2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》同步练习题(附答案)

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.1勾股定理同步练习题（含答案）1 / 6 《17.1勾股定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．如图，每个小正方形的边长为 ，在 中，点 为 的中点，则线段 的长为（ ）．A. B. C. D.2．2．如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A 与起点B 的距离是（ ）A. B. 8 C. 9 D. 103．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为( )A. 60海里B. 45海里C. 20 海里D. 30 海里4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 折叠，使AB 落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 65．如图1，一架梯子AB 长为 ，斜靠在一面墙上，梯子底端B 离墙 ，若梯子的顶端A 下滑了 （如图2），则梯子的底端在水平方向上滑动的距离 为（ ）A. B. 大于C. 介于和之间D. 介于和之间6．如图，，且，，，则线段AE的长为（）.A. B. C. D.7．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A. 2k B. k+1 C. k2－1 D. k2+1二、填空题8．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．9．如图，D为ABC的边BC上一点，已知AB = 13，AD = 12，AC =15，BD=5，则BC的长为________．10．若三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则这个三角形三个角度数分别是______，另外一边的平方是______．11．如图，点A、C都在直线l上，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，点E、B、D 到直线l的距离分别是6,3,4，计算图中由线段AB、BC、CD、DE、EA所围成的图形的面积是____.12．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁点A出发，沿长方体表面达到B处，则所走的最短路径是__________ cm。

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分24分）1．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（）A．B．C．D．3．给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2B．（x﹣1）2+52＝x2C．x2+52＝（x+1）2D．（x﹣1）2+102＝x26．如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．12C．16D．187．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（）A．9m B．14m C．11m D．10m8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm二．填空题（共10小题，满分40分）9．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．10．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是m．11．有一个三角形的两边长是1和，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝15，且BD：DC＝3：2，若P为直线AB上一动点，连接DP，则线段DP的最小值是．13．如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是米．14．如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为．15．如图，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝1，∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝∠OA4A5＝90°，则OA5的长是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝s时，△BPC为直角三角形．17．如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．如图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC（∠ABC＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝30米，BC＝40米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，BD平分∠ABC，过A点作AE∥BC交BD于点E，EF⊥BC于点F．若AB＝6，则EF的长为．三．解答题（共7小题，满分56分）19．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，CE平分∠ACB，AB＝20，AC＝15（1）求AD的长；（2）求证：△AEF是等腰三角形．20．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．21．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．（1）求公路CD的长度；（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．22．如图，△ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜5且△BMN为直角三角形时，求t的值；（2）当t为何值，△BMN为等边三角形．23．如图，一个长为5米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的垂直距离为4米，梯子的顶端下滑2米时，底端是不是也滑动了2米？如果是，为什么？如果不是，底端滑动了多少米？24．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD ＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．25．如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量AC＝BC＝AD＝80米，BD＝80米，且∠C＝90°．（1）求∠DAC的度数；（2）若直线CA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个监控装置来监控道路CA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大距离为80米，求被监控到的道路长度为多少米？参考答案一．选择题（共8小题，满分24分）1．解：∵b2＝c2﹣a2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，∵a：b：c＝：：，∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，∴a2≠b2+c2，∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形故选：C．2．解：设网格中每个小正方形的边长是1．图A中各边长为2、4、2，22+42＝（2）2，故该三角形为直角三角形；图B中各边长、2、，（）2+（2）2＝（）2，故该三角形为直角三角形；图C中三角形各边长为、、，（）2+（）2＝（）2，故该三角形为钝角三角形；图D中各边长为、2、5，（）2+（2）2＝52，故该三角形为直角三角形．即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．故选：C．3．解：①由于0.32+0.42＝0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2，故③说法正确；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．故选：C．4．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故选：C．5．解：设芦苇长x尺，由题意得：（x﹣1）2+52＝x2，故选：B．6．解：在Rt△AHC中，AC2＝AH2+HC2，AH＝HC，∴AC2＝2AH2，∴HC＝AH＝，同理：CF＝BF＝，BE＝AE＝，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝6，S阴影＝S△AHC+S△BFC+S△AEB＝HC•AH+CF•BF+AE•BE，＝×（）2+×（）2+（）2＝（AC2+BC2+AB2）＝（AB2+AB2）＝×2AB2＝AB2＝×62＝18．故选：D．7．解：如图，作BD⊥OC于点D，由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，∵OC＝6m，∴DC＝4m，∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），∴大树的高度为5+5＝10（m），故选：D．8．解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．二．填空题（共10小题，满分40分）9．解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝5（m），∴AD＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．故答案为：（12﹣）．10．解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形，∴CE＝BF＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m），设绳索AD的长为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得：x＝2.5（m），即绳索AD的长是2.5m，故答案为：2.5．11．解：当第三边是斜边时，第三边边长的平方是：12+（）2＝3；当第三边是直角边时，第三边边长的平方是：（）2﹣12＝1；故答案是：1或3．12．解：当线段DP取最小值时，DP⊥AB．如图，过点D作DP⊥AB于P，∵BC＝15，且BD：DC＝3：2，∴CD＝6．∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DP＝CD＝6．故答案是：6．13．解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．∴BD＝＝400m，设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，x2＝160000+x2﹣800x+3002，800x＝250000，x＝312.5．答：商店与车站之间的距离为312.5米，故答案为：312.5．14．解：设AC＝m，BC＝n，则S1＝m2，S2＝n2，S1+S2＝m2+n2＝60，因为AB＝10，即m+n＝10，所以（m+n）2＝100，m2+n2+2mn＝100，2mn＝100﹣60＝40，mn＝20，所以S△BCD＝mn＝＝10．故图中阴影部分的面积为10．故答案为：10．15．解：在Rt△OA1A2中，OA1＝A1A2，由勾股定理得：OA2＝＝＝，同理：OA3＝，……则OA5＝，故答案为：．16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，∴AB＝＝＝50（cm）．如图，作AB边上的高CD．∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝24（cm）．①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝50cm，∴t＝50÷2＝25（秒）．②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2tcm，CP＝24cm，BC＝40cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）2+242＝402，解得t＝16．综上，当t＝25或16秒时，△BPC为直角三角形．故答案为：25或16．17．解：在Rt△ABC中，∵AB＝30米，BC＝40米，∴AC＝＝50，30+40﹣50＝20（米），∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．故答案为：50，20．18．解：∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝150°，∴∠ABE＝，∴∠BAE＝30°，AB＝AE＝6，如图，过点E作EG⊥AB于G，∵∠GAE＝30°，∴GE＝，∵BD是∠ABC的平分线，EG⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝EG＝3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）19．