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数值分析课程设计心得体会篇一：数值分析课程设计青岛农业大学本科生课程论文题目：数值分析课程设计姓名：杨宝赟学院：理学与信息科学学院专业：信息与计算科学专业班级：2008级2班学号：20084051指导教师：常桂娟完成时间：2011年12月23日二○一一年十二月二十三日课程论文任务书学生姓名杨宝赟指导教师常桂娟论文题目数值分析课程设计论文内容（需明确列出研究的问题）：运用MATLAB数学软件设计出数值分析的求拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式以及Polyfit多项函数拟合来求P2?a?bx?cx2解方程组。
资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。
文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。
内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。
参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。
（根据情况修改）发出任务书日期完成论文（设计）日期学科组或教研室意见（签字）院、系（系）主任意见（签字）目录前言............................................................... ......................................... - 1 -一、设计题1：.................................................................................... - 2 -（一）、求拉格朗日插值多项式................................................... - 2 -理论知识............................................................... .............. - 2 -拉格朗日插值的设计思路与算法如下：......................... - 3 -2.求拉格朗日插值多项式的程序如下：- 3 -3.程序运行操作过程与输出结果............................................ - 4 -4.对计算过程与结果分析........................................................ - 5 -（二）、求牛顿插值多项式......................................................... - 5 -理论知识............................................................... .............. - 5 -设计思路与算法步骤......................................................... - 6 -2.求牛顿插值多项式的程序如下：....... - 6 -3.程序运行操作过程与输出结果............................................ - 7 -4．对计算过程与结果的分析................................................. - 8 -5.在课程设计中的心得体会.................................................... - 8 -二、设计题2：............................................................. ....................... - 8 -理论知识............................................... 错误！未定义书签。
数值分析作业课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201研究生姓名董安学号S2*******学科、专业机械制造及其自动化所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日代数插值法---拉格朗日插值法数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。
利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。
因此学好数值分析的插值法很重要。
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。
1.一元函数插值概念定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数x ，1x ，···nx ，其中n m 。
若向量组k=（0kx ，1kx ，···，km x ）T （k=0,1，，n ）线性无关，则称函数组{kx （k=0,1，，n ）}在点集{i x (i=0,1,,m)}上线性无关；否则称为线性相关。
例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。
又如，函数组{sin x ，n2x ，sin3x }在点集{0，3，23，}上线性相关。
给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间,a b 内有定义。
基于ABAQUS软件的混凝土柱的有限元分析摘要：有限元法是工程分析中广泛应用的数值计算方法，由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。
ABAQUS 软件是国际上公认的最好的CAE大型通用分析软件之一。
本文对有限单元法进行简单介绍并采用ABAQUS软件分析一混凝土柱的受力问题。
