=1)=C4114=27，P(ξ=2)=C4214=37，P(ξ=3)=C4314=27．∴ξ的分布列为ξ123P 273727∴E(ξ)=1×27+2×37+3×27=2．解析：本题主要考查频率分布直方图的应用，独立性检验，以及随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．(1)由频率分布直方图，确定表中数据，可得2×2列联表，代入公式计算出K2的值，即可判断是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异．(2)确定变量的取值，求出相应的概率，即可求出分布列和数学期望．19.答案：(1)证明：设F为PD的中点，连接EF，FA．因为EF为△PDC的中位线，所以EF//CD，且EF=12CD=2．又AB//CD，AB=2，所以AB//EF，且AB=EF，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE//AF．又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD．(2)解：取AB中点M，连接DM，∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．从而，中线DM⊥AB，且DM=√3，又AB//CD，故D M⊥CD．以DM 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， ∵PD =AD =AB =2，CD =4，∴M(√3,0,0)，B(√3,1,0)，C(0,4，0)，P(0,0，2)， 于是 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,2)． 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则 n ⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ∴{−√3x +3y =0−√3x −y +2z =0，解得{x =√3yz =2y ．令y =1，得n ⃗ =(√3,1,2)，且|n ⃗ |=√3+1+4=2√2．易知，平面PCD 的一个法向量为DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0)，且|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3． 设 二面角B −PC −D 的平面角为θ， 则cosθ=|n ⃗⃗ ⋅DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×√3=√64．解析：本题考查空间向量的数量积求解二面角的平面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．(1)设F 为PD 的中点，连接EF ，FA.证明EF//CD ，推出四边形ABEF 为平行四边形，所以BE//AF.然后证明BE//平面PAD ．(2)取AB 中点M ，连接DM ，证明DM ⊥CD ，以DM 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，平面PCD 的一个法向量，设 二面角B −PC −D 的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．20.答案：解：(Ⅰ)抛物线C 2：y 2=4√2x 的焦点坐标为(√2,0)，又e =c a=√63， ∴a =√3，∴b 2=a 2−c 2=3−2=1， 故椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)易知直线l 的斜率k 存在，设其方程为y =kx +2． 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2).则由{y =kx +2x 2+3y 2=3 消去y 得：(3k 2+1)x 2+12kx +9=0， 由△=(12k)2−4×(3k 2+1)×9>0，得k 2>1． 则x 1+x 2=−12k3k 2+1，x 1x 2=93k 2+1．则|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√144k (3k 2+1)2−363k 2+1=6√k 2−13k 2−1又原点到直线l 的距离为d =√1+k 2，且|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|， 所以S △COD =12×|CD|×d =12×√1+k 2⋅√1+k 2⋅6√k 2−13k 2−1=6√k 2−13k 2−1设(t >0)，则k 2=t 2+1，∴S △COD =6t 3t 2+4=63t +4t ≤62√3t ×4t=√32 当且仅当t 2=43，即k 2−1=43，即k 2=73时等号成立， 所以△COD 面积取得最大值√32．解析：(Ⅰ)抛物线C 2：y 2=4√2x 的焦点坐标为(√2,0)，则c =√2，再根据离心率求出a ，即可求出b ，可得椭圆的方程(Ⅱ)易知直线l 的斜率k 存在，设其方程为y =kx +2，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2).根据韦达定理和弦长公式，原点到直线l 的距离可求d 从而可求S △COD ，利用换元法根据基本不等式即可求出△COD 面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ，∴x >0，f′(x)=1x −ax −b ， 由f′(1)=0，得b =1−a ， ∴f′(x)=1x −ax +a −1=−(ax+1)(x−1)x．①若a ≥0，由f′(x)=0，得x =1，当0<x <1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增； 当x >1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 所以x =1是f(x)的极大值点．②若a <0，则f′(x)=0，得x =1，或x =−1a ， ∵x =1是f(x)的极大值点， ∴−1a >1，解得−1<a <0．综合①②，得a 的取值范围是a >−1． (Ⅱ)∵方程2mf(x)=x 2中唯一实数解， ∴x 2−2mlnx −2mx =0有唯一实数解， 设g(x)=x 2−2mlnx −2mx ， 则g′(x)=2x 2−2mx−2mx，令g′(x)=0，得x 2−mx −m =0． ∵m >0，∴△=m 2+4m >0， 方程有两异号根，设为x 1<0，x 2>0， ∵x >0，∴x 1应舍去．