初三数学重点难点总复习专题圆生

中考总复习九：圆一、基础知识和基本图形1．确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．圆的有关性质：（1）垂径定理及推论：落实，，构成的直角三角形．（2）圆心角、圆周角、弧、弦及弦心距之间的关系：3．直线与圆：（1）直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线和圆相交d＜r；②直线和圆相切 d ＝r；知交点，连半径，证垂直；不知交点，作垂直，证半径。

③直线和圆相离 d ＞r．（2）切线的性质定理及判定定理、切线长定理．（轴对称）4．圆和圆的位置关系：设圆的半径分别为R和r (R ＞r ) 、圆心距为d，则：两圆外离d ＞R＋r；两圆外切d = R＋r；两圆相交 R–r＜d＜R＋r；两圆切d = R–r；两圆含d ＜R一r (同心圆d = 0 )．5．有关圆的计算（1）扇形弧长和扇形面积．（2）三角形的切圆．（3）圆锥的侧面展开．（4）有关阴影面积．（割补法）二、例题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sin B＝，则弦AC 的长为______________．分析：如何利用好圆的半径，如何把角B放到一个直角三角形中去运用三角函数值，这就需要作直径，并构造直径所对的圆周角，这样就把角B转化到直角三角形中了。

解答：作直径AO，交圆O于D，连CD利用勾股定理求得： AC=32．如图，分别是的切线，为切点，是⊙O的直径，已知，的度数为（）．A．B．C．D．分析：本题利用圆心角与圆周角的关系，以及切线长定理解决解答：D3．如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____________．分析：要求扇形面积，关键是确定半径和圆心角解答：过A作AE⊥BC于E，可求得∠B为60度，AE=，所以最大扇形面积为4。

4．在中，，．如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于______________．分析：此题应分类讨论，考虑圆心O在BC上和在BC下两种情况解答：5或35．如图，已知：△ABC是⊙O的接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于______________．分析：先解三角形，求得∠B为45度，再构造直径AO解答：作直径AO，交圆O于E，连CE可求得∠E=∠B=45度，所以直径AE=6．如图，已知大半圆⊙与小半圆⊙相切于点B，大半圆的弦MN切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4时，则此图中的阴影部分的面积是_____________．分析：此题需用到垂径定理和整体带入解答：连接，过作⊥MN于E阴影面积为27．已知：如图，△OBC接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC＝45°，∠OBC＝75°，A点坐标为（0，2）．则点B点的坐标为___________；BC的长=__________．解答：连AB、AC，可求得B（），BC=8．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_______s时，BP与⊙O相切．解答：要考虑到两种情况，5或19．已知：点F在线段AB上，BF为⊙O的直径，点D在⊙O上，BC AD于点C，BD平分．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=，AF=，求CD的长．解答：（1）连OD，证明OD//BC（2）利用方程和相似，求得CD=10．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD．已知AD=BD=4，PC＝6，求CD的长．解答：连AC，利用∽，求得CD=811．如图，点I是△ABC的心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值围．解答：（1）提示：证∠IBD=∠BID（2）（6）12．如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为，，设．①求关于的函数关系式．②当时，求的值．解答：（1）连DO，证OD⊥DP；（2）①连PO，；②，提示：在三角形EBC中求13．二次函数的图象与轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，点M是它的顶点．（1）求证：以A为圆心，直径为5的圆与直线CM相离；（2）将（1）中的⊙A的圆心在轴上移动，平移多少个单位，使⊙A与直线CM 相切．解答：（1），（2）个单位．。

