中考数学复习“1+1+3”专项训练(1) 苏科版

中考数学复习“1+1+3”专项训练13苏科版(1)1．观察下列图形：若图形（1）中阴影部分的面积为1，图形（2）中阴影部分的面积为，图形（3）中阴影部分的面积为，图形（4）中阴影部分的面积为，…，则第个图形中阴影部分的面积用字母表示为2．如图，在正方形ABCD 的对角线上取点E ，使得∠BAE=，连结AE ，CE ．延长CE 到F ，连结BF ，使得BC=BF ．若AB=1，则下列结论：①AE=CE ；②F 到BC 的距离为；③BE+EC=EF ；④；⑤．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．金秋十月，某绿色种植基地种植的农产品喜获丰收，但由于同类农产品的大量上市，本地市场价格第一天为每千克4.8元，第二天降为每千克4.6元，且价格p （元／千克）与天数_（天）（1≤_≤7且_为整数）满足一次函数关系．销售量q （千克）与天数_（天）之间满足q=100_+1500（1≤_<7且_为整数）．（1）求价格p （元／千克）与天数_（天）之间的函数关系式：（2）第几天的销售收入最大?并求这个最大值．（3）若该农产品不能在7天内出售，将会因变质而不能出售．依此情况，基地将l0吨该农产品运往外地销售．已知在第五天将农产品运到了外地，并在当天全部销售完．外地销售这种农产品的价格比同一天在本地销售的价格高a ％（0<a<20），而在运输过程中有0.6a ％损耗，这样，除去各种费用l200元后收入40000元．请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值． （参考数据：）4．如图，AB 是⊙O 的直径，点A 、C 、D 在⊙O 上，过D 作PF ∥AC 交⊙O 于F 、交AB 于E ，且∠BPF=∠ADC.（1）判断直线BP 和⊙O 的位置关系，并说明你的理由；（2）当⊙O 的半径为，AC=2，BE=1时，求BP 的长.5．如图a ，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0). （1）按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB 缩小，得到△DOC ，使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D 的坐标为 ,点B 的对应点C 的坐标为 ；（2）已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；P OF E D C B A（3）连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从点B向点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过t 秒，当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？1．2.B 3、解：（1）设，而_=1时，p ＝4.8；_=2时，p ＝4.6,代入得： ，解得所以： （2）设每天的销售收入为w ，则w=pq=(100_+1500)(-0.2_+5)=-20_2+200_+7500(1≤_≤7且_为整数)所以，当_=5时，w 有最大值＝8000（3）由题意得，4（1+a%）_10000(1-0.6a%)-1200=40000设a%＝m ，整理得：60m2-40m+3=0解得：,，故4.(1)直线BP 和⊙O 相切.理由：连接BC,∵AB 是⊙O 直径,∴∠ACB=90°.∵PF ∥AC,∴BC ⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°.∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB ⊥BP, 所以直线BP 和⊙O 相切. (2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=2,∴BC=4.∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB ∽△EBP,∴=,解得BP=2.即BP 的长为2.5.(1)画图1分; C (-2,0),D(0,-3).(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(_+2)(_-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.∴y=3/8(_+2)(_-4),即y=3/8_2-3/4_-3.大致图象如图所示.备用图图a A B O x y 6446y xO B AA B C D E FOP(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s. ∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.。

提分专项训练(一)解决数式规律型问题的钥匙类型一数字规律1.[2020·玉林]观察下列按一定规律排列的n个数:2,4,6,8,10,12,…,若最后三个数之和是3000,则n等于()A.499B.500C.501D.10022.[2019·济宁]已知有理数a≠1,我们把11-a 称为a的差倒数,如:2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒数是11-(-1)=12.如果a1=-2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是() A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.53.[2020·昆明]观察下列一组数:-23,69,-1227,2081,-30243,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是.4.[2019·黄石]将被3整除余数为1的正整数,按照下列规律排成一个三角形数阵,则第20行第19个数是.图T1-1类型二图形规律5.[2019·大庆]归纳“T”字形,用棋子摆成的“T”字形如图T1-2所示,按照图①,图②,图③的规律摆下去,摆成第个“T”字形需要的棋子个数为.图T1-26.[2020·黔西南州]如图T1-3,图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为.图T1-37.观察下列等式:第1层1+2=3第2层4+5+6=7+8第3层9+10+11+12=13+14+15第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24…在上述数字“宝塔”中,从上往下数,2016在第层.类型三数式规律8.[2020·铜仁]观察下列等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;2+22+23+24+25=26-2;…已知按一定规律排列的一组数:220,221,222,223,224,…,238,239,240,若220=m,则220+221+222+223+224+…+238+239+240=(结果用含m的代数式表示).9.[2018·无锡惠山区一模]如图T1-4,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n的值为.(用含n的代数式表示,n为正整数)图T1-4【参考答案】 1.C [解析] 由题意得,第n 个数为2n ,那么2n+2(n -1)+2(n -2)=3000,解得n=501,故选C . 2.A [解析]∵a 1=-2,∴a 2=11-(-2)=13,a 3=11-13=32,a 4=11-32=-2,… ∴a 1,a 2,a 3,…,a n 以-2,13,32依次循环,且-2+13+32=-16,∵100÷3=33……1, ∴a 1+a 2+…+a 100=33×-16-2=-152=-7.5.故选A .3.(-1)n n (n+1)3n[解析] -23=-1×231,69=2×332, -1227=-3×433,2081=4×534,-30243=-5×635,…,那么这一组数的第n 个数是:(-1)nn (n+1)3n .4.625 [解析]由图可得,第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,则前20行的数有:1+2+3+…+19+20=210(个), ∴第20行第20个数是:1+3(210-1)=628,∴第20行第19个数是:628-3=625.故答案为625.5.3n+2 [解析]由图可得,图①中棋子的个数为:3+2=5,图②中棋子的个数为:5+3=8,图③中棋子的个数为:7+4=11,…则第个“T”字形需要的棋子个数为:(2n+1)+(n+1)=3n+2,故答案为:3n+2.6.57[解析] 第①个图形中一共有3个菱形,即2+1×1=3;第②个图形中一共有7个菱形,即3+2×2=7;第③个图形中一共有13个菱形,即4+3×3=13;…按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为:8+7×7=57.故答案为57.7.44[解析]第1层:第一个数为12=1,最后一个数为22-1=3,第2层:第一个数为22=4,最后一个数为32-1=8,第3层:第一个数为32=9,最后一个数为42-1=15,第4层:第一个数为42=16,最后一个数为52-1=24,∵442=1936,452-1=2024,1936<2016<2024,∴在数字宝塔中,从上往下数,2016在第44层,故答案为44.8.m(2m-1)[解析] ∵220=m,∴220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221-2)=220(221-1)=m (2m -1).9.24n -5 [解析]∵函数y=x 的图象与x 轴的夹角为45°,∴直线y=x 与正方形的边围成的三角形都是等腰直角三角形, ∵A (8,4),∴第四个正方形的边长为8,第三个正方形的边长为4,第二个正方形的边长为2,第一个正方形的边长为1,…第n 个正方形的边长为2n -1,由图可知,S 1=12×1×1+12×(1+2)×2-12×(1+2)×2=12,S 2=12×4×4+12×(4+8)×8-12×(4+8)×8=8, …S n 为第2n 与第(2n -1)个正方形中的阴影部分的面积, 第2n 个正方形的边长为22n -1,第(2n -1)个正方形的边长为22n -2, ∴S n =12·22n -2·22n -2=24n -5.故答案为:24n -5.。