关键词：ABAQUS，混凝土柱，有限元分析1 有限元理论概述1.1 有限元法基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。
有限元法作为数值分析方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数，分片地表示全求解域上待求的未知场函数，单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数表达。
这样，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一经求解出这些未知量，就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
1.2 有限元法分类1.2.1 线弹性有限元法线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应变与位移也是线性关系。
线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力分析与线弹性动力分析两个主要内容。
学习这些内容需具备材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的知识。
江西理工大学研究生院《数值分析》实验报告姓名：张飞专业：机械工程学号：6720150104日期：2015年12月12日目录实验一函数插值方法 (3)实验二函数逼近与曲线拟合 (7)实验四线方程组的直接解法 (17)实验五解线性方程组的迭代法 (24)实验六非线性方程求根 (26)实验七矩阵特征值问题计算 (28)实验八常微分方程初值问题数值解法 (32)实验一 函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n == 。
试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。
数据如下： （1求五次Lagrange 多项式5L ()x ，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。
（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈ ） （26(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈ ）二、问题分析1、 利用Lagrange 插值公式00,()n ni n k k i i k k i x x L x y x x ==≠⎛⎫-= ⎪-⎝⎭∑∏编写出插值多项式程序；2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、 对此插值问题用Newton 插值多项式其结果如何。
Newton 插值多项式如下：10010,()()[,,]()k nn j k k j j kN x f x f x x x x -==≠=+∙-∑∏其中：0,0()()[,,]ki ki i j j j ik f x x x f x x ==≠-=∑∏三、实验程序及注释1.（1）程序一function f=Lagrange(x,fx,inx)x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.95 1.05]fx=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.0 1.25382]inx=[0.596,0.99];n=length(x);m=length(inx);for i=1:m;z=inx(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=p*fx(k)+s;endf(i)=s;endplot(x,fx,'O',inx,f)（2）运行结果：x = 0.4000 0.5500 0.6500 0.8000 0.9500 1.0500fx =0.4108 0.5782 0.6967 0.9000 1.0000 1.2538ans =0.6257 1.05422、（1）程序二function f=Lagrange(x,fx,inx)x=[1 2 3 4 5 6 7]fx=[0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001]inx=[1.8 6.15];n=length(x);m=length(inx);for i=1:m;z=inx(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));（2）运行结果：x = 1 2 3 4 5 6 7fx = 0.3680 0.1350 0.0500 0.0180 0.0070 0.0020 0.0010 ans= 0.1648 0.0013四、实验数据结果及分析1 . 五次Lagrange 多项式5L ()x 的运行结果为 ()6257.0596.0=f ()0542.199.0=f经过迭代达到了给定结果的精度实验图像如图像一图像一2.六次Lagrange 多项式6L ()x 的运行结果为()1648.08.1=f 0013.0)15.6(=f经过迭代达到了给定结果的精度实验图像如图像二:图像二五、实验结论结果与提示值完全吻合，说明Lagrange 插值多项式的精度是很高的；)45)(35)(25)(15)(05()4)(3)(2)(1)(0()50)(40)(30)(20)(10()5)(4)(3)(2)(1()(f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+⋅⋅⋅+----------=同时，若采用三点插值和两点插值的方法，用三点插值的精度更高。
数值分析第六次实验报告姓名：董安葳学号：5123119题目：LU分解和列主消元法。
实验方法：本人根据课本中的两种算法——LU分解和列主消元法，独自编写代码，实现了两种算法。
并利用两种算法分别实现了课本中的计算实习第一题。
