华师版九年级数学教案(大全8篇)

25.1 测量教学目标1、在探索基础上掌握测量。

2、掌握利用相似三角形的知识教学重难点重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。

难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。

教学过程当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．11． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）（第3题）2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．小结与作业:小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边 作业:一课一练25.2 .1锐角三角函数第二课时教学目标1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

华师版九年级上册全册教案第21章二次根式21.1 二次根式教学目标：知识与技能：1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质。

过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力。

情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。

教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号a，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、a表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时，a表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为：a(a≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a(a≥0)是一个非负数，即a≥0(a≥0)。

问题2 (a)2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。

让学生小组讨论或自主探索得出结论：(a)2=a(a≥0)，如(4)2=4，(2)2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是(a)2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。

反过来，把(a)2＝a(a≥0)写成a=(a)2(a ≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(3)2，0.3= (0.3)2提问：(1)0=(0)2对不对?(2)－5=(－5)2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如a(a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。

让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5，a(a<0)、3a、－a(a<o)是不是二次根式。

2024年华师大版九年级数学下册全册教案一、教学内容本教案依据2024年华师大版九年级数学下册全册教材，具体章节包括：第一章《函数与方程》，第二章《不等式与不等式组》，第三章《数据处理与概率》，第四章《几何证明》。

教学内容涉及函数概念、一次函数、二次函数、反比例函数及其应用；方程的解法、不等式的解法及其应用；数据处理、概率的计算及应用；几何证明的方法及运用。

二、教学目标1. 理解并掌握函数、方程、不等式、数据处理、概率及几何证明的基本概念和方法。

2. 能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力。

3. 培养学生的合作交流能力和创新意识。

三、教学难点与重点1. 教学难点：函数的性质与图像、不等式的解法、数据的处理与概率计算、几何证明的方法。

2. 教学重点：函数与方程的应用、不等式组的解法、概率的计算、几何证明的思路。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、函数图像模具、几何模型。

2. 学具：教材、练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引导学生感受数学在现实中的应用，激发学生的学习兴趣。

3. 随堂练习：设置与例题难度相当的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4. 小组讨论：针对难点问题，组织学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。

六、板书设计1. 黑板左侧：列出本节课的教学目标和重难点。

2. 黑板右侧：展示例题及解题过程，标注关键步骤。

3. 黑板中间：书写随堂练习题，方便学生查看。

七、作业设计1. 作业题目：（1）函数的性质与图像：绘制一次函数、二次函数、反比例函数的图像，分析性质。

（3）数据处理与概率：某班级成绩分布如下，计算平均分、中位数、众数及方差。

（4）几何证明：证明平行四边形的对角线互相平分。

2. 答案：课后统一发放。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：对本节课的教学过程进行反思，分析优点和不足，为下一节课做好准备。

2. 拓展延伸：布置一些拓展性的问题，让学生在课后进行思考和探究，提高学生的数学素养。

第1课时教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标（a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学方法：讲解 教学过程 一、回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意 在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 例x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？思考：2a 等于什么？概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-拓展在实数范围内有意义？例当x11x+例(1)已知，求x的值．(答案:2)y(2)，求a2004+b2004的值．(答案:2)5归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1a≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．布置作业教材P41.2教学后记：第2课时教学内容1（a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）．教学目标a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．2（a≥0）是一个非负数；•教学方法）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0叫什么？当a<0有意义吗？［老师点评（略）．］二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．总结： 例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2解：略三、巩固练习 计算下列各式的值：2 ）2 （4）2 ）2 （222- 四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．）2 4．）2解：略例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=）2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P4.3.4 教学后记：第3课时教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2（a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=______；．（老师点评）例1 化简（1（2（3（4解：略三、巩固练习教材P4.3.4．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？解：略例3当x>2五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学后记：第4课时教学内容·a≥0，b≥0），反之（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简教学重难点关键a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．（a≥0，b≥0）．a⨯．教学方法探究练习教学过程一、1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空并比较左右两边式子的大小（1，=______；（2=_______，．（3，．2．利用计算器计算填空（1，（2（3______（4，一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:1. 计算（1（2（3（42 化简（1（2（3（4（5二、质疑：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计略教后后记：第5课时教学内容a≥0，b>0）（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．教学重难点关键a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．1教学方法探究、练习教学过程一、1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空并比较每一组的大小；（2=_____；（1；（4=________，．（3=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．（1一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．（2（3（41．计算：（12．化简：（1（2（3（4三、探究：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展，且x为偶数，求（1+x=，只有a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a≥0，b>0a≥0，b>0）及其运用．六、作业设计略教后反思：第6课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键B A C1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法置疑探究教学过程一、1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（1（2，（3（老师点评略）2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1); (2)2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为6.5cm．三、总结：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，32=-从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计略教后反思：第7课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法探究练习教学过程一、1、（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．1．计算（1（22．计算（1）（2）+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展+y）-（x已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计 略教后反思：第8课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学方法 探究、练习教学过程一、上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）B A CQP解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？BA C 2m1m 4mD 解：由勾股定理，得所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）三、同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式3aa 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1 五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、作业 略教后反思：第9课时教学内容二次根式的乘除教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法 置疑 探究 练习教学过程一、 1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy（3）（2x+3y ）（2x-3y ） （4）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．思考：如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•（仍成立．）2.计算:（1） （2）（）÷3. 计算:（1））（） （2）））总结：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业 略教后记：第10课时教学内容：一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、 a 表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为： a (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a (a≥0)是一个非负数，即 a ≥0(a≥0)。

