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有限元介绍第一部分优秀课件

有限元介绍第一部分优秀课件
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。 它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学， 研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果
更精确，因而应用的范围更广泛。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对 象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解 算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计 算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材 料性质的假定：
2 有限元的应用范围 2-1 固体力学，包括强度、稳定性、震 动和瞬态问题的分析，线性和非线性 分析
2-2 传热学 2-3 电磁场 2-4 流体力学 2-5 金属成形过程的分析 2-6 焊接残余应力分析 2-7 热处理过程的分析
3 有限元的基本求解原理
3-1 材料力学与弹性力学 3-2 应力的概念 3-3 位移及应变，几何方程，刚体位移 3-4 应力应变关系，物理方程 3-5 虚功原理及虚功方程 3-6 单元刚度矩阵 3-7 整体分析 3-8 整体刚度矩阵的形式 3-9 支承条件的处理 3-10 求解方程
有限元介绍第一部 分
1 有限元的概念
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）是将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，对每一单元 假定一个合适的近似解，然后推导求解这 个域总的满足条件，从而得到问题的解。 这个解不是准确解，而是近似解，因为实 际问题被较简单的问题所代替。由于大多 数实际问题难以得到准确解，而有限元不 仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状， 因而成为行之有效的工程分析手段。
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角 都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以 用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差； 并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都 可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方 程。

《有限元分析及应用》PPT课件

《有限元分析及应用》PPT课件

41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如
，
i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维ij 问题
中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示
三个坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：
，j为哑指标。在三维问题中其变化的范ai围j x为j 1,b2i ,3
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
20
技术路线：
21
发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
22
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
.. 轴..对称实体.).......
3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
由此得到
考虑 X 0
xyl ym zy n Y xl yxm zxn X
考虑
Z 0 xzl yzm zn Z
应力边界条件

有限元法ppt课件

有限元法ppt课件
3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建 立起对该法的理解；
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题。
双金属片 受热变形
38
第二节 有限元法的分类
39
一、结构有限元法的分类
结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非 线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研 究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者 的某些结果。
40
1.线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，
12
有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化 将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模 型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应 变、位移等参数的数值计算方法。
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通 过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的 结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。 该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐 标系和整体坐标系的确定。
下的响应； ➢ 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总
体响应； ➢ 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
15
2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物
理特性，且存在相互物理作用。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有

《有限元基础》课件

《有限元基础》课件
广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。

有限元法PPT课件

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和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
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目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。

《有限元基本原理》课件

《有限元基本原理》课件
为模型选择合适的元素类型，比如三角形、四边形 等。
单元划分与编号
为每个元素分配节点和编号来唯一标识每个元素。
节点特征与边界条件
确定每个节点在模型中的位置和边界条件，如施加 的力或位移。
有限元计算过程
1
线性方程组求解
有限元方程组常为大规模、高维和稀疏
反转推导
2
的线性方程组，需要采用合适的求解器。
通过求解原问题的补问题得到原问题的 解，用于优化模型参数或验证解的正确
有限元基本原理
欢迎阅读此课件，介绍有限元分析的基本原理和应用。通过本课件的学习， 您将全面了解有限元分析在各领域的应用和优缺点。
有限元分析简介
定义
有限元分析是一种利用有限元方法来求解工程、科学和数学问题的方法。
应用领域
应用于建筑结构分析、模拟流体动力学等领域需要一些经验性的假设来简化模型。
数学基础
1
偏微分方程
描述物理过程的数学模型，常用于有限元分析的建模。
2
变分法与弱解
解决具有较一般性的偏微分方程，产生的弱解更加稳健。
3
Galerkin方法
一种求解偏微分方程的方法，常用于有限元分析中离散化问题。
有限元分析的构成
离散化
将连续问题离散为有限数量的模型，常用于处理复 杂问题。
选择元素类型
性。
实际例子
杆件受弯问题
使用有限元分析分析钢筋混凝土杆受弯时的应力分布和变形情况。
圆盘受扭问题
使用有限元分析确定不同扭矩下的圆盘的应力分布和变形情况。
总结与展望
1
有限元分析未来的发展方向
应用于机器学习和人工智能的实现，以及数值分析的进一步完善。
2
有限元分析的局限性

有限元基本概念ppt课件

有限元基本概念ppt课件

i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为： 位移法：以位移为基本未知量 力法：应力为基本未知量 混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n