实验过程：1.LU.mfunction [L,U,x]=LU(A,b)[m,n]=size(A);L=zeros(m,m);temp=0;for ii=1:mfor jj=ii+1:mtemp=A(jj,ii)/A(ii,ii);L(jj,ii)=temp;for kk=ii:mA(jj,kk)=A(jj,kk)-A(ii,kk)*temp;endb(jj,1)=b(jj,1)-b(ii,1)*temp;endendfor ii=1:mL(ii,ii)=1;endU=A;x=zeros(m,1);x(m,1)=b(m,1)/U(m,m);sum=0;for ii=m-1:-1:1sum=0;for jj=ii+1:msum=sum+U(ii,jj)*x(jj,1);endx(ii,1)=(b(ii,1)-sum)/U(ii,ii);end2．Liezhuyaunxiaoqu.mfunction [x,det]=liezhuyaunxiaoqu(A,b)[m,n]=size(A);det=1;temp=0;h=0;l=0;temp1=0;temp2=0;for k=1:n-1po=zeros(n-k+1,1);qq=1;for pp=k:npo(qq,1)=A(pp,k);qq+1;endtemp=max(abs(po));if temp==0error('系数矩阵行列式的值为零，该方程无解！') end[h,l]=find(temp==abs(po));if h+k-1~=kfor jj=k:ntemp1=A(h+k-1,jj);A(h+k-1,jj)=A(k,jj);A(k,jj)=temp1;endtemp1=b(k,1);b(k,1)=b(h+k-1,1);b(h+k-1,1)=temp1;det=-det;endfor jjj=k+1:ntemp2=A(jjj,k)/A(k,k);for kk=k:nA(jjj,kk)=A(jjj,kk)-A(k,kk)*temp2;endb(jjj,1)=b(jjj,1)-b(k,1)*temp2;enddet=A(k,k)*det;endif A(m,m)==0error('系数矩阵行列式的值为零，该方程无解！') endx=zeros(m,1);x(m,1)=b(m,1)/A(m,m);sum=0;for iii=m-1:-1:1sum=0;for jj=iii+1:msum=sum+A(iii,jj)*x(jj,1);endx(iii,1)=(b(iii,1)-sum)/A(iii,iii);enddet=A(n,n)*det;实验截图：LU分解算法：列主消元法。
误差分析实验1.1（问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。
对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。
通过本实验可获得一个初步体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=-=---=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。
现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。
roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a的全部根；而函数poly(v)b =的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。
可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。
;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =))20:1((ve poly roots +上述简单的Matlab 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。
实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。
数值分析论文_范文数值分析是研究如何利用计算机以数值方法解决实际问题的一门学科。
它涉及到一系列的算法和技术，用于近似求解数学问题。
本文将就数值分析的基本概念和应用进行讨论。
首先，数值分析涉及到数值计算技术的研究和开发。
数值计算是一种近似计算的方法，通过将问题转化为可以在计算机上求解的形式，来获得近似解。
数值计算涉及到各种技术和算法，例如数值积分、数值微分、线性系统的求解等等。
这些方法都是通过逐步逼近问题的精确解来得到近似结果的。
其次，数值分析的应用十分广泛。
数值分析的方法可以应用于物理学、工程学、经济学等各个领域。
例如，在物理学中，数值分析可以用于模拟和求解复杂的物理现象，如流体力学、量子力学等。
在工程学中，数值分析可以用于解决结构力学、电磁场分析等问题。
在经济学中，数值分析可以用于建立数学模型来预测市场变化、评估经济政策等。
数值分析也面临一些挑战和困难。
首先，数值分析的结果往往是近似解，而不是精确解。
这就需要仔细评估结果的误差和收敛性。
其次，数值分析的计算量通常很大，需要高性能计算机和合理的算法设计。
还有，数值分析的应用通常需要对实际问题进行建模和参数设定，这就需要领域知识和数学建模的技巧。
总之，数值分析是一门研究如何利用计算机以数值方法解决实际问题的学科。
它涉及到数值计算的技术和方法，并应用于物理学、工程学、经济学等各个领域。
数值分析的应用面临一些挑战和困难，但随着计算机技术的进步和算法的改进，数值分析在实际问题中发挥的作用越来越大。
“数值分析”课程第一次小论文郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。
要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！数值分析在微流控芯片研究领域的应用摘要：作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。
当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。
发展该领域的数值计算，成为重中之重。
本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。