中考数学复习“1+1+3”专项训练7苏科版(1)时间：60分钟 总分：40分 姓名 得分1．Rt △ABC 中，AB=AC,点D 为BC 中点.∠MDN=90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点.下列结论①（BE+CF ）=BC ② S △AEF ≤S △ABC ③ S 四边形AEDF=AD ·EF 222④ AD ≥EF ⑤ AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是 （ C )A.1个B.2个C.3个D.4个 2.水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为4,则的余弦值为 . ααα3．在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA 的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．4.如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为.⑴当 时，求弦PA 、PB 的长度；⑵当_为何值时，的值最大？最大值是多少？ClPDC BOA5． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与_轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，－3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POPC ， 那么是否存在点P ，使四边形POPC 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．//（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.1.C2.22 3.解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1B C1， ∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1， ∴∠ABA1=∠CBC1，22 ∴△ABA1∽△CBC1． ∴，22 ∵S△ABA1=4， ∴S△CBC1=；22 （3）过点B 作BD⊥AC，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形， ∴点D 在线段AC 上，在Rt△BCD 中，BD=BC_sin45°=，①如图1，当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P1在线段AB 上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD ﹣BE=﹣2；…（9分）②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P1在线段AB 的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+AE=2+5=7．…（10分）4.解：⑴∵⊙O 与直线l 相切于点A ，AB 为⊙O 的直径，∴AB ⊥l. 又∵PC ⊥l ，∴AB ∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB=90°.∴∠PCA=∠APB.∴△PCA ∽△APB.∴. ∵PC=，AB=4，∴.2222∴在Rt △APB 中，由勾股定理得：.22⑵过O 作OE ⊥PD ，垂足为E.∵PD 是⊙O 的弦，OF ⊥PD ，∴PF=FD. 在矩形OECA 中，CE=OA=2，∴PE=ED=_－2.∴.22 ∴.22∵，∴当时，有最大值，最大值是2.2222225．答案: 解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得 ⎩⎨⎧-==+303c c b 解得： ⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为： 322--=x x y （2）存在点P ，使四边形POPC 为菱形．/设P 点坐标为（_，），PP 交CO 于E 若四边形POPC 是菱形， E ，/则有PC ＝PO ． 连结PP 则PE⊥CO 于∴OE=EC= ∴=．23y 23-∴= 322--x x 23- 解得=，=（不合题意，舍去）1x 2102+2x 2102- ∴P 点的坐标为 （，）2102+23- （3）过点P 作轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，y 设P （_，），易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（_，_－3）.3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x=87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 当时，四边形ABPC 的面积最大23=x 此时P 点的坐标为，四边形ABPC 的面积 ⎪⎭⎫⎝⎛-415,23875的最大值为。

2023年中考数学一轮复习专题练习反比例函数一、选择题1. 已知反比例函数y ＝1x，下列结论不正确．．．的是（ ） A ．图象经过点（1，1） B ．图象在第一. 三象限C. 当x ＞1时，0＜y ＜1 D ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大2. 反比例函数)0(1>-=x xy 的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值（ ） A ．增大 B ．减小 C ．不变 D ．先增大后减小3. 在同一平面直角坐标系中，函数y =mx +m 与y =xm （m ≠0）的图象可能是（ ）A B C D4. 如图，A . B 两点在双曲线3yx上，分别经过A . B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65. 如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y=（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣27C ．﹣32D ．﹣36 6. 若点A （﹣5，y 1），B （﹣3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数y=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 1二、填空题 第2题 第4题 第5题 第13题7. 已知函数y＝（k+2）x是反比例函数，则k＝．8. 如果反比例函数y＝（k为常数）的图象在二. 四象限，那么k的取值范围是．9. 我们知道，一次函数y＝x+1的图象可以由正比例函数y＝x的图象向上平移1个长度单位得到．将函数y＝的图象向平移个长度单位得到函数y＝的图象．10. 三个完全相同的小球上分别标有数字﹣1. 2. 3，从这三个球中任意取出一个球，不放回，再取出一个，两次数据依次记为a. b，那么函数过二. 四象限的概率是．11. 已知正比例函数y=－4x与反比例函数的图象交于A. B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为＿＿＿＿＿＿12. 直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣9x2y1的值为_____________．13. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______________．三、解答题14. 将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．（1）求m和k的值；（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．15. 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（3，1）在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．16. 如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为(8，y ) ，AB ⊥x 轴于点B , sin ∠OAB =54，反比例函数xk y 的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D. （1）求反比例函数解析式;（2）若函数y = 3x 与y = k x的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比.17. 如图，在直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=（k ＞0）的图象经过BC 边的中点D （3，1）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）若△ABC 与△EFG 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上．①求OF 的长；②连接AF ，BE ，证明四边形ABEF 是正方形．18. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A在x轴正半轴上，两条对角线相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点．（1）求▱ABCO的面积．（2）若▱ABCO是菱形，请直接写出：①tan∠AOC＝．②将菱形ABCO沿x轴向左平移，当点A与O点重合时停止，则平移距离t与y轴所扫过菱形的面积S之间的函数关系式：．。

