小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）

小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

德国数学家⾼斯幼年时代聪明过⼈，上学时，有⼀天⽼师出了⼀道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ ⽼师出完题后，全班同学都在埋头计算，⼩⾼斯却很快算出答案等于5050。

⾼斯为什么算得⼜快⼜准呢？原来⼩⾼斯通过细⼼观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，⼩⾼斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。

⼩⾼斯使⽤的这种求和⽅法，真是聪明极了，简单快捷，并且⼴泛地适⽤于“等差数列”的求和问题。

若⼲个数排成⼀列称为数列，数列中的每⼀个数称为⼀项，其中第⼀项称为⾸项，最后⼀项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是⾸项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是⾸项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是⾸项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由⾼斯的巧算⽅法，得到等差数列的求和公式： 和=（⾸项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，⾸项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利⽤等差数列求和公式之前，⼀定要判断题⽬中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，⾸项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利⽤等差数列求和公式时，有时项数并不是⼀⽬了然的，这时就需要先求出项数。

四年级奥数：高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数.根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.练习31.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋ (200)（2）17＋19＋21＋ (39)（3）5＋8＋11＋14＋ (50)（4）3＋10＋17＋24＋ (101)2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和.3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和.4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下.问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和.6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？答案与提示练习31.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780.2.1127. 提示：项数=（93-5）÷4+1=23.3.2565. 提示：末项=13+5×（30-1）=158.4.180次. 解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）.5.1650. 解：2+5+8+…+98=1650.6.45个.提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个.。

第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。

例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -对于一个等差数列而言，除了它的首项、公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非常重要的．在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法．以123456789++++++++为例：把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项()19+，而且共有项数()9那么多对，所以所有数之和等于：首项末项项数因为我们把原来的等差数列写了2遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的2倍，于是可以+ + + + + + + + 1 23456789+ + + + + + + + 987654321+先把数列正着写一遍：再把数列反着写一遍：第二十一讲等差数列求和得到等差数列求和公式：2和首项末项项数- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1计算下列各题：（1）36912151821242730+++++++++；（2）4137332925211713951++++++++++．分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？练习1计算：61116212631364146++++++++．例题2计算下列各题：（1）511177783+++++L ；（2）827772127．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．练习2计算：100928412L．例题3计算下列各题：（1）10121824共项+++L 14444444244444443；（2）131********共项+++L 1444444442444444443．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．练习3计算：12101316共项+++L 14444444244444443．例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米，请问：小高这些天里一共游了多少米？例题5小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子，请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？例题6小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007．小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007．请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？分析：等差数列求和接近2007时，这个等差数列的最后一项是几？作业1.计算：．2.计算：．3.计算：．31581114L 144424443共项111825102++++L 7067646158555249+++++++课堂内外高斯是一对普通夫妇的儿子．他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲．在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作．他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师．高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今．他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算．能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋．高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和．他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050．这一年，高斯9岁．父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生．高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格．在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich ）．弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就．他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力．若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”．正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠．在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲．罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了．她性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感．高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围．当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知．高斯的故事4.一个等差数列的首项是21，从第二项起每一项都比前一项大2，它的前20项之和是多少？5.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了18根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了多少根香蕉？第二十一讲等差数列求和1.例题 1答案：（1）165；（2）231详解：（1）()36912151821242730330102165+++++++++=+锤=．（2）()4137332925211713951411112231++++++++++=+锤=．2.例题 2答案：（1）616；（2）712 详解：（1）先求项数=()8356114-?=，再求和：()583142616原式=+锤=．（2）先求项数=()8275116-?=，827162712原式．3.例题 3答案：（1）390；（2）2041详解：（1）先求末项=()12101666+-?，()1218661266102390原式=+++=+锤=L ．（2）先求末项=()1931316121--?，()1931871211931211322041原式=+++=+锤=L ．4.例题 4答案：（1）8天；（2）204页详解：先求项数，即多少天=()3615318-?=天，()151********2204++鬃?=+锤=，即共有204页．5.例题 5 答案：360颗详解：利用中间数×项数，共有1524360?颗．6.例题 6 答案：63详解：123621953++++=L ，123632016++++=L ，则多加的数为2007195354-=，则漏加的数为201620079-=，则被重复计算和漏掉的两数之和为54963+=．7.练习 1 答案：234简答：()6111621263136414664692234++++++++=+锤=．8.练习 2 答案：672简答：先求项数=()100128112-?=，10012122672原式．9.练习 3 答案：318简答：先求末项=()10121343+-?，()121013161043122318+++=+锤=L 14444444244444443共项．10.练习 4答案：3600米简答：先求项数，有()6002005019-?=天，()200250600200600923600++鬃?=+锤=，即共游了3600米．11.作业 1答案：476简答：首项为70，末项为49，项数为8．(7049)82476原式．12.作业 2答案：791简答：项数为(10211)7114，和为(10211)142791．13.作业 3答案：1550简答：末项为530395，和为(595)3121550．14.作业 4答案：800简答：公差为2，第20项为2119259，和为(2159)202800．15.作业 5答案：162根简答：前9项的中间项是第5项．所以前9项和为189162．。

