浙江省宁波市慈溪市三山高级中学等六校2020学年高二数学上学期期中试题含解析

浙江省宁波市慈溪市三山高级中学等六校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的。）

1.空间中一点2,3,1A到平面XOY的距离为（ ）

A. 2 B. 3 C. 1 D. 14

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出点A在平面XOY的投影点的坐标,||AAA即为所求.,

【详解】点2,3,1A在平面XOY的投影点(2,3,0),||1AAA,

即空间中一点2,3,1A到平面XOY的距离为1.

故选:C

【点睛】本题考查了空间一点到平面的距离,关键要了解关于点在坐标平面射影点的坐标特征,属于基础题.

2.若点,3Pa到直线4310xy的距离为4，且在不等式230xy表示的平面区域内，则点P的横坐标是（ ）

A. 7或-3 B. 7 C. -3 D. -7或3

【答案】B

【解析】

【分析】

,3Pa坐标满足不等式230xy求出a取值范围，由点到直线距离公式,求出a的值,.

【详解】点,3Pa在不等式230xy表示的平面区域内

2330,0aa

,3Pa到直线4310xy的距离为|491|4,|48|205aa, 解得7a或3a（舍去）.

故选:B

【点睛】本题考查点到直线的距离公式化简求值,理解二元一次不等式表示的平面区域,属于基础题.

3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ）

A. 若//m，//n，则//mn B. 若//，m，n，则//mn

C. 若m，n，nm，则n D. 若m，//mn，n，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【详解】A选项，若//m，//n，则,mn可能平行、相交、或异面；故A错；

B选项，若//，m，n，则,mn可能平行或异面；故B错；

C选项，若m，n，nm，如果再满足，才会有则n与垂直，所以n与不一定垂直；故C错；

D选项，若m，//mn，则n，又n，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.

故选D

【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.

4.在平面直角坐标系中，,Mxy为不等式组220210380xyxyxy所表示的区域上一动点，则yx的最小值为（ ）

A. 2 B. 1 C. 13 D. 12

【答案】C

【解析】 【分析】

作出不等式对应的可行域,利用线性规划知识,以及yx的几何意义,即可得到结论.

【详解】作出可行域如图：

令yzx几何意义是动点,Mxy与原点连线的斜率,由图像可知OA斜率最小,

由220210xyxy,解得31xy,即(3,1)A

所以yzx的最小值为1133.

故选:C

【点睛】本题考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决问题的关键,属于基础题.

5.已知直线1:3453laxya与2:258lxay平行，则a等于( )

A. 7或1 B. 7或1 C. 7 D. 1

【答案】C

【解析】

【详解】由题意可知(3)(5)42aa

且(3)8(53)2aa，

解得7a．

故选C．

6.长方体1111ABCDABCD中，11,2AAADAB,E为11AB中点，则异面直线1AD与BE所成角为（）

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

【答案】C

【解析】

【分析】

连接11,BCEC，根据11//ADBC，可得异面直线1AD与BE所成的角为1EBC，解三角形求得1EBC的大小.

【详解】画出长方体如下图所示，连接11,BCEC，由于11//ADBC，所以异面直线1AD与BE所成的角为1EBC，在三角形1BEC中，112,2,2BEBCEC，故三角形1BEC是等边三角形，所以160EBC.

故选C.

【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.

7.已知点,Mab在圆22:1Oxy外，则直线1axby与圆O的位置关系是（ ）．

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】点,Mab在圆22:1Oxy外，221ab，

圆心O到直线1axby距离2211dab，

直线1axby与圆O相交.

故选：B.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.已知直线l：yxm与曲线24xy有两个公共点，则实数m的取值范围是（ ）

A. 2,22 B. 22,2 C. 2,22 D.

22,2

【答案】B

【解析】

【分析】

画出图像,当直线l过点,AB时,求出m值;当直线l与曲线24xy相切时.求出m,即可得出m的取值范围.

【详解】画出如下图像：

当直线l过点,AB时,2m,此时直线l与

曲线24xy有两个公共点;

直线l与曲线相切时,22m,

因此当222m时，直线l与

曲线24xy有两个公共点.

故选:B

【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.

9.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，且=SASBSCSD,其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EPAC；②//EPBD；③//EP面SBD；④EP面SAC，

其中恒成立的为（ ）

A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③

【答案】A

【解析】

分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．

详解：

如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．

对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．

对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．

故选：A．

点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.

10.若圆2244100xyxy上至少有三个不同的点到直线:0laxby的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）

A. ,124 B. 5,1212

C. ,63 D. 0,2

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出圆心和半径，比较半径和22；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．

【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为222(2)(2)(32)xy，

∴圆心坐标为（2，2），半径为32，

要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为22，

则圆心到直线的距离应小于等于2，

∴22222abab，

∴2()410aabb，

∴2323ab，akb，

∴2323k，

直线l的倾斜角的取值范围是51212，，

故选：B．

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．

二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.）

11.直线310xy的斜率为____；倾斜角的大小是____．