问题2 ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。

让学生小组讨论或自主探索得出结论：( a )2=a(a≥0)，如( 4 )2=4，( 2 )2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是( a )2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。

反过来，把( a )2＝a(a≥0)写成a=( a )2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a 都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=( 3 )2，0.3= (0.3 )2提问：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。

让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5 ， a (a<0)、3a 、－a (a<o)是不是二次根式。

四、范例例1、要使式子x－1 有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子x－1 改为1－x ，则字母x的取值必须满足什么条件?五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了( a )2(a≥0)等于a，现在研究a2等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略?2、在a2中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。

第22章一元二次方程一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=，整理可得5x2+=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里它们有什么共同特点呢共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0；（2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0；（3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得：a=-43. 四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.解得x=5+52,x2=5-52（舍去）.1答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m2,得到方程x（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）2=n（n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗（1）（x+3）2=25（2）x 2+6x+9=25（3）x 2+6x=16（4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得： x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2 （3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x+2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x-8=0（2）x 2-4x+2=0（3）x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0，求（xy ）z 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.（2）a acbbx24 2-±-=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x 2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x 2-3x+1=0解：①x 1=1+26,x 2=1-26 ②x 1=2,x 2=-31 ③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x 2+x-12=0（2）x 2-2x-41=0 （3）x 2+4x+8=2x+11（4）x （x-4）=2-8x（5）x 2+2x=0（6）x 2+25x+10=0解：（1）x 1=3,x 2=-4;（2）x1=232+,x2=232-；（3）x1=1,x2=-3;（4）x1=-2+6，x2=-2-6；（5）x1=0,x2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2,x2=-3（2）x1=x2=31（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-ab2;（3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x 2-（2m-3）x+m+1=0,（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）没有实数根解：（1）m ＜41且m ≠-1; （2）m=41; （3）m ＞41. 【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x 2+2x=m-1没有实数根，求证：x 2+mx=1-2m 必有两个不相等的实数根.【答案】2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4（1-m）＜0,∴m＜0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入，初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）②设方程x 2+px+q=0的两根为x 1,x 2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p,x1·x2=q ）2.完成下列表格问题 上面发现的结论在这里成立吗（不成立）请完善规律：①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-a b ,x 1·x 2=ac ） 二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）这一规律是否成立试通过求根公式加以说明.ax 2+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=ac . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-6x-15=0;（2）3x 2+7x-9=0;（3）5x-1=4x 2.解：（1）x1+x2=6,x1·x2=-15;（2）x1+x2=-37,x1·x2=-3； （3）x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k=3. 【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.三、运用新知，深化理解1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:（1）x 2-3x=15（2）5x 2-1=4x 2（3）x 2-3x+2=10（4）4x 2-144=0（5）3x （x-1）=2（x-1）（6）（2x-1）2=（3-x ）22.两根均为负数的一元二次方程是（ ）+5=0=0+21x+5=0+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1.（1）x1+x2=3,x1x2=-15（2）x1+x2=0,x1x2=-1（3）x1+x2=3,x1x2=-8（4）x1+x2=0,x1x2=-36（5）x1+x2=35,x1x2=32（6）x1+x2=-32,x1x2=-38【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入，初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少问题2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.二、思考探究，获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540m2来列方程，设小道的宽为xm,如何来表示种植面积方法一：如图，由题意得，32×20-32x-20x+x2=540方法二：如图，采用平移的方法更简便.由题意可得：（20-x）（32-x）=540解得x1=50,x2=2由题意可得x＜20,∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价56元经过两次降价降为元，设每次降价的百分率为x，由题意得56（1-x）2=解得 x1=,x2=（舍去）三、运用新知，深化理解1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg,2013年平均每公顷产量为8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.