有限元法介绍 PPT

计算量大
对于大规模问题，有限元分析需要处理大量的 数据和计算，计算成本较高。
对初值和参数敏感
有限元方法对初值和参数的选择比较敏感，可 能会影响求解的稳定性和精度。
数值误差
有限元方法存在一定的数值误差，可能会导致结果的精度损失。
未来发展方向和挑战
高效算法
研究更高效的算法和技术，提高有限 元分析的计算效率和精度。
网格划分的方法
根据实际问题选择合适的网格类型，如四面体网 格、六面体网格等，并确定网格的大小和密度。
数据准备的内容
准备边界条件、初始条件、材料属性等数据，为 后续计算提供必要的数据支持。
有限元方程的求解和后处理
求解方法的选择
根据实际问题选择合适的求解方法，如直接求解法、 迭代求解法等。
求解步骤
将有限元方程组转化为线性方程组，选择合适的求解 器进行求解，得到各节点的数值解。
电磁场有限元分析简介
概述有限元分析的基本原理和方 法，包括离散化、近似函数、变
分原理等。
介绍电磁场有限元分析的基本步 骤，包括前处理、求解和后处理
等。
简要介绍电磁场有限元分析的常 用软件和工具，如ANSYS、 COMSOL Multiphysics等。
02
电磁场理论基础
麦克斯韦方程组
总结词
描述电磁场变化规律的方程组
详细描述
边界条件和初始条件是描述电磁场在边界和初始时刻的状态，对于求解电磁场问 题至关重要。
03
有限元方法基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将连续的物理域离散化 为有限数量的单元，利用数学近似方法求解复杂的问题。
02
该方法广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁

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载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理 作用。 单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
14
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。 梯子的有限元模型不到100个方程；
34
3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲 压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
10
2.几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
11
单元具有以下特征：

每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷 下的响应； 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总 体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有


限单元”。
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2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有 限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有 物理特性，且存在相互物理作用。 3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由 一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。

➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵

02
1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语
03
从固体力学的角度来看，桁架结构与分割成有限个分区后的连续体在结构上存在相似性。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。
有限单元法的数学基础（2）
1965年和（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同步骤求解。
1969年和指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
02
01
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱令希（余能原理） 钱伟长（广义变分原理） 胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论） 20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
应力
内力
把外载荷集中到节点上 把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上
01
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
02
令
建立结点的力平衡方程
根据约束条件，
01
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与 第n+1个结点上的外载荷平衡，

a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:

v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。

d 2 v dx2
求解方程 得EId dx4v4 p(x)0
v (x ) E 1 I 2 p 4 0x 4 c 3 x 3 c 2 x 2 c 1 x 1
其中c1,c2,c3是待定系数。最后可 得
v (x )p 0 x 4 2 lx 3 l3 x 2 4 E I
讨论
U 1 2
在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义 变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际 应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用 近似计算方法。
对于泛函
n
yx ii
1）假定
i1
yx
0
2）将上式代入泛函 ，计算变分 。
i
3）由极值条件，算出待y定x常n数ii ，使之满足基本微分方程。
U
d x
0 xx
应变余能
U
d x
0x x
U W 0
有限元上的应用（位移法）： 假设单元位移模式 单元刚度方程
间接解法——变分原理：
把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值） 的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立 了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理 的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果 解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理， 或称为完全的广义变分原理。
ijij
d
1 2
l
0xxdAdx
应变能
1 2
l
0
EyvyvdAdx
1 2
l EIZ v2 dx
外力功
Wlp(x)v(x)dx
势能 U W 1 2 lE I Z v 2 d x lp ( x ) v ( x ) d x
有限元分析步骤-单元分析

i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为： 位移法：以位移为基本未知量 力法：应力为基本未知量 混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n

坐标下表示的形函数，xi为 总体坐标下的节点坐标
N1
1(1)(1)
4
N2
1(1)(1)
4
对四节点四边形等参元，Ni
N3
1(1)(1)
4
N4
1(1)(1)
4
5-4 等参数单元
变换实例
η 4 (-1,1)
1 (-1,-1)
3 (1,1) ξ
2 (1,-1)
tη ζ ξ
4 (x4,y4) y
η=1 η
v P(x,y) u
2.位移函数
线性位移函数
u(x, y,z) a1 a2xa3ya4z v(x,y,z)a5 a6xa7ya8z w(x, y,z)a9 a10xa11ya12z
5-3 四面体单元
利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式
u v ( (x x ,,y y ,,z z ) ) N 0 1 N 0 1 0 0N 0 2 N 0 2 0 0N 0 3 N 0 3 0 0N 0 4 N 0 4 0 0 u M 1 w (x ,y ,z) 0 0N 1 0 0N 2 0 0N 3 0 0N 4 w 4
x
柱坐标系
z
p
(r, , z)
5-1 轴对称问题
基本方程
位移分量{urw }T Q u=0
应力分量{}{r z rz}T
应变分量 {}{r z rz}T
= { u r ru rr w z u r z w r } T
虚功方程
2
Q d 2 则 { * } T { F } 2 { * } T { } R rd rd z
zx
v
z
w y
bi 0 0
wx

11
.
12
.
13
.
14
有限元分析过程的概要
• 本课题先通过一个简单的实例，采用直接 的推导方法，逐步展示有限元分析的基本 流程，从中可以了解有限元方法的思路形 成过程，以及如何由具体的求解步骤归纳 出一种通用的标准求解方法。
.
15
有限元分析的目的和概念
• 任何具有一定使用功能的构件(称为变形体)都是 由满足要求的材料所制造的，在设计阶段，就需 要对该构件在可能的外力作用下的内部状态进行 分析，以便核对所使用材料是否安全可靠，以避 免造成重大安全事故。描述可承力构件的力学信 息一般有三类： (1) 构件中因承载在任意位置上所引起的移动(称 为位移)； (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变形状态 (称为应变)； (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受力状态 (称为应力)；
时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度
.
5
表达式；1960年Clough在处理平面弹性问题，第一
次提出并使用“有限元方法” 的名称；1955年德国
的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理
和矩阵方法的书，为后续的有限元研究奠定了重要
的基础，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一
也就是产生了78个受力区域，在钢结构焊接完成后，
需要将其缓慢而又平稳地卸去，让鸟巢变成完全靠
自身结构支撑；
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9
因而，支撑塔架的卸载，实际上就是对整个钢 结构的加载，如何卸载？需要进行非常详细的数值 化分析，以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17 日成功地完成了整体钢结构施工的最后卸载。
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4
20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，设计