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函数的零点与单调性练习题

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函数的零点与单调性练习题

1. 根据题意，我们需要讨论函数的零点与单调性。首先，我们来定义零点和单调性。

零点是函数在横坐标上的值为0的点，即当函数的取值为0时所对应的自变量的值。

单调性是指函数在特定区间上的增减趋势。如果在某个区间上函数的值随着自变量的增大而增大，那么函数在该区间上是单调递增的；如果函数的值随着自变量的减小而减小，那么函数在该区间上是单调递减的。

接下来，我们将给出一些函数的练习题，以帮助我们理解零点与单调性的概念。

2. 练习题1：

设函数f(x) = x^2 - 4。

首先，我们需要找出函数f(x)的零点。当f(x) = 0时，有x^2 - 4 = 0。通过解方程，我们可以得出x = 2和x = -2，这两个值就是函数f(x)的零点。

其次，我们来讨论函数f(x)的单调性。我们可以求出函数f(x)的导数f'(x) = 2x。根据导函数的正负性，可以得知当x < 0时，f'(x) < 0，即函数f(x)在区间(-∞, -2)上是单调递减的；当x > 0时，f'(x) > 0，即函数f(x)在区间(2, +∞)上是单调递增的。 综上所述，函数f(x)的零点是x = 2和x = -2，同时在区间(-∞, -2)上是单调递减的，在区间(2, +∞)上是单调递增的。

3. 练习题2：

设函数g(x) = sin(x) - 1。

我们需要找出函数g(x)的零点。当g(x) = 0时，有sin(x) - 1 = 0。通过解方程，我们可以得出x = arcsin(1) + 2πn，其中n为整数。这个方程的解为x = π/2 + 2πn，其中n为整数。所以，函数g(x)的零点是x =

π/2 + 2πn，其中n为整数。

接下来，我们来讨论函数g(x)的单调性。我们可以求出函数g(x)的导数g'(x) = cos(x)。根据导函数的正负性，可以得知当0 < x < π时，g'(x) > 0，即函数g(x)在区间(0, π)上是单调递增的。同理，当π < x <

2π时，g'(x) < 0，即函数g(x)在区间(π, 2π)上是单调递减的。

综上所述，函数g(x)的零点是x = π/2 + 2πn，其中n为整数。在区间(0, π)上是单调递增的，在区间(π, 2π)上是单调递减的。

4. 练习题3：

设函数h(x) = e^x - 1。

我们需要找出函数h(x)的零点。当h(x) = 0时，有e^x - 1 = 0。通过解方程，我们可以得出x = ln(1) = 0。所以，函数h(x)的零点是x = 0。 然后，我们来讨论函数h(x)的单调性。我们可以求出函数h(x)的导数h'(x) = e^x。由于指数函数e^x的值永远大于0，所以函数h(x)在整个定义域上是单调递增的。

综上所述，函数h(x)的零点是x = 0，并且在整个定义域上是单调递增的。

5. 总结：

通过以上的练习题，我们对函数的零点与单调性有了更深入的认识。我们学会求函数的零点，即使得函数取值为0的自变量的值。同时，我们也学会了利用导数的正负性来判断函数的单调性，从而了解函数在不同区间上的增减趋势。

掌握了对函数的零点与单调性的理解，我们可以更准确地分析和描述各种函数的特性，为解决实际问题提供了有力的工具。同时，这也为我们进一步学习其他数学知识打下了基础。

希望以上练习题对于理解函数的零点与单调性有所帮助，同时也期待读者能够运用这些知识，更好地解决实际问题。

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函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】

函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】

1 函数零点问题

【高考地位】

函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.

类型一 零点或零点存在区间的确定

万能模板 内 容

使用场景 一般函数类型

解题模板 第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；

第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.

例1 函数43xfxex的零点所在的区间为（ ）

A．10,4 B．11,42 C．13,24 D．3,14

【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数23xfxx的零点所在的区间为（

）

A．01，

B．12， C．23， D．34，

【变式演练2】（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sinsin()13yxx在区间(0,2)上的零点所在的区间为（ ）

A．(0,)2 B．(,)2 C．3(,)2 D．3(,2)2

【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数226xfxx的零点为0x，不等式06xx的最小整数解为k，则k＝（ ）

A．8 B．7 C．5 D．6

类型二 零点的个数的确定

方法1：定义法

万能模板 内 容

使用场景 一般函数类型 2 解题模板 第一步 判断函数的单调性；

第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积

小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其

零点；

虚设零点法 培优练习(含解析)

虚设零点法 培优练习(含解析)

1 虚设零点法 培优练习

1、设函数2()lnxfxeax.