当x ∈(0,x 2)时，g′(x)<0，g(x)在(0,x 2)上单调递减， 当x ∈(x 2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x 2,+∞)上单调递增， 当x =x 2时，g′(x 2)=0，g(x)取最小值g(x 2). ∵g(x)=0有唯一解，∴g(x 2)=0，则{g(x 2)=0g′(x 2)=0，即{x 22−2mlnx 2−2mx 2=0x 2 2−mx 2−m =0， ∴2mlnx 2+mx 2−m =0， ∵m >0，∴2lnx 2+x 2−1=0(∗)，设函数ℎ(x)=2lnx+x−1，∵当x>0时，ℎ(x)是增函数，∴ℎ(x)=0至多有一解，∵ℎ(1)=0，∴方程(∗)的解为x2=1，代入方程组解得m=12．解析：(Ⅰ)由f(x)=lnx−12ax2−bx，知x>0，f′(x)=1x−ax−b，由f′(1)=0，得b=1−a，故f′(x)=1x −ax+a−1=−(ax+1)(x−1)x.由此能求出a的取值范围．(Ⅱ)由方程2mf(x)=x2有唯一实数解，知x2−2mlnx−2mx=0有唯一实数解，设g(x)=x2−2mlnx−2mx，则g′(x)=2x2−2mx−2mx，令g′(x)=0，得x2−mx−m=0.由此入手能够推导出正数m的值．本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．22.答案：解：(1)∵曲线C：x2+y2−6x=0，∴依题意，曲线C：(x−3)2+y2=9，故曲线C的参数方程是为参数)，∵直线l1：x−√3y=0，直线l2：√3x−y=0，∴l1，l2的极坐标方程为l1：θ=π6(ρ∈R)，l2：θ=π3(ρ∈R);(2)∵曲线C：x2+y2−6x=0，∴曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，把θ=π6代入ρ=6cosθ，得ρ1=3√3，所以A(3√3,π6)．把θ=π3代入ρ=6cosθ，得ρ2=3，所以B(3,π3)．所以S△AOB=12ρ1ρ2sin∠AOB=12×3√3×3sin(π3−π6)=9√34．解析：本题考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是较难题．(1)由曲线C的直角坐标方程能求出曲线C的参数方程；由直线l1，l2的直角坐标方程能求出l1，l2的极坐标方程;(2)由曲线C：x2+y2−6x=0，得曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，把θ=π6代入ρ=6cosθ，得A(3√3,π6).把θ=π3代入ρ=6cosθ，得B(3,π3).由此能求出△AOB的面积．23.答案：解：(1)因为|2x+2|−|2x−1|−t≥0，所以|2x+2|−|2x−1|≥t，又因为|2x+2|−|2x−1|≤|2x+2−(2x−1)|=3，等号成立当且仅当{(2x+2)(2x−1)≥0|2x+2|≥|2x−1|⇔x≥12,所以t≤3.(2)由(1)可知，m=3，则1 a+c +2b+c=13(1a+c+42b+2c)[(a+c)+(2b+2c)]，=13[1+4+2b+2ca+c+4(a+c)2b+2c]⩾13(1+4+2√2b+2ca+c⋅4(a+c)2b+2c)=3，∴1a+c +2b+c≥3．当且仅当2b+2ca+c =4(a+c)2b+2c时等号成立．方法二：利用柯西不等式：1 a+c +2b+c=13(1a+c+42b+2c)[(a+c)+(2b+2c)]⩾13(√1a+c⋅√a+c+√42b+2c⋅√2b+2c)2=3，∴1a+c +2b+c⩾3．当且仅当2b+2ca+c =4(a+c)2b+2c时等号成立．方法三：设x=a+c>0，y=b+c>0，则x+2y=3，所以1a+c +2b+c=(1x+2y)x+2y3=13(5+2yx+2xy)⩾13(5+2√4)=3．当且仅当x=y时等号成立．解析：本题考查了不等式和绝对不等式，利用基本不等式或柯西不等式求最值，掌握绝对值不等式的意义是解题的关键，属于中档题．(1)将问题转化为|2x+2|−|2x−1|⩾t，求出|2x+2|−|2x−1|的最大值，进而求出t的取值范围；(2)方法一：由题意可得1a+c +2b+c==13[1+4+2b+2ca+c+4(a+c)2b+2c]，再利用基本不等式可证得结论；方法二：1a+c +2b+c=13(1a+c+42b+2c)[(a+c)+(2b+2c)]，利用柯西不等式求最值即可；方法三：设x=a+c>0，y=b+c>0，则x+2y=3，利用基本不等式求最值即可．。

宁夏2020版数学高三理数第二次教学质量监测试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|x2＜2﹣x}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A . （﹣1，1）B . （﹣2，2）C . （﹣1，2）D . （﹣2，1）2. （2分） (2019高二下·蛟河月考) 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（）．A . 椭圆B . 两条直线C . 圆D . 一条直线3. （2分）(2017·齐河模拟) 设函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，f（1）=e，则x＞0时，f（x）（）A . 有极大值，无极小值B . 有极小值，无极大值C . 既有极大值又有极小值D . 既无极大值也无极小值4. （2分） (2019高二下·吉林期中) 某景区原来在一段栈道上安排了10名安全员，后由于人员紧张，需撤掉3人，但出于安全考虑，首尾两个不能撤，撤掉的3人中任意两个不能相邻，则不同的撤法的种数为（）A . 120B . 56C . 35D . 205. （2分） (2020高一下·温州期末) 已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值（）A . 3B .C . 4D .6. （2分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A . 45B . 35C . 21D . 157. （2分） (2019高一下·温州期末) 已知函数，则（）A . 的最小正周期为，最大值为1B . 的最小正周期为，最大值为C . 的最小正周期为，最大值为1D . 的最小正周期为，最大值为8. （2分） (2019高一下·嘉兴期末) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C的值为A .B .C . 或D . 