（1）解：由勾股定理得：BC＝＝25，根据三角形面积计算公式，解得：；（2）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠AEC+∠ACE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DCF+∠DFC＝90°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCF＝∠ACE，∵∠DFC＝∠AFE（对顶角相等），∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形．20．解：（1）∵△ABE的面积为35，DE＝7，∴AB×7＝35，解得：AB＝10；（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，则AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝×6×8＝24，答：△ACB的面积24．21．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，∴BC＝＝＝12（千米），∵BD＝5千米，∴CD＝12﹣5＝7（千米），答：公路CD的长度为7千米；（2）∵AC＝9千米，CD＝7千米，∴AD＝＝（千米），∵DH⊥AB，∴AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，∴130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，∴BH＝4，∴DH＝＝3，∴修建公路DH的总费用为3×2000＝6000（万元）．22．解：（1）当0＜t＜5时，点M在BC上，点N在AB上，BN＝4t，MB＝20﹣4t，△BMN为直角三角形，则∠BNM＝90°或∠NMB＝90°，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝2BN，∴20﹣4t＝2×4t，解得：t＝；②当∠NMB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴BN＝2BM，∴4t＝2（20﹣4t），解得：t＝．③点M在AC上，点N在AB上，AN＝CM＝40﹣4t，（80﹣8t）+（40﹣4t）＝20，t＝（不合题意舍去），综上，当t＝或时，△BMN为直角三角形；（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则0＜t≤10，①当0＜t≤5时，当MB＝BN时，△BMN为等边三角形，此时，4t＝20﹣4t，解得：t＝；②当5＜t≤10时，△BMN为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，此时，t＝10，综上，t＝或t＝10时，△BMN为等边三角形．23．解：底端不是滑动了2米．理由：由题意可得：AB＝CD＝5米AO＝4米AC＝2米，在Rt△AOB中，AB＝5米，AO＝4米，∴OB＝＝＝3（米），在Rt△COD中，∠0＝90°，CD＝AB＝5米，AC＝2米，∴OC＝AO﹣AC＝4﹣2＝2米，∴OD＝＝＝（米），∴BD＝OD﹣OB＝（﹣3）米，答：底端滑动不是2米，底部滑动了（﹣3）米．24．解：（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝15（m），∵CD＝9m，AD＝12m，∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，∴需要绿化的空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB×AC+AD×CD＝×8×15+×12×9＝114（m2）；（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴S△ABC＝BC×AE＝AB•AC，∴17×AE＝8×15，解得：AE＝（m），即小路AE的长为m．25．解：（1）∵AC＝BC＝AD＝80米，BD＝80米，∠C＝90°．∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝＝＝80（米），∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BD＝80米，在△ABD中，有AD2+AB2＝802+（80）2＝（80）2＝BD2，∴△ABD是直角三角形，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝90°+45°＝135°；（2）过点D作DE⊥AC，交CA的延长线于E，作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：由轴对称的性质，得：DF＝DA＝80，AE＝EF，由（1）知，∠CAD＝135°，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE，在Rt△ADE中，有AE2+DE2＝802，解得：AE＝40（米），∴AF＝80（米），∴被监控到的道路长度为80米．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》同步练习题（附答案）1．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形的个数有（）A．1B．2C．3D．42．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm23．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或104．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．﹣+1C．﹣1D．5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．8．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．309．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2B．4C．6D．810．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．11．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．12．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB ＝8，则BF＝．13．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．14．如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF 的长为．15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．（1）求证：AE＝ED；（2）若AC＝2，求△CDE的周长．17．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．18．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．20．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．21．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．22．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．参考答案1．解：（1）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（2）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（3）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（4）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．综上，可得面积关系满足S1+S2＝S3的图形有4个．故选：D．2．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．3．解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，则BC的长为6或10．故选：C．4．解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：＝，∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1．故选：C．5．解：∵a+b＝14∴（a+b）2＝196∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96∴ab＝24．故选：A．6．解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：C．7．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．8．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．9．解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故选：C．10．解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．11．解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：＝；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：＝5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．12．解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，故BF＝x﹣4＝6．故答案为：6．13．解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32故答案是：42或32．14．解：如图，∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，∴AH＝BE＝CG＝DF，AE＝BG＝CF＝DH，∴EG＝GF＝GH＝HE，∴四边形EGFH为菱形，∵△ABE为直角三角形，∴∠AEB＝∠GEH＝90°，∴四边形EGFH为正方形，∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AB＝13，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CF＝5，根据勾股定理得，DF＝12，∴GF＝DF﹣DH＝GC﹣FC＝7，在△GEF中，GE＝GF＝7，∠EGF＝90°，根据勾股定理得，EF＝＝7．故答案为：7．15．解：设正方形ODCE的边长为2，则CD＝CE＝2，设BD＝x，∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，∴AF＝AE，BF＝BD，∴AB＝x+6，AC＝6+2＝8，BC＝x+2，∵AC2+BC2＝AB2，∴（x+2）2+82＝（x+6）2，∴x＝4，故答案为：4．16．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝AD＝DB．∵∠B＝30°，∴∠A＝60°．∴△ACD是等边三角形．∵CE是斜边AB上的高，∴AE＝ED．（2）解：由（1）得AC＝CD＝AD＝2ED，又AC＝2，∴CD＝2，ED＝1．∴．∴△CDE的周长＝．17．证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．18．解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，，∴AE＝AF＝6.5．19．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH在△CHB和△AEF中，∵，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．20．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）CE＝CF（角平分线的性质）∵BC＝CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF＝EB，设DF＝EB＝x，∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，CE＝CF，AC＝AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF＝AE即：AD+DF＝AB﹣BE∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x∴9+x＝21﹣x解得，x＝6在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10∴CF＝8∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289∴AC＝17答：AC的长为17．21．解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．所以CF＝4，设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝x+4．在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．