微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。
通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。
因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。
1）微流体力学计算[3]：对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。
这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。
由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。
例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程：文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。
学习数值分析课程重要性研究内容摘要:学习《数值分析》是数学学习和应用中不可缺少的一部分，通过对此课程的学习可以更好的掌握数学方面的应用。
通过对数值计算中算法设计的技巧、插值法、解线性方程组的直接接法和迭代法的学习可以更好的了解数值分析在解决问题中的重要性。
关键字：开方求值；迭代法；高斯消去；拉格朗日插值1.导言《数值分析》是理工科院校应用数学、力学、物理、计算机软件等专业的学生必须掌握的一门重要的基础课程。
它是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论.它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.通过本课程的学习，能使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编出程序在计算机上算出结果，这既能为学生在理论学习方面以及在计算机上解决实际问题等方面打下良好的基础，同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高数学推理能力。
2、数值应用举例2.1迭代法与开方求值迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的算法，是数值计算普遍使用的重要方法，以开方运算为例，它不是四则运算因此在计算机上求开方值就要转化为四则运算，使用的就是迭代法.假定0>a ,求a 等价于解方程02=-a x （2.1.1）这是方程求根问题,可用迭代法求解.现在用简单的方法构造迭代法,先给一个初始近似00>x , 令x x x ∆+=0, x ∆是一个校正量,称为增量,于是(2.1.1)式化为a x x =∆+20)(展开后略去高阶项2)(x ∆则得)(2100x x a x -≈∆ 于是1000)(21x x a x x x x =+≈∆+= 它是真值a x =的一个近似,重复以上过程可得迭代公式,2,1,0),(211=+=+k x a x x kk k (2.1.2) 它可逐次求得,,,21 x x 若*lim x x k k =∞→ 则,*a x =容易证明序列}{k x 对任何00>x 均收敛,且收敛很快. 迭代法（2.1.2）每次迭代只做一次除法,一次加法与一次移位(右移一位就是除以2),计算量很小.计算机中求a 用的就是该迭代法.无论在实用上或理论上,求解线性或非线性方程,迭代法都是重要的方法. 例1：用迭代法求3，取20=x解：若计算精确到610-，由（2.1.1）公式可求得,732051.1,732051.1,73214.1,75.14321====x x x x 计算停止。
数值分析作业--代数插值法的论述姓名：何喜东学号：s2*******班级：Y080201学院：研究生院（二）机械工程与自动化学院日期2008/12/25代数插值法1. 插值法概述插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数ϕ(x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.这里主要介绍拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值。
1.1拉格朗日插值 1.1.1基本原理构造n 次多项式P n (x)= y k l k (x)=y 0l 0 (x)+y 1l 1 (x)+…+y n l n (x)，这是不超过n 次的多项式，其中基函数l k (x)=)...()()...()(()...()()...()(()1110)1110n k kk kk k k n kk x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+-+-显然l k (x)满足l k (x i )=⎩⎨⎧≠=)(0)(1k i k i此时 P n (x)≈f(x),误差R n (x)=f(x)-P n (x)=(x))!1()(1)1(+++nn n fωξ其中ξ∈(a,b)且依赖于x ，(x)1+nω=（x-x 0）(x-x 1)…(x -x n )很显然，当n=1、插值节点只有两个x k ,x k+1时P 1(x)=y k l k (x)+y k+1l k+1(x)其中基函数l k (x)=11++--kk k x x x x l k+1(x)=kkk x x x x --+11.1.2优缺点可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。
数值分析在流体力学中的应用研究在科学与工程的众多领域中，流体力学占据着至关重要的地位。
从飞机机翼周围的气流到血管中血液的流动，从河流中水的运动到工业管道中流体的传输，流体力学的研究无处不在。
而数值分析作为一种强大的工具，为流体力学问题的解决提供了精确而高效的方法。
要理解数值分析在流体力学中的应用，首先得明白流体力学问题的复杂性。
流体的流动通常受到多种因素的影响，如粘性、压力、速度、温度等。
而且，流体的流动状态可能是层流，也可能是湍流，这进一步增加了问题的难度。