或9. （2分） (2020高一下·宁波期中) 过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2017高二上·黄山期末) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A . 8+ +B . 8+ +C . 6+ +D . 6+ +11. （2分） (2020高二下·徐州月考) 满足的最大自然数 =（）A . 7B . 8C . 9D . 1012. （2分） (2020高一下·石家庄期中) 一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·阳高开学考) 已知P（x，y）是抛物线y2=﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z=2x﹣y的最大值为________．14. （1分）(2018·台州模拟) 已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比数列，，则的最小值为________.15. （1分）(2020·东莞模拟) 已知在上恰有一个零点，则正实数的取值范围为________．16. （1分） (2019高二下·长春期末) 已知抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B两点，若，则点A的坐标为 ________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016高一下·枣阳期中) 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn ．18. （10分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；（2）求证：MN⊥平面PCD；（3）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围．19. （10分） (2018高二下·赤峰期末) 过椭圆：右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍.（1）求的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边形面积的最大值.20. （15分） (2016高二下·威海期末) 某商场举行抽奖活动，规则如下：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球个数不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中，求获奖的概率；（2）在三次游戏中，记获奖次数为随机变量X，求X的分布列及期望．21. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）= ﹣2x，g（x）=alnx．（1）讨论函数y=f（x）﹣g（x）的单调区间（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若对任意两个不等的正数x1 ， x2 ，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高二下·河北期中) 在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．23. （10分） (2018高三上·大港期中) 已知函数（为常数）.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若，当时，恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足z(−1+i)=|1+3i|2，则z−=()A. −5−5iB. −5+5iC. 5+5iD. 5−5i2.已知集合M={x|y=lg(1−x)}，集合N={y|y=2x,x∈R}，则M∩N=()A. {x|x<1}B. {x|x>1}C. {x|0<x<1}D. ⌀3.函数f(x)=log2(x2−1)x的图象大致是()A. B.C. D.4.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √75.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率为()A. √5B. √55C. √52D. 2√556.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=−14，则bc=()A. 6B. 5C. 4D. 37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”，比如已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值．执行程序框图，则输出的n=()A. 62B. 59C. 53D. 508.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为()A. 760B. 16C. 1360D. 149.在三棱锥S−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为()A. √55B. √66C. √306D. 以上结论都不对10.若函数f(x)=3cos(ωx+φ)，对任意的x都有f(π6+x)=f(π6−x)，则f(π6)等于()A. −3B. 0C. 3D. ±311.若f(x)=(x+2)(x+m)x为奇函数，则实数m=____________．A. 1B. 1C. 1D. 112.设F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为()A. √33或√53B. √53或√63C. √63或√73D. √33或√5−14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=sinx+2x−1在点x=0处切线方程是______．14.已知实数x,y满足{x−4y≤−33x+5y≤25x≥1，则z=2x+y的最小值__________．15.若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tanα=______．16.在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=√2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A−BDC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 数列{a n }满足a 1=1，12an+1=12a n+1(n ∈N ∗).