（1）求此长方形的宽.（2）能围成一个面积为101cm2的长方形吗如能，说明围法.（3）若设围成一个长方形的面积为S（cm2）,长方形的宽为x（cm），求S 与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少.【答案】1.解：设年平均增长率为x，则有7200（1+x）2=8450，解得x1=121≈,x 2=-1224≈（舍去）.即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解：（1）设此长方形的宽为xcm，则长为（20-x）cm.根据题意，得x（20-x）=75解得：x1=5,x2=15（舍去）.答：此长方形的宽是5cm.（2）不能.由x（20-x）=101，即x2-20x+101=0,，知Δ=202-4×101=-4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形.（3）S=x（20-x）=-x2+20x.由S=-x2+20x=-（x-10）2+100可知，当x=10时，S的值最大，最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第（2）、（3）问中的应用.四、师生互动，课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：a（1±x）n=b（常见n=2）.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习【知识与技能】掌握一元二次方程的基本概念及其解法；灵活运用一元二次方程知识解决一些实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学来源于生活又应用于生活，增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.【教学重点】一元二次方程的解法及应用.【教学难点】一元二次方程的应用.一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的解法【教学说明】一般考虑选择方法的顺序：直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法.2.一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0时，方程无实数根.在应用时，要根据根的情况限定Δ的取值，同时应注意二次项系数不为0这一条件.3.一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系，在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：（1）a≠0，（2）Δ≥04.应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.三、典例精析，复习新知例1 用适当的方法解下列方程（1）x2-7x=0（2）x2+12x+27=0（3）x（x-2）+x-2=0（4）x2+x-2=4（5）4（x+2）2=9（2x-1）2解：（1）x1=0,x2=7;（2）x1=-3,x2=-9;（3）x 1=2,x 2=-1;（4）x 1=2,x 2=-3;（5）x 1=47,x 2=-81. 【教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点来解.例2 关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0，有两个不相等的实数根x 1,x 2,且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ）.B.-1C.1或-1例3 （2012·江苏徐州）为了倡导节能低碳生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a 千瓦时，则除交20元外，超过部分每千瓦时要交100a 元，某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元.（1）求a 的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时 解：（1）由题意得20+（80-a ）×100a =35，解得a 1=30,a 2=50,∵a ＞45，∴a=50.（2）设5月份用电x 千瓦时，依题意得20+（x-50）×10050=45，解得x=100，则该宿舍当月用电量为100千瓦时.【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识来解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上构建方程模型.四、复习训练，巩固提高.1.方程x 2-3x=0的解为（ ）=0=3=0,x 2=-3=0,x 2=32.（2012·河北）用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A.（x+2）2=3B.（x-2）2=3C.（x-2）2=5D.（x+2）2=53.（2012·辽宁本溪）已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个根恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ）或13 C.114.（2012·山东日照）已知关于x 的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） ＜34且k ≠2 ≥34且k ≠2 ＞43且k ≠2 ≥43且k ≠2 5.设α，β是一元二次方程x 2+3x-7=0的两个根，则α2+4α+β= .6.（2012·内蒙古包头）关于x 的两个方程x 2-x-2=0与ax x +=+211有一个解相同，则a= .7.（2012·湖北鄂州）设x1,x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个根，且2x1（x22+6x2-3）+a=4，则a= .8.（2012·山东济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低元，但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗【答案】8.解：∵60棵树苗的售价为120×60=7200（元），而7200＜8800，∴该校购买的树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗，由题意得x［（x-60）］=8800，解得x1=220,x2=80，当x1=220时，×（220-60）=40＜100，∴x=220不合题意，舍去；当x=80时，×（80-60）=110＞100，∴x=80，即该校共购买了80棵树苗.五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元二次方程的知识吗你还有哪些困惑与疑问1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中“本章热点专题训练”.第23章图形的相似成比例线段1.成比例线段【知识与技能】1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【教学重点】成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.【教学难点】比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.一、情境导入，初步认识挂上两张照片，问：1.这两个图形有什么联系它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形.2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢相似的两个图形有什么主要特征呢为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例.二、思考探究，获取新知1.两条线段的比（1）回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两线段的大小.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ，或写成ABCD=nm ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.（2）做一做量出数学书的长和宽（精确到0.1cm ），并求出长和宽的比.改用m 作单位，则长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为∶=211∶148. 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.（3）求两条线段的比时要注意的问题①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；。

