旋转5+3
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旋转专项练习
（2012北京门头沟一模） 22.阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45°
，连结EF ，求证：DE +BF =EF ．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ．
请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ．
参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），
∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，若∠BAE =45°，
DE =4，则BE = ．
（2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B 是x 轴上一 动点，且点A （3 ，2），连结AB 和AO ，并以AB 为边向上作 正方形ABCD ，若C （x ，y ），试用含x 的代数式表示y ， 则y = ．
F E
D A
B C B E
D
A G F D A
B C C
图1
图2
图3
C
D
A
O
B
x y 图4
F E D A B C
E
D
A G
F E D A B
C
图1
图2
C
D A
O
B
x y 图4
24.已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC
和正△BPD，AD和BC交于点M.
（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.
（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度
数.
22. 阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．
(2012北京丰台一摸)
图1
图2
图3
24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．
（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系
是 ；
（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
C
B A
E
M
M
E
A
B
C
（2012北京延庆一模）
24.如图1，已知：已知：等边△ABC ，点D 是边BC 上一点（点D 不与点B 、点C 重合），
求证：BD+DC > AD
下面的证法供你参考：
把ACD ∆绕点A 瞬时间针旋转
60得到ABE ∆，连接ED ， 则有ABE ACD ∆≅∆,DC=EB ∵AD=AE,
60=∠DAE ∴ADE ∆是等边三角形 ∴AD=DE
在DBE ∆中，BD+EB > DE 即：BD+DC >AD
实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
如图2，点D 是等腰直角三角形△ABC 边上的点（点D 不与B 、C 重合），
求证：BD+DC>2AD
（2）如果点D 运动到等腰直角三角形△ABC 外或内时，BD 、DC 和AD 之间又存在怎样的
数量关系？ 直接写出结论.
创新应用：
（3）已知：如图3，等腰△ABC 中， AB=AC ，且∠BAC=α（α为钝角）， D 是等腰△
ABC 外一点，且∠BDC+∠BAC =180º， BD 、DC 与AD 之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.
C
B D 图2 C
B
图1
C
（2012北京密云一模）
24．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．
（1）如图1，当M AN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠
绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等
量关系？请写出你的猜想，并证明．
（2012北京通州一模）
18．已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，将△ABC 以点B
为中心，沿逆时针方向旋转α度（0°＜α＜90°），得到△BDE ， 点B 、A 、E 恰好在同一条直线上，连结CE .
（1）则四边形DBCE 是_______形（填写：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形） （2）若AB
=AC =1，BC DBCE 的面积.
（2011北京顺义一模）
19．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处． （1）求'C DE ∠的度数；
（2）求△'C DE 的面积．
（2012北京海淀一模） 22、阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1：△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形，∠A OB =∠COD=90°.若△BOC 的面积为1，试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积.
小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一
个三角形，再计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E ，使得OE =CO ，连接BE ，可证△OBE ≌△OAD ，从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）.
请你回答：图2中△BCE 的面积等于___________.
请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：
如图3，已知△ABC ，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI ，连接EG 、FH 、ID .
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留作图痕迹）；
（2）若△ABC 的面积为1，则以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于__________.
C'E D C B
A 图1
图2
图3
M
D
C
A
B
O M
O
D
C
B
A
（2011北京石景山二模）
24．已知：如图，OAB △与OCD △为等腰直角三角形，︒=∠=∠90COD AOB ． （1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，联结AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，
联结OM ，请你猜想OM 与AD 的数量关系： （直接写出答案，不必证明）；
（2）如图2，在图1的基础上，将OCD △绕点O 逆时针旋转一个角度α(︒<<︒900α)．
①OM 与AD 的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由； ②求证：AD OM ⊥．
图1 图2。