(Ⅰ)求证：{1a n}是等差数列；(Ⅱ)若b n =a n ⋅a n+1，求{b n }的前n 项和S n ．18. 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：若由资料知：y 对x 呈线性相关关系，试求： ①线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂的回归系数a ̂和b ^； ②估计使用年限为10年时，维修费用是多少？(参考公式：b ̂=i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n =i ni=1i −nxy∑x 2n −nx2，a ̂=y −b ̂x)19.已知抛物线C的顶点在原点，其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x−y−2=0的距离为3√2，设P为2直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．21. 已知函数f(x)=lnx −x ．(1)证明：f(x)≤−1； (2)证明：|f (x )|>lnx x+12．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点． (1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点M(−1,2)恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．23.设函数f(x)=x2+|x−a|，g(x)=a．x(1)当a=0时，解关于x的不等式f(x)>2；(2)求函数f(x)的最小值；(3)若∀t∈(0,2)，∃x∈R使f(x)=g(t)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．解：由z(−1+i)=|1+3i|2，得z=|1+3i|2−1+i =10−1+i=10(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−5−5i，∴z−=−5+5i．故选B．2.答案：C解析：解：由M中y=lg(1−x)，得到1−x>0，即x<1，∴M={x|x<1}，由N中y=2x>0，得到N={y|y>0}，则M∩N={x|0<x<1}，故选：C．求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.答案：C解析：解：易得函数f(x)的定义域关于原点对称，f(−x)=log2(x2−1)−x=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；由f(x)=0得log2(x2−1)=0，即x2−1=1，得x2=2，即x=±√2，则f(3)=log283=33=1>0，排除A，故选：C．根据条件判断的函数的奇偶性，结合函数零点，利用特殊值法进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．解析：利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．5.答案：C解析：解：∵双曲线的渐近线方程为y=±ab，一条渐近线的方程为y=2x，∴ab=2，设b=t，a=2t则c=√t2+4t2=√5t∴离心率e=ca =√52．故选：C．先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a和b的关系，进而求得a和c 的关系，则离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c基本关系．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可得a2−b2=4c2，根据余弦定理由cosA=−14即可求bc的值．解：∵asinA−bsinB=4csinC，由正弦定理得a2−b2=4c2，∴cosA=b2+c2−a22bc =−3c22bc=−3c2b=−14，解得b=6c，所以bc=6．7.答案：C解析：本题考查了程序框图与循环结构，也考查了古代数学的应用问题，是基础题．模拟程序运行，观察变量值，可求出n的最小值．解：模拟程序运行，变量n的值依次为1229，1061，893，725，557，389，221，53，此时不符合循环条件，输出n=53，故选C．8.答案：B解析：解：“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，基本事件总数n=A66=720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：第一节是数，有：A33A42=36种排法，第二节是数，有：A55−C31A22C31A22=84种排法，∴m=36+84=120，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率p=mn =120720=16．故选：B．基本事件总数n=A66=720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：第一节是数，有：A33A42=36种排法，第二节是数，有：A55−C31A22C31A22=84种排法，从而m=36+84=120，由此能求出满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．取AC中点为E，连接DE，SE，则DE//AB，∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，由此能求出异面直线AB与SD所成角的余弦值．解：如图，取AC中点为E，连接DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，所以DE//AB，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB=AC=SA=2，由勾股定理得SE=√5，∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SA⊥AB，又AB⊥AC，AC∩SA=A，AC,SA⊂平面SAC，∴BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，SE⊂平面SAC，∴DE⊥SE，又DE=1.∴SD=√6．在Rt△SDE中，cos∠SDE=DESD =√6=√66．∴异面直线AB与SD所成角的余弦值为√66．故选B．10.答案：D解析：由已知可得函数关于x=π6对称，根据三角函数的性质知函数对称轴处取函数的最值，可得结论．