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全新华师大版九年级数学上册教案（全册共86页）目录21.1二次根式1.二次根式的乘法2.积的算术平方根3.二次根式的除法21.3 二次根式的加减22.1 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法第2课时因式分解法2.配方法3.公式法4.一元二次方程根的判别式5.一元二次方程的根与系数的关系22.3 实践与探索第1课时利用一元二次方程解决几何问题第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题23.1 成比例线段1.成比例线段2.平分线分线段成比例23.2 相似图形23.3 相似三角形1.相似三角形2.相似三角形的判定第1课时利用两角判定两个三角形相似第2课时利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似3.相似三角形的性质4.相似三角形的应用23.4 中位线23.5 位似图形23.6 图形与坐标1.用坐标确定位置2.图形的变换与坐标解直角三角形24.1 测量24.2 直角三角形的性质24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数21.1 二次根式1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5； (10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2)已知x 、4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120； (2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a 有意义⇔a ≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．21.2 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m ，宽3m ，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)14×64＝14×64＝16＝4； (3)627×(－33)＝－1827×3＝ －1881＝－18×9＝－162； (4) 3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a ＝ －34·2a ·18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝ －32a ·6b 3b ＝－9b a3b . 方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．三、板书设计在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．2.积的算术平方根1．掌握积的算术平方根的性质；(重点)2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入计算：(1)4×25与4×25；(2)16×9与16×9.思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质化简：(1)（－36）×16×（－9）；(2)362＋482；(3)x3＋6x2y＋9xy2.解析：主要运用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点二：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 三、板书设计1．二次根式的乘法法则： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根： ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．3.二次根式的除法1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算： (1)0.760.19；(2)－123÷554； (3)6a 2b 2ab；(4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)0.760.19＝0.760.19＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷554＝－53×545＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab＝6a 2b2ab＝3a ； (4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145＝－5÷595＝－5×15×59＝－15×53＝－13. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)945÷3212×32223； (2)a 2·ab ·bb a÷9b 2a. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183；(2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b3a .方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a 2－a ＝a2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43；(2)3c34a4b2＝3c34a4b2＝c2a2b3c.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145.解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；(5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T＝2π0.59.8≈1.42，60T＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．三、板书设计1．二次根式的除法运算2．商的算术平方根3．最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．21.3 二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点) 2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)3．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m ，宽5m 的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m 2和18m 2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：同类二次根式已知最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，求a ＋b 的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a ，b 的值，再代入a ＋b 求解即可． 解：∵最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，∴a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3a －4，解得a ＝3，b ＝－1，∴a ＋b ＝3＋(－1)＝2. 方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的运算【类型一】 二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式． 解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝⎛⎭⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132； (3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：a －b a ÷⎝⎛⎭⎫a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3.解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2a ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a（a －b ）2＝a ＋b a －b .当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长． 解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为 1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm 的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计 1．同类二次根式 2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．3．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．22.1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式． 2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x 个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝1 B ．3x 2－2xy －5y 2＝0C ．(x －1)(x －2)＝3D ．ax 2＋bx ＋c ＝0解析：选项A 中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B 中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a ＝0时，选项D 中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A 、B 、D ，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x 的方程(k ＋1)x ＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2) 移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝ －2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x －ax ＋a －4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实。

数学华师大版九年级上册教案5篇数学华师大版九年级上册教案篇1二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。

2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。

3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化。

4、经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。

教学过程一、创设问题情境问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则?问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢?二、加强合作，探索规律让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：提问：1、a和b有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么?2、= (a≥0，b0)成立吗?为什么?请举例。

三、范例例1、计算。

教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范;(2)对于(2)可由学生自己计算。

提问：1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。

2、哪种方法更简便?例2、化简：(要求分母不带根号)说明：二次根式的化简要求满足以下两条：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。

(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。

把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。

四、做一做化简：教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。

五、课堂练习P12 练习1、(3)、(4)六、小结本节课，我们学习了二次根式的除法法则，即= (a≥0，b0)，并利用它进行计算和化简。

化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。

备课本华师大版九年级上册数学全册教案班级______ 教师______ 日期______华师大版九年级上册教学计划教师_______日期_______一、教学理念数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

在教学活动中，教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者；要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；要重视现代教育技术在教学中的应用，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益对数学学习的评价要关注对学生学习过程的评价；恰当评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握；重视对学生发现问题和解决问题能力的评价；评价结果以定性描述的方式呈现；更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

二、指导思想初中数学是义务教育的一门主要学科。

它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生活,生产和进一步学习的基础。

对学生良好的个性品质和辩证唯物主义世界观的形成有积极的作用。

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

三、教材内容及重难点分析（—）教材内容本掌期教学内容，共计五章。

第二十二章《二次根式》，本章通过平方根的有关性质的回顾建立了二次根式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习根式的化简、求值。