传统的解析方法在处理这些复杂问题时往往显得力不从心，而数值分析则能够通过将连续的物理问题离散化，转化为可计算的数学模型，从而为求解提供可能。
数值分析中的有限差分法是应用于流体力学的常见方法之一。
它的基本思想是将求解区域划分为一系列网格点，然后用差分近似代替导数，从而将偏微分方程转化为一组代数方程。
例如，在求解不可压缩流体的流动问题时，可以使用有限差分法来离散纳维斯托克斯方程。
通过在网格点上计算速度和压力的值，并不断迭代更新，最终得到流体的流动状态。
这种方法在计算简单几何形状和规则边界条件的问题时较为有效，但对于复杂的几何形状和边界条件，可能需要大量的网格点，从而导致计算量增大。
有限元法也是数值分析在流体力学中广泛应用的一种方法。
与有限差分法不同，有限元法是将求解区域划分为一系列有限大小的单元，然后在每个单元上构建近似解。
通过对单元进行组合和拼接，得到整个求解区域的近似解。
有限元法在处理复杂几何形状和边界条件的问题时具有很大的优势，能够更加准确地模拟流体的流动。
它在航空航天、汽车工程等领域的流体力学问题中发挥了重要作用，例如飞机外形的优化设计、汽车发动机内部的燃烧过程模拟等。
还有一种常见的方法是有限体积法。
这种方法基于守恒定律，将求解区域划分为一系列控制体积，然后在每个控制体积上对守恒方程进行积分，得到关于控制体积中心物理量的代数方程。
有限体积法在保证物理量守恒方面具有天然的优势，因此在处理涉及质量、动量和能量守恒的流体力学问题时表现出色。
学科教育论文数值分析中关于多项式插值的教学思考数值分析不仅是信息与计算科学和应用数学专业的专业根底课，而且是很多工科专业的一门重要课程，是依据数学原理构造算法利用计算机等计算工具求解数学问题数值解的一门科学，是一门应用性非常强的课程，有利于学生实践能力和应用能力的培养。
传统的教学方法是教师传授算法，学生似乎“学懂〞了，但是在应用中还是不能解决实际数学问题，或者只能依瓢画葫芦，问题稍有变化便束手无策，达不到课程学习的真正目标，对学生能力培养达不到预定的效果。
这不得不引起教师对课程教学方法、教学模式的思考。
博士生导师万中和韩旭里[1]认为数值分析教学中要强调算法构造的根本思想，算法的创造过程，重视算法的评价和改良方法，以及算法的执行等。
学生只有理解了算法的思想和创造过程才能对算法进行改良，针对具体问题才能自己设计算法。
所以笔者认为，在实际教学中应该充分发挥课程的特点，充分发挥学生的主体作用，引导学生探究、发现，自己总结规律，在实践中得出结论，这样才能真正学懂这门课程。
多项式插值是数值分析中非常重要的知识点，是函数逼近的一种重要方法。
主要内容包括Lagrange插值、Newton 插值、Hermite插值、分段多项式插值等。
内容多，理论复杂繁琐，学生在有限的教学时间内掌握有一定困难，因此教学中要合理利用知识体系间的联系，符合学生认知规律，循序渐进地开展教学。
下面结合笔者的教学经历、体会和感悟，针对多项式插值教学中遇到的问题提出教学思考与同行一起探讨。
一、通过分析评价算法，激发学生进一步探究热情学习?数值分析?这门课程必须让学生明白，任何一种新的算法有优越性的同时往往还存在一定局限性，正因为这些局限性的存在才推动算法的不断改良，推动着学科的开展。
比方学习分段多项式插值这一节之前，学生已经学习了几种经典的多项式插值，如，Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值，对插值逼近思想已有初步了解，那么分段的多项式插值与前面学习的多项式插值有什么联系？学习分段多项式插值的有何必要？为了引导学生弄明白为什么要学习分段多项式插值，我们通过一个例题让学生自己分析算法的缺乏：用不同次数的Lagrange插值逼近函数1≤x≤1，取等距节点，并分析误差。
数值分析作业课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201研究生姓名董安学号S2*******学科、专业机械制造及其自动化所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日代数插值法---拉格朗日插值法数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。
利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。
因此学好数值分析的插值法很重要。
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。
1.一元函数插值概念定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数x ，1x ，···nx ，其中n m 。
若向量组k=（0kx ，1kx ，···，km x ）T （k=0,1，，n ）线性无关，则称函数组{kx （k=0,1，，n ）}在点集{i x (i=0,1,,m)}上线性无关；否则称为线性相关。
例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。
又如，函数组{sin x ，n2x ，sin3x }在点集{0，3，23，}上线性相关。
给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间,a b 内有定义。
设函数组{kx （k=0,1，，n ）}是次数不高于n 的多项式组，且在点集{0x ，1x ，···，n x }上线性无关。
现在提出如下的问题：在次数不高于n 的多项式集合 n D =Span{0，1，···，n}中寻求多项式n p x =0n kkk cx （1.1）使其满足条件n i p x =i f x (i=0，1，，n) （1.2）此问题称为一元函数的代数插值问题。
0x ，1x ，···，n x 称为插值节点；f x 称为被插值函数；kx （k=0,1，，n ）称为插值基函数；条件（1.1）称为插值条件；满足插值条件（1.2）的多项式（1.1）称为插值多项式。
由于插值基函数组{kx （k=0,1，，n ）}在点集{i x (i=0,1,,n)}上线性无关，所以满足插值条件（1.2）的n 次插值多项式n p x 是存在且唯一的。
