(人教版B版2019)高中数学必修第二册 第四章综合测试01(1)(含答案)

高中数学 必修第二册 1 / 7

第四章综合测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1.已知集合{|lg(2)}Axyx，2|30Bxxx≤，则AB（ ）

A.|02xx＜＜ B.{|02}xx≤＜

C.{|23}xx＜＜ D.{|23}xx＜≤

2.函数11xya（0a＞且1a）的图像必经过定点（ ）

A.(0,1) B.(1,1) C.(2,1) D.(1,2)

3.已知函数3()lnefxx，则其零点所在的大致区间为（ ）

A.1,1e B.(1, e) C.2e,e D.23e,e

4.若函数()(2)afxmx是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数()log()agxxm的单调增区间为（ ）

A.(2,) B.(1,) C.(1,) D.(2,)

5.已知2log0.2a，0.22b，0.30.2c，则（ ）

A.abc＜＜ B.acb＜＜ C.cab＜＜ D.bca＜＜

6.在同一直角坐标系中，2xy与2log()yx的图像可能是（ ）

A B C D

7.已知(3)4logxxfxx，那么32f的值是（ ）

A.2 B.4 C.28log31 D.2

8.若关于x的方程12xaa（0a＞且1a）有两个不等实根，则a的取值范围是（ ）

A.(0,1)(1,) B.(0,1) C.(1,) D.10,2 高中数学 必修第二册 2 / 7

9.若偶函数()fx在(,0)内递减，则不等式(()1)lgffx＜的解集是（ ）

A.(0,10) B.1,1010

C.1,10 D.10,(10,)10

10.已知奇函数(),0(),0fxxygxx＞＜，若()xfxa（0a＞，且1a）对应的图像如图所示，则()gx等于（ ）

A.12x B.12x C.2x D.2x

11.已知函数7(13)10,7,(),7xaxaxfxax≤＞是定义域上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A.11,32 B.16,311 C.12,23 D.16,211

12.已知点A(1,0)，点B在曲线:lnGyx上，若线段AB与曲线1:Myx相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）

13.函数12()2xfxx的零点个数为__________.

14.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且在区间(0,)上单调递减，若实数a满足212loglog3(3)aaff＞，则a的取值范围是__________.

15.设函数()yfx的图像与13xay的图像关于直线yx对称，且1(3)43ff，则实数a__________.

16.已知函数222,2()log1,2xxxfxxx≤＞，((4))ff__________；函数()fx的单调递增区间为__________. 高中数学 必修第二册 3 / 7

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.[10分]化简求值：

（1）21(lg2)lg2lg5lg22

（2）已知13(0)aaa＞，求112222aaaa.

18.[12分]已知函数()3xfx，且(2)18fa，34()axgx的定义域为[0,1].

（1）求函数()gx的解析式；

（2）判断函数()gx的单调性.

19.[12分]已知函数()log(1)log(1)aafxxx，其中0a＞且1a.

（1）判断()fx的奇偶性并予以证明；

（2）若1a＞，解关于x的不等式()0fx＞.

20.[12分]科学家发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(0,0)xxymxm＞.

（1）若2m，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；

（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围.

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21.[12分]已知函数()log(1)log(3)aafxxx（0a＞，且1a）..

（1）求函数()fx的定义域和值域；

（2）若函数()fx有最小值为2，求a的值.

22.[12分]已知函数2()log2()xfxkkR的图像过点P(0,1).

（1）求k的值并求函数()fx的值域；

（2）若关于x的方程()fxxm，[0,1]x有实根，求实数m的取值范围.

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第四章综合测试

答案

一、

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】B

二、

13.【答案】1

14.【答案】(0,2)

15.【答案】2

16.【答案】1 (1,)

三、

17.【答案】解：（1）21(lg2)lg2lg5lg22

1lg2(lg2lg5)lg22

11lg2lg2022

（2）13(0)aaa∵＞，

21122125aaaa∴，11225aa

222127aaaa，11222257aaaa∴.

18.【答案】解：（1）()3xfx∵，2(2)318afa∴， 高中数学 必修第二册 6 / 7

32a∴，()24xgx∴，[0,1]x.

（2）设1x，2x为区间[0,1]上任意两个值，且12xx＜，

则2221212124242222xxxxxxgxgx.

1201xx∵＜，21221xx∴＞.21gxgx∴＜

∴函数()gx在[0,1]上是减函数.

19.【答案】解：（1）()fx是奇函数.证明：要使函数有意义，则1010xx＞＞，即11xx＞＜，即11x＜＜，即函数的定义域为(1,1).

由()log(1)log(1)log(1)log(1)()aaaafxxxxxfx，知函数()fx是奇函数.

（2）若1a＞，则由()0fx＞得log(1)log(1)0aaxx＞，即log(1)log(1)aaxx＞，即11xx＞，则0x＞.

∵定义域为(1,1)，01x∴，即不等式的解集为(0,1).

20.【答案】解：（1）由题意，当2m时，12225xx，解得1x或1x.由0x≥，得1x，故经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度.

（2）由题意得1222xxm≥对一切0x≥恒成立，则由20x＞，得1222xxm，即12222xxm≥.

令2xt则01t＜≤，则2211()22222ftttt

当12t时取得最大值为12，所以12m≥.

21.【答案】解：（1）由1030xx＞＞，得31x＜＜，所以函数的定义域为|31xx＜＜，()log(1)(3)afxxx.

设2(1)(3)4(1)txxx，则4t≤，

又0t＞，则04t＜.

当1a＞时，()log4ayfx≤，值域为log4ayy≤.

当01a＜＜时，()log4ayfx≥，值域为log4ayy≥.

（2）由题意及（1）知，当01a＜＜时，函数有最小值，所以log42a，解得12a.

22.【答案】解：（1）因为函数()fx的图像过点(0,1)P，

所以02log21k，解得1k.则2()log21xfx. 高中数学 必修第二册 7 / 7

因为211x，所以2()log210xfx＞，

所以函数()fx的值域为(0,).

（2）方程有实根，即()mfxx有实根，构造函数2()()log21xhxfxxx，.

则222221log21log2loglog212xxxxxhx

因为函数21xy在R上单调递减，而logzyx在(0,1)上单调递增，

所以复合函数2()log21xhx是R上的单调递减函数.

所以()hx在[0,1]上的最小值为122(1)log21log31h，最大值为02(0)log211h，

即2()log31,1hx，

所以当2log31,1m时，方程有实根.