解得x＝6，故BC＝10．所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．22．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》同步练习题（附答案）1．如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别是S1，S2，S3；分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别是S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（）A．7B．8C．9D．102．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（）A．S甲＝S丁B．S乙＝S丙C．S甲+S乙＝S丙+S丁D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁3．《几何原本》关于毕达哥拉斯定理，欧几里德用图给出证明．如图，Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，以AC，BC，AB为边分别向外作正方形，连结CD，CE，过C作CF⊥DE，△ADC的面积为S1，△BCE的面积为S2，若S2＝9S1，CF＝13，则正方形BCGH的边长（）A．2B．2C．3D．34．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（）A．AB＝2B．∠BAC＝90°C．△ABC的面积为10D．点A到直线BC的距离是25．设一个直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c．若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，则a，b的长可能是（）A．a＝12，b＝16B．a＝11，b＝17C．a＝10，b＝18D．a＝9，b＝19 6．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．17．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且AC+BC＝7，则AB的长为（）A．5B．9C．D．8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝5．BE＝12，则阴影部分的面积是（）A．39B．69C．139D．1699．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC 的面积为（）A．30B．60C．110.5D．16910．已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三条边长的平方是．11．已知直角三角形两直角边长分别为8和6，则此直角三角形斜边长为．12．将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为．13．在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，BD＝6，则CD＝．14．在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝5，CD＝2，则△ABC 的面积为．15．如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，AD＝13m，∠B＝∠ACD＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？18．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在△ABC中，若AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2，则△ABC是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”）．（2）若Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若△ABC是“和谐三角形”，求a：b：c．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以4cm/s 的速度沿AC﹣CB﹣BA运动设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上运动，当t的值为多少时，P A＝PB．（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．20．【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．（1）方法一可表示为；方法二可表示为；（2）根据方法一和方法二，你能得出a，b，c之间的数量关系是（等式的两边需写成最简形式）；（3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为．【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为．（等号两边需化为最简形式）（5）已知2m﹣n＝4，mn＝2，利用上面的规律求8m3﹣n3的值．21．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“无字证明”图形（如图1）．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出一个重要的定理．（1）此图可以推导出你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）图②为美国第二十任总统伽菲尔德创造的“无字证明”图形，请你利用图②推导（1）中的定理．（3）根据（1）中的定理，解决下面的问题：如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB ＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH ＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？参考答案1．解：如题干图所示，设面积分别为S1，S2，S3的正方形的边长分别为a，b，c，∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3，同理可得，S5+S6＝S4，∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，故选：D．2．解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，故选：C．3．解：∵S1＝×AD×DF，S2＝×BE×EF，且S2＝9S1，∴9DF＝EF，设正方形ABED的边长为10x，则DF＝x，EF＝9x，△ABC的高为h，∴h＝13﹣10x，由勾股定理得：AC2＝x2+h2，BC2＝81x2+h2，∴x2+h2+81x2+h2＝100x2，∴82x2+2（13﹣10x）2＝100x2，整理得182x2﹣520x+338＝0，即7x2﹣20x+13＝0，解得x1＝1，x2＝（舍），∴BC＝3．故选：C．4．解：A、∵AB2＝22+42＝20，∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；C、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；D、设点A到直线BC的距离为h，∵BC2＝32+42＝25，∴BC＝5，则×5×h＝5，解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；故选：C．5．解：∵a＝12，b＝16，∴斜边c＝＝＝20，∵a＝11，b＝17，∴斜边c＝＝＝＞20，∵a＝10，b＝18，∴斜边c＝＝＝＞20，∵a＝9，b＝19，∴斜边c＝＝＝＞20，∵最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，∴a＝12，b＝16，故选：A．6．解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．故选：A．7．解：设AC＝b，AB＝c，BC＝a，则a+b＝7，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（a﹣c+b）（b﹣c+a）＝4，∴（7﹣c）2＝4，∴c＝9（舍弃）或5，故选：A．8．解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝13，∴正方形的面积是13×13＝169，∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，故选：C．9．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝17，c＝13，∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝169，∴289﹣2ab＝169，即ab＝60，则Rt△ABC的面积为ab＝30．故选：A．10．解：当2是直角边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：12+22＝5；当2为斜边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：22﹣12＝3．故答案为：5或3．11．解：由勾股定理得，斜边长为＝10，故答案是：10．12．解：由题意知图2中阴影部分为正方形，设图1中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，则由图2得：a+b＝5，①由图3得：b﹣a＝1，②联立①②得：，∴阴影部分的边长为，∴，故答案为13．13．解：情况一：如图一，在△ABD中，由BD是AC边上的高，则AD＝＝＝8∵AB＝AC＝10，∴CD＝2；情况二：如图二，在△ABD中，由BD是AC边上的高，则AD＝＝＝6，∵AB＝AC＝10，∴CD＝10+8＝18，综上所述，CD＝2或18，故答案为：2或18．14．解：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，∴AD⊥BC，BD＝DC，∵AD＝5，CD＝2，∴BC＝4，∴△ABC的面积＝，故答案为：10．15．解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝CG2+CF2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，＝KF2+NF2﹣2KF•NF＝KF2+KG2﹣2DG•CG＝FG2﹣2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为4，∴GF2＝16，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+FG2﹣2CG•DG＝3GF2＝48，故答案为：48．16．解：①如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，由勾股定理得，BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴BD＝9，在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，由勾股定理得，CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴CD＝5，∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；②如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得，BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴BD＝9，在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得，CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴CD＝5，∴BC的长为BD﹣CD＝9﹣5＝4．故BC的长为14或4．17．解：∵∠ACD＝90°，∴AC2+DC2＝AD2，由勾股定理得AC＝5m，∴DC＝＝＝12m，这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝AB•BC+AC•DC＝（3×4+5×12）＝36m2．故需要的费用为36×100＝3600元．答：铺满这块空地共需花费3600元．18．解：（1）当△ABC为等边三角形时，AB＝AC＝BC，∴AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2+BC2﹣BC•BC＝BC2，∴等边三角形一定是“和谐三角形“，故答案为：真；（2）∵∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，∴a2+b2＝c2，当a2+b2﹣ab＝c2时，则﹣ab＝0（舍去），当a2+c2﹣ac＝b2时，则a2+c2﹣ac＝c2﹣a2，∴ac＝2a2，∴c＝2a，∴b2＝3a2，∴b＝a，∴a：b：c＝1：：2．19．