初三数学圆的全章复习重、难点：圆的概念、性质、判定及应用 【知识梳理】圆这一章的内容可分为五大块来复习第一块：垂径定理。

掌握重点：过圆心垂直平分弦长。

涉及计算，记住连半径构造直角三角形，应用勾股定理计算。

垂径定理简记口诀：一垂，二径，三平分。

第二块：圆心角，圆周角应用。

重要结论：同弧上的圆周角等于圆心角的一半；同弧上的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角。

圆心角与圆周角轻松实现角的转移与传递。

记住封闭直径所对的圆周角是直角，作直径是圆中常见的辅助线。

圆的旋转不变性——三组量之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量都相等。

这是圆中角、弧、线段进行相互转化的重要结论。

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

第三块：切线的概念；切线与过切点的半径垂直。

切线长定理的应用证明。

若求证直线是圆的切线一般有两种方案：（1）连半径证垂直；（2）作垂直证半径。

证明直线与圆相切是考察的重点，务必掌握。

切线长定理要熟记基本图，其中涉及到多对相等的弧、弦、角，这些内容要心中有数。

第四块：点与圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系。

数形结合相互转化。

第五块：正多边形和圆，圆的有关计算：弧长和扇形面积，圆锥的侧面展开面积和全面积。

阴影部分面积的求法。

重视转化思想的运用。

基础题分类突破 一、垂径定理1、在半径为10cm 的圆O 中，圆心O 到弦AB 的距离为6cm ，则弦AB 的长是 cm ．2、如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm ，其中有油部分油面宽AB 为24cm ，则截面上有油部分油面高CD （单位：cm ）为 ．答案：8cm点评：将半径、弦的一半和圆心到弦的距离集中到一起，利用勾股定理建立方程解决问题。

二、圆心角、圆周角的性质及两者间的关系3、如图，圆O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠= ，则DCF ∠等于（ ） A. 80 B. 50 C. 40 D. 20 答案：D4、如图，圆O 是等边ABC △的外接圆，P 是圆O 上一点，则CPB ∠等于（ ） A. 30B. 45C. 60D. 90答案：C三、切线的判定与性质及切线长定理5、已知：如图，ABC △内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，30CAD ∠=． （1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）若OD AB ⊥，5BC =，求AD 的长．解：（1）证明：如图，连结OA ． 因为1sin 2B =，所以30B ∠=． 故60O ∠= ．又OA OC =，所以ACO △是等边三角形． 故60OAC ∠=． 因为30CAD ∠= ， 所以90OAD ∠= ． 所以AD 是圆O 的切线．（2）解：因为OD AB ⊥， 所以OC 垂直平分AB ． 则5AC BC ==． 所以5OA =．在OAD △中，90OAD ∠=， 由正切定义，有tan ADAOD OA∠=．所以AD =6、如图，圆O 的直径430AB ABC BC ===，，∠D 是线段BC 的中点． （1）试判断点D 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ，求证直线DE 是圆O 的切线．解：（1）点D 在圆O 上．连结OD ，过点O 作OF BC ⊥于点F ．在Rt BOF △中，12302OB AB B === ，∠， 330cos 2BF =︒=∴．12BD BC ==DF ∴=在Rt ODF △中，2OD OB === ，∴点D 在圆O 上．（2）D 是BC 的中点，O 是AB 的中点， OD AC ∴∥． 又DE AC ⊥ ，90EDO ∴= ∠．又OD 是圆O 的半径， DE ∴是圆O 的切线．7、如图，AC 是圆O 的直径，60ACB ∠=，连接AB ，过A B ，两点分别作圆O 的切线，两切线交于点P ．若已知圆O 的半径为１，则PAB △的周长为 ．答案：四、三角形的内切圆和外接圆8、如图，点O 是ABC △的内切圆的圆心，若80BAC =∠，则BOC =∠（ ）A. 130B. 100C. 50D. 65答案：A五、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 点与圆的位置关系的判断请参见例6（1）9、圆O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与圆O 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 答案：A10、如果圆O 1和圆O 2相外切，圆O 1的半径为3，125O O =，则圆O 2的半径为（ ）A. 8B. 2C. 6D. 7 答案：B11、半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d ，若313d <≤，则这两个圆的位置关系一定是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 内切或相交 D. 外切或相交 答案：D点评：熟悉位置关系与数量关系的相互转化是解决问题的关键。

最新九年级数学高频考点核心考点复习纲要完好版圆圆圆·连结圆上随意两点的线段叫做弦。

圆上随意两点之间的局部叫做圆弧，简称弧。

垂直于弦的直径·垂径定理：垂直于弦的直径均分弦且均分弦所对的两条弧。

推论：均分弦的直径垂直于弦且均分弦所对的两条弧。

弧、弦、圆心角1、极点在圆心的角叫做圆心角。

2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。

推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。

圆周角1、极点在圆上，且两边都与圆订交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，假如两个圆周角相等，那么它们所对的弧也必定相等。

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3、假如一个多边形的全部极点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。