肖老师讲奥数(五年级基础教程)-高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1. 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2. 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

第三讲：高斯求和高斯求和方法，广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

一、公式：1、等差数列的和=（首项+末项）×项数÷22、项数=（末项－首项）÷公差+13、某一项=首项+公差×（项数－1）二、练习题：1、下面的数列是否是等差数列？如果是，没一列的公差是几？首项和末项分别是多少？（1）1，2,3,4,5，…，99,100（2）1,3,5,7,9，…，97,99（3）8,15,22,29，…，64,71（4）19,20,21，…，47,48（5）52,54,55,57,58，…，69,70（6）23,27,31，…，95,992、计算：1+2+3+4+…+99+100 1+2+3+4+…+19+201+2+3+4+…+29+30 1+2+3+4+…+48+49建筑工地有一些砖堆放在一起，每一层都比上一层多4块，最上层有2块，最下层有58块，这堆砖一共有多少块？有一批相同的水管堆在一起，每一层都比上一层多一根，最上层有4根，最下层有33根，这堆水管一共有多少根？一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大2，这20个数连加，和是多少？一个物体从空中落下，第一秒钟下落49分米，以后每秒都要多下落98分米，这样经过了10秒钟这个物体落到地面。

问原来物体离地面有多高？一只小虫沿笔直的树干跳着往上爬，每跳一次都以前一次多跳2厘米，它从地面起开始跳，第一次跳了5厘米，跳了30次正好到了树顶。

这颗树高多少厘米？（2004+2002+2000+…+4+2）－（2003+2001+1999+…+3+1）（1+3+5+7+...+2005）－（2+4+6+8+ (2004)100+99－98+97－96+…+3－2+199+98+97+96+95 18+13+19+14+20+15+21+16+22+172+6+10+14+…+30+34 76+77+78+79+80+81+82+834000－5－10－15－…－95－100 3+7+11+…+95+99一个等差数列：1,6,11,16……（1）它的第20项是多少？（2） 141是它的第几项？有一列数：11,13,15,17，…，这列数从左起第20个数是多少？第100个数是多少？有一串数，第1个数是5，以后每个数都比前一个数大5，最后一个数是90.这串数连加，和是多少？50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都与自己的钥匙配对起来，最多要试开多少次，就保证可以对上了？。

☆☆常重要的+ 先把数列正着写一遍 再把数列反着写一遍 且共有项数(9)那么多对，所以所有数之和等于 在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法•以 首项末项项数对于一个等差数列而言， 除了它的首项、 公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非 9 + 8 + 7 + 6 +5 + 4 + 3 + 2 +1 因为我们把原来的等差数列写了 2遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的 2倍，于是可以1 +2 +3 +4 + 5+ 6 + 7 + 8 + 91+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9 为例: 把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项(1+ 9)，而 第二^一讲等差数列求和例题1计算下列各题：(1)3+ 6+ 9+ 12 + 15+ 18+ 21+ 24+ 27+ 30 ;(2)41 + 37 + 33+ 29 + 25 + 21 + 17+ 13+ 9+ 5+ 1 .分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少?练习1计算：6+ 11+ 16+ 21 + 26+ 31+ 36 + 41+ 46 .例题2计算下列各题：(1)5+ 11+ 17+ L + 77 + 83 ;(2)82 77 72 12 7 .分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来.练习2计算：100 92 84 L 12 .例题3计算下列各题：(1)电444442難为屁；共10项(2)唱444444444444443.共13项分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来.例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完•请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米，请问：小高这些天里一共游了多少米？例题5小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子，请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？例题6小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007 •小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007 •请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？分析：等差数列求和接近2007时，这个等差数列的最后一项是几？课堂内外高斯的故事高斯是一对普通夫妇的儿子•他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲•在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作•他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师•高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今•他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算•能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋.高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和.他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和(1+100,2+99,3+98……)，同时得到结果:5050.这一年，高斯9岁•父亲格尔恰尔德迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生. 高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格.在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希(Friederich)•弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就•他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力•若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”•正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠.在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲•罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了•她性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感.高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围•当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知.作业1. 计算：70 + 67+ 64 + 61+ 58+ 55 + 52+ 49 •2. 计算：11+ 18+ 25+ L + 102 •3.计算：54844>2 414 族共31项馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了18根香蕉•馋嘴猴前5.9周一共吃了多少根香蕉?详解：(1) 3+ 6+ 9+ 12+15+ 18+ 21 + 24 + 27 + 30= (3 + 30)锤10 2= 165 .(2) 41 + 37 + 33 + 29 + 25 + 21 + 17 + 13 + 9 + 5 + 1 =(41 + 1)锤11 2 = 231 .2. 例题2答案：(1) 616; (2) 712详解：(1)先求项数=(83 - 5)? 6 1= 14，再求和：原式=(5+ 83)锤14 2= 616 .(2)先求项数=(82 - 7)? 5 1= 16，原式82 7 16 2 712 .3. 例题3答案：(1) 390 ； (2) 2041详解：(1)先求末项=12 + (10- 1)? 6 66 ,原式=12 + 18 + L + 66 = (12 + 66)锤10 2 = 390 .(2)先求末项=193- (13- 1)? 6 121 , 原式=193 + 187 + L + 121 = (193 + 121)锤13 2 = 2041 .4. 例题4答案：(1) 8天；(2) 204页详解：先求项数，即多少天=(36 - 15)? 3 1 = 8 天，15 + 18 + 鬃？ 36 = (15 + 36)锤8 2= 204 ,即共有204页.5. 例题5答案：360颗详解：利用中间数X项数，共有15? 24 360颗.6. 例题6答案：63详解：1+ 2+ 3+ L + 62= 1953 , 1 + 2+ 3+ L + 63= 2016，则多加的数为2007- 1953= 54，则漏加的数为2016- 2007= 9，则被重复计算和漏掉的两数之和为54 + 9= 63 .7. 练习1答案：234简答：6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 + 41 + 46 = (6 + 46)锤9 2 = 234 .8. 练习2答案：672简答：先求项数=(100 - 12) ? 8 1 = 12 ,原式100 12 12 2 672 .9. 练习3答案：318简答•先求末项=10+ (12 - 1)? 3 43 W I44424444443= (10+ 43)锤12 2=318' 共12项即共游了3600米.11. 作业1答案：476简答：首项为70,末项为49,项数为 & 原式(70 49) 8 2 476 .12. 作业2答案：791简答：项数为(102 11) 7 1 14，和为(102 11) 14 2 791 .13. 作业3答案：1550简答：末项为5 30 3 95，和为(5 95) 31 2 1550 .14. 作业4答案：800简答：公差为2，第20项为21 19 2 59，和为(21 59) 20 2 800 •15. 作业5答案：162根简答：前9项的中间项是第5项•所以前9项和为18 9 162 •12。