有限元法PPT课件

有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)

《有限元基本原理》课件

《有限元基本原理》课件
这些有限元在节点处相互连接，形成 一个离散化的模型，用于模拟真实结 构的力学行为、热传导、电磁场分布 等。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。

《有限元分析概述》课件

《有限元分析概述》课件

如何生成适合于有限元分析的网格，并优 化网格结构。
如何进行杆件的有限元分析，包括轴力、 弯曲和扭转。
3 二维和三维模型的分析
4 不同单元的选择及其特点
如何进行二维和三维模型的有限元分析， 包括平面应力、平面应变和轴对称。
不同类型的有限元单元的选择和应用，以 及它们的特点和限制。
有限元分析软件
ANSYS
有限元分析的应用领域
工程结构分析
有限元分析广泛应用于工程领域，包括建筑、桥梁、船舶、管线等结构的设计和分析。
汽车、航空航天、机械等领域应用
有限元分析在汽车、航空航天、机械等行业中被广泛应用于产品设计和优化。
地震、爆炸等自然灾害分析
有限元分析可以用于模拟和预测地震、爆炸等自然灾害对结构的影响，进而提高结构的抗震 和防爆性能。
COMSOL Multiphysics是一款多物理场耦合的 有限元分析软件，适用于多领域的工程分析。
有限元分析的未来发展
1 超级计算机的运用 2 多物理场耦合
随着计算机性能的提升， 有限元分析可以应用于 更大规模、更复杂的问 题。
有限元分析将更多的物 理场耦合在一起，进行 更全面的分析。
3 计算效率的提高
有限元分析的基本流程
1
，将结构进行建模。
2
离散
将结构分割成小的、简单的单元。
3
材料定义
定义每个单元的材料性质和力学行为。
4
载荷约束条件
对结构施加边界条件和加载条件。
5
求解
通过数值计算方法求解结构的行为特性。
有限元分析的相关问题
1 网格生成及其优化
2 杆件的分析
随着算法和计算技术的 进步，有限元分析的计 算效率将得到提高。

有限元ppt课件

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17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有

1
I (1,2 ,3,

2
I (1,2 ,3,
力,它反映了内力在截面上的分布密度。
z
y
o
zx
xz
z zy
yz
切应力互等定律 xy yx , xz zx , yz zy
y
应力矩阵
x xy
yx
T
x y z xy yz zx
y
x
z
微分体的应力分量


v y w z u v

0

0




yz

zx
y x y

v

w
0
y
0
x
0


z


u v

0

w
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:

《有限元法基础讲义》课件

《有限元法基础讲义》课件

常见材料本构关系及其有限元 表示
讨论了不同材料的本构关系和应力-应变关系，以及如何将它们表示为有限元 模型中的材料属性。
有限元网格划分与质量控制
讲解了有效的有限元网格划分算法、质量控制策略和改善网格质量的技巧， 以提高计算结果的精确性和稳定性。
有限元求解算法
探索了常用的有限元求解算法，包括直接法和迭代法，以及并行计算和加速 技术。
《有限元法基础讲义》 PPT课件
通过《有限元法基础讲义》PPT课件，我们深入探讨了有限元法的各个方面， 包括基础概述、一维到三维有限元法、材料本构关系、网格划分与质量控制、 求解算法、静态与动态分析，以及在结构、流体力学、热传导和电磁场中的 应用。
有限元法基础概述
介绍了有限元法的定义、原理和应用领域，以及有限元分析的基本步骤和注意事项。
一维有限元法
详细讲解了一维有限元法的原理、单元类型、边界条件的处理方法，并演示 了一维结构的有限元分析过程。
二维有限元法
探讨了二维有限元法的理论基础、常见单元类型、网格生成算法，以及处理复杂边界条件和材料非线性性的技 巧。
三维有限元法
介绍了三பைடு நூலகம்有限元法的基本原理、常用稳定性判据、网格生成策略，以及处理大规模问题和高性能计算的方法。
静态分析与动态分析
介绍了有限元法在静态和动态分析中的应用，如结构强度分析、模态分析和 响应谱分析等。
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0
微分方程解题思路及主要解法
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
数值解法
微分方程的幂级数解法（概述）
例如求一阶微分方程： dy f ( x, y)