解：（1）如图1，连接BP，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝8（cm），则PC＝8﹣P A，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，当P A＝PB时，P A2＝（8﹣P A）2+62，解得，P A＝，则t＝÷4＝；（2）如图2，作PG⊥AB于G，∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，∴CP＝GP，∴Rt△ACP≌Rt△AGP（HL），∴AG＝AC＝8（cm），∴BG＝10﹣8＝2（cm），设CP＝xcm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝xcm，∴Rt△BGP中，BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2解得，x＝，∴AC+CP＝（cm），∴t＝÷4＝，当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝（10+8+6）÷4＝6，综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6；20．解：（1）方法一可表示为：ab+ab+c2；方法二可表示为：（a+b）2．故答案为：ab+ab+c2；（a+b）2．（2）∵ab+ab+c2＝（2ab+c2），（a+b）2＝（2ab+a2+b2），∴（2ab+c2）＝（2ab+a2+b2），∴c2＝a2+b2．故答案为：c2＝a2+b2．（3）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，∴c＝10．故答案为：10．（4）方法一可表示为：（a+b）3；方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．∴等式为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（5）由（4）可得：（2m﹣n）3＝8m3﹣12m2n+6mn2﹣n3＝8m3﹣n3﹣6mn（2m﹣n），∵2m﹣n＝4，mn＝2，∴64＝8m3﹣n3﹣6×2×4，∴8m3﹣n3＝64+48＝112．21．解：（1）推导出勾股定理，内容为：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2；（2）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也可以表示为ab+ab+c2，∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，即a2+b2＝c2；（3）设CA＝x，∵AB＝AC，∴AH＝x﹣0.9，在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，解得x＝1.25，即CA＝1.25，CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），答：新路CH比原路CA少0.05千米．。

17.2 勾股定理的定理测试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是( )A. 1，2，2B. 1，√3，2C. 4，5，6D. 1，1，√32. 下列数字作为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )A. 8，15，17B. 1，√3，√2C. 4，√7，3D. √5，√12，√133. 三角形的三边a，b，c满足|a−3|+(b−4)2+√c−5=0，则三角形形状是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形4. 下列各组数中，是勾股数的是( )A. 13,14,15B. 3，4，7C. 6，8，10D. 1，√2，25. 下列各组数不能作为直角三角形三边长的是( )A. √3，√4，√5B. 3，4，5C. 0.3，0.4，0.5D. 30，40，506. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A. CD、EF、GH B. AB、EF、GHC. AB、CF、EFD. GH、AB、CD7. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A. CD，EF，GHB. AB，EF，GHC. AB，CD，EFD. GH，AB，CD8. 在△ABC的∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足关系式(b−c)(b+c)=a2−2c2，则( )A. ∠A为直角B. ∠B为直角C. ∠C为直角D. 不是直角三角形二、填空题（本大题共8小题，共24分）9. 一艘轮船以16nmile/ℎ的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12nmile/ℎ的速度向西南方向航行，则1.5ℎ后两船相距nmile．10. 在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．11. 如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送1.5m(水平距离BC=1.5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是12. 一长方体容器(如图1)，长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD的长为．13. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=13，CD=12，AD=4，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积是．14. 如图，以△ABC的三边向外作正方形，依次得到的正方形的面积为36，64，100，则这个三角形的面积是．15. 如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6.则∠ACD=度．16. 如图，在一个长6m、宽3m、高2m的房间里放进一根竹竿，竹竿最长可以是．三、解答题（本大题共9小题，共72分。

第17章勾股定理（练习）-人教版八年级下册一．选择题1．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝50°，∠C＝40°B．∠A＝2∠B＝3∠CC．a＝4，b＝，c＝5D．a：b：c＝1：：2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AP，过点O作OM⊥AC，若△ABC的周长为30（）A．30B．15C．60D．1203．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，则小巷的宽为（）A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m4．如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边；再以CD＝1，OC 为直角边；…，按照这个规律，在Rt△OHI中（）A．B．C．D．5．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，若△BCF为等腰三角形，AG＝5（）A．15B．16C．20D．256．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯（）A．5米B．6米C．7米D．8米7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥AB，交AC于点E，DE＝5，DF＝3（）A．∠CED＝∠FDB B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝108．如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（）A．48B．60C．36D．729．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BD＝4，CD＝3．下列结论①∠AED＝∠ADC；②；④4BF＝5AC，其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形CBGF，正方形AHIB，CG，作CP⊥CG交HI于点P1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（）A．2：B．4：3C．：D．7：4二．填空题11．已知a、b为直角三角形的两边长，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则第三边长为．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝b，D为边BC上一点∠ABC＝2∠CAD，则线段BD的长＝．（用含a，b的式子表示）13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD＝2，DC＝32﹣AD2的值为．14．如图，四边形ABCD中，AB＝14，CD＝8，DA＝6，则四边形ABCD的面积是．15．如图所示，已知△ABC中，BC＝16cm，AB＝12cm，点P是BC边上的一个动点，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t（s），则运动时间t＝．三．解答题16．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.7m的墙上（AB＝4.7m），人只要移至距该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”（CD＝1.7m），门铃恰好自动响起，即AC＝5m17．如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？18．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，点P从点A出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当PQ∥AC时，求t的值；（2）当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形．20．如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝80m m，且∠ABC ＝90°．（1）求∠DAB的度数；（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m。

17.1 勾股定理同步测试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为( )A. 10B. 13C. 7D. 142. 如图是由小正方形组成的4×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点．若BD 是△ABC的高，则BD的长为( )A. 75B. √7 C. 145D. 2√73. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm4. 如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A. √3B. 2√2C. √5D. 2.55. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，点D为BC的中点，延长AD至E点，使DE=AD，则△ACE的面积是( )A. √3B. 2√3C. 8D. 8√36. 斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是( )A. 3，5 B. 2，3 C. 3，√7 D. 2，27. 如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为( )A. √2B. 2C. √3D. 38. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为( )A. 4B. 4πC. 8πD. 8二、填空题（本大题共8小题，共24分）9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC=9，则BC=．10. 如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作BC⊥OB于点B，且CB=1，以原点O为圆心，OC为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是．11. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长是．12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1，AC在数轴上，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是．13. 一个几何体的三视图如图所示．如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E ，这个线路的最短路程为．14. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为cm．15. 如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，AD⊥BC于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作PE⊥AB于点E，连接PB，则PB+PE的最小值为．16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0)，(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，共72分。