本题考查了函数对称性质：若函数满足f(a+x)=f(a−x)，则函数关于x=a对称．利用三角函数的对称性质：正弦(余弦)函数在对称轴处将取得函数的最值，是基础知识的简单运用．解：由f(π6+x)=f(π6−x)可知函数f(x)关于x=π6对称，而由三角函数的对称性的性质可知，在对称轴处取得函数的最值∴f(π6)=±3故选D11.答案：B解析：解：∵f(x)=(x+2)(x+m)x为奇函数，∴f(−1)=−f(1)即m−1=3(1+m)∴m=−2故答案为：−212.答案：A解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于较易题．设|MF2|=m，则|MF1|=2m，由椭圆的定义可得3m=2a，根据△MF1F2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率．解：设|MF2|=m，则|MF1|=2m，∴3m=2a，∵△MF1F2为直角三角形，∴m2+4c2=(2m)2或m2+(2m)2=4c2，∴c=√32m或c=√52m，∴e=ca =√33或√53．故选A．13.答案：y=3x−1解析：本题考查导数的几何意义，以及切线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程．解：f(x)=sinx+2x−1的导数为f′(x)=cosx+2，可得f(x)在x=0处的切线的斜率为f′(0)=1+2=3，f(0)=−1，即切点为(0,−1)，可得所求切线方程为y=3x−1．故答案为：y=3x−1．14.答案：3解析：此题主要考查利用线性规划求最小值，利用数形结合是解决本题的关键，作出不等式组对应的平面区域，利用直线截距的几何意义，进行求解即可.解：由约束条件作出可行域如图：平移直线y=−2x+z可得，当直线过点A(1,1)时，z有最小值为z=3．故答案为3．15.答案：−3解析：解：若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tanα+1tanα−1=12，由此求得tanα=−3，故答案为：−3．由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．16.答案：4π解析：解：由已知：平面ABD⊥平面BCD，CD//AB，∠ABD=90°得：CD⊥BD，故CD⊥平面ABD，由AB=1，BD=√2，得：三棱锥A−BDC是一个以CD=1为高，以平面ABD为底面的棱锥，故球心到底面的距离d=12CD=12，底面外接圆半径r=12AD=√32，故三棱锥A−BDC的外接球的表面积S=4π(d2+r2)=4π，故答案为：4π由已知可得三棱锥A−BDC是一个以CD=1为高，以平面ABD为底面的棱锥，求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，代入外接球的表面积公式S=4π(d2+r2)，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，是解答的关键．17.答案：解：(I)由12a n+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，∴数列{1a n }是等差数列，首项1a1=1，公差d=2．∴1a n =1a1+(n−1)d=2n−1．∴a n=12n−1．(II)∵b n=a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴S n=a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1=12(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(I)由12a n+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，利用等差数列的定义即可得证；(II)b n=a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用“裂项求和”即可得出．18.答案：解：①由题意，x=2+3+4+5+65=4，y =2.2+3.8+5.5+6.5+75=5，∴b ̂=∑x i 5i=1y i −5xy ∑x i 25i=1−5x2=1.23， ∴a ̂=y −b̂x =0.08； ②当x =10时，ŷ=1.23×10+0.08=12.38， 即估计使用年限为10年时，维修费用约是12.38万元．解析：本题考查线性回归方程，考查利用线性回归方程解决实际问题，正确计算是关键．属于基础题．①先计算样本平均数，再代入公式计算，即可得到所求；②将x =10代入回归直线方程，即可估计使用年限为10年时的维修费用． 19.答案：解：(1)焦点F(0,c)(c >0)到直线l ：x −y −2=0的距离：d =√2=√2=3√22，解得c =1，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ；(2)设A(x 1,14x 12)，B(x 2,14x 22)， 由(1)得抛物线C 的方程为y =14x 2，y′=12x ， ∴切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，∴PA ：y −14x 12=12x 1(x −x 1)①， PB ：y −14x 22=12x 2(x −x 2)②，联立①②可得点P 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，即x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，又∵切线PA 的斜率为12x 1=y 0−14x 12x 0−x 1，整理得y 0=12x 1x 0−14x 12，直线AB 的斜率k =14x 12−14x 22x 1−x 2=x 1+x 24=x 02，∴直线AB 的方程为y −14x 12=12x 0(x −x 1)， 整理得y =12x 0x −12x 1x 0+14x 12，即y =12x 0x −y 0，∵点P(x 0,y 0)为直线l ：x −y −2=0上的点， ∴x 0−y 0−2=0，即y 0=x 0−2，∴直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0．解析：本题考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．(1)利用焦点到直线l ：x −y −2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程；(2)先设A(x 1,14x 12)，B(x 2,14x 22)，由(1)得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程．