高斯求和（一）约翰·卡尔·弗里德里希·高斯德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。

是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。

高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。

一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。

一、例题精讲例1.观察下面三组数据，你发现了什么？（1）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10（2）2、 4、 6、 8、 10、 12、14、 16（3）101、 98、 95、 92、 89、 86、 83（4）6、 6、 6、 6、 6、 6、 6例2.等差数列的初步认识我们把第一个数称为（首项），最后一项称为（末项）相邻两个数的差相等，所以这个差叫（公差）。

数列（1）的公差是（），数列（2）的公差是（），数列（3）的公差是（），数列（4）的公差是（），因为相邻两数的差都（），这样的数列就是等差数列。

数列中数的个数称为（项数），数列（3）的项数是（）个。

例3.下列数列不是等差数列的是（）。

A. 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7B. 0、 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35C. 50、 48、 46、 44、 42、 40、 38例4.花园里的玫瑰花如下图排列，请你快速算出花的数量？例5.通过例4的学习，我们小结等差数列求和的公式是：请你利用公式计算：（1）2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝（2）25＋21＋17＋13＋9＋5＋1＝例6.在下图中，每个小等边三角形的边长是1根火柴棒，面积是15平方厘米。

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴摆成？二、课堂小测7. 5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33＋378. 5＋9＋13＋17＋21＋29＋33＋379. 3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋22＋20＋18＋16＋14＋12＋10＋810. 将正方形叠成山形（如图），叠1层一共用1个正方形，叠2层一共用4个正方形。

小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考高斯求和公式是小学奥数非常重要也是应用非常多的一个公式，要求学生们必须掌握。

记住公式的同时，还应该了解公式背后的原理，深刻的理解并能够灵活是我们追求的目标，从小就打下坚实的基础。

引言我们先计算一道简单的数学题：1+2+3+4+5=先不要说答案，告诉我你是怎么做的？一个数字一个数字相加吗？没关系，'不管黑猫白猫，能捉老鼠的就是好猫。

'实用最重要！问题升级：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=题目依然简单，可如果还是一个数字一个数字相加就需要有点耐心。

有的人可能会打点其他的注意，比如开始找点捷径。

不管用的什么方法，总之你做出来了，这题目还难不倒你。

问题再再升级：1+2+3+4+5+ (100)这下，似乎有点麻烦了，必须打点其他的注意，我们需要专门为这类题目打造专用工具——高斯求和公式（也叫等差数列求和公式）。

一、高斯求和公式（等差数列求和公式）(1).什么是等差数列？像前面的3组数，都是连续的自然数，他们排列整齐，依次增加或者依次减少，有一种和谐且治愈的美感。

又如：3，6，9，12，15，18；40，38，36，34，32，30，28，26。

第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，数列中数的个数也叫数列的项数。

(2).等差数列求和回头想想引言中的3道等差数列的题目，你们是怎么求和的呢？用的分别是什么思路呢？思路1：简单粗暴的相加，这似乎不叫思路，叫本能。

思路2：找平均数（中间数），选个代表出来，最能代表这组数大小的就是他们的平均数，它往往藏在队伍的最中间。

找到平均数，又知道项数，和=平均数×项数：3×5=15(中间数还有其它的一些妙用，例如日历表中横竖或者3×3正方形中间的数都为这些数的平均数。

)有的细心的同学会问，偶数个数没有中间数怎么办？比如：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=没有代表，我们也要造出一个代表来。