提分专项训练(一)解决数式规律型问题的钥匙类型一数字规律1.[2020·玉林]观察下列按一定规律排列的n个数:2,4,6,8,10,12,…,若最后三个数之和是3000,则n等于()A.499B.500C.501D.10022.[2019·济宁]已知有理数a≠1,我们把11-a 称为a的差倒数,如:2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒数是11-(-1)=12.如果a1=-2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是() A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.53.[2020·昆明]观察下列一组数:-23,69,-1227,2081,-30243,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是.4.[2019·黄石]将被3整除余数为1的正整数,按照下列规律排成一个三角形数阵,则第20行第19个数是.图T1-1类型二图形规律5.[2019·大庆]归纳“T”字形,用棋子摆成的“T”字形如图T1-2所示,按照图①,图②,图③的规律摆下去,摆成第个“T”字形需要的棋子个数为.图T1-26.[2020·黔西南州]如图T1-3,图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为.图T1-37.观察下列等式:第1层1+2=3第2层4+5+6=7+8第3层9+10+11+12=13+14+15第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24…在上述数字“宝塔”中,从上往下数,2016在第层.类型三数式规律8.[2020·铜仁]观察下列等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;2+22+23+24+25=26-2;…已知按一定规律排列的一组数:220,221,222,223,224,…,238,239,240,若220=m,则220+221+222+223+224+…+238+239+240=(结果用含m的代数式表示).9.[2018·无锡惠山区一模]如图T1-4,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n的值为.(用含n的代数式表示,n为正整数)图T1-4【参考答案】 1.C [解析] 由题意得,第n 个数为2n ,那么2n+2(n -1)+2(n -2)=3000,解得n=501,故选C . 2.A [解析]∵a 1=-2,∴a 2=11-(-2)=13,a 3=11-13=32,a 4=11-32=-2,… ∴a 1,a 2,a 3,…,a n 以-2,13,32依次循环,且-2+13+32=-16,∵100÷3=33……1, ∴a 1+a 2+…+a 100=33×-16-2=-152=-7.5.故选A .3.(-1)n n (n+1)3n[解析] -23=-1×231,69=2×332, -1227=-3×433,2081=4×534,-30243=-5×635,…,那么这一组数的第n 个数是:(-1)nn (n+1)3n .4.625 [解析]由图可得,第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,则前20行的数有:1+2+3+…+19+20=210(个), ∴第20行第20个数是:1+3(210-1)=628,∴第20行第19个数是:628-3=625.故答案为625.5.3n+2 [解析]由图可得,图①中棋子的个数为:3+2=5,图②中棋子的个数为:5+3=8,图③中棋子的个数为:7+4=11,…则第个“T”字形需要的棋子个数为:(2n+1)+(n+1)=3n+2,故答案为:3n+2.6.57[解析] 第①个图形中一共有3个菱形,即2+1×1=3;第②个图形中一共有7个菱形,即3+2×2=7;第③个图形中一共有13个菱形,即4+3×3=13;…按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为:8+7×7=57.故答案为57.7.44[解析]第1层:第一个数为12=1,最后一个数为22-1=3,第2层:第一个数为22=4,最后一个数为32-1=8,第3层:第一个数为32=9,最后一个数为42-1=15,第4层:第一个数为42=16,最后一个数为52-1=24,∵442=1936,452-1=2024,1936<2016<2024,∴在数字宝塔中,从上往下数,2016在第44层,故答案为44.8.m(2m-1)[解析] ∵220=m,∴220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221-2)=220(221-1)=m (2m -1).9.24n -5 [解析]∵函数y=x 的图象与x 轴的夹角为45°,∴直线y=x 与正方形的边围成的三角形都是等腰直角三角形, ∵A (8,4),∴第四个正方形的边长为8,第三个正方形的边长为4,第二个正方形的边长为2,第一个正方形的边长为1,…第n 个正方形的边长为2n -1,由图可知,S 1=12×1×1+12×(1+2)×2-12×(1+2)×2=12,S 2=12×4×4+12×(4+8)×8-12×(4+8)×8=8, …S n 为第2n 与第(2n -1)个正方形中的阴影部分的面积, 第2n 个正方形的边长为22n -1,第(2n -1)个正方形的边长为22n -2, ∴S n =12·22n -2·22n -2=24n -5.故答案为:24n -5.。

2023年中考数学一轮复习专题练习七（上）第三章 代数式 七（下）第八章幂的运算一、选择题1.下列表述中，不能表示代数式“4a”意义的是（ ）A ．4的a 倍B ．a 的4倍C ．4个a 相加D ．4个a 相乘 2.对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）A ．923)(m m = B ．623m m m =⋅ C ．532m m m =+ D ．426m m m =÷3.下列计算正确的是 （ ）A ．623a a a =⋅B ．4442b b b =⋅C ．1055x x x =+ D ．87y y y =⋅4.当a ＝－1时，代数式（a ＋1）2＋a （a －2）的值等于 （ ） A ．－4 B ．4 C ．－3 D ．35.已知a ＋b ＝m ，ab ＝－4，化简（a －2）（b －2）的结果是（ ）A ．6B ．2m －8C ．2mD ．－2m6.某企业今年3月份的产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）A ．（a －10%）（a ＋15%）万元B ．a （1－10%）（1＋15%）万元C ．（a －10%＋15%）万元D ．a （1－10%＋15%）万元 7.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）A ．669B ．670C ．671D ．6728.m 的值是（ ）A ．38B ．52C ．66D ．749.若3×9m ×27m ＝321，则m 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 10.若2a m b 2m＋3n与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式，则m 与n 的值分别是（ ）A ．1，2B ．2，1C ．1，1D ．1，3 11.如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值为 （ ）A ．6B ．8C ．－6D ．－8 二、填空题0 284 2 4 622 46 8 4412.单项式－72x 3y 2的次数是＿＿＿＿＿＿． 13.若3223mnx y x y -与 是同类项，则m ＋n ＝____________. 14.已知2a －3b 2＝5，则10－2a ＋3b 2的值是＿＿＿＿＿15.若代数式2x 2＋3x ＋5的值是7，则代数式6x 2＋9x －5的值是＿＿＿＿＿ 16.按照以下运算程序操作：若输入－2，输出＿＿＿＿＿．17.如图，是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数dc ba ，则： （1）a.c 的关系是：＿＿＿＿＿＿＿．（2）当a ＋b ＋c ＋d ＝32时，a ＝＿＿＿＿＿＿．18.对于两个非0实数x, y ，定义一种新的运算：ybx a y x +=*.若2)1(1=-*，则2)2(*-的值是______. 19.若61=-a a ，则221aa +的值为________. 20.若（x ﹣1）0＝1，则x 需要满足的条件 ．21.如果43(a )÷25(a )=64，且a<0，那么a= ．22.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．23.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形数阵，我们称之为“杨辉三角”. 从图中取一列数：1，3，6，10，…，记10,6,3,14321====a a a a ，…，那么10210114+-+a a a 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425262728…的值是________.三、解答题24.用简便方法计算下面各题：(1)4()52012×(一1.25)2013； (2)(318)12×(825)11×(一2)325.解方程：（1）15822=•x ； （2）5)7(7-=x .26.先化简，再求值：(一2a )3·(一b 3)2+(一32ab 2)3，其中a =一12，b =2．27.（1）已知235,310mn ==,求29m n -.（2）的值。

中考数学复习“1+1+3”专项训练19苏科版(1)时间：60分钟总分：40分姓名得分1．点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是_轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则＝．2．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC．DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A．O、C．E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A． 1个 B. 2个C． 3个 D．4个3．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出_辆车时，每辆车的日租金为1400﹣50_ 元（用含_的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？4．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在轴，轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于轴对称，tan ∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB.（1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明△AEF与△DCE相似；（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.1.52.D3. 解：（1）∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20_50=1400元，∴公司每日租出_辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50_；故答案为：1400﹣50_；（2）根据题意得出：y=_（﹣50_+1400）﹣4800，=﹣50_2+1400_﹣4800，=﹣50（_﹣14）2+5000．当_=14时，在范围内，y有最大值5000．∴当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0．即：50（_﹣14）2+5000=0，解得_1=24，_z=4，∵_=24不合题意，舍去．∴当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．4. 解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（_＋4）（_－1）.又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1.∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（_＋4）（_－1），即y=－_2－3_＋4.（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=k_+b，由题意得：，解得：.∴直线BC的解析式为y=－2_+2．∴点E的坐标为（0，2）.∴. ∴AE=CE.（3）相似.理由如下：设直线AD的解析式为y=k1_+b1，则，解得：.∴直线AD的解析式为y=_+4.联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：.∴点F的坐标为（）.则.又∵AB=5，，∴.∴.又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA.∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.5. 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12，则AO=BC=12，∴ A（-12，0），点D与点A关于轴对称，∴D（12，0）；（2）∠AFE是△CEF的外角，∴∠AFE=∠FCE+∠CEF，∵∠CEF=∠ACB，∴∠AFE=∠FCE+∠ACB=∠BCE，∵BC∥AD，∴∠BCE=∠DEC，∴∠AFE=∠DEC①，∵点A与点D关于轴对称，而C，O在对称轴上，∴△ACO与△DCO关于轴对称，∴∠FAE=∠EDC②，由①，②得△AEF∽△DCE；（3）当FE=EC时，△EFC为等腰三角形，由（2），△AEF∽△DCE，∴FE:EC=AE:DC，此时，AE=DC=AC==20，则E（8，0）；当CF=CE时，∠CFE=∠CEF=∠ACB，则有EF∥BC，此时，点F与A重合，则点E在D处，与已知矛盾；当CF=FE时，∠FCE=∠CEF，又∵△AEF∽△DCE，∴∠AEF=∠DCE∴∠FCE+∠DCE =∠CEF+∠AEF，即∠ACD=∠AEC，而∠CAE=∠DAC，∴△AEC∽△ACD，AE:AC=AC:AD，而AD=18，∴AE=则E（，0），∴当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标为（8，0）或（，0）.。