20.答案：证明：(1)连结DE ，BD ，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，E 为AB 的中点， ∴DE ⊥AB ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又DE ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PDE ， ∴AB ⊥PE ，∵AB//CD ，∴PE ⊥CD ． 解：(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−10√5⋅√32=−√104．∴二面角A−PE−C的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．(2)设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PE−C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：证明：(1)因为f′(x)=1−xx(x>0)，可得f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数，f(x)max=f(1)=ln1−1=−1，故f(x)≤−1；(2)由(1)可知|f(x)|min=1，设g(x)=lnxx +12，则g′(x)=1−lnxx2，故g(x)在(0,e)上是增函数，在(e,+∞)上是减函数，故g(x)max=g(e)=1e +12<1，故g(x)max<|f(x)|min，所以|f(x)|>lnxx +12对任意x∈(0,+∞)恒成立．解析：本题考查由导数求函数的单调性，由导数求最值证明不等式．(1)求出f′(x)得出f(x)的单调区间，得出f(x)的最大值即可得出结论；(2)由(1)得出|f(x)|min =1，设g(x)=lnx x+12，得出g(x)的最大值即可得出结论．22.答案：解：(Ⅰ)设点Q ，P 的极坐标分别为(ρ,θ)，(ρ0,θ0)，则ρ02+4ρ0cosθ0−4ρ0sinθ0=12且ρ0=2ρ，θ0=θ，所以(2ρ)2+4⋅(2ρ)cosθ−4⋅(2ρ)sinθ=12所以点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=3． 故点Q 轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2+2x −2y =3． (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线的直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=5， 将直线参数方程代入曲线的方程得(tcosα)2+(1+tsinα)2=5， 即t 2+2tsinα−4=0，由题意不妨设方程两根为−t ，2t ， 所以{−t +2t =−2sinα−t ×2t =−4即{t =−2sinαt 2=2，所以sin 2α=12⇒cos 2α=12，又sinα与cosα在一三象限同号，二四象限异号， 所以直线的斜率k =tanα=±1，又直线过M(−1,2) 故直线的普通方程为x −y +3=0或x +y −1=0．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=x 2+|x|>2，即x 2+|x|−2>0， 解得(|x|−1)(|x|+2)>0， 即|x|−1>0， 解得x >1或x <−1，即不等式的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．(2)当x ≥a ，f(x)=x 2+x −a =(x +12)2−a −14， 当x <a ，f(x)=x 2−x +a =(x −12)2+a −14，若a ≥12时，x ≥a ，则f(x)min =f(a)=a 2，x <a 时，f(x)min =f(12)=a −14<a 2，∴f(x)min =a −14． 当−12≤a <12时，x ≥a ，则f(x)min =f(a)=a 2，x <a 时，f(x)>f(a)=a 2，∴f(x)min =a 2． 当a <−12时，x ≥a ，f(x)min =f(−12)=−a −14，x <a 时，f(x)>f(a)=a 2>−a −14， ∴f(x)min =−a −14．综上，a ≥12时，f(x)min =a −14． 当−12≤a <12时，f(x)min =a 2． 当a <−12时，f(x)min =−a −14．(3)由题意得，函数g(t)，t ∈(0,2)的值域包含于函数f(x)的值域， 当a =0时，g(x)=0，此时f(x)=x 2+|x|≥0， 当a ≠0时，恒有f(x)>0，则g(t)=a t>0,t ∈(0,2)，则a >0，且g(t)=at是减函数，则g(t)>a2，若a ≥12时由a2≥a −14.解得a ≤12，此时a =12， 若0<a <12时，a2≥a 2，解得0<a <12， 综上0≤a ≤12．解析：本题主要考查不等式的求解以及一元二次函数最值的应用，综合性较强，注意求解过程中要注意分类讨论．(1)当a =0时，根据一元二次不等式的解法即可解关于x 的不等式f(x)>2； (2)讨论a 的取值范围结合一元二次函数的性质即可求函数f(x)的最小值； (3)求出函数的最值之间的关系即可得到结论．。

宁夏六盘山高级中学2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一项符合要求） 1.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 取出白球0 取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 2.设随机变量X 的分布列为,3,2,1,3)(===i aii X P 则=≤)2(X P ( ) A.91 B. 61 C. 31 D. 21 3.(1－x )10展开式中x 3项的系数为( )A.－720 B ．720 C.－120 D ．120 4.甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙共有( )种选法？ A ．6 B ．12 C ．16 D ．30 5.若443322104)32(xa x a x a x a a x ++++=+,则2312420)()(a a a a a +-++ 的值是( )A.-1B. 1C. 0D. 2 6.已知随机变量)21,6(~B X ，则)12(+X E 等于( ) A.3 B.6 C.7 D.97.