（Ⅰ）讨论()fx的导函数'()fx零点的个数；

（Ⅱ）证明：当0a时，2()2lnfxaaa。

2、已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

解析：

2

3、设函数f(x)= ex－ax－2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值 3

4、已知函数f（x）=3232xxax，曲线()yfx在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.

（I） 求a；

（II）证明：当时，曲线()yfx与直线2ykx只有一个交点。

【答案】

（1）

1,200-2),0(),0,2-()2,0()0(6-3)(∴23-)(223==+′==′+=′++=aafkBxAafaxxxfaxxxxfAB所以即则轴交点为，切线与设切点，(2)

(2) 4

仅有一个交点与时，当所以图像如图所示仅有一个根点时，当时，单调递减，且，当时，，当上递增；，在时，当上递减；，在时，当递增；且时，，，或，当递减时，当，则令则令则时，令当2-)(1,,)(1∴)∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈ ∴)∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2 ∴.0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .)(,0)()1,0(∈∴)1-(66-6)(4-3-2)(.4-3-24-3-2)(.413-)(0≠,413-.04-3-2-)(122322322223kxyxfykkxgkxgxgxgxxgxgxhxxgxgxhxhhxhxhxxhxhxxxxxxhxxxhxxxxxxgxxxxgxkxxxkxxxxkxxfk==<=<+=++>′>><′<<=<>′+<′==′===′++==++=++=+<

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性

专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性

一、多选题

1．若函数f（x）的导函数在定义域内单调递增，则f（x）的解析式可以是（ ）

A．2sinfxxx B．2fxx

C．1cosfxx D．2lnfxxx

【解析】A：由2sin2cosfxxxfxxx，令2cosgxfxxx，

因为2sin0gxx，所以函数fx是实数集上的增函数，符合题意；

B：由22fxxfxx，因为一次函数2fxx是实数集上的增函数，

所以符合题意；

C：由1cossinfxxfxx，因为函数sinfxx是周期函数，所以函数sinfxx不是实数集上的增函数，因此不符合题意；

D：由21ln2fxxxfxxx，令12gxfxxx，

则2221212xgxxx，当2(0,)2x时，0,gxgx单调递减，因此不符合题意，

故选：AB

二、解答题

2．已知函数21exfxxxa．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若fx至少有两个零点，求a的取值范围．

【解析】(1)由2()(21)e(1)e(1)exxxfxxxxxx，

在(,0)，(1,)上()0fx，在(0,1)上()0fx，

所以()fx在(,0)上递减，(0,1)上递增，(1,)上递减.

(2)由（1）知：()fx极小值为(0)1fa，极大值为3(1)efa，

要使fx至少有两个零点，则1030eaa，可得31ea. 3．设函数323fxxaxb.

(1)若曲线yfx在点22f,处与直线8y相切，求a，b的值；

导数单调性同步练习题及答案

导数单调性同步练习题及答案

第1页 共11页 导数单调性

一、单选题

1．函数的递增区间为（ ）

A． B． C． D．

2．已知，，且成立，则下列不等式不可能成立的是（ ）

A． B． C． D．

3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

5．已知函数，若在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ）

A．-4 B． C．-1 D．2

第2页 共11页 6．已知函数，则的最大值的最小值是（ ）

A． B． C．1 D．2

7．已知各项均为正数的数列满足，，其前n项和为，则下列关于数列的叙述错误的是( )

A． B．

C． D．

二、多选题

8．已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）

A．点是函数的零点 B．，，使

C．是的极大值点 D．的取值范围是

9．已知函数，则（ ）

A．是偶函数

B．存在实数使得，

C．在上单调递增

D．存在极值点

三、填空题

10．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.

11．函数的最大值为______．

四、解答题

12．已知函数，.

(1)若，求的单调区间；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

第3页 共11页 13．己知函数.

(1)当时，求的单调区间.

(2)存在，使得成立，求整数的最小值.

14．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

15．求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝x2－lnx；

(2)f(x)＝x＋(b＞0)．

第4页 共11页 16．用导数证明：

(1)在区间上是增函数；

(2)在区间上是减函数．

17．证明：

(1)函数在定义域上是减函数；