勾股定理练习题一、选择题1、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B.锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形.2、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 333、直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm4、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）A. 第三边一定为10B. 三角形的周长为25C. 三角形的面积为48D. 第三边可能为105、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离（）A、600米；B、800米；C、1000米；D、不能确定二、填空题6、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。

7、在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC8、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是_________9.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为_________10、在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为11、已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为．12、在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，则AC的值是三、解答题13、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=3，求线段AAB的长。

DC B14、已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，152、如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A 出发，爬到点B ，如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．3、如图，点A 在点O 的北偏西30的方向5km 处，AB OA ．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（ ）A．点B在点A的北偏东30方向5km处B．点B在点A的北偏东60︒方向5km处C．点B在点A的北偏东30方向处D．点B在点A的北偏东60︒方向处4、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6 B．9 C．12 D．185、下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．1C．4，5，6 D．12，15，206、如图，点P表示的数是－1，点A表示的数是2，过点A作直线l垂直于PA，在直线l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，PB为半径画弧交数轴于点C，则点C所表示的数为（）．A B．1C1D17、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1C．6，8，13 D．5，12，158、为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得5AC=米，在点C正上方找一点D （即DC BC∠=︒，30CDB⊥），测得60∠=︒，则景观池的长AB为（）ADCA．5米B．6米C．8米D．10米9、如图，以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为（）A．1 B C D．210、若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（）A．B C．D．10第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（3，﹣1），则线段AB的长度等于 _____．2、若Rt⊿ABC的三边为a，b，c，斜边c= 2，则22=________a b3、（1）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙两人相距_____km．（2）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A角走到C角，至少走_____米．（3）如图：有一个圆柱，底面圆的直径AB＝16π，高BC＝12，P为BC的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离是_____．4、如图，在△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝，PQ M、N分别在边AB、BC上，（1）PBQ∠=_______．（2）当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2=_______．5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是边BC、AB上的任意一点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′，如果点B′和顶点A重合，则CD＝______cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当△PBC 的面积为△ABC 面积的一半时，求t 的值；（2）当t 为何值时，AP ＝PB ．2、如图，有一张四边形纸片ABCD ，AB BC ⊥．经测得9cm AB =，12cm BC =，8cm CD =，17cm AD =．（1）求A 、C 两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．3、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝AB ，AC ＝8，点D 是边AC 的中点，动点P 从点D 出发，沿DA 以每秒2个单位长度的速度向终点A 匀速运动，同时，动点Q 从点D 出发，沿DC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 匀速运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，过点Q 作QE ⊥AC ，使QE ＝QD ，且点E 落在直线AC 的上方，当点P 不与点D 重合时，以PQ 、QE 为邻边作长方形PQEF ．设长方形PQEF 与△ABC 的重叠部分的面积为S ，点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示线段AP 的长度为 ．（2）当点F落在线段AB上时，求t的值．（3）用含t的代数式表示S．（4）连结AF、DF．当△AFD是等腰三角形时，直接写出t的值．4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AB=2 求：（1）AC的长；（2）三角形ABC的面积（结果保留根号）5、如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求BC．---------参考答案-----------一、单选题1、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD、是勾股数，因为222912=15+，故此选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．2、C【分析】将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位线，求出CN 的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【详解】解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，∵AN＝MN，CN∥BM∴CN＝12BM＝2，在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC故选：C．．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：三角形中位线，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．3、D【分析】过A作AC∥OM交ON于C，作AD∥ON，求出AB及∠DAB即可得到答案．【详解】过A作AC∥OM交ON于C，作AD∥ON，如图：∵∠MON=90°，∠AOC=30°，∴∠AOM=120°，由作图可知，OB平分∠AOM，∠AOM=60°，∴∠AOB=12∴∠B=30°，在Rt△AOB中，OB=2OA=10，∴2253=-=，AB OB OA∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，∴∠CAO=60°，∴∠DAB=90°-∠BAC=∠CAO=60°，∴B在A北偏东60°方向处，故选：D．【点睛】本题考查作图-基本作图、方向角、角平分线的作法等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4、D【分析】根据90∠=︒，利用勾股定理可得222C=+，据此求解即可．AB BC AC【详解】解：如图示，90∠=︒C∴在Rt ABC中，222=+AB BC AC∴2222222+==+⨯，+=AB BC AC AB AB AB=22318故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长a，b，c满足222a b c是+=解题的关键．5、B【分析】根据勾股定理逆定理可知，分别计算选项中两短边的平方和是否等于长边的平方即可．【详解】解：A 、123+=，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；B 、2221(2)+=，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；C 、222456+≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222121520+≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟知三角形的三边满足：222+=a b c ，那么这个三角形为直角三角形是解题的关键．6、D【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB 的长度，然后根据PB =PC 即可求出OC 的长度，接着可以求出数轴上点C 所表示的数．【详解】解：PB∴PB =PC ，∴11OC PC =-=，∴点C 1，故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．7、B【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、52＋42≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B 、12＋122，能构成直角三角形，故符合题意；C 、62＋82≠132，不能构成直角三角形，故不符合题意；D 、122＋52≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键．8、D【分析】利用勾股定理求出CD 的长，进而求出BC 的长，AB BC AC =- 即可求解．【详解】解：∵DC BC ⊥，∴90DCB ∠=︒ ，∵30AC=，ADC∠=︒，5∴210==，AD AC∴CD=，∵60∠=︒，CDB∴30∠=︒，B∴2==，BD CD∴15BC=，∴15510m=-=-=，AB BC AC故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理．9、B【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可．【详解】解：由勾股定理得：==OA OB∵O点表示的原点，∴点A故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．10、C【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用勾股定理的知识求出高．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，①当三边是6、6、8时，底边上的高AD②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．二、填空题1、5【分析】根据两点间的距离公式得到AB即可．【详解】解：根据题意得AB5．故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理和两点间的距离公式，关键是根据两点间的距离公式解答．2、4【分析】根据勾股定理得出a2+b2=c2，把c=2代入求出即可．【详解】解：∵根据勾股定理得：a2+b2=c2，∵c=2，∴a2+b2=22=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中．两直角边的平方和等于斜边的平方．