第22章一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x 2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x 2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0；（2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0；（3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得：a=-43. 四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0 即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.=5+52,x2=5-52（舍去）.解得x1答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m2,得到方程x（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）2=n（n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x+3）2=25（2）x 2+6x+9=25（3）x 2+6x=16（4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得： x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2 （3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x+2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x-8=0（2）x 2-4x+2=0（3）x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0，求（xy ）z 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.（2）a acbbx24 2-±-=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0解：①x1=1+26,x2=1-26②x1=2,x2=-31③x1=2,x2=35④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c的值，注意它们的符号；（3）先计算b2-4ac的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x2+x-12=0（2）x 2-2x-41=0 （3）x 2+4x+8=2x+11（4）x （x-4）=2-8x（5）x 2+2x=0（6）x 2+25x+10=0解：（1）x 1=3,x 2=-4;（2）x 1=232+,x 2=232-； （3）x 1=1,x 2=-3;（4）x 1=-2+6，x 2=-2-6；（5）x 1=0,x 2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2,x2=-3（2）x1=x2=31（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-ab 2; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x 2-（2m-3）x+m+1=0,（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：（1）m ＜41且m ≠-1; （2）m=41; （3）m ＞41. 【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4（1-m）＜0,∴m＜0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入，初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p,x1·x2=q）2.完成下列表格问题上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-a b ,x 1·x 2=ac ） 二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax 2+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=ac . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-6x-15=0;（2）3x 2+7x-9=0;（3）5x-1=4x 2.解：（1）x1+x2=6,x1·x2=-15;（2）x1+x2=-37,x1·x2=-3； （3）x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k=3.【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.三、运用新知，深化理解1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:（1）x2-3x=15（2）5x2-1=4x2（3）x2-3x+2=10（4）4x2-144=0（5）3x（x-1）=2（x-1）（6）（2x-1）2=（3-x）22.两根均为负数的一元二次方程是（）A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1.（1）x1+x2=3,x1x2=-15（2）x1+x2=0,x1x2=-1（3）x1+x2=3,x1x2=-8（4）x1+x2=0,x1x2=-36（5）x1+x2=35,x1x2=32（6）x1+x2=-32,x1x2=-382.C【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.3 实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入，初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m 2，小道的宽应是多少？问题2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.二、思考探究，获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540m 2来列方程，设小道的宽为xm,如何来表示种植面积？方法一：如图，由题意得，32×20-32x-20x+x 2=540方法二：如图，采用平移的方法更简便.由题意可得：（20-x ）（32-x ）=540解得x 1=50,x 2=2由题意可得x ＜20,∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价56元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百分率为x，由题意得56（1-x）2=31.5解得 x1=0.25,x2=1.75（舍去）三、运用新知，深化理解1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg,2013年平均每公顷产量为8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.（1）求此长方形的宽.（2）能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法.（3）若设围成一个长方形的面积为S（cm2）,长方形的宽为x（cm），求S 与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少.【答案】1.解：设年平均增长率为x，则有7200（1+x）2=8450，解得x1=121≈0.08,x 2=-1224≈-2.08（舍去）.即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解：（1）设此长方形的宽为xcm，则长为（20-x）cm. 根据题意，得x（20-x）=75解得：x1=5,x2=15（舍去）.答：此长方形的宽是5cm.（2）不能.由x（20-x）=101，即x2-20x+101=0,，知Δ=202-4×101=-4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形.（3）S=x（20-x）=-x2+20x.由S=-x2+20x=-（x-10）2+100可知，当x=10时，S的值最大，最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第（2）、（3）问中的应用.四、师生互动，课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：a（1±x）n=b（常见n=2）.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习【知识与技能】掌握一元二次方程的基本概念及其解法；灵活运用一元二次方程知识解决一些实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学来源于生活又应用于生活，增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.【教学重点】一元二次方程的解法及应用.【教学难点】一元二次方程的应用.一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的解法【教学说明】一般考虑选择方法的顺序：直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法.2.一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0时，方程无实数根.在应用时，要根据根的情况限定Δ的取值，同时应注意二次项系数不为0这一条件.3.一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系，在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：（1）a≠0，（2）Δ≥04.应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.三、典例精析，复习新知例1 用适当的方法解下列方程（1）x2-7x=0（2）x2+12x+27=0（3）x（x-2）+x-2=0（4）x2+x-2=4（5）4（x+2）2=9（2x-1）2解：（1）x1=0,x2=7;（2）x1=-3,x2=-9;（3）x1=2,x2=-1;（4）x1=2,x2=-3;（5）x1=47,x2=-81.【教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点来解.例2 关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0，有两个不相等的实数根x 1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（）.A.1B.-1C.1或-1D.2例3 （2012·江苏徐州）为了倡导节能低碳生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a 千瓦时，则除交20元外，超过部分每千瓦时要交100a元，某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元.（1）求a 的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？解：（1）由题意得20+（80-a ）×100a=35，解得a 1=30,a 2=50,∵a ＞45，∴a=50.（2）设5月份用电x 千瓦时，依题意得20+（x-50）×10050=45，解得x=100，则该宿舍当月用电量为100千瓦时.【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识来解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上构建方程模型.四、复习训练，巩固提高. 1.方程x 2-3x=0的解为（ ）A.x=0B.x=3C.x 1=0,x 2=-3D.x 1=0,x 2=32.（2012·河北）用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ） A.（x+2）2=3 B.（x-2）2=3 C.（x-2）2=5 D.（x+2）2=53.（2012·辽宁本溪）已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个根恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ）A.13B.11或13C.11D.124.（2012·山东日照）已知关于x 的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ＜34且k ≠2 B.k ≥34且k ≠2 C.k ＞43且k ≠2 D.k ≥43且k ≠2 5.设α，β是一元二次方程x 2+3x-7=0的两个根，则α2+4α+β= . 6.（2012·内蒙古包头）关于x 的两个方程x 2-x-2=0与ax x +=+211有一个解相同，则a= .7.（2012·湖北鄂州）设x 1,x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根，且2x 1（x 22+6x 2-3）+a=4，则a= .8.（2012·山东济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【答案】1.D 2.A 3.B 4.C 5.4 6.4 7.108.解：∵60棵树苗的售价为120×60=7200（元），而7200＜8800，∴该校购买的树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗，由题意得x［120-0.5（x-60）］=8800，解得x1=220,x2=80，当x1=220时，120-0.5×（220-60）=40＜100，∴x=220不合题意，舍去；当x=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，∴x=80，即该校共购买了80棵树苗.五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元二次方程的知识吗？你还有哪些困惑与疑问？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中“本章热点专题训练”.第23章图形的相似23.1 成比例线段1.成比例线段【知识与技能】1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【教学重点】成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.【教学难点】比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.一、情境导入，初步认识 挂上两张照片，问： 1.这两个图形有什么联系？它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形. 2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例.二、思考探究，获取新知 1.两条线段的比（1）回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两线段的大小.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ，或写成ABCD=nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位. （2）做一做。