4、圆内接四边形的对角互补。

点、直线、圆和圆的地点关系点和圆的地点关系1、假定⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d<r。

〔“〞读作“等价于〞，表示能够从符号“〞的一端获得另一端〕2、经过的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直均分线上。

3、不在同向来线上的三个点确立一个圆，确立方法：作三点的连线段的此中两条的垂直均分线，交点即为圆心，以圆心到此中一点的距离作为半径画圆即可。

4、假定三角形的三个极点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直均分线的交点，叫做三角形的外心。

5、假定命题的结论不建立，经过推理得出矛盾，那么假定不正确，故原命题建立，这类证明方法叫做反证法。

直线和圆的地点关系1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆订交，这条直线叫做圆的割线。

九年级中考圆题型知识点九年级中考数学是学生们备考重点之一。

其中，圆是一个重要的几何概念，也是中考数学题目中经常出现的一个考点。

本文将为大家细致解析九年级中考圆题型知识点，希望能帮助同学们更好地应对考试。

一、圆的基本概念圆是平面上所有到圆心的距离都相等的点的集合。

其中，与圆有关的一些常用术语包括：1. 圆心（O）：圆的中心点。

2. 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，它的长度称为圆的半径。

3. 直径（d）：通过圆心的两个确定的点，其长度为圆的直径，直径是半径的两倍。

4. 弧（弧度）：圆上的一段弧，可以用圆心角来度量，弧度是度量角度的单位。

二、圆的性质1. 圆的内切圆：一个正多边形的内接圆的半径与这个正多边形的边长之比保持不变。

2. 相交弧的性质：如果两条弦在某个圆上相交，那么这两个相交的弧的度数之和为360°。

3. 切线和切点：切线与半径垂直。

4. 弧与角：圆内每个弧所对的圆心角有唯一对应的。

三、圆的定理和推论1. 同弧度的圆周角相等。

2. 同弧中心角相等。

3. 对称圆周角相等。

4. 直径所对的圆周角为直角。

5. 互余弧余角相等。

6. 弦切定理：圆上的切线与切点所组成的锐角与切点所对的弦上的弧所对的圆心角相等。

四、圆的应用圆的应用在生活中随处可见。

以下是几个典型的示例：1. 汽车轮胎：汽车轮胎的主体即为圆形，保证轮胎的平衡性和牢固性。

2. 潮汐现象：地球与月球之间的引力相互作用所产生的潮汐现象正是由于圆形轨道的影响。

3. 时钟：时钟的表面多为圆形，所以我们通常以圆上点的运动方式来计时。

4. 路灯：路灯的灯罩大多采用圆形或者半圆形，能够同时照亮周围的区域。

总结：掌握圆的基本概念和性质是解决九年级中考圆题型的关键。

除了理论知识的掌握，同学们还应该加强实际应用的训练，这样才能在考试中灵活运用所学知识解题。

希望本文的知识点讲解和实例分析能为同学们的备考提供帮助，让大家能够在数学考试中更加出色。

初三数学圆知识点总结完整版圆是一种最完美的图形，在许多方面，它们也具有很多独特的特性。

圆的知识点有很多，其中也含有复杂的数学知识。

在初三的数学课上，很多学生都可能会遇到圆在数学当中的应用。

首先，要了解圆的各种基本概念，包括圆心、半径、圆心角、切线和切点等概念。

其次，要弄清楚圆和其他几何关系，如圆至直线有何关系，圆心角如何计算，以及圆的切面与圆所表现出的关系。

最后，要熟练掌握解决圆面积、圆周长和圆周长对圆周长比等典型问题的方法。

1、圆的基本概念：圆（circle）是一组相同半径的点的一组，同时，它也有一个共同的圆心，半径和圆心角。

同时，圆的圆心到任意一点的距离都是相等的，这个距离叫做半径，简写为r，圆上任意两点之间的弧形是圆或圆弧。

2、直线和圆的关系：圆至直线有交点，其形式有三类：直径是直线，圆上有两个交点；切线是直线，圆上只有一个交点；内切线是直线，不与圆相交。

3、圆的面积和周长：圆的面积是指圆上的点集所围成的面积，它的计算公式是：S = π r^2 (π的值大约等于3.14)；圆的周长是指圆上每一点到圆心的距离之和，它的计算公式是：C = 2πr (π的值大约等于3.14)。