3、5 50 10【分析】（1）因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离；（2）连接AC，利用勾股定理求出AC的长即可解决问题；（3）把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【详解】解：（1）如图，∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，∴AB km．故答案为：5；（2）如图连接AC，∴四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=30米，BC=40米，∴AC=米)．根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角，至少走50米，故答案为：50；（3）解：已知如图：∵圆柱底面直径AB =16π，高BC =12，P 为BC 的中点， ∴圆柱底面圆的半径是8π，BP =6， ∴AB =12×2×8π•π=8， 在Rt △ABP 中， AP，∴蚂蚁从A 点爬到P 点的最短距离为10．故答案为：10．【点睛】本题考查勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4、45°【分析】作点P 关于AB 的对称点P '，点Q 关于BC 的对称点Q '，连接P Q ''交AB 于M ，交BC 于N ，此时四边形PQNM 的周长最小，过点P 作PH BQ ⊥于H ，由勾股定理求出BH =PH BH =45PBQ ∠=︒，再求出150P BQ ∠''=︒，过点Q '作Q K P B '⊥'于K ，在Rt BKQ ∆'中，30KBQ ∠'=︒，BQ BQ '==则KQ '=BK =，在Rt △P Q K ''中，由勾股定理得222P Q ''=+【详解】解：（1）如图，作点P 关于AB 的对称点P '，点Q 关于BC 的对称点Q '，连接P Q ''交AB 于M ，交BC 于N ，此时四边形PQNM 的周长最小，过点P 作PH BQ ⊥于H ，22222PH PB BH PQ HQ ∴=-=-，22222)BH BH ∴-=-，解得：BH =2422PH ∴=-=，PH ∴=PH BH ∴==45PBQ ∴∠=︒，（2）ABP ABP ∠=∠'，CBQ CBQ ∠=∠'，2()2150P BQ ABC PBQ PBQ ABC PBQ ∴∠''=∠-∠+∠=∠-∠=︒，过点Q '作Q K P B '⊥'于K ，在Rt BKQ ∆'中，18015030KBQ ∠'=︒-︒=︒，BQ BQ '==12KQ BQ ∴'='=，BK在Rt △P Q K ''中，2KP BP BK '='+=KQ '=222(222P Q ∴''=+=+22()22MP MN NQ P Q ∴++=''=+【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含30角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．5、72【分析】设CD ＝xcm ，则BD ＝（16﹣x ）cm ；根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：设CD ＝xcm ，则BD ＝（16﹣x ）cm ，由折叠得：AD ＝BD ＝16﹣x ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得：CD 2+AC 2＝AD 2，∴x 2+122＝（16﹣x ）2，解得：x ＝72，即CD ＝72（cm ）． 故答案为：72．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．三、解答题1、（1）8；（2）12.5；【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）设AP＝t，利用勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，∴BC12（cm）；∵△PBC的面积为△ABC面积的一半∴12× 12×(16 - t ) =12× 12× 12 × 16解得：t = 8所以当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，t的值为8；（2）设AP＝t，则PC＝16﹣t，在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，即（16﹣t）2+122＝t2，解得：t＝12.5，∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5．【点睛】考查了勾股定理，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2、（1）15cm；（2）114cm2【分析】（1）连接AC ，在Rt ABC 中利用勾股定理求解即可；（2）先用勾股定理的逆定理证明90ACD ∠=︒，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，连结AC ．∵在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒．∴由勾股定理，得222AC BC AB =+．∴15cm AC ．（2）∵2217289AD ==，2222158289AC CD +=+=，∴222AD AC CD =+．∴90ACD ∠=︒．∴四边形ABCD 的面积211=91281511422ABC ACD SS cm =+⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 3、（1）4－2t ；（2）43t =；（3）当403t <≤时，23S t =，当423t <≤时，231282S t t =-+-；（4）t ＝1或t =【分析】（1）根据题意得2DP t =，4=AD 即可求出；（2）根据当点F 落在线段AB 上时，有AP PF =即可求解；（3）分两种情况进行讨论，时间段为403t <≤，423t <≤；（4）分两种情况来研究，即AF DF =和AD FD =．【详解】解：（1）D 为边AC 的中点，AC ＝8，4AD ∴=， 动点P 从点D 出发，沿DA 以每秒2个单位长度的速度向终点A 匀速运动，2DP t =，42AP AD DP t ∴=-=-，故答案是：42t -；（2）当点F 落在线段AB 上时，AP PF ∴=，PF QE DQ t ===，42t t ∴-=， 解得：43t =； （3）由（2）知当403t <≤时，整个长方形PQEF 在△ABC 里，233S t t t ∴=⋅=， 当423t <≤时，222133(34)12822S t t t t =--=-+-； （4）当AF DF =，即点P 为AD 的中点时成立，422AP t ∴=-=，解得：1t =，当4AD FD ==时，222(2)4t t ∴+=，解得：t =t =，1t ∴=或t =【点睛】本题考查了列代数式，图象的运动问题、勾股定理、等腰三角形，解题的关键是通过数形结合来解决该题．4、（1（2【分析】（1）先求解30,1,BAD BD ∠=︒= 再利用勾股定理求解=AD 证明,AD CD = 再利用勾股定理求解AC 即可；（2）由（1）的结论先求解,BC 再利用三角形的面积公式进行计算即可.【详解】解：（1）∵AD BC ⊥∴∠ADB =∠ADC =90°∵∠B =60°∴∠BAD =30°又∵AB =2，∠ADB =90°∴BD =112AB =，AD ∵∠C =45°，∠ADC =90°45,C CAD ∴∠=∠=︒∴DC =AD∴AC =（2）1,BD DC AD ===1,BC BD DC ∴=+=,AD BC ⊥)112ABC S AD BC ∴=⨯==△ 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，二次根式的乘法运算，熟练的运用以上基础知识是解本题的关键.5、（1）见详解；（2）【分析】（1）欲证明PB PC =，只需推知BCM CBH ∠=∠；（2）先求出CH 的长，在Rt BHC 中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵AB =AC ，∴A ABC CB =∠∠．∵BH CM ，为△ABC 的高，∴90BMC CHB ∠=∠=︒．∴9090ABC BCM ACB CBH ∠+∠=︒∠+∠=︒，．∴BCM CBH ∠=∠．∴PB PC =．（2）解：5PB PC PB ==，，5∴=．PC，，=∠=︒390PH CHB∴CH=4．在Rt△BHC中，BH=8BC∴=【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，掌握等腰三角形的判定定理及勾股定理是解本题的关键．。

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁欲从点A爬到点B处吃食物，需要爬行的最短路程（π取3）是（）A．10cm B．12cm C．14cm D．2、如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．73、如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若AB＝3，AD＝5，则EC的长为（）A．1 B．53C．32D．434、如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边在ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＝4，则S3为（）A．8 B．16 C D+45、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（）A．6 B C D．46、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，3B C'=，则AM的长为（）A．1.8 B．2 C．2.3 D7、现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（）A．3米B．5米C．7米D．9米8、图中字母A所代表的正方形的面积为（）．A．64 B．8 C．16 D．69、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1810、若一个直角三角形的一条直角边长是9cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为( )A．25cm B．24cm C．41cm D．40cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝ADE沿着DE 翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝_____．2、如图，将一副三板按图所示放置，∠DAE＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，点E在AC上，过点A作AF∥BC交DE于点F，则EFDF＝__________________．3、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．4、细心观察图形，认真分析各式，然后填空．OA22）2+1＝2S 1＝2；OA 32＝12+）2＝3S 2OA 42＝12+2＝4S 3_____个三角形？5、如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A 、B 、C 三个正方形的边长分别为2、4、5，则正方形D 的面积为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝2，E为AC边上一点（不与A，C重合），连结BE，作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，连结EG．分别记∠AEB，∠AGB，∠CEG为∠1，∠2，∠3．（1）AB的长为（直接给出答案）．（2）当∠1＝∠2时，①求证：BE平分∠ABC．②求EGC的周长．（3）当∠1＝∠3时，AE的长为（直接给出答案）．2、△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE= 90°，△DBE可以点B为旋转中心进行旋转．（1）如图1，当边BD恰好在△ABC的BC边上时，连接AD，若BE=1，AD= 2．求线段DC的长；（2）如图2，当边BD旋转至△ABC外时，连接CD、AD、CE，其中AD与CE相交于点F．求证：CE⊥ AD；（3）如图3，F为AC的中点，当边BD旋转至△ABC内时，连接AD、CE、FD，并在FD的延长线上取一点G，连结CG，使CG＝CE．求证：∠FDA=∠CGF．3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．（1）点F到△ABC的边_______和_______的距离相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．4、如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高．（1）若AB=8，则AD的长为_______；（2）若M ，N 分别是CA ，CB 上的动点，点E 在斜边AB 上，请在图中画出点M ，N ，使DM +MN +NE 最小（不写作法，保留作图痕迹）．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】先画出圆柱展开图形，最短路程是AB 的长，AC 是底面圆周长的一半，则AC r π=，BC 是高8cm ，根据勾股定理计算．【详解】解：如图所示，236AC r cm π==⨯=，由勾股定理得：10AB cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了圆柱的平面展开－最短路径问题，将圆柱展开为矩形，利用勾股定理求对角线的长即为最短路径的长．