华师大版九年级数学下册全册优质教案一、教学内容1. 第十三章：锐角三角函数1.1 正弦函数1.2 余弦函数1.3 正切函数1.4 锐角三角函数的应用2. 第十四章：二次函数2.1 二次函数的概念2.2 二次函数的性质2.3 二次函数的图像2.4 二次函数的应用3. 第十五章：圆3.1 圆的基本概念3.2 圆的位置关系3.3 弧、弦、圆心角3.4 圆的方程二、教学目标1. 理解并掌握锐角三角函数的概念、性质和应用。

2. 学会利用二次函数的性质解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

3. 掌握圆的基本概念、位置关系以及方程，培养空间想象力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：（1）锐角三角函数的应用（2）二次函数的性质和图像（3）圆的位置关系及方程2. 教学重点：（1）锐角三角函数的定义和性质（2）二次函数的顶点式和交点式（3）圆的基本概念和方程四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。

2. 学具：三角板、圆规、量角器、计算器等。

五、教学过程1. 导入新课：通过实际情景引入，如测量物体的高度、设计抛物线运动等，让学生认识到数学知识在实际生活中的应用。

2. 新课讲解：（1）锐角三角函数的概念、性质和应用（2）二次函数的定义、性质、图像及顶点式、交点式（3）圆的基本概念、位置关系及方程3. 例题讲解：选择具有代表性的例题，详细讲解解题思路和方法。

4. 随堂练习：设计适量练习题，巩固所学知识。

5. 课堂小结：六、板书设计1. 板书内容：（1）锐角三角函数的定义、性质和应用（2）二次函数的定义、性质、图像及顶点式、交点式（3）圆的基本概念、位置关系及方程2. 板书要求：结构清晰、层次分明、重点突出。

七、作业设计1. 作业题目：（1）计算锐角三角函数的值（2）求二次函数的顶点坐标和对称轴（3）根据已知条件求圆的方程2. 答案：（1）正弦函数值：sin30°=0.5，cos45°=√2/2，tan60°=√3（2）二次函数y=x^24x+3的顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2（3）圆的方程：(x2)^2+(y3)^2=5八、课后反思及拓展延伸1. 反思：2. 拓展延伸：（1）了解锐角三角函数在其他学科中的应用（2）研究二次函数的图像变换（3）探索圆与直线、圆与圆的位置关系及性质通过拓展延伸，提高学生的综合素质和创新能力。

