下载文档原格式
![概率论与数理统计第二章习题参考答案]](https://img.taocdn.com/s1/m/02a7d8de6f1aff00bed51ebf.png)
第二章测验题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 投掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间 (0.5, 1.5)取值的概率为0.5 . 解：随机变量X 的分布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤2. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或者2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀分布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 3. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27.解：由题意知随机变量X 和Y 分别服从参数为2和p 、3和p 的二项分布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 得到4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,所以2(1)3p -=, 从而33333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭4. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤.解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为()f x 的图像.其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部分的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部分面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=.而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右侧的面积(绿色虚线所示范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即13k ≤≤.5. 设随机变量(1,4)X N , 则{12}P X <≤= 0.1915 .(已知(0.5)0.6915Φ=.) 解：由(1,4)X N 可知，1,2μσ==. 首先进行正态分布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=0.19156. 设硕士研究生入学数学考试及格率为0.55，则15名考生中数学考试及格人数X 的概率分布是二项分布，参数为15和0.55, 解：15名考生参加考试，可以视为15次伯努利实验。
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计2.第⼆章练习题（答案）第⼆章练习题(答案)⼀、单项选择题1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则⼀定成⽴的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P26.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )F(x) =o,kx+b 、 x<0 0 < x< x>则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数(A ) z 7fl -cosx ； 2 0, f sinx,A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);B. f (x)1, x < 0[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)⾮负D. f (x)在(-叫+00)内连续A. P {X O }B. f(x)= f(-x)C. p{xl} D ? F(x) = l-F(-x)A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设⽚3与E（⼒分别为随机变量X、兀的分布函数，为使F（沪aF?—胡（⼒是某⼀随机变量的分布函数，在下列给定的多组数值中应取（A ）&设⼼与⼈是任意两个相互独⽴的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为ft （⼒和f2（⼒，分布函数分别为川⼒和E （⼒，则（A）亡（⼒+負（⼒必为某个随机变量的概率密度；（B） f⼼）临（⼒必为某个随机变量的概率密度；（C）川⼒+￡（⼒必为某个随机变量的分布函数；（D）FAx）吠（⼒必为某个随机变量的分布函数。
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0X0 P2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
） x1 2 O P（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0，概率为所以2、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表X ： 0， 1， 2 P ：351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = k －k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：02、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功} ,,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计第二章习题答案[]）（）（）（）（）式，有利用（显然）（）（则若））（（）（）（从而）（）（）（）（的可加性，有：互不相容，因此由概率与而）（则解：AB P A P AB A P B A P A AB AB A P B A P A B B P A P B A P B A P B P B A B P A P B A B B A B A A B -=-=-⊂-=-⊄-=--+=-=--=⊂**.132)(1)()()(1)()()()|()4(2.05.01.0)()()|()3(25.04.01.0|)2(8.0)1(.2=--=--=========-+=B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P A P AB P A B P B P AB P B A P AB P B P A P B A P ）（）（）（）（）（）（）（解：7.0)(1)|()4(4.0)(1)|()3(72.0)()()()()()()()()2(3.0)()|(1.3=-==-==⋅-+=-+===A P B A P B P A B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A P B A P ）解：（时成立。
第一个等号在）（）（）（）（）（”成立时“当）（）（”成立时“）（当）（）（）（）（）（）（）（解：B A B P A P B A P A P AB P A AB A B B A P A P B A A AB P B A P B P A P AB P B P A P B A P ⊂+≤≤≤∴⊂=⊂≤∴⊂==≥+∴-+= 0.4.32)()()(,91)().()(),()()()(,),()(.5======A P B P A P B A P B P A P B P A P B P A P B A B A B A B A P B A P 可推出结合独立性以及又由题意可得：一些简单计算可得式及再由对立事件的概率公都是独立的，从而有：与事件以及与是独立的可知，事件根据事件解：根据题意可得：..21)(.21)()(3)(3)()(2,)()(2)()()()(2).