2、B【分析】在Rt ABC∆中利用勾股定理求出AC长，利用折叠性质：得到ADE ADC∆∆≌，求出对应相等的边，设DE＝x，在Rt BDE∆中利用勾股定理，列出关于x的方程，求解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC2222BC，6810∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，≌，∴∆∆ADE ADC∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，∵BD2+BE2＝DE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5，故选：B．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．3、D【分析】由翻折可知：AD＝AF＝5．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝5，DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ABF中，BF4，∴CF＝BC−BF＝5−4＝1，在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，∴（3−x）2＝x2＋12，∴x＝43，∴EC＝43．故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．4、B【分析】根据直角三角形30度角的性质得到AB=2AC，再利用正方形面积公式求值．【详解】解：Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB=2AC，∴S3=AB2=4AC2=4S1＝16，故选：B．【点睛】此题考查了直角三角形30度角的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．5、B【分析】由勾股定理先求出Rt△ADB的直角边AD的长，然后再根据勾股定理求Rt△ADC的斜边AC的长即可．【详解】解：如图，∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，AB＝3，BD＝2，∴AD=在Rt△ADC中，AD CD＝1，∴AC故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解勾股定理．6、B【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【详解】解：连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵折叠，∴MB=MB′，∴AB2+AM2= MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，故选：B．【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．7、A根据题意结合图形可得：3OE =m ，1239OB =-=m ，15312OD =-=m ，15AB CD ==m ，在两个直角三角形ABO 和COD 中，分别运用勾股定理求出AO ，CO ，即可得出移动的距离．【详解】解：如图所示：3OE =m ，1239OB =-=m ，15312OD =-=m ，15AB CD ==m ，在Rt ABO 中，12AO ==m ，在Rt COD 中，9CO m ，3AC AO CO =-=m ，故选：A ．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，找出相应的线段运用勾股定理是解题关键．8、A【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得出结果．解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289-225=64．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．9、D【分析】根据90∠=︒，利用勾股定理可得222C=+，据此求解即可．AB BC AC【详解】解：如图示，90∠=︒C∴在Rt ABC中，222=+AB BC AC∴2222222+==+⨯，+=AB BC AC AB AB AB=22318故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长a，b，c满足222+=a b c是解题的关键．10、C根据勾股定理计算即可；【详解】设斜边为x ，则另一条直角边为1x -，∴()22291x x +-=，∴228121x x x +-+=，∴41x =；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．二、填空题1、9或【分析】分两种情况：①如图1，当点D 在H 点上方时，过点E 作EH ⊥AC 交AC 于点E ，过点G 作GQ ⊥AB 交AB 于点Q ，②如图2，当点D 在H 点下方时，过点E 作EH ⊥AC 交AC 于点E ，过点G 作GQ ⊥AB 交AB 于点Q ，先求出三角形AEG 的AE 边上的高GQ 和三角形ADE 的AD 边上的高，根据S △DGF ＝2S △AED ﹣S △AEG 可分别求出答案．【详解】解：①如图1，当点D 在H 点上方时，过点E 作EH ⊥AC 交AC 于点E ，过点G 作GQ ⊥AB 交AB 于点Q ，∵AB＝12，点E是AB的中点，AB＝6，∴AE＝12∵EH⊥AC，∴∠AHE＝90°，∵∠A＝30°，AE＝6，∴AH∵DE＝∴DH3，∴DH＝EH，AD＝AH﹣DH＝3，∴∠EDH＝45°，∴∠AED＝∠EDH﹣∠A＝15°，由折叠的性质可知，∠DEF＝∠AED＝15°，∴∠AEG＝2∠AED＝30°，∴∠AEG＝∠A，∴AG＝GE，∵GQ ⊥AE ，∴AQ ＝12AE ＝3，∵∠A ＝30°，∴GQ ＝12AG ，∴GQ 2+32＝（2GQ ）2，∴GQ∵S △AED ＝S △FED ，∴S △DGF ＝2S △AED ﹣S △AEG ，∴S △DGF 162⨯9． ②如图2，当点D 在H 点下方时，过点E 作EH ⊥AC 交AC 于点E ，过点G 作GQ ⊥AB 交AB 于点Q ，∵AB ＝12，点E 是AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝6，∵EH ⊥AC ，∴∠AHE ＝90°，同理求得DH ＝EH ，AH ＝AD ＝，∴∠DEH ＝45°，∴∠AED ＝90°﹣∠A +∠DEH ＝105°，由折叠的性质可得出∠DEF ＝∠AED ＝105°，∴∠AEG ＝2∠AED ﹣180°＝30°，∴∠AEG ＝∠A ，∴AG ＝GE ，同①求出GQ∵S △DGF ＝2S △AED ﹣S △AEG ，∴S △DGF ＝2×13)32⨯⨯﹣162⨯．故答案为：9或．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2【分析】过点F 作FM ⊥AD 于点M ，由题意易得30AFM CAF C ∠=∠=∠=︒，则有,2MF AF AM ==，然后可得DF =，(1AD AM =，进而可得DE AM =，最后问题可求解． 【详解】解：过点F 作FM ⊥AD 于点M ，如图所示：∵∠DAE ＝∠ABC ＝90°，∴FM ∥AC ，∴AFM CAF ∠=∠，∵∠C ＝30°，AF ∥BC ，∴30AFM CAF C ∠=∠=∠=︒，∴2AF AM =，∴MF =，∵∠D ＝45°，∴,DMF DAE 都是等腰直角三角形，∴DM MF ==，DF =，∵AD AM DM =+，∴(1AD AM =，∴DE AM ==，∴EF DE DF =-，∴EF DF【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．3、5 60 13【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=12AB•CM=12AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴5AC=；如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，∵1122ABCS AB CM AC BC==△,∴356013112AC BC CM AB ⋅⨯===． 故答案为：5；6013． 【点睛】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P 、Q 的位置是解题关键．4、20【分析】根据题意可以得到规律2211n n OA nS -=+==，由此求解即可． 【详解】解：∵OA 222+1＝2S 1OA32＝12+）2＝3S 2OA 42＝12+2＝4S 3∴2211n n OA nS -=+==，= ∴21n =，∴它是第21-1=20个三角形，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了勾股定理和与实数运算有关的规律型问题，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．5、45【分析】设正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，根据勾股定理得2222a b d c +=-，然后代入计算即可．【详解】解：设正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，根据勾股定理得2222a b d c +=-，∵正方形A 、B 、C 的面积依次为4、16、25，∴根据图形得：4＋16＝2d ﹣25，解得：2d ＝45，故答案为：45．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）（2）①见解析；②4；（3【分析】（1）根据题意证明ABC 是等腰直角三角形，然后由等腰三角形三线合一性质和等腰直角三角形的性质得到2BD CD AD ===，最后根据勾股定理即可求出AB 的长；（2）①首先由AG ⊥BE ，得到290GBE ∠+∠=︒，然后由∠BAC ＝90°，得到190ABE ∠+∠=︒，进而由∠1＝∠2可得出ABE GBE ∠=∠，即可证明出BE 平分∠ABC ；②首先由ASA 证明ABF GBF ≌，得到BG AB ==BE 所在直线是线段AG 的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出AE GE =，再由ABC 是等腰直角三角形，得到AC AB ==出EGC 的周长；（3）作AC CH ⊥交AG 的延长线于H 点，首先根据AAS 证明ABE CAH △≌△，得到AE CH =，1H ∠=∠，然后根据ASA 证明EGC HCG △≌△，进而得到EC CH =，即可得出12AE CE AC === 【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴ABC 是等腰直角三角形，∵AD ⊥BC 于点D ，AD ＝2，∴2BD CD AD ===，∴在Rt ABD △中，AB ==（2）①∵AG ⊥BE ，垂足为F ，∴90BFG ∠=︒，∴290GBE ∠+∠=︒，∵∠BAC ＝90°，∴190ABE ∠+∠=︒，∵∠1＝∠2，∴ABE GBE ∠=∠，∴BE 平分∠ABC ．②∵在ABF 和GBF 中，90ABF GBF BF BFAFB BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴()ABF GBF ASA △≌△，∴BG AB ==AF GF =，∴BE 所在直线是线段AG 的垂直平分线，∵ABC 是等腰直角三角形，∴AC AB ==∵4=+=BC BD CD ，∴4GC BC BG =-=- ∴EGC的周长＝44GE EC GC AE EC GC AC GC ++=++=+=-；（3）如图所示，作AC CH ⊥交AG 的延长线于H 点，∵90BAE ∠=︒，AG BE ⊥，∴90ABF BAF ∠+∠=︒，90FAE BAF ∠+∠=︒，∴ABF FAE ∠=∠，∴在ABE △和CAH 中，ABE CAH AB ACBAE ACH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CAH ASA △≌△，∴AE CH =，1H ∠=∠，∵∠1＝∠3时，∵90ACH ∠=︒，45ACB ∠=︒，∴45HCB ACB ∠=∠=︒，∴在ECG 和HCG △中，345H ECG HCG CG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ECG HCG AAS △≌△，∴EC CH =，又∵AE CH =，∴12AE CE AC ===【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL (直角三角形)．2、（11（2）见解析（3）见解析【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质与勾股定理求出AB ，故可求出CD ；（2）设AD 、BC 交于O 点，证明△ABD ≌△CBE ，再利用三角形的内角和得到∠CFO =∠ABO =90°，故可求解；（3）延长GE 至H ，令HE =GE ，证明△AHF ≌△CGF ，得到∠H =∠G ，AH =CG ，再由△ABD ≌△CBE 得到AD =CE ，故可得到AD =CG =AH ，则∠FDA =∠H =∠CGF ，即可求解．