满足初始条件 y
dx
x x0 y0
的特解，其中函数
无网格方法思想
无网格方法（Mesh-less method）是在数值计算中不 需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值 函数离散控制方程，问题域由一系列任意分布的节点来代 替,不需要用单元或网格来进行场变量插值,也无须描述节点 之间的关系。节点的生成可完全由计算机自动完成,这大大 节省了分析人员的时间,也相对较容易在分析过程中对节点 进行重新划分。
有限差分法思想
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的 方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差 分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限 差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导 数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从 而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该 方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值 解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较 成熟的数值方法。
主要参考书目
有限元分析的概念与应用；罗伯特.库克. 西 安交通大学出版社.
有限单元法原理与应用；朱伯芳. 中国水利 水电出版社.
有限单元法及计算程序；王焕定，吴德伦等. 中国建筑工业出版社.
有限元方法（第5版）第1卷，基本原理； 监凯维奇. 清华大学出版社.
概述
• 重大工程的设计和灾变 • 结构设计及工程灾变分析中的微分方程 • 微分方程的主要解法
y y 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 . . . a n ( x x 0 ) n . . . (2)
其中 a0,a1,...,an,... 是待定的系数
把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式两端
的( x x0 )同次幂的系数，就可定出常数 a0,a1,...,an,..., 以这些
于是分别出现了内部和边界残差：
RI Fuf 0
m
m
RB (Gug)0
i1
i1
为了消除残差，通常引进内部权函数 W l 和边界权函 数 W B ，将它们分别与 和R I 相乘R B ，列出消除内部残 值方程式及消除边界方程式分别如下：
RlWl dv 0
Vm
S RBWBds 0
i1
Cj(j 1,2,...,n)
有限元法思想
其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为 单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变 形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容 易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的 变形和应力。
边界元法思想
边界元法(Boudary element method)是在有限元法 之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 , 通常又称边界积分方程。该方法应用格林函数公式，通 过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换 成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解 变量与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分 方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的 未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的 被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问 题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算 机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是， 需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。
重大工程的设计（概述）
11
3
2
44
重大工程的灾变（概述）
Aloha航线上波音747事故
2019年阪神地震
重大工程灾变（原因）
设计原因：设计未满足标准或者安全使用的要求。包括
设计计算错误，结构、选型不合理，材料选用不当等
制造和安装原因：包括材料有缺陷或者错用，制造工
艺不合理，零（部）件缺陷，焊材、焊接缺陷，热处理不 合理，组装错误
常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足
初始条件 y xx0 y0 的特解。
微分方程的数值解法
在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼近等方 法得到解的近似表达式外，通常还有一类近似方法称 为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值， 这类方法通常包括：
有限元方法 边界元方法 加权残值方法 有限差分法 无网格法
加权残值法思想
加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法， 其基本思想是先假定一族带有待定参数的定义在全域上的 近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即 存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值 法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵 一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。
工程结构设计中的主要构件
梁、柱、杆 板、壳 三维实体
结构设计及工程灾变分析中控制微分方程
1、梁弯曲问题
EJ
d 4w dx4
q
0
2、薄板弯曲问题
D4wq(x,y)
DEh3/12(12)
3、弹性力学三维问题
x
x
yyx zzxFbx0
xy
x
y
y
zy
z
Fby
0
z
x
yz
y
z
z
Fbz
自然原因：包括环境腐蚀、
太阳辐射使结构强度和刚度 降低。
J7机翼前梁后段
重大工程灾变（预防或减少措施）
满足静强度要求 1、强度设计 2、刚度设计 3、稳定性设计
满足动力特性 安全寿命设计 安全寿命/损伤容限设计 耐久性/损伤容限设计 可靠性分析 改善服役环境 加强并提升结构的防护
如有某一应用科学问题中的控制微分方程式及边界条 件分别为：
Fu f 0 v 域内
（1）
m
s (Gu g) 0
边界面
i 1
（2）
为了解这个控制微分方程式，我们假设待定函数的一
个近似解，为试函数 u
加权残值法思想（续）
n
u C j N j j 1
（3）
将（3）式代入（1）和（2）式之后，一般不会满足，
f
(x,
y)
是
( y y0 ) 和 ( x x0 ) 的多项式：
f ( x , y ) a 0 0 a 1 0 ( x x 0 ) a 0 1 ( y y 0 ) . . . a l m ( x x 0 ) l ( y y 0 ) m (1)
这时我们可以设所特解可展开为 x x 0 的幂级数