(43)(,41)(.169)(3)(3)()()()()()()()(1.62222由于要画图，反例略是不正确题中要求证明是注解：有反例可以说明从而有于是由于）（舍去或者所以）解：（<≤-≤-⊂-=-+====-=+---++=A P A P A P A P A P A P C B A B A A P A P AB P B P A P B A P A P A P A P A P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）解：（C P B A P C P B A P C P B P A P C B A P C B A P C P AB P C P B P A P ABC P C AB P B A P C P AB P B P A P C P B P A P B P A P C P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P BC AC P C B A P ⋅-=⋅=⋅⋅==-⋅=⋅⋅===-+=-+=-+=-+==][][3][2][][][1.7832.03.06.04.04.04.06.0)()()()()(3.06.0200100)/(4.06.0150100)/(6.020*******.8=⨯⨯+⨯+=++===⨯==⨯======B A C P A B P A P C B A P D P B A C P A B P A P D C B A ）（“击中目标”米处射击击中”“相距米处射击击中”“相距米处射击击中”“相距解：设2112632112|31812|6)2(185|8)1(.9222222222222111111111=++++=========== ）（）（）（）（）（）（）（”“点数和大于“点数和为奇数”）（）（）（）（）（”“点数和为“点数和为偶数”解：B P B A P B A P A P B A P A B P B A A P B P A P B A P A B P B A.535443321)()()(-1)(-15360160126047514131413141513151413151413151.10=⨯⨯-====+-=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++=======C P B P A P C B A P C B A P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C P B P A P C B A ）（另解：）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）（，）（“丙破译密码”“乙破译密码”“甲破译密码”解：61|1011|.11110=====）（）（）（）（）（）（解：B P AB P B A P C A P AB P A B P1025515510530520|.12C C C C C A B P A P AB P B A ⋅⋅=⋅===）（）（）（球各半”“第二次取出的黄、白球”“第一次取出的全是黄解：cb a ac b a c b b a b A A A P A A P A P A A A P A A A 2||32.13213121321321++⋅+++⋅+=⋅====）（）（）（）（次取白球”“第次取黄球”“第“第一次取黄球”解：161013616101474113161013469677036937067||21610147469667067|12.1421121121212121211212121=-=-==⋅+⋅=+=+==⋅=====）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（“被退货”次抽到次品”“第“第一次抽到次品”解：A A P D P A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P A A P A P A A P D A A493297%4.1153)]|(1[)()()|()|()3(73%4.153%1)()()|()|()2(%4.152%253%1||1525330001800%2|%1|.15111111122112121=-⋅-===⨯===⨯+⨯=+⋅=======B A P A P B P B A P A B P A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P B P B P B A P B A P A ）（）（）（）（）（）（）（，）（）（，）（“次品”解：17.00545.005.09.01)()()|(1)|(1)|()2(0545.00095.0045.095.001.005.09.0)()]|(1[05.09.0)()|()()|()()1(05.0)(99.0)|(9.0|.16=⨯-=-=-==+=⨯+⨯=-+⨯=+======B P A P A B P B A P B A P A P A B P A P A B P A P A B P B P A P A B P A B P B A ）（“某方法检验为次品”“次品”，解：5000380500018020035000180025000180180%630003000535000200%10200020005250001.17=+===∴=⨯=⨯=⨯=⨯）（）（）（）（）（，女生选修会计人数女生人数：，男生选修会计人数）男生人数：（解：C P B P A P0006.07519.0%3%981||27519.0%97%1%3%98%3%98||%97%1%3%98]|1[%3%98||1%99|%98|%3.18=⨯-===⨯+⨯⨯==⨯+⨯=-+⨯=+======）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）（，）（“患有肺癌”光查肺癌”，“用解：A P B P B A P A B P A P B P B A P A B P B P B A B P B A P B P B A P A P B A P B A P B P B X A6896863.001.07.0)02.01((7.0)02.01()()|()()|()()|()|(01.0)|(,02.0)|(3.0)(,7.01010.19=⨯+⨯-⨯-=+=========A P A B P A P A B P A P A B P B A P A B P A B P A P A P B B A A ）（”“收到”，“收到”，“发送”，“发送解：968.0)|()|()|()4(032.0)|()|(1)|()3(242.062.03.05.0)()()|()|()2(726.062.05.09.0)()()|()|(62.02.01.03.05.05.09.0)()|()()|()()|()()1(1.0)|(5.0)|(9.0)|(2.0)(3.0)(5.0)(2000.202121213222111332211321321321=+==--==⨯===⨯===⨯+⨯+⨯=++===========B A P B A P B A A P B A P B A P B A P B P A P A B P B A P B P A P A B P B A P A P A B P A P A B P A P A B P B P A B P A B P A B P A P A P A P B A A A 台以上”“卖出“滞销”，“一般”，“畅销”，解：75.04.013.0432.0211.04100|]||[|]||[|]||[3(4.05.0511)(3.05.05143)|(2.05.05121)|(1.01015.05141|05.00||25.0]14321410[515115141510|||1.215522115432111552211=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++⋅+⋅===⨯==⨯==⨯===⨯=====++++=⨯++⨯+⋅=+++==）（）（）（）（）（）（）（再次出现字面”））（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（“字面”解：A B P A B C P A B P A B C P A B P A B C P C P C A B P A B P A B P A B P A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P B P B A P A P A458.014.0141.06.036.02.0)()|()()|()()|()(14.07.05.04.0)()(41.07.05.06.07.05.04.03.05.04.0\)()()()()()()()()()()()()()(36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0.2233221132133213213213213213213213213212321321321323213213213213211321321=⨯+⨯+⨯=++==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=++===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=++=========A P A B P A P A B P A P A B P B P C C C P A P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C C C P C C C P C C C P C C C C C C C C C P A P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C C C P C C C P C C C P C C C C C C C C C P A P C C C B A A A ）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（“丙射击”“乙射击”，“甲射击”，“飞机被击落”“三人击中”“两人击中”，“一人击中”，解：设独立的。