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习轴对称图形【课标要求】1.进一步认识轴对称，了解它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.了解轴对称与轴对称图形的区别和联系；4.进一步巩固和掌握基本图形（线段.角.等腰三角形.矩形.菱形.正多边形.圆）的轴对称性及其相关性质，并能运用这些性质解决问题；5.能利用轴对称进行图案设计.【要点梳理】1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做＿＿＿＿＿；把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么称这个图形是＿＿＿＿＿＿，这条直线就是对称轴.2.轴对称的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.线段是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.角是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5.等腰三角形是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.直角三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿7.等边三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【规律总结】1.图形的轴对称与图形的平移.旋转是近两年的新题型.热点题型，在试题中的比重逐年上升.考查的形式以填空题.选择题为主，与其他知识如三角形.平行四边形综合的解答题也时有出现，分值在5～12分左右；2.解决与轴对称相关的问题时，一定要充分利用轴对称的性质，有时需要结合题目条件添加适当的辅助线来解决问题；3.轴对称知识的一个重要体现形式是折叠问题，此类问题常常需要联系全等三角形以及勾股定理，并结合方程思想来解题，故解题时一定要充分挖掘题目中的隐含条件；4.在解决等腰三角形的相关问题时，要运用其轴对称的本质特性来分析和解决问题. 【强化训练】一、选择题1.下列图形中，为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）3.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆4.如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．355.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点第4题第5题第6题6.如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A ．B．2 C ．D．3第7题第8题第9题8.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°, 则图中∠1的度数为（）A B C D E F A ．115° B ．120° C ．130° D ．140°9.图1为某四边形ABCD 纸片，其中∠B=70°, ∠C=80°. 若将CD 叠合在AB 上，出现折线MN, 再将纸片展开后，M.N 两点分别在AD.BC 上，如图2所示，则∠MNB 的度数为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°二、填空题10.等腰三角形中，有一个角是80°，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿.11.直角三角形斜边上的中线和面积分别是5cm.20cm 2，则它斜边上的高是＿＿＿cm12.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿cm 2.第12题 第13题 第14题13.如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将△CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若AE ＝5，则GE 的长 ． 14.如图，过边长为4的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为____________.三、解答题15.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC 和△DEF （顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l ．（1）将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF 关于直线l 对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E=________________．16.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．17.已知：如图，△ABC.△CDE都是等边三角形，AD.BE相交于点O，点M.N分别是线段AD.BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．18.一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C’的位置，BC’交AD于点G.（1）求证：AG＝C’G.（2）如图（2），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.19.如图，在矩形纸片ABCD中，点E.F分别在矩形的边AB.AD上，将矩形纸片沿CE.CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C.H.G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE ＝2，求DF的长.。

2013年九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（11）时间：60分钟 姓名 得分1．正比例函数(1)y a x =+的图象经过第二、四象限，若a 同时满足方程22(12)0x a x a +-+=，则此方程的根的情况是（ ）Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根Ｄ．不能确定2．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成600的角，在直线上取一点P ，使∠APB ＝300，则满足条件的点P 有 个.3.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M （元）与时间t （月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q （元）与时间t （月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）.（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价－成本） （2）求图2中表示一件商品的成本Q （元）与时间t （月）之间的函数关系式； （3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W （元）与时间t （月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？MQ4．如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°．O 是AB 的中点，⊙O 与AC 相切于点D 、与BC相切于点E ．设⊙O 交OB 于F ，连DF 并延长交CB 的延长线于G ．（1）∠BFG 与∠BGF 是否相等？为什么？（2）求由DG 、GE 和弧ED 围成图形的面积（阴影部分）．5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.1.22.543. 解：（1）由图象知：一件商品在3月份出售时的利润为5元.（2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），故可设抛物线的解析式为4)6(2+-=t a Q . ∵抛物线过（3，1）点，∴14)63(2=+-a . 解得31-=a . 故抛物线的解析式为4)6(312+--=x Q ，即84312-+-=t t Q ，其中t =3，4，5，6，7.（3）设每件商品的售价M （元）与时间t （月）之间的函数关系式为b kt M +=. ∵线段经过（3，6）、（6，8）两点，∴⎩⎨⎧=+=+.8663b k b k ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.432b k ，∴432+=t M ，其中t =3，4，5，6，7. ∴一件商品的利润W （元）与时间t （月）的函数关系式为：Q M W -==)8431()432(2-+--+t t t =12310312+-t t . 即311)5(312+-=t W ，其中t =3，4，5，6，7. 当t =5时，W 有最小值为311元, ∴30000件商品一个月内售完至少获利=⨯31130000110000（元）. 答：该公司一个月内至少获利110000元. 4． （1）∠BFG ＝∠BGF连OD ，∵OD ＝OF （⊙O 的半径）， ∴∠ODF ＝∠OFD∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC 又∵∠C ＝90°，即GC ⊥AC ，OD ∥GC ∴∠BGF ＝∠ODF又∵∠BFG ＝∠OFD ，∴∠BFG ＝∠BGF （2）连OE ，则ODCE 为正方形且边长为3∵∠BFG ＝∠BGF∴BG ＝BF ＝OB －OF ＝32－3∴阴影部分的面积＝△DCG 的面积－(正方形ODCE 的面积－扇形ODE 的面积) ＝21·3·(3＋32)－(32－41π·32)＝π49＋229－495. (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m 上，∴ 4=3+m. ∴ m=1. 设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上， ∴ 4=a(3-1)2, ∴ a=1.∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x 2-2x+1. (2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .∴ PE=h=y P -y E =(x+1)-(x 2-2x+1) =-x 2+3x. 即h=-x 2+3x (0＜x ＜3). (3) 存在.解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC. ∵ 点D 在直线y=x+1上,∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 . 即x 2-3x+2=0 .解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. 解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP ∥CE. 设直线CE 的函数关系式为y=x+b.∵ 直线CE 经过点C(1,0), ∴ 0=1+b,∴ b=-1 .∴ 直线CE 的函数关系式为y=x -1 .∴ ⎩⎨⎧+-=-=1212x x y x y 得x 2-3x+2=0.解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去)∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形.。

