高中数学解题思想方法技巧全集23探索开门智勇双锋

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第23计 探索开门 智勇双锋

●计名释义

所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.

“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.

过河人还需要两大素质：大智大勇！

面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.●典例示范

【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足

条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.

【思考】 显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.

【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1

例1题图 例1题解图

证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.

【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2

【思考】 根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.

【解答】 由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.

故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.

∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］

当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时， 1-2x2<1+2x-x2

即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2

当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时，1-2x2>1+2x-x2, 即x2+2x<0，解得-2

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2 当f (1-2x2)=f (1+2x-x2)时，

可得x= -2或0，不能使-2

∴当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时，才能使-2

【例3】 能否构造一个等比数列{an}，使其同时满足三个条件:①a1+a6=11；②a3a4=932;③至少存在一个自然数m，使32am-1，a2m，am+1+94依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.

【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q.

∵a3a4=a1a6, ∴由•.2133223193211)1(1932111152156161qa••qaqaqaaaaa或

即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为an=31·2n-1或an=232·21n-1.

（1）如an=31·2n-1，设存在题设要求的m∈N，则2×21231•m=.94231231322•••mm

化简得：22m-7·2m-8=02m=8，∴m=3.

（2）如an=232·21n-1，设存在m∈N,使2·9421232213323221332221••••mmm

化简得：4(26-m)2－11·26-m-8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在.

综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3，数列的通项公式为：

an=31·2n-1.

【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b.

(1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). （2）观察后请写出这个对应法则.

（3）可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质：当g(x)>0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？

（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.

【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b，知f′(x)=g(x)，可见，只有当

g(x)= f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.

【解答】 (1)∵a=1，b=2，∴g (x)=2x+2.

（2）①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积；

②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数. 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

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3 (3)g(x)>0，即2ax+b>0，当a>0时，x>ab2，而x=ab2是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a<0时，x

(4)当g(x)<0时，f (x)是单调减函数(请仿照（3）证明之).

(5)g(x)=x时，2ax+b=x，知a=21，b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中，命a=21，b=0，c取任意值即可，如f (x)=21x2+1，f (x)=21x2+23，f (x)=21x2+5.

【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.

●对应训练

1.已知圆O′过定点A（0，P）(P>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ.

(1)当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；

（2）求1221dddd的最大值,并求取得最大值的θ的值.

2.如图所示，已知在矩形ABCD中，

AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC，

且PA=1.

(1)问BC边上是否存在Q，

便得PQ⊥QD，并说明理由；

（2）若BC边上有且只有一点Q，

使得PQ⊥QD，求这时二面角

Q—PD—A的大小. 第2题图

3.已知椭圆12222byax(a>b>0)的离心率e=36，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为23.

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.

4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：

①原点O与直线x=1是它的焦点和准线；

②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于22，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

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4 由.

●参考答案

1.(1)如图所示，设抛物线上一点O′(x0，px220)，

连结O′A，O′M. 作O′C⊥MN于C，

则|MN|=2|MC|，

∵|O′M|=|O′A|=2240220204)2(ppxppxx

∴|MC|=ppxppxCOMO220224022)2(4|||| 第1题解图

∴|MN|=2p为定值.

即当O′运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p.

(2)如图所示，有M（x0-p，0），N(x0+p，0)

∴d1=20222)(pxPOMOA d2=202)(pxp

∴d21+d22=4p2+2x20，d1d2=4042022024)2()2(xppxxp

∴2112dddd=2404024042022122214)2(2424xpxpxpxpdddd

=.22224124412202202404202xpxpxpxp4

当且仅当x20=2p2，即x0=±2p，y0=p时等式成立，此时|O′M′|=|O′N′|=2p.

∴∠MO′N=90°， ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.

2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决.

【解答】 （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD.

∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.

这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD.

(2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.

当a=2时，只有BC的中点满足条件.

∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.

∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD.过M作MN⊥PD于N，连结NQ.

根据三垂线定理有，QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.

在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD·sin∠MDN=1×5555. ∴tan∠MNQ=5.