重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（下）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间： 2008-8课题： 幂级数教学目的及要求：了解幂级数的收敛域的构造及求法，理解幂级数运算的性质。
教学重点：幂级数收敛域的求法，幂级数的运算。
教学难点：幂级数收敛半径和收敛区间的求法，利用幂级数的运算性质求和函数。
教学步骤及内容 ： 一、函数项级数的概念1.函数项级数的概念（1）如果级数 +++++)()()()(321x u x u x u x u n 的各项都是定义在某区间I 中的函数，就叫做函数项级数．当自变量x 取特定值，如I x x ∈=0时，级数变成一个数项级数∑∞=10)(n nx u．如果这个数项级数收敛，称为0x 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点，如发散，称0x 为发散点，一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域．（2）和函数函数项级数对收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个常数项级数，故有一个和s .于是，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数.其定义域是级数的收敛域.写为123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++.在收敛域内有lim ()()n n s x s x →∞=.()()()n n r x s x s x =-是函数项级数的余项（收敛时才有意义）.lim ()0n n r x →∞=例1 判断11n n x∞-=∑的收敛性，并求其收敛域与和函数.解 此级数为几何级数(即等比级数),由第一节例1知|x |<1时,级数收敛，|x |≥1时级数发散.故其收敛域为(1,1)-,和函数为：11()lim ()lim 11lim(11)11nk n n n k nn s x s x x x x x x-→∞→∞=→∞==-==-<<--∑旁批栏：二、幂级数及其收敛性 1.定义：形如,22100+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a的级数称为幂级数，其中常数012,,,,,n a a a a 叫做幂级数的系数.例如,12+++++nx x x+++++n x n x x !1!2112，2.幂级数的收敛定理 考察幂级数201nn n xx x x ∞==+++++∑.公比为x 的等比级数，当1<x 时收敛；当1≥x 时发散出发，因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间(1,1)-，此例推广到一般情形，则有关于∑∞=0n n n x a 收敛域的阿贝尔定理：定理1（阿贝尔定理） 如果级数∑∞=0n n nx a当0x x =（00≠x ）时（使∑∞=0n nnx a）收敛，则当0x x <时，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛；反之，如果∑∞=0n nnx a当0x x =发散，则当0x x >时，幂级数∑∞=0n n n x a 发散．证 先设0x 是幂级数∑∞=0n n nx a的收敛点，根据级数收敛的必要条件，有0lim 0nn n a x →∞=，于是存在一个常数M ，使得0||n n a x M ≤（n =0,1,2,…） 这样级数∑∞=0n n nx a的一般项的绝对值0000||||||||||n nnn n n n n n n x x x a x a x a x M x x x =⋅=⋅≤. 因为当|x |<|x 0|时，等比级数00||n n x M x ∞=∑收敛（公比0||1x x <），所以级数0||n n n a x ∞=∑收敛，也就是级数∑∞=0n nn x a 绝对收敛.定理第二部分可用反正法证明，若幂级数当0x x =时发散而有一点1x 适合10x x >使级数收敛，则根据本定理第一部分，级数当0x x =时应收敛，这与所设矛盾.定理得证.推论：如果幂级数∑∞=0n n nx a不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的数R 存在，使得当x R <时，幂级数∑∞=0n n nx a绝对收敛； 当x R >时，幂级数∑∞=0n n nx a发散；当x R =+与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．旁批栏：正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径，开区间(),R R -+叫做幂级数的收敛区间．3.收敛区间和收敛半径的求法定理2 如果幂级数∑∞=0n nnx a当n 充分大以后都有0≠n a ，且)0(lim1+∞≤≤=+∞→ρρnn n a a ，则 ⑴当+∞<<ρ0时，ρ1=R ，⑵当0=ρ时，+∞=R ， ⑶当+∞=ρ时，0=R .证 考察幂级数∑∞=0n n nx a的各项取绝对值所成的级数 2012||||||||.n n a a x a x a x +++++这级数相邻两项之比为111||||||.||n n n n n na x a x a x a +++=（1）如果1lim ||(0)n n na a ρρ+→∞=≠存在，根据比值审敛法，则当1||1||x x ρρ<<即时，级数收敛，从而级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛；当1||1||x x ρρ>>即时，级数发散并且从某一个n 开始11||||n n n n a xa x ++>，因此一般项||nn a x 不能趋于零，所以nn a x 也不能趋于零，从而级数∑∞=0n nnxa发散，于是收敛半径R =1ρ.(2)如果 =0，则任何0x ≠，有11||0()||n n nn a x n a x ++→→∞，所以级数收敛，从而级数∑∞=0n nnx a绝对收敛．