2023年中考数学一轮复习专题提优练习函数与方程、不等式的关系一、选择题1．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜42．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2交于点P，则方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y ＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣44．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4第1题第2题第3题第4题5．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n 的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3 D．0＜x＜3第5题第6题6．如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx相交于点A（﹣1，2），与x轴相交于点B（﹣3，0），则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（）A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣3＜x＜07．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）x0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是28．二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数y2＝kx﹣9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1＜y2，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．x＞2 C．x＜3 D．x＜2或x＞3二、填空题9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝．10．如图，在抛物线y1＝ax2（a＞0）和和y2＝mx2+nx（m＜0）中，抛物线y2的顶点在抛物线y1上，且与x轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a﹣m）x2﹣nx＜0的解集是．第9题第10题第11题11．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是．12. 如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是．13. 如图所示，函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是．14. 若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为第12题第13题第14题15.已知抛物线y＝ax2+bx+c与双曲线y＝有三个交点A（﹣3，m），B（﹣1，n），C（2，p），则不等式ax3+bx2+cx﹣k2＞0的解集为．三、解答题16．在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与曲线y＝x3交于点B（m，3.52）．（1）求k和m的值；（2）根据函数图象直接写出x3＞kx+2的解集．17.如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出不等式的解．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO＝∠ACO，写出此时点P的坐标；（3）若直线l：y＝kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．19.2020年中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）（0≤x≤11）的变化情况，数据如下表：时间x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11（分钟）人数y0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 800 770（人）（1）根据这11分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？20.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．。

中考数学复习“1+1+3”专项训练10苏科版“1+1+3”专项训练（10）苏科版1．如右图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．2．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A B C D3．如图①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB上一点，过E 作直线//BC，交直线CD于点F．将直线向右平移，设平移距离BE为 (t0)，直角梯形ABCD被直线扫过的面积（图中阴影部份）为S，S关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．信息读取(1)梯形上底的长AB= ；(2) 直角梯形ABCD的面积= ；图象理解(3)写出图②中射线NQ表示的实际意义；(4) 当时，求S关于的函数关系式；问题解决(5)当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1: 3．4．(1)如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．则CD=CE吗？如成立，试说明理由。

(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，如图2，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?O B A E(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变，如图3，那么上述结论CD =CE 还成立吗?为什么图 1 图 2 图 35．如图①， 已知抛物线（a ≠0）与轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 点D 的坐标为（－2，0）.问：直线AC 上是否存在点F ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求△BCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．1、1+ ；2.B3.（1）（2）S 梯形ABCD =12 （3）射线NQ 表示的实际意义：当平移距离BE 大于等于4时，直角梯形ABCD 被直线扫过的面积恒为12（4）当时，如下图所示，直角梯形ABCD 被直线扫过的面积S =S 直角梯形ABCD －S Rt △DOF．（5）①当时，有，解得．②当时，有，即，解得，（舍去）答：当或时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1: 3．4.. 解答：(1)证明略：(2)CE=CD仍然成立，证明略：(3)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED∴CD=CE5．解: (1)由题知: 解得:∴ 所求抛物线解析式为:(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, 2 )或P(－,)或P(－,)(3)过点E作EF⊥x轴于点F , 设E ( a ,－－2a＋3 )( －3< a < 0 )∴EF=－－2a＋3，BF=a＋3，OF=－a∴S四边形BOCE = BF·EF + (OC +EF)·OF=( a＋3 )·(－－2a＋3) + (－－2a＋6)·（－a）==－+∴ 当a =－时，S四边形BOCE最大, 且最大值为．∴S四边形BOCE－S△ABC=－6=∴点E坐标为 (－，)。

方程及其应用一、学习目标1．能够识别一次方程（组）、分式方程、一元二次方程，并熟练掌握各类方程（组）的解法；2．理解方程（组）的解的意义，探究含字母参数的方程的解的问题；3．会列方程（组）求解实际问题、数学问题．二、典型例题题型一、方程（组）有关的概念及解法例题1．关于x 的方程（m ＋1）x |m |＋1＋（m －3）x －1＝0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．例题2．解方程：x x －1＝4 x 2－1 ＋1借题发挥：1．用加减消元法解二元一次方程组 ⎩⎨⎧ x ＋3y ＝4 ①， 2x －y ＝1 ②，时，下列方法中无法消元．．．．的是（ ） A ． ①×2－② B ．②×(－3) －① C ． ①×(－2)＋② D ．①－②×32．用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是（ ）A ．(x － 3 4 )2＝ 17 16B ．(x － 3 4 )2＝ 1 2C ．(x － 3 2 )2＝ 13 4D ．(x － 3 2 )2＝ 11 4题型二、方程的解的意义例题3．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧ a x ＋23y ＝－103 x ＋y ＝4与⎩⎨⎧ x －y ＝2 x ＋b y ＝15 的解相同．求a 、b 的值.例题4．已知关x 的一元一次方程 1 2021 x ＋3＝2x ＋m 的解为x ＝2， 那么关于y 的一元一次方程 1 2021(y ＋1)＋3＝2 (y ＋1)＋m 的解为 ． 借题发挥：1．学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种2．甲、乙二人同时解方程组⎩⎨⎧ a x ＋y ＝3 2x －b y ＝1 ，甲看错了a ，解得⎩⎨⎧ x ＝1 y ＝－1 ；乙看错了b ，解得⎩⎨⎧ x ＝－1 y ＝3．求a 、b 的值．题型三、含字母参数的方程的解的问题例题5．若关于x 的分式方程3x x －2＝m 2－x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜－10 B ．m ≤－10C ．m ≥－10且m ≠－6D ．m ＞－10且m ≠－6例题6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．7借题发挥：关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ＜1C ．k ≤1且k ≠0D ．k ≤1题型四、用方程思想解决问题例题7．第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？。