华师大版九年级下册数学全册精品教案一、教学内容1. 第1章：二次函数详细内容：二次函数的性质、二次函数的图像、二次方程与不等式、实际问题中的应用。

2. 第2章：圆详细内容：圆的性质、圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。

3. 第3章：概率与统计详细内容：概率的基本概念、概率的计算、频率与概率、统计图表、数据的分布。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数、圆、概率与统计的基本概念和性质，能运用所学知识解决实际问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象力，提高学生的运算能力和数据分析能力。

3. 激发学生的学习兴趣，培养合作意识和创新精神，提高学生的数学素养。

三、教学难点与重点1. 教学难点：（1）二次函数的性质及图像的运用；（2）圆的方程及位置关系；（3）概率与统计在实际问题中的应用。

2. 教学重点：（1）二次函数的基本概念和性质；（2）圆的方程和位置关系；（3）概率与统计的基本计算方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、尺子、圆规。

2. 学具：直尺、圆规、量角器、计算器、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引出二次函数、圆、概率与统计的概念。

2. 例题讲解：（1）二次函数的性质及图像；（2）圆的方程及位置关系；（3）概率与统计的计算方法。

3. 随堂练习：（1）绘制二次函数图像，分析性质；（2）求解圆的方程，判断圆与圆的位置关系；（3）计算概率，分析统计数据。

4. 知识巩固：通过课后练习，巩固所学知识，提高学生的运用能力。

六、板书设计1. 二次函数的性质与图像；2. 圆的方程及位置关系；3. 概率与统计的计算方法。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求二次函数的顶点坐标及对称轴；（2）求解圆的方程，判断圆与直线的位置关系；（3）计算事件的概率，分析统计数据。

2. 答案：（1）顶点坐标：（h，k），对称轴：x=h；（2）圆的方程：一般式或标准式；（3）概率：P(A)=m/n，统计数据：平均数、中位数、众数。

2023年华师大九年级数学教案九年级数学教学计划(优秀19篇)一、教学背景：为了加强课堂教学，完善教学常规，能够保证教学的顺利开展，完成初中最后一学期的数学教学，使之高效完成学科教学任务制定了本教学计划。

二、学情分析：这学期我所带的班级仍是九年级1002班兼班主任，基础知识水平较好，成绩较为一般。

查漏补缺，特别是多关心、鼓励他们，让这些基础过差的学生能努力掌握一部分简单的知识，提高他们的学习积极性，建立一支有进取心、能力较强的学习队伍，让全体同学都能树立明确的数学学习目的，形成良好的数学学习氛围。

三、新课标要求：初三数学是按照九年义务教育数学课程标准来实施的,其目的是通过数学教学使每个学生都能够在学习过程中获得最适合自己的发展。

通过初三数学的教学，教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。

会用归纳演绎、类比进行简单的推理。

使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。

提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。

培养学生应用数学知识解决问题的能力。

四、本学期学科知识在整个体系中的位置和作用：本册书的4章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”和“实践与综合应用”三个领域的内容，其中第26章“二次函数”和第28章“锐角三角函数”的内容，都是基本初等函数的基础知识，属于“数与代数”领域。

然而，它们又分别与抛物线和直角三角形有密切关系，即这两章内容既涉及数量关系问题，又涉及图形问题，能够很好地反映数形结合的数学思想和方法。

第27章“相似”的内容属于“空间与图形”领域，其内容以相似三角形为核心，此外还包括了“位似”变换。

在这一章的最后部分，安排了对初中阶段学习过的四种图形变换(平移、轴对称、旋转和位似)进行归纳以及综合运用的问题。

华师大版九年级下册数学全册教案一、教学内容1. 第十三章：锐角三角函数1.1 正弦、余弦、正切的概念及性质1.2 锐角三角函数的求值方法1.3 锐角三角函数的应用2. 第十四章：二次函数2.1 二次函数的图像与性质2.2 二次函数的解析式2.3 二次函数的实际应用3. 第十五章：圆3.1 圆的基本概念与性质3.2 直线和圆的位置关系3.3 圆和圆的位置关系二、教学目标1. 理解并掌握锐角三角函数、二次函数、圆的基本概念、性质及应用。

2. 学会求解二次函数的解析式，并能运用二次函数解决实际问题。

3. 掌握圆与直线、圆与圆的位置关系，并能运用相关知识解决几何问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：锐角三角函数的求值方法、二次函数的图像与性质、圆的位置关系。