于是R =+∞. (3)如果ρ=+∞，则对于除0x =外的其他一切x 值，级数∑∞=0n n nx a必发散，否则由定理1知道将有点0x ≠使得级数收敛，于是0R =.[课内练习]例2 求下列各幂级数的收敛域⑴∑∞=0n nnx 解 ∵1111lim lim1=+=∞→+∞→nn a a n nn n ∴1=R 旁批栏：当1=x 时，级数成为∑∞=01n n（发散） 当1-=x 时，级数成为∑∞=-0)1(n nn （收敛） ∴收敛域为)1,1[- ⑵221212-∞=∑-n n n x n 解 ∵级数中只出现x 的偶次幂，∴不能直接用定理来求R可设22212--=n nn xn u ，由比值法2212212lim )()(lim 222211x xn x n x u x u n nnn n n n n =-+=-+∞→+∞→可知当122<x ，即2<x ，幂级数绝对收敛 当122>x ，即2>x ，幂级数发散，故2=R 当2±=x 时，级数成为∑∞=-1212n nn ，它是发散的，因此该幂级数的收敛域是)2,2(-．幂级数一般形式∑∞=-00)(n n nx x a的讨论，可用变换y x x =-0，使之成为∑∞=0n n ny a进行．三、幂级数的运算1.幂级数的运算 设幂级数,22100+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a及20120,nn n n n b xb b x b x b x ∞==+++++∑分别在区间（-R,R ）及（-R ′,R ′）内收敛,对于这两个幂级数，有下列四则运算：加减法：(2012n n a a x a x a x +++++)(2012n n b b x b x b x +++++) ＝2001122()()()()n n n a b a b x a b x a b x ±+±+±++±+乘法：(2012n n a a x a x a x +++++)(2012n n b b x b x b x +++++) ＝2000110021120()()()a b a b a b x a b a b a b x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+011220()n n n n n a b a b a b a b x --⋅+⋅+⋅+++可以证明上2式在（,R R -）与（,R R ''-）中较小的区间内成立.除法：待定系数法.2.幂级数的和函数的性质：旁批栏：性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()s x 在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑∞=0n n nx a的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式1()[],()1xx xnnn n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x x I n ∞∞∞+======∈+∑∑∑⎰⎰⎰ 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n nx a的和函数()s x 在其收敛区间（,R R -）内可导，且有逐项求导公式101()()(),||nnn n n n n n n s x a x a x na x x R ∞∞∞-==='''===<∑∑∑逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例3 求幂级数∑∞=+01n nn x 的和函数.解 先求收敛域.由121lim||lim 1=++=∞→+∞→n n a a n n n n 得收敛半径1R =. 在端点1x =-处，幂级数成为∑∞=+-01)1(n nn ，是收敛的交错级数； 在端点1x =处，幂级数成为∑∞=+011n n ，是发散的.因此收敛域为[1,1)I =-. 设和函数为()s x ，即).1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x s n n 于是.1)(01∑∞=++=n n n x x xs 利用性质3，逐项求导，并由)11(,1112<<-+++++=-x x x x xn得∑∑∞=∞=+<-=='+='001)1|(|11)1(])([n n n n x x x n x x xs 对上式从0到x 积分，得.)11(),1ln(11)(0⎰≤≤---=-=x x x dx x x xs于是，当0≠x 时，有).1ln(1)(x xx s --=而(0)s 可由0(0)1s a ==得出，故⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0,1),1,0()0,1[),1ln(1)(x x x xx s 小结与思考：小结：幂级数是函数项级数中最基本的一类．它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分．由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义．本次课主要学习了幂级数的收敛半径和收敛域的求法以及如何求幂级数的和函数的方法．在求缺奇数次项（或缺偶数次项）等幂级数的收敛半径时不能使用定理中的方法；在求幂级数的和函数时要注意确定其定义域，旁批栏：11n n x x∞==-∑(||1)x <是求幂级数的和函数时最常用的重要结论．作业时还应注意阿贝尔定理的使用．思考：⒈函数项级数一定有收敛域吗？如果有，一定是一个区间吗？ 考察!(2)nn n x ∞=-∑和0!n n n x∞=∑的收敛域. ⒉在求幂级数的和函数时，经常遇见幂级数逐项微分或逐项积分，试问：微分后或积分后的幂级数收敛域会变化吗？怎样变化3.求下列幂级数的收敛域和收敛半径⑴2111(21)!n n x n ∞+=-∑ [R=+∞，收敛域为（-∞， +∞ ）] ⑵11(1)3nn n x ∞=-∑ [R=3，收敛域为（-2，4）] 4.求211(1)(2)n n x n n ∞+=++∑的和函数 作业：（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