中考数学复习“1+1+3”专项训练1苏科版“1+1+3”专项训练（1） 苏科版时间：60分钟 总分：40分 姓名 得分1．如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点、 ，则线段长度的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．2．某小型企业原来只生产A 产品，为响应国家“加快调整产业结构”的号召，又自主研发出一种高新产品B ．第一年B 产品投入占总投入的40%，第二年计划将B 产品投入增加30%，但总投入与第一年相同，那么第二年A 产品的投入将减少 %.3.小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4 m ，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD ，CD 与DE 、CE 的夹角都是45°时，连接EF ，交CD 于点G ，若GF 的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．（1）小平认为长8m ，宽3m 的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；（2）小平提出将拐弯处改为圆弧（⌒ MM′和⌒ NN′是以O 为圆心，分别以OM 和ON 为半径的弧），长8m ，宽3m 的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM ⊥OM ′，你能帮小平算出，ON 至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子？4．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了20xx 元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？CB ADP5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为y cm．（1）当x= s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．1.A（本题3分）2.20（本题3分）3．（本题12分）解：（1）作FH⊥EC，垂足为H，∵FH＝EH＝4，∴EF＝42．且∠GEC＝45°，∵GC＝4，∴GE＝GC＝4．∴GF＝42－4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角转弯．………………………6分（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形.∴OG＝4，OM＝42,∴OF＝ON＝OM－MN＝42－4.MM′上．∴FG＝8－42＜3．∴C、D在⌒（以上未说明不扣分）设ON＝x，连接OC．在Rt△OCG中，OG＝x＋3，OC＝x＋4，CG＝4，由勾股定理得OG2＋CG2＝OC2，即（x＋3）2＋42＝（x＋4）2．解得x＝4.5答：ON至少为4.5米…………………………12分4.（本题10分）（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5千克，依据题意得：5500/（2.5x ）-20xx/x=1 解得x=200，经检验x=200是原方程的解， ∴x+2.5x=700，答：这两批水果共购进700千克； （2）设售价为每千克a 元，则：【700（1-0.1）a-20xx-5500】/(20xx+5500) ≥ 0.26 630a≥7500×1.26 ∴a≥15，答：售价至少为每千克15元． 5．（本题12分） 解：（1）3222分（2）∵在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4．∴∠A ＝∠B ＝45°，AB =4 2 ，∴∠ADE ＋∠AED ＝135°； 又∵∠DEF ＝45°，∴∠BEF ＋∠AED ＝135°，∴∠ADE ＝∠BEF ；∴△ADE ∽△BEF 4分 ∴AD BE ＝AE BF， ∴3 4 2 －x＝x y ，∴y ＝－13 x 2+43 2 x5分 ∴y ＝－13 x 2+43 2 x ＝－13 ( x －2 2 )2+83∴当x ＝2 2 时，y 有最大值＝836分 ∴点F 运动路程为163cm 7分 （3）这里有三种情况：①如图，若EF ＝BF ，则∠B ＝∠BEF ； 又∵△ADE ∽△BEF ，∴∠A ＝∠ADE ＝45° ∴∠AED ＝90°，∴AE ＝DE ＝32 2 ，∵动点E 的速度为1cm/s ，∴此时x ＝32 2 s ；②如图，若EF ＝BE ，则∠B ＝∠EFB ； 又∵△ADE ∽△BEF ，∴∠A ＝∠AED ＝45°∴∠ADE＝90°，∴AE＝3 2 ，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3 2 s；③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE＝∠AED ∴AE＝AD＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为322 s或3 2 s或3s．（注：求对一个结论得2分，求对两个结论得4分，求对三个结论得5分）。

专题05 八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】【苏科版】【知识点1】全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.【知识点2】全等三角形的判定两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”斜边、直角边公理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）【知识点3】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点【知识点4】轴对称图形的概念把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴【知识点5】垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线【知识点6】轴对称性质：1、成轴对称的两个图形全等2、如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上【知识点7】线段的对称性1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上【知识点8】角的对称性1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴2、角平分线上的点到角的两边距离相等3、到角的两边距离相等的点在角平分线上【知识点9】等腰三角形的性质1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴2、等边对等角3、三线合一【知识点10】等腰三角形判定1、两边相等的三角形是等边三角形2、等边对等角直角三角形斜边上中线等于斜边一半【知识点11】等边三角形判定及性质1、三条边相等的三角形是等边三角形2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴3、等边三角形每个角都等于60°(补充) 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形【知识点12】等腰梯形性质1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴2、等腰梯形在同一底上的两个角相等3、等腰梯形对角线相等【知识点13】等腰梯形判定1.、两腰相等的梯形是等腰梯形2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形【知识点14】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²＋b²＝c²【知识点15】勾股定理逆定理如果一个三角形三边a、b、c满足a²＋b²＝c²,那么这个三角形是直角三角形【知识点16】勾股数满足a²＋b²=c²的三个正整数a、b、c称为勾股数【考点1 全等三角形的判定】【例1】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB ＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【变式1-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点2 等腰三角形中的分类讨论思想】【例2】（2018春•鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【变式2-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【变式2-2】（2018秋•绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【变式2-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【考点3 勾股定理与折叠】【例3】（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2018春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM 沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（）A．B．C．D．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B．C．D．【考点4 轴对称中的最值问题】【例4】（2018秋•吴江区期中）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．2 D．1.5【变式4-1】（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD 是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【变式4-2】（2018秋•大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式4-3】（2018•营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC 于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．B．2 C．2D．4【考点5 线段垂直平分线的应用】【例5】（2018•太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为°．【变式5-1】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．【变式5-2】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．【变式5-3】（2018秋•丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB 于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝．【考点6 复杂的尺规作图】【例6】（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．已知：如图，射线OA．求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-1】（2018秋•泗洪县期中）已知：如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B （1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）（2）设（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．【变式6-2】（2018秋•丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；（2）根据（1）求P A的长（所有可能的值）【变式6-3】（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得P A+PC＝BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．【考点7 与直角三角形性质的有关综合】【例7】（2018秋•泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．（1）说明DC＝DG；（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的长．【变式7-1】（2018秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）请说明：DE＝DF；（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．【变式7-2】（2018秋•高邮市期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°，∠DFE＝90°，求∠BCE的度数．【变式7-3】（2018秋•太仓市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数；（2）若EF＝4，求△MEF的面积．【考点8 等腰三角形与全等三角形的综合】【例8】（2019•东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．（1）求证：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AF的长．【变式8-1】（2018秋•临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CD＝BF；（2）求证：AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状．【变式8-2】（2019秋•宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：△AEF≌△CEB．【变式8-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点9 与三角形有关的动点问题】【例9】（2018秋•全椒县期末）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．【变式9-1】（2019秋•本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是三角形；（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．【变式9-2】（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【变式9-3】（2019秋•上城区期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【考点10 与等边三角形的性质与判定有关问题综合】【例10】（2018春•天心区校级期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．【变式10-1】（2018秋•广州期末）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE 交AD于点M，CD交AE于N．（1）求证：BE＝DC；（2）求证：△AMN是等边三角形；（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．【变式10-2】（2018秋•麻城市校级期末）（1）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°（如图①）．求证：EB＝AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【变式10-3】（2017秋•仁寿县期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD＝AE；（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM＝BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．【考点11 等腰三角形新定义问题】【例11】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【变式11-1】（2019春•顺德区月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝度；（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE 是△ABC的一条特异线；（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．【变式11-2】（2019秋•余姚市校级期中）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）【变式11-3】（2019秋•常州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【考点12 旋转法探索几何证明题】【例12】（2019•广州模拟）（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF．②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【变式12-1】（2018秋•灌云县期中）解决问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．小明想到条件∠EAF＝∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD∴△ABG≌△ADF．小明没有证明结束，请你补齐证明过程．基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+CF2；拓展延伸（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．【变式12-2】（2018秋•丰县期中）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE PF（选填＜，＞，＝）（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．拓展延伸1：在（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3①图中全等三角形有对（不添加辅助线）②猜想GE、FH、EF之间的关系，并证明你的猜想．拓展延伸2：画∠AOB＝70°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？请说明理由．【变式12-3】（2018秋•盐都区校级期中）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．。

