初中九年级下册数学 《二次函数的应用》二次函数(第1课时)优质课件PPT

抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500

∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
返回目录
◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
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①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);

6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
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◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2

二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高

轴两个交点坐标求。
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
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专题一： 待定系数法确定二次函数
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最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
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(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)由 AE＝2BE，设 BE＝a，则 AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝ －14x＋10，2a＝－12x＋20，∴y＝(－12x＋20)·x＋(－14x＋10)·x＝－34x2 ＋30x，∵a＝－14x＋10>0，∴x<40，∴y＝－34x2＋30x(0<x<40)
A. 3 cm2
3 B.2
3
cm2
C.92 3 cm2 D.227 3 cm2
9．(2015·温州)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足 够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已 知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室 面积最大为__75__m2.
4．某村计划修一条水渠，横断面是等腰梯形，即：AD∥BC，AB ＝CD，∠B＝∠C＝120°，两腰与底 BC 的和为 4 m，则梯形的最大面 积是( D )
A．4 3 m2 B．9 m2 C．3 m2 D.4 33 m2 5．用长为 8 m 的铝合金制作如图所示的矩形窗户，若要使窗户的 透光面积最大(不计中间横档的宽)，那么这个窗户的最大透光面积是 ____83_m__2 _____．
(2)设总费用为 W，易得菱形 ABCD 面积为 8 3米 2，W＝20(－ 3
x2＋4 3x)＋40[8 3－(－ 3x2＋4 3x)]＝20 3x2－80 3x＋320 3＝
20 3(x－2)2＋240 3，∵0<x<4，∴x＝2 时，W 最小＝240 3
11．如图，已知△ABC是一个等腰三角形铁板余料，其中AB＝
AC＝20 cm，BC＝24 cm，若在△ABC上截出一个矩形零件DEFG，

02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。

03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。

度如何表示？
AD 40X 30 40
3 AD (40x)
4
M
(2)设矩形的面积为y,求y与x的函数关系式 D
C
30cm
并直接写出x的取值范围？ 当x取何值时,y的最大值是多少?
┐
A
B
N
40cm
y3(4 0x)x3(x2)0 230（0 0 ＜ x ＜ 40）
4
4
∴当x=20时，y的最大值是300
19
QB=x cm
则 y=1/2 x（8-2x）
P
= -（x - 2）2 + 4
（0<x<4）
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最
大 最大面积是 4 cm2
25
一、学前准备
2、观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积
交点三角形
顶
点三 角 形
选择坐标轴上的边作为底边
26
二、重点知识
SAB CSAB DSCBD
H
F 6 =-2x2 + 16x
A
E
=-2（x-4）2 + 32
B
（0<x<6） 1 0 所以当x=4时，花园的最大面积为3222
2、探究活动: 已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，
若要从中剪一个面积最大的矩形纸板， 应怎样剪？最大面积为多少？
Aห้องสมุดไป่ตู้
D BK
E
FC
23
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，
活动一：
（1）将二次函数 y= -2x2-4x+8 化为顶点式。
y= -2（x+1）2+10

a>0
时 ， 有 最 小 值 为 __4_ac_－__b_2___ ， 此 时 4a
x＝
(2)若自变量范围有限制时，应根据函数的___增__减__性___求解．
2. 利用二次函数求几何图形面积的最值： (1)根据几何图形的特征用含有____未__知__数__的代数式表示所求图形的面 积，构建二次函数模型； (2)运用二次函数的______图__象__与______公__式__求函数的最大(小)值．
解：(1)y＝－12x2＋20x(0<x<25) (2)y＝－12x2＋20x＝－12(x－20)2＋200， ∴当 x＝20 时，y 有最大值，最大值为 200 m2
【变式训练】 1. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①图②中的 一种)．设竖档AB＝x米，请根据图案回答下列问题：(题中的不锈钢材 料总长均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB 平行) (1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架 ABCD的面积为3平方米？ (2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架 ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
【变式训练】 2. 校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度 y(米)与水平距 离 x(米)之间的函数关系式为 y＝－110(x－3)2＋2.5，那么小明这次投掷的成绩 是____8______米.
一、选择题
1. (南通一模)为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，
池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(
5. 如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光
窗，两窗的水平距离为100米，则拱门的最大高度为(

AB和AD分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边
AD=xcm,那么AB边的长度如何表示？（2）设矩形的面
积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
提示：设AB=bcm
M
30cm
xc m
由三角形相似求得：b=
-
4 3
x+40
D
C
y=xb=-
4 3
x2+40x=-
4 3
(x-15)2+300
当x=15时，y最大=300
2
解
3
窗框的透光面积
S = x · 8 - 2 3 x = - 2 3 x 2 + 4 x , 0 < x < 8 3 .
由于a<0，所以，二次函数的开口方向向下，
如图所为以二，次当函x=数34S=时-，32xS2最+大4x= 的38 图象的一部分.
答：窗框的宽为4 3
m
，高为2m时，
窗框的透光面积最大，
方法1、以A为原点，AB所在的
y -2
-1
y Oy
1
直线为x轴，建立直角坐标系。
-1
函数解析式形式为：y=a(x-2)2
A
-2
y
2
x
B
方法2、以B为原点，AB所在的
O
直线为x轴，建立直角坐标系。
O
O xxx
函数解析式形式为：y=a(x+2)2
方法3、以AB中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立直角
坐标系。 函数解析式形式为：y=ax2+2
湘教版SHUXUE九年级下
本节内容
1.5
二次函数y=ax² y = a(x-h)2 图象将发生怎样的变化？

Y …… 7 0 －8 －9 －5 7 ……
二次函数 y ax2 bx c 图象的对称轴为x=____,x=2
时对应的值y=____。
【保膘】∥动保持牲畜肥壮。 【保镖】①动会技击的人佩带武器，为别人护送财物或保护人身安全。也泛指做护卫工作。②名指做这种工作的人。 【保不 定】?副保不住?。 【保不齐】?〈方〉副保不住?。 【保不住】?①副难免；可能：这个天儿很难说，～会下雨。②动不能保持：以前要是遇到这样的大旱， 这块地的收成就～了。 【保藏】动；尼日利亚运输 尼日利亚运输；把东西收存起来以免遗失或损坏：～手稿｜把选好的种子好好～起来。 【保持】动维持（原状），使不消失或减弱：水土～｜～冷静｜～物价稳定｜跟群众～密切联系。 【保存】动使事物、性质、意义、作风等继续存在，不受 损失或不发生变化：～古迹｜～实力｜～自己，消灭敌人。 【保单】名①为保证他人的行为或财力而写的字据。②表示在一定期限和规定的范围内对所售或 所修物品负责的单据，如修理钟表的保单。③指保险单，投保人与保险人签订的保险合同。 【保底】∥动①保本。②指保证不少于最低限额：奖金上不封顶， 下不～。 【保额】’名保险金额的简称。 【保费】名保险费。 【保固】动承包工程的人保证工程在一定时期内不会损坏，损坏时由承包人负责修理。 【保
1、函数 y (3x 2)1中自变量的取值范围是______。
2、若圆锥的底面半径为4cm，圆锥的全面积为S ， 母c线m2长为xcm,则S 与x的函数关系式为______,且S随 x的减小而______。
3、已经一次函数 y kx b 的图象经过点A（0, －2），B（1,0）,则b=____，k=____。 4、二次函数 y ax2 bx c 的部分对应值如下表： x …… －3 －2 0 1 3 5 ……