4、圆心角和切点：圆心角是由极角和圆周上任意一点所确定的角，它等于圆周上任一点到圆心的角度，计算公式为γ = 2π/n (n是角数)；切点是由两条切线的交点，它是圆的一个特殊点，它也是中心角与半径的连线的交点。

5、常见圆形问题：解决圆面积、圆周长和圆周长比等典型问题，可以根据上面提到的面积、周长公式，以及利用图形分析法和极坐标分析法来解决。

圆在数学中以及更广泛的科学中都具有重要的地位，它不仅具有各种基本概念，而且可以解决许多有用的问题，因此学习圆在数学中的应用，对更好地学习数学和其他相关的学科很有帮助。

希望各位学生们可以充分利用时间和精力学习圆的知识，以应对更多的学习任务。

初三数学圆知识点垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧.......... .一. 一 ____ __ ■_ ___ ______ _____ ___ ______ 0^0 可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ③CE DE ④BC BD ⑤AC任意2个条件推出其他3个结论。

例1.如图，在。

中，弦CD 垂直于直径 AB 于点E,若/ BAD=30。

，且BE=2 ,则CD= .例2 .已知（DO 的直径CD 10cm, AB 是OO 的弦，AB 8cm,且AB CD ,垂足为M ，则AC 的长为（C ）A . 2^5cmB . 4扼cm C. 2”5cm 或 4V5cm D . ^3cm 或 4右cm例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点 A 、AB 与车轮内圆相切于点D ,做 CDL AB 交外圆于点C .测得 CD=10cm , AB=60cm 个车轮的外圆半径为. 例4、如图，在5 X 5的正方形网格中，一条圆弧 经过A, B, C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A.点P B .点Q C .点R D .点M 二、圆周角定理1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。

即：ACB 是AB 所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1:半圆或直径所对的圆周角是直角; 推论2:圆内接四边形的对角互补； 由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等;2、 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；3、 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等； 简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。

初三数学圆知识点总结圆是初中数学中非常重要的一个概念，几乎涵盖了整个数学知识体系中的各个方面。

圆的性质和应用广泛，不仅在数学中有着重要的地位，而且在生活和实际应用中也有着广泛的应用。

本文将对初三数学圆的知识进行总结和归纳。

一、基本概念和性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点（圆心）的距离相等于定长（半径）的所有点的轨迹构成。

圆的边界称为圆周，圆周上的任意两点与圆心的线段称为弦，通过圆心的连线称为直径。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、圆周等是圆的基本要素。

圆心用字母O表示，半径用字母r表示，直径用字母d表示，圆周用字母C表示。

3. 圆的性质：圆周上的任意一点到圆心的距离相等；圆的直径是圆周的一种特殊的弦，它的长度等于半径的两倍；圆的任意弦都可以作为其两点连线的中垂线。

二、圆的要素之间的关系1. 圆心角和弧度：圆心角是指以圆心为顶点，两条弦为腰的角。

它的大小是圆周上这两个点所对的弧所夹的角度。

弧度是用来度量圆心角大小的单位，1弧度等于圆心角所对的弧长与半径的比值。

2. 弧长和扇形面积：弧长是指圆周上的一段弧的长度，它等于圆心角的大小乘以半径的长度。

扇形是以圆心角为顶角，圆的一部分为底边的图形。

扇形的面积等于圆心角所对的弧长与圆周长的比值乘以圆的面积。

3. 弦长和正弦定理：弦长是指圆上任意两点所确定的线段的长度。

正弦定理是指在一个圆内，三角形的三个边与其对角的正弦值之间的关系。

三、圆的重要定理和公式1. 切线定理和割线定理：切线定理是指从同一外点向圆引切线，切线上的切点到引线点距离的平方等于切点到圆心距离的平方。

割线定理是指从同一外点向圆引割线，割线上的切点到引线点的两部分距离的乘积等于引线点到圆心距离的平方减去割线长的平方。

2. 求圆内切多边形的边长和面积：对于正多边形，可以利用正多边形内接圆与外接圆之间的关系来求解多边形的边长和面积。

3. 余弦定理和正弦定理：余弦定理是它描述了一个三角形的边与角之间的关系。

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