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习图形的相似［课标要求］1.了解线段的比，成比例线段，了解比例的基本性质.2.了解黄金分割.3.了解相似三角形、相似多边形及相似比的概念.4.熟练掌握相似三角形的判定和性质.5.了解平行投影，理解在平行光线的照射下物高与影长的关系.6.了解中心投影，理解在点光源的照射下，物高与影长的关系7.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．［要点梳理］1.比例线段：在四条线段a.b.c.d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比即dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）,那么这四条线段a.b.c.d 叫做成比例线段,简称比例线段. 在比例式dc b a =（或a ：b ＝b ：c ）中，a.b.c.d 称为比例的＿＿＿＿＿，a.d 为比例＿＿＿＿＿，b.c 称为比例＿＿＿＿＿，在比例式dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）当b ＝c 时，b 叫做a 和d 的比例＿＿＿＿2.黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ）且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割（点C 叫做线段的黄金分割点，AC ＝215-AB≈0.618AB ）（口诀：两式两点三个数，两种判法会画图） 3.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是相似图形.4.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相似三角形.5.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相似比.6.相似三角形的判定方法：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双垂直三角形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ___；（3）两个角对应相等的两个三角形__________；（4）两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似；（5）三边对应成比例的两个三角形___________．7.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应边_________，对应角________．（2）相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比.（3）相似三角形的面积比等于_________的平方．8.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影.9.中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影.10.视点：眼睛的位置；视线：由视点发出的线；盲区：由于遮挡眼睛看不到的地方.11.在平行光照射下，在同一时刻不同物体的物高与影长成比例.12.（1）位似多边形：两个多边形的顶点A 与A’.B 与B’.C 与C’所在的直线都经过同一点O ，并且...'''OCOC OB OB OA OA ==，像这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点O 叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）掌握位似多边形概念，需注意：①两个图形是位似图形，根据定义可以证明它们也是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似． （3）位似多边形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比（相似比）．（4）两个位似多边形的主要特征是：①对应顶点的连线都经过位似中心；②对应边互相平行（或在同一条直线上）．（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，若要自己确定，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．［强化训练］一、选择题1.若两个图形中，对应点到位似中心的线段比为2：3，则这两个图形的位似比为（ ）A ．2：3B ．4：9C ．：D ．1：2 2.△ABC 的三边长分别为2.6.2，△A'B'C'的两边长分别为1和3，如果△ABC ∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长应为（ ）3.如图，在△ABC 中，点D.E 分别在AB.AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3：4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8第3题图 第4题图4.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为（ ）A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m5.如图，在△ABC 中，点D.E.F 分别是边AB.AC.BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（ ）A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶56.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD ＝∠CB ．∠ADB ＝∠ABC C ．CD CB BD AB = D ．ACAB AB AD = F E AB C D 第5题 第6题 第7题7.如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，则AG ：GD 等于（ ）A ．2：1B ．3：1C ．3：2D ．4：3二、填空题8.若0234x y z ==≠，则23x y z+= ． 9.已知线段AB ＝20cm ，C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝＿＿＿cm10.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3.4及x ，那么x 的值为＿＿＿＿＿.11.在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 长为 。

2023年中考数学一轮复习专题练习一次函数与反比例函数综合应用 一、选择题 1．下列式子：①y =3x −5；②y =x 1；③y=1-x ；④y 2=x ；⑤y =|x |，其中y 是x 的函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．点P （3，﹣1）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（﹣3，1）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，﹣3）D ．（3，1） 3.下列函数是反比例函数的是（ ）A ．2x y =B ．x y 1-=C ．y ＝x 2D ．y ＝2x ＋1 4.在反比例函数x m y 31-=的图像上有A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞31B ．m ＜31C ．m≥31D ．m≤31 5．一次函数y ＝—2x ＋3的图象与坐标轴的交点是 （ ） A ．(3，1)(1，23) B ．(1，3)(23，1) C ．(3，0)(0，23) D ．(0，3)(23，0) 6．若函数y ＝（m +2）x |m |﹣3是反比例函数，则m 的值是（ ） A ．2 B ．﹣2C ．±2D ．不为2的实数 7．已知点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数y ＝的图象上，则（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 8. 函数y 1＝x 和y 2＝x1的图像如图所示，则y 1＞y 2的x 取值范围是（ ） A ．x ＜－1或x ＞1 B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1 9. 如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－x4的图像相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，则四边形ACBD 的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8第8题第9题二、填空题10．已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y ＝（k2≠0）的图象交于M．N两点，若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是．11．如图，直线y 1＝x+2与双曲线y2＝交于A（2，m）、B（﹣6，n）两点．则当y1≤y2时，x的取值范围是．12．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为．13．如图，直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交反比例函数y＝﹣的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若，则CD的长为．14．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝．三、解答题15．如图，点A和点E(2，1)是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝6x（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）k＝；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：．第11题第12题第13题16．如图，反比例函数y ＝与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A (﹣2，6)、点B (n ，1)．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．（3）将一次函数y ＝ax +b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝的图象有且只有一个交点，求n 的值．17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点B ，求k 的值．19.已知一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象相交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+ b﹣＜0的解集；（3）点C（a，b），D（a，c）（a＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上，且满足CD＝2，求a的值．20如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．21.如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B 在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．23．如图，在平面直角坐标系中，□ABCO的顶点A在x轴正半轴上，两条对角线相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点．（1）求□ABCO的面积．（2）若□ABCO是菱形，请直接写出：①tan∠AOC＝．②将菱形ABCO沿x轴向左平移，当点A与O点重合时停止，则平移距离t与y轴所扫过菱形的面积S之间的函数关系式：．24．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为；（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．【灵活运用】如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．。

xyBOMAxy CEO'BOMAD系列一：最值问题（1）—两线段之和的最值一、 【背景分析】 几何问题中的线段之和最值问题是中考复习问题常见情形，除了要运用最基本的“将军饮马”的原理之外，它最明显的特征：紧紧围绕“将军饮马”原理可以包含多种初中阶段的常用知识点，在不同的背景中，如直角坐标系中，各种特殊平行四边形，或圆中，可以全方位的考察必考知识点和常用方法，能有效考察学生对知识方法的分析能力，作图能力，计算能力等，故需要进行相应程度的训练与巩固。

二、 基本原理呈现:问题：已知在直线l 外有两定点A ，B ，试在l 上寻找点O ，使得AO ＋OB 的长度最短。

作法： ①从点A 作关于直线l 的对称点A'，连接A'B 与直线l 相交于点O ；②此时AO ＝A'O ，即AO ＋OB ＝A'O ＋OB ＝A'B ，根据“两点之间线段最短”可知此时AO ＋OB 的长度最短。

③点O 即为所求。

步骤简述：作对称点，连接产生交点。

三、课堂例题精讲例1则BO+BA 的最小值是 。

（图1） （图2）结合知识点：全等构造，勾股定理，一次函数直线思路与解析：如图2，过点B 作BC 垂直y 轴与点C ，构造“K 型”△BC M ≌△表示出点B （m,m+8），得出B 点运动路径为一次函数直线y=x +8，根据上ACAG述原理，作点O 关于直线y=x +8的对称点，再构建Rt △O ，EA 求出BO+BA 的最小值= O ，A=5816822=+。