2. 教学重点：锐角三角函数的应用、二次函数的解析式、圆的基本概念与性质。

四、教具与学具准备1. 教具：三角板、圆规、直尺、多媒体设备。

2. 学具：三角板、圆规、直尺、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入新课，激发学生兴趣。

1.1 以生活中常见的物体（如滑梯、篮球架等）为例，引导学生观察、分析锐角三角函数在实际中的应用。

1.2 以现实生活中的抛物线现象（如投篮、扔物体等）为例，引导学生思考二次函数的图像与性质。

1.3 以车轮、硬币等圆形物体为例，引导学生探讨圆的基本概念与性质。

2. 新课讲解：讲解新课内容，注重知识点的讲解与例题分析。

2.1 锐角三角函数：讲解正弦、余弦、正切的概念及性质，引导学生掌握求值方法，并通过例题进行巩固。

2.2 二次函数：讲解二次函数的图像与性质，推导二次函数的解析式，并通过例题讲解实际应用。

2.3 圆：讲解圆的基本概念与性质，分析直线与圆、圆与圆的位置关系，并通过例题进行巩固。

3. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生当堂巩固所学知识。

3.1 锐角三角函数：计算给定角度的正弦、余弦、正切值。

3.2 二次函数：求解给定二次函数的解析式，并分析图像性质。

华东师大版第二十七章 二次函数教学目标：1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．重点：解二次函数的有关概念难点：解二次函数的有关概念的应用27．1 二次函数本节知识点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学过程（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）． [当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+kkx k y 为二次函数？3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]A 组1． 已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，求m 的值．2． 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y ．4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．B 组5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22)1(x m y -= B ．22)1(x m y += C ．22)1(x m y += D ．22)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ）A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系课堂小结：教学反思：27． 2 二次函数的图象与性质（1）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节要点会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学过程：我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=解 列表x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图． [本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大．3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 27． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（2）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y…20104241020…例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ．x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y…-10-5-2-1-2-5-10…故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．[本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（3）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？x… -3 -2 -1123…221x y = (2)922121229…2)2(21+=x y (2)1212225 8225…2)2(21-=x y …225829 22121…例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y 3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（4）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．2)(h x a y -=+k开口方向对称轴顶点坐标 0>a0<a例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、cx… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（5）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 本节知识点1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象． 教学过程我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ [实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． 由对称性列表：x…-2-1 01234…回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ．当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ．当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8． [当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． （3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？ [本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2（4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（6）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 教学过程在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0， 因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表：x （元） 130 150 165 y （件）705035若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ． 设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值． 解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884yx -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ， 所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ． 2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组 4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围． 5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2． （1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ． （1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ， 写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围， 并求出S 的最小值．课堂小结：教学反思：。

华师版九年级数学教案教案标题：华师版九年级数学教案教学目标：1. 理解并掌握九年级数学教材中的基本概念和基本方法；2. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；3. 培养学生的数学兴趣，提高他们的学习动力和主动性。

教学内容：本教案将以华师版九年级数学教材为基础，涵盖以下内容：1. 有理数的加减乘除；2. 一次函数与一元一次方程；3. 平面直角坐标系与图形的性质；4. 线性方程组的解法；5. 相似与全等；6. 三角形的性质与判定；7. 统计与概率。

教学步骤：第一课：有理数的加减乘除1. 引入：通过实际生活中的例子引导学生理解有理数的概念。

2. 概念讲解：讲解有理数的加减乘除的基本规则和性质。

3. 练习：设计一些练习题，让学生巩固有理数的加减乘除运算。

4. 拓展：引导学生思考有理数在实际问题中的应用。

第二课：一次函数与一元一次方程1. 引入：通过图像和实例引导学生了解一次函数和一元一次方程的概念。

2. 概念讲解：讲解一次函数的特点和一元一次方程的解法。

3. 练习：设计一些练习题，让学生掌握一次函数和一元一次方程的应用。

4. 拓展：引导学生思考一次函数和一元一次方程在实际问题中的应用。

第三课：平面直角坐标系与图形的性质1. 引入：通过实例引导学生了解平面直角坐标系的概念和基本性质。

2. 概念讲解：讲解图形的坐标表示和图形的性质。

3. 练习：设计一些练习题，让学生掌握平面直角坐标系和图形的性质。

4. 拓展：引导学生思考平面直角坐标系和图形的应用。

第四课：线性方程组的解法1. 引入：通过实例引导学生了解线性方程组的概念和解法。

2. 概念讲解：讲解线性方程组的解法和应用。

3. 练习：设计一些练习题，让学生掌握线性方程组的解法。

4. 拓展：引导学生思考线性方程组在实际问题中的应用。

第五课：相似与全等1. 引入：通过实例引导学生了解相似和全等的概念。

2. 概念讲解：讲解相似和全等的判定条件和性质。

3. 练习：设计一些练习题，让学生掌握相似和全等的应用。