第五章-解线性方程组的直接方法分解

第五章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法5.1 小行星轨道方程问题5.1.1 问题的引入一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如下表：表5.1.1 轨道上的5个点的坐标数据5.1.2 模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程为：221234522210a x a xy a y a x a y +++++=，需要确定系数()1,2,3,4,5i a i =。

利用已知的数据，不妨设()(),1,2,3,4,5i i x y i =，欲确定系数i a 等价于求解一个线性方程组：221121131415122122223242522213233334353221424434445422152553545552221022210222102221022210a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪+++++=⎪⎪+++++=⎩ 可写成矩阵的形式：AX b = 其中，2211111122222222223333332244444422555555222222222222222x x y y x y x x y y x y A x x y y x y x x y y x y x x y y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12345a a X a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11111b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

5.1.3 模型的假设假设：(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律； (2)以上所测得数据真实有效。

数值分析第五章解线性方程组的直接法解线性方程组是数值分析中的一个重要问题，对于大规模的线性方程组来说，直接法是一种常用的求解方法。

本文将介绍解线性方程组的直接法，包括高斯消元法和LU分解法，并对其稳定性和计算复杂度进行讨论。

高斯消元法是一种常用的直接法，用于求解非奇异线性方程组。

其基本思想是通过初等行变换将线性方程组转化为上三角方程组，然后通过回代求解得到方程的解。

高斯消元法的步骤如下：1.将线性方程组表示为增广矩阵[A，b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。

2.从第一行开始，选择一个非零元素作为主元，通过行变换将主元下方的元素全部消为零。

3.重复第2步，直到矩阵变为上三角矩阵。

4.通过回代求解上三角矩阵，得到方程组的解。

高斯消元法的主要优点是简单直接，容易实现，但存在一些问题。

首先，如果系数矩阵A是奇异矩阵，即行列式为零，那么高斯消元法无法得到方程组的解。

其次，如果系数矩阵A的其中一行或几行接近于线性相关，那么在消元过程中会引入大量的舍入误差，导致计算结果不准确。

这也说明了高斯消元法的稳定性较差。

为了提高稳定性，可以使用LU分解法来解线性方程组。

LU分解法将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。

这样，原始的线性方程组可以表示为LUx=b，进而可以通过两个步骤来求解方程组：1.进行LU分解，将系数矩阵A分解为L和U。

2.分别用前代和回代的方法求解方程组Ly=b和Ux=y。

LU分解法相对于高斯消元法的优点是，可以在求解多个右端向量时，避免重复计算LU分解，从而提高计算效率。

同时，LU分解法的稳定性也较高，对于多个右端向量求解时，舍入误差的累积相对较小。

然而，LU分解法也存在一些问题。

首先，LU分解法的计算复杂度较高，需要进行两次矩阵乘法和一次矩阵向量乘法，而且LU分解过程中需要对系数矩阵A进行大量的行变换，增加了计算量。

其次，当系数矩阵A的一些元素非常小或非常大时，LU分解法容易出现数值不稳定的情况，即舍入误差的累积较大，导致计算结果不准确。