由0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．1628.抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为( )A.13B.12C.536D.5129.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A.84种 B ．120种 C ． 260种10.在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在一次试验中发生的概率为( )A ．13B ．25C ．56D ．3411.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率（ ） A.175 B. 275 C. 375 D.47512.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ） A.484 B. 472 C.252 D.232二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.计算 =+++++282726252423C C C C C C14.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)15.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，则甲地下雨的情况下乙地也下雨的概率为________.16.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 个.(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).17.（本题10分）已知nxx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第4项的二项式系数最大.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项.18.（本题12分）两位老师甲、乙和四位学生站成一排. (1)四名学生必须排在一起，共有多少种排法？ (2)两位老师不能相邻，共有多少种排法？(3)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？19.（本题12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训• A •• • • • B C D E F • A • •• ••BCDE F后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学男生甲被抽到的概率；(2)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率．20.（本题12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．21.（本题12分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用Y表示，据统计，随机变量Y 的分布列如下：(1)求a的值和Y(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．22.（本题12分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布列．宁夏六盘山高中2020学年第二学期高二第二次月考数学（理科）参考答案一、ADCCB CCDDA DB二、13. 83 14. 90 15 .0.6 16. 15 三、17. (1)60 (2)55240-=x T18.(1)1444433=⋅A A (2)4802544=A A (3)216441455=⋅+A A A 19. (1) 2136363625=⋅⋅=C C C C P (2)10099136363433=⋅⋅-=C C C C P20.解：由题意知，X 服从超几何分布，则P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2． (1)X 可能取的值为0,1,2． 所以X 的分布列为(2)由(1)知，“所选3人中女生人数X≤1”的概率为P (X≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝45．21.(1)由概率分布的性质知，0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，∴a ＝0.2，则Y 的分布列为E (ξ)＝0×0.1＋1×(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”，事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”，事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”，则由事件的独立性可得P (A 1)＝C 12P (Y ＝2)P (Y ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝(P (Y ＝1))2＝0.32＝0.09， P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17，22解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427．(2)由题意，可得ξ可以取的值为0,2,4,6,8(单位：分钟)，事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)，∴P (ξ＝2k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0,1,2,3,4)，即P (ξ＝0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681；P (ξ＝2)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281；P (ξ＝4)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827；P (ξ＝6)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝881； P (ξ＝8)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝181．∴ξ的分布列是。