四川省广元市广元中学2015-2016学年高一数学下学期第一次段考试题 理
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广元中学高2015级高一下期第一次段考
数学试卷(理科)
一、选择题(共12个小题，每小题5分，共计60分) 1. 数列481632
2,,,
,,3579
的一个通项公式n a 可以为( )
A ．221n n + B.221n
n - C. 2121n n +-
D ．2n
n
2．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →
，则λ=( )
A ．12 B.3
2
C. 2 D ．1 3．在ABC ∆中，若sin cos b A a B =，则角B 的值为（ ）
A ．
30 B ．
60 C ．
90 D ．
45
4. 已知||2,||5,3a b a b ==⋅=- ，则||a b +
=（ ）
A B ．2 D ．5
5．在四边形ABCD 中，若(2,1),(2,4)AC BD =-=
，则四边形ABCD 的面积为( )
A. C. 5
D. 10
6．在ABC ∆中，已知()4,1A 、()7,5B 、()4,7C -，则BC 边的中线AD 的长为( )
A ．52 5
B .2 5
C ．3 5
D .72
5 7．已知△ABC 的三边长为AB ＝2，BC ＝1，AC ＝3，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
的 值为( )
A ．0
B ．4
C ．4-
D ．2
8．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为45°和60°(山脚和塔底在同一水平面上)，则塔高为( )m
A . 200（3＋3）3 B.40033 C . 40023 D .200（3－3）3
9．设A ，B ，C 为直线l 上不同的三点，O 为直线l 外一点．若pOA →＋qOB →＋rOC →＝0
(p ，q ，r ∈R )，则p
＋q ＋r ＝( )
A ．3
B ．－1
C ．1
D ．0
10．设向量＝(2m -，3m +)，＝(3，
2)，若与的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－13)∪(-13，0) B ．(0-，
∞) C ．(－13，0) D ．(－13，0)∪(0，＋∞)
11
20b c ++=
，且1||||||===，则()
a b c ⋅+ 等于（ ）
A
．2-
．12- C ．2
D. 2
12.在ABC ∆中，①.B A <⇔sin sin A B <；②.若ABC ∆为锐角三角形，
且2BC B A ==,则AC
的取值范围是
；③.若O 为ABC ∆所在平面内异于A B C 、、的一定点，动点P 满足
||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
（R λ∈），则动点P 必过ABC ∆的重心。
其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①
B ．①③
C ．①②
D ．②③ 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共计20分）
13．在等差数列{}n a 中，若1353a a a ++=，则24a a +等于 ；
14．一质点受到同一平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小都为6牛顿，则F 3的大小为___ __牛顿；
15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量p
＝(1，－3)， q ＝(cos B ，sin B )，p q
∥，且b cos C ＋c cos B ＝2a sin A ，则角C 等于 ；
16.设向量,,a b c
满足a =
b = 若向量a b 在
方向上的投影为2
，
且向量a c - 与0
120b c - 向量 的夹角为，则c 的最大值等于 。
三、解答题（17题10分，其余各题12分，共计70分）
17、（本小题满分10分）已知,,a b c 分别为△ABC 内角,,A B C 的对边, 其中2
2a bc =. （1）若,a b =求cos A 的值; （2）设2
A π
=
，且b =ABC 的面积.
18. （本小题满分12分）已知向量(1,2),(,1).a b x ==
（1）当2+与-2平行时，求x ； （2）当b a 2+与b a -2垂直时，求x .
19.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知12321a a a ++=，123231a a a =。
（1） 求该数列中2a 的值； (2) 求该数列的通项公式n a .
20.(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，22,4,3
AD CD D π
==∠=
. (1)求sin CAD ∠的值； (2)若cos BAD ∠＝－714
，cos CBA ∠=, 求BC 边的长．
21．（本小题满分12分）已知向量33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x x x a b ⎛⎫⎛⎫
==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ，
且2,63
x ππ
⎡⎫∈⎪⎢
⎣⎭
． (1)求·及|-|；
(2)若()f x ＝·－|-|，求()f x 的值域．
22、（本小题满分12分）已知锐角△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，
定义向量m ＝(2sin B ，3)，22cos 1,cos 22B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，且m n ⊥ 。
（1）求角B 的大小；
(2)求函数B x B x x f sin 2cos cos 2sin )(-=的单调递增区间； (3)如果4b =
，求△ABC 的面积的取值范围．
广元中学高2015级高一下期第一次段考
数学试卷(理科)答案
一、选择题
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 2 14. 6 15.
6
π
16. 17解：（1）
1
4 （2）3 18解：2(12,4)a b x +=+ ,2(2,3)a b x -=-
(1) 12x =
, (2) 7
22
x x =-=或 19解：(1)27a = (2) 41n a n =-,415n a n =-+
20解 如图，在平面四边形ABCD 中，22,4,3
AD CD D π
==∠=
.
(1)：求sin CAD ∠的值；
(2)：若cos BAD ∠＝－714，cos 6
CBA ∠=求BC 边的长．
解：(1)由△DAC 关于AC 的余弦定理可得
28cos 2222=∠∙∙-+=D CD AC CD AD AC 72=AC
由正弦定理得：sin ∠CAD ＝＝
217
(2)因为∠BAD 为四边形内角，所以sin ∠BAD ＞0且sin ∠CAD ＞0，则由正余弦的关系可得
sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝
321
14
， cos ∠CAD ＝CAD 2sin 1-＝
7
7
2， 再由正弦的和差角公式可得
sin ∠BAC＝sin (∠BAD－∠CAD)
＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD ＝
32114×277－217×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－714
＝
337＋314＝3
2
，再由△ABC 的正弦定理可得 AC sin ∠CBA ＝BC sin ∠BAC ⇒BC ＝623
6
21
72=⨯.
21解： (1) a b ⋅ ＝cos 3x 2
cos x 2
－sin 3x 2
sin x
2
＝cos 2x ，
||2sin a b x -=
(2) 2()cos22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =-=--+
21,
,sin ,1632x x ππ⎡⎫⎡⎤∈∴∈⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦ 1()3,2f x ⎡
⎤∈--⎢⎥⎣⎦
22解：(1)∵m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2
B
2－1，cos 2B ，m ⊥n ，
∴2sin B ⎝
⎛⎭⎪⎫2cos 2
B
2－1＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＝－3cos 2B ，
∴tan 2B ＝－3，又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，B ＝π
3
，
(2)∴f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.
令－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π(k ∈Z )，
解得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
∴函数f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )，
(3)由(1)知B ＝π3，b ＝4, 12sin sin()23
S ABC ac B A A π
∆==-
2363A π⎛
⎫=
-+
⎪⎝
⎭ ,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
3S ABC ⎛∴∆∈ ⎝。
