终稿_线性方程组直接法和迭代法

线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。

1. 线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

1.1 Cramer 法则Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。

当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。

如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。

如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。

如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。

定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，解为1212,,...,n n D D Dx x x D D D===i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。

Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。

2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组12312312311x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解。

解：211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=--- 所以当1a ≠时，方程组有唯一解。

定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。

定理3 齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。

1.2 Gauss 消元法Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。

1. 线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

1.1 Cramer 法则Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。

当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。

如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。

如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。

如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。

定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，解为1212,,...,n n D D Dx x x D D D===i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。

Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。

2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组12312312311x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解。

解：211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=--- 所以当1a ≠时，方程组有唯一解。

定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。

定理3 齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。

1.2 Gauss 消元法Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。

早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。

线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。

其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。

随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。

同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。

数值分析方法中方程求解的直接法和迭代法第3章 解线性方程组的直接法一、消元法1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。

11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ (1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()00000n n nn n nnn a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭步骤如下：第一步：1111,2,,i a i i n a -⨯+=第行第行11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n nn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第二步：(2)2(2)222,3,,i a i i n a -⨯+=第行第行 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200nnn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333(3)(3)(3)300000n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭类似的做下去，我们有：第k 步：()()k ,1,,k ikk kka i i k n a -⨯+=+第行第行。

n －1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为：11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()00000n n nn n nnn a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注意到，计算过程中()k kk a 处在被除的位置，因此整个计算过程要保证它不为0。

直接法与迭代法在求解大规模稀疏线性方程组中的比较研究在科学和工程问题中，线性代数是一个非常重要的分支领域。

在大规模科学计算和工程计算中，线性方程组的求解是一个需要高效和准确的问题，这个问题的求解是计算机领域中的一个重要难题。

本文将比较和分析直接法和迭代法这两种用于求解大规模稀疏线性方程组的算法。

一、直接法在数学领域中，解决线性方程组是一项非常广泛的研究问题，而直接法是其中的一种传统方法。

在求解小规模的线性方程组时，直接法是一种非常有效的解题方法。

所谓直接法，就是通过对方程组的系数矩阵进行高斯消元等操作，将未知量解出来。

以高斯消元法为例，消元法将系数矩阵的行进行逐行的消元，使得系数矩阵化为一个上三角矩阵，然后通过回带法求解出未知量。

直接法主要有高斯消元法和LU分解法两种，其中高斯消元法是裸的的直接法。

直接法的优点是它的精度非常高，可以获得准确的解。

同时，在小规模的方程组中，直接法的性能也很好。

但是，直接法的缺点也是显而易见的：当方程组的维数大到一定程度时，直接法的时间复杂度会增加到难以计算的程度。

二、迭代法用于求解大规模稀疏线性方程组的另一种方法是迭代法。

迭代法是一种迭代逼近的方法，通过一系列逐步近似地计算来解决问题。

迭代法的核心思想是：场解逐渐逼近正确的解。

相比直接法，迭代法的时间复杂度要低得多。

迭代法包含以下几个步骤:1.选取一个初始解x0；2.给出逼近的准则和停止准则；3.通过计算产生下一个逼近解；4.不断重复以上步骤，直到满足停止准则为止。

迭代法在大规模线性方程组的求解中有着广泛的应用。

迭代法有很多优点，其中最重要的是相比直接法，迭代法的时间复杂度相对要低很多。

另外，迭代法还具有灵活性高，容易适应不同的求解目标等优点。

但是，迭代法也有许多缺点，其中最重要的是其求解精度相对直接法要低。

迭代法也比较复杂，算法实现有很多细节需要处理。

此外，迭代法的收敛速度非常慢，因此，在实际问题中需要通过参数制定来进行优化。

毕业论文2012届线性方程组的直接法和迭代法学生姓名刘玲学号08102117院系数理信息学院专业信息与计算科学指导教师祝汉灿完成日期2012年5月25日线性方程组的直接法和迭代法摘要在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题。

这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来。

因此，在科学技术、工程和经济领域中都会遇到解线性方程组的问题。

求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。

解线性方程组主要有直接法和迭代法。

对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元。

对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐。

迭代法是求解线性方程组的一种有效方法，它有存储空间小，程序简单等特点。

比较常用的迭代方法有Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代。

（1）这两种迭代法的收敛性态并不相同，很多情况下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快.关键词线性方程组；直接法；迭代法；发散；收敛THE DIRECT AND ITERATION METHOD OFLINEAR EQUATIONSABSTRACTIn science, technology, engineering and economic fields, we will meet the problem of solving linear equations. Generally speaking, there are direct methods and iterative methods for solving linear equations. For coefficient matrix and low order dense matrix of linear equations, we can use direct method for the elimination. For large-scale linear equations, especially large sparse linear equations, a direct method is much complicated. In this situation, the iterative method is the more effective method to solve the linear equations. The most common used methods are the Jacobi iteration and Gauss-Seidel iteration. In this paper, we mainly study the convergence of the two methods. (13)KEY WORDS: solving linear equations; low order dense matrix; large-scale linear; direct method; iterative method目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)引言 (1)1. 线性方程组的直接法 (2)1.1 Cramer法则 (2)1.2 Gauss消元法 (3)1.2.1 用Gauss消元法为线性方程组求解 (3)2. 线性方程组迭代法 (4)2.1 Jacobi迭代法 (4)2.2 Gauss-Seide迭代 (6)2.3 SOR迭代 (8)2.4 迭代法收敛 (9)2.5 迭代法收敛的应用 (12)3. 结论： (14)参考文献 (15)附录 (16)致谢 (20)引言在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题，这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来，换句话说，求解线性方程组的过程就是就是解决实际遇到的自然及社会科学问题的过程，在线性方程组的求解的重要性可见一斑。