又由于插值基函数组限定为次数不高于n 的多项式组，所以对于不同的插值基函数组，只要满足同一插值条件（1.2），则所得的n 次插值多项式也是唯一的。
2. Lagrange 插值方法2.1. Lagrange 插值基函数∏≠=--=nkj j jkjk x xx x x l 0)( 0,1,,kn称为Lagrange 插值基函数。
显然，k l x0,1,,k n 都是n 次多项式，且具有下列性质k i l x = ⎩⎨⎧≠=)(0)(1k i k i因此，函数组k l x0,1,,k n 必在点集{0x ，1x ，···，n x }上线性无关，并且 n p x =0n k k k l x fx或n p x =0n n j k k j kjj kx x f x x x就是满足插值条件（1.2）的n 次插值多项式。
2.2. Lagrange 插值多项式设给定n+1个互异点(,())k k x f x ，0,1,,kn ，i j x x ，ij ，满足插值条件)()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 =的n 次多项式∏∏∏=≠==--==nk nkj j jk j k k nk k n x x x x x f x l x f x L 000))(()()()(为Lagrange 插值多项式，称∏=+-+=-=nj j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ为插值余项，其中xx（a ，b ）。
3. 例题分析例1．设0x ，1x ，···，n x 为n+1个互异的插值节点，0l x，1l x ，…，n l x 为Lagrange 插值基函数，证明：()1nj j l x证 考虑 ()1f x ，利用Lagrange 插值余项定理)())(()!1()()()(101n n n x x x x x x n f x L x f ---+=-+ ξ显然1)()(≡=x f x L n 。
利用Lagrange 基函数插值公式，有kj nj k j j nj j n xx l x x l x f x L =⋅==∏∏==)()()()(0⎰=xt d t tx S 0sin )(，当()S x =0.45时，求x 的值。
解 利用拉格朗日插值计算线性插值，取0t =0.39616，1t =0.58813，0x =0.4，1x =0.639616.058813.039616.06.058813.039616.058813.04.0)(1--⋅+--⋅=t t t L ，456092097.0)45.0(1=≈L x 。
2次插值，取19956.00=t ，39616.01=t ，58813.02=t ，2.00=x ，4.01=x ，6.02=x)58813.019956.0)(39616.019956.0()58813.0)(39616.0(2.0)(2----⋅=t t t L)58813.039616.0)(19956.039616.0()5813.0)(19956.0(4.0----⋅+t t)39616.058813.0)(19956.058813.0()39616.0)(19956.0(6.0----⋅+t t ，455622509.0)45.0(2=≈L x 。
故x 值约为0.456。
例3 取节点00x ，11x 对函数x ye 建立拉格朗日插值。
解 先构造00x ，11x 两点的拉格朗日插值多项式。
因为Lagrange 型插值多项式构造（0,1）和（1，1e ）的一次插值基,数)1()(1010--=--=x x x x x x l ，xx x x x x l =--=101)(这样就容易得到111001)1()()()(-+--=+=xe x x l y x l y x ϕ例4 试由2x f x 的函数表建立二次插值多项式2p x ，用以计算0.32的近似值，并估计截断误差。
解 实用n=2的Lagrange 插值多项式，得2p x =20111100.5120.250.751101001011110x x x x x x x x截断误差： 0.320.666020.30.310.300.310.030303!p4. 数值试验分析试用Lagrange 插值多项式求x=0.5626，0.5635，0.5645时的函数近似值。
编写Matlab 函数M 文件Lagrange 如下：Function yy=Lagrange(x,y,xi) m=length(x);n=length(y);if ~m =n, error(‘向量x 与y 的长度必须一致’)； end s=0; for i=1:nz=ones(1,length(xi)) For j=1:nif ~j =iz=z. *(xi-x(j))/(x(i)-x(j)); end ends=s+z*y(i); end yy=s;在命令窗口调用函数M 文件Lagrange ，输出结果如下：>>x=[0.5610,0.56280,0.56401,0.56521]; >>y=[0.82741,0.82659,0.82577,0.82459]; >>xi=[0.5625,0.5635,0.5645]; >>yi=Lagrange(x,y,xi) yi=0.8268 0.8261 0.8254 >>plot (x,y,`o`,xi,yi,g^`) 5. 算法评价及误差分析算法评价可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数k l x (k=0,1,…,n)均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的。
误差分析依据f （x ）数据表构造出来它的插值函数n p x ,然后，在给定点x 计算n p x 的值作为f （x ）的近似值，这一过程称插值。
所谓“插值”，通俗地说，就是依据f （x ）所给的函数表“插出”所要的函数值。
由于插值函数n p x 通常只是近似地刻划了原来的函数f （x ），在插值点x 处计算n p x 作为f （x ）的函数值，一般地说总有误差，称R(x)= f （x ）-n p x 为插值函数的截断误差，或称插值余项。
用简单的插值函数n p x 来替代很复杂的的函数f(x)，这种做法究竟是否有效，要看截断误差是否满足所要求的精度。
取n+1个节点进行插值时，插值多项式是唯一的。