【点评】：本题的难点之处是需分析出点B 的运动轨迹例2、已知如图3，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AD=3，点E 、F 分别是AB ，AC 上的动点，且满足AE=CF ，则DE+DF 的最小值为（图3） （图考察点：全等构造，最值，对称，勾股定理思路与解析：如图4，因AE=CF 和30° ，在AC 上取点G ，使AG=AD=DC ，连GE ，易证：△DFC ≌△GEA ，通过构造全等形成转换，DF=EG ，因G 为定点，作点G 关于的对称点，连接DG ，，故DE+DF 的最小值转为熟悉的“将军饮马”ED+EG 的最小值=DG ，=233322=+。

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习一次函数［课标要求］1. 了解常量. 变量的意义，函数的概念和三种表示方法.2. 结合图象对简单实际问题的函数关系进行分析.3. 确定简单函数式中和简单实际问题中的函数的自变量的取值范围，并会求出函数值.4. 用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，分析函数关系. 预测变量的变化规律.5. 结合具体情境体会一次函数和正比例函数意义，根据已知条件确定一次函数关系式6. 会画一次函数的图像，能根据一次函数的图像或关系式y＝kx＋b（k≠0）探索并理解其性质（k＞0或k<0时，图像的变化情况）［要点梳理］1. 函数的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2. 确定自变量的取值范围：一般需从两个方面考虑①自变量的取值必须使其所在代数式有意义；②使实际问题有意义3. 函数的三种表示方法：（1）＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿4. 一次函数的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿那么y叫做x的一次函数，当＿＿＿＿时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，k≠0）这时y叫做x 的正比例函数（或者说y与x成正比例）5. 一次函数的图象是＿＿＿＿＿，其性质是：（1）k＞0，b＞0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限；（2）k＞0，b＜0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限；（3）k＜0，b＞0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限；（4）k＜0，b＜0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限；6. 画正比例函数y＝kx的图象，一般取（）. （）两点，画一次函数的图象，一般取直线与坐标轴的两交点.7. 求函数解析式的一般方法是待定系数法.［规律总结］1. 在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值范围，必须使解析式有意义，一般地，当解析式是整式时，自变量的取值范围是一切实数；解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的一切实数，解析式含有二次根式时，自变量的取值范围是被开方数≥0；2. 通过待定系数法的复习，了解方程思想在解题中的应用；3. 本单元的主要考点为：①正比例函数和一次函数的概念；②实际问题中函数自变量的取值范围；③函数的增减性，图像位置与k. b的关系；④图像与坐标轴（或有关直线）围成的图形面积；⑤待定系数法和方程思想.［强化训练］一、选择题1. 已知一次函数2y kx m x=--的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．2,0k m<>B．2,0k m<< C. 2,0k m>>D．0,0k m<< 2. 下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是（）A．11yx=-B．11yx=-C．1y x=-D．1yx=-3. 一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4. 若一次函数y kx b=+的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（）A．0,0k b>>B．0,0k b><C．0,0k b<>D．0,0k b<< 5. 把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A．y=2x﹣2 B．y=2x+1 C．y=2xD．y=2x+26．点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）A ．B ．C ．D ． 7. 如图，直线y=x+4与x 轴. y 轴分别交于点A 和点B ，点C. D 分别为线段AB. OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC+PD 值最小时点P 的坐标为（ ）A ．（﹣3，0）B ．（﹣6，0）C ．（﹣，0）D ．（﹣，0）8．已知函数y ＝（m +3）+4是关于x 的一次函数，则m 的值是（ ） A ．m ＝±3 B ．m ≠﹣3C ．m ＝﹣3D ．m ＝3 二、填空题9. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是____ __.10. 直线y =kx+b 经过A （3,1）和B （6,0）两点，则不等式0＜kx ＋b ＜x 31的解集为__________.11. 如果正比例函数y kx 的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于＿＿＿＿＿＿．12. 小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离（单位：米）与时间（单位：分钟）的对应关系如图所示，则小张骑车的速度为 米/分钟．13. 张琪和爸爸到英雄山广场运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，张琪继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路程y 1（米）. y 2（米）与运动时间x （分）之间的函数关系如图所示，求张琪开始返回时与爸爸相距米．第12题第13题14. 过点（－1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横. 纵坐标都是整数的点的坐标是＿＿＿＿．三、解答题15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x. y轴于点A. B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式.16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m）. B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数表达式；（2）求△AOB的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m．（1）n的值为；（2）用含有m的式子表示线段CP的长；（3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标；（4）在（3）的条件下，把直线AB沿着y轴向下平移，交y轴于点M，交线段BP于点N，若点D的坐标为，在平移的过程中，当∠DMN＝90°时，请直接写出点N的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4分别与x轴. y轴交于点B. C，且与直线l2：y＝x交于点A．（1）分别求出点A. B. C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为6，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O. C. P. Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

2023年中考数学一轮复习专题练习二元一次方程一、选择题1. 下列方程是二元一次方程的是（ ）A ．321=+y xB ．2x –3y =xyC ．32=-yx D ．x =y 2. 下列各式是二元一次方程组的是（ ）A ．⎩⎨⎧=-=-31z y y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=-3103x y y x C ．⎩⎨⎧-=-=121x y xy D ．⎩⎨⎧=-=21x y x 3. 若3x m –n –2y m +n –2=4是关于x ，y 的二元一次方程，则m ，n 的值分别为（ ）A ．m =1，n =0B ．m =0，n =– 1C ．m =2，n =1D ．m =2，n =–34. 若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+453,3y x y x 的解为⎩⎨⎧==,,b y a x 则=-b a （ ） A ．1 B ．3 C ．41 D ．47 5. 某企业决定投资不超过20万元建造A ，B 两种类型的温室大棚(两种类型都要建).经测算，投资A 种类型的大棚6万元/个，B 种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（ ）A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种 6. 已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组7,1ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3 7. 已知关于x . y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-0425y kx y x 中x =–4，则k 的值为（ ） A ．–12B ．12C ．–3D ．3 8. 若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y bx y a x 的解，则a +b 的值是（ ）A ．2B ．–2C ．1D ．–1 9. 用加减法解方程组⎩⎨⎧=+=-5273y x y x 时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（ ）① ② ③ ④．A ．②B ．②③C ．①③D ．④ 二、填空题10. 将方程527x y 变形成用y 的代数式表示x ，则x ＝＿＿＿＿＿＿.再用x 的代数式表示y ，则y ＝＿＿＿＿＿＿.11. 在432-=x y 中，如果x ＝6，那么y ＝＿＿＿＿；如果y ＝—2，那么x ＝＿＿＿ 12. 写出一个以23x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组__________________ .13. 已知ax=by ＋ 2012的一个解是⎩⎨⎧-==11y x ，则a ＋b=________________ 14. 已知二元一次方程x ＋ 3y =10，请写出一组正整数解________15. 用图象法解二元一次方程组，小英所画图象如图所示，则方程组的解为 ．16. 在y kx b =+中，当1x =时，4y =，当2x =时，10y =，则k = ，b = 。