【详解】解：（1）∵△ABC 和△DBE 都是以点B 为顶点的等腰直角三角形∴BD=BE=1∵∠ABC= 90°BC∴AB∴CD=BC-BD1；（2）设AD、BC交于O点∵△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE= 90°，∴AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE= 90°∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD∴∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBE（SAS）∴∠OAB=∠OCF∵∠AOB=∠COF∴∠CFO=∠ABO=90°∴AD⊥CE；（3）如图，延长GE至H，令HE=GE∵F点是AC中点∴AF=CE又∵∠HFA=∠GFC∴△AHF≌△CGF∴∠H=∠G，AH=CG由（2）同理可得△ABD≌△CBE∴AD=CE∵CE=CG∴AD=CG=AH∴∠FDA=∠H=∠CGF．即∠FDA=∠CGF．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理，根据图形的特点作辅助线求解．3、（1）AB，AC（或AC，AB）；（2）∠BFC＝90°，BC＝【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD＝∠BAD，然后根据角平分线的性质定理可得点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；（2）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质得到CF＝BF，然后由EG垂直平分AC，得到AF＝CF，进而得到AF＝CF＝BF＝3，根据等腰三角形等边对等角以及外角的性质得到∠CFD＝2∠CAD，∠BFD＝2∠BAD，即可求出∠BFC＝90°；在Rt△BFC中，根据勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；故答案为：AB和AC（或AC和AB）；（2）∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD垂直平分BC，∴CF＝BF，∵EG垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝CF＝BF＝3，∵AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，同理可得：∠BFD＝2∠BAD，∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，∴BC．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理．4、（1）修建的公路CD 的长为125km ；（2）总路程为285km ． 【分析】（1）根据题意可得：3AC =，4BC =，90ACB ∠=︒，利用勾股定理可得5AB =，再由三角形的等面积法计算即可得出；（2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出BD 长度，然后求CD BD +长即可．【详解】解：（1）∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒，根据题意可得：3AC =，4BC =，∴5AB =，1122=⨯⨯=⨯⨯ABCS AC BC AB CD ， ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯， ∴125CD =， ∴修建的公路CD 的长为125km ； （2）∵CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒， 根据题意可得：125CD =，4BC =，∴165=BD ， ∴121628555+=+=CD BD km ， ∴总路程为285km ． 【点睛】 题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键．5、（1）2；（2）作图见解析【分析】（1）先利用含30的直角三角形的性质求解,AC 再利用勾股定理求解,BC 再利用11,22AB CD AC BC 求解CD ，再利用勾股定理求解AD 即可；（2）作点D 关于AC 的对称点,D ' 作E 关于AB 的对称点E '，连接,D E 交AC 于,M 交BC 于,N 则此时MD MN NE 的值最小，即为线段D E ''的长.【详解】解：（1） ∠ACB =90°，∠B =30°，AB =8，14,2AC AB 2243,BC AB AC,CD AB ⊥ 11,22AB CD AC BC 44323,8AC BCCD AB 22 2.AD AC CD故答案为：2M N即为所求作的点，（2）如图，,【点睛】本题考查的是含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，掌握“轴对称的性质”是解本题的关键.。

2022-2023学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》单元综合练习题（附答案）一、选择题（共30分）1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5B．6、8、10C．、2、D．5、12、132．在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（）A．3B．4C．5D．±53．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．B．C．+1D．+14．下列命题中，其逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．等边三角形是等腰三角形C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0D．如果三角形的三边长a，b，c（其中a＜c，b＜c）满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形5．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12B．7+C．12或7+D．以上都不对6．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（）A．2B．2C．4D．47．若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定8．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5m，高为3m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（）A．5m B．7m C．8m D．12m9．如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（）A．20cm B．24cm C．26cm D．28cm10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为（）A．B．C．D．2二、填空题（共30分）11．已知正方形ABCD的面积为8，则对角线AC＝．12．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有米．13．若一个三角形的三边之比为3：4：5，且周长为24cm，则它的面积为cm2．14．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是．15．若三角形的三边长满足关系式|a﹣5|+（a+b﹣17）2+＝0，则这个三角形是．16．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为．17．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．18．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为．19．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值为．三、解答题（共60分）21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AB＝AC＝13，BD＝1．（1）求CD的长；（2）求BC的长．22．B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到F岛，两岛相距34nmile，求乙船航行的方向．23．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，试判断△ABC的形状．24．我们把满足方程x2+y2＝z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数：（、、），（、、）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．25．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠BAC和∠ADC都应为直角，工人师傅量的零件各边尺寸：AD＝8，AC＝10，CD＝6，AB＝24，BC＝26，请你判断这个零件是否符合要求，并说明理由．26．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8．求AB的长．27．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图1，则有a2+b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2+b2＞c2．理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x．在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2．∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，即a2+b2＝c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＞c2．故当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2．∴小明的猜想是正确的．请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图3，a2+b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论．参考答案一、选择题（共30分）1．解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故A选项不符合题意；B、62+82＝102，故是直角三角形，故B选项不符合题意；C、（）2+22≠（）2，故不是直角三角形，故C选项符合题意；D、52+122＝132，故是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：C．2．解：∵点P（3，4），∴点P到原点的距离是＝5．故选：C．3．解：由题意得，BC＝AB＝1，由勾股定理得，AC＝＝，则AM＝，∴点M对应的数是+1，故选：C．4．解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立，不符合题意；B、逆命题为等腰三角形为等边三角形，不成立，不符合题意；C、逆命题为：如果ab＞0，那么a＞0，b＞0，不成立，不符合题意；D、逆命题为：如果三角形的三边长为a，b，c（其中a＜c，b＜c）的三角形是直角三角形，那么满足a2+b2＝c2，符合题意．故选：D．5．解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝，此时这个三角形的周长＝7+，故选：C．6．解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝30°，∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，∵BD＝1，∴CD＝2＝AD，∴AB＝1+2＝3，在△BCD中，由勾股定理得：CB＝，在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝2，故选：A．7．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，又∵（a﹣b）2+≥0，|a2+b2﹣c2|≥0，∴a＝b，且a2+b2＝c2，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．8．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝4（m），∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4＝7（m）．故选：B．9．解：如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm），BC＝＝10（cm），由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm），∴所用细线最短为26cm，故选：C．10．解：法一：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A+PC的值最小，∵DP＝P A，∴P A+PC＝PD+PC＝CD，∵B（3，），∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2，由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，∵C（，0），∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝，即P A+PC的最小值是，法二：如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．∵AB＝，OA＝3∴∠AOB＝30°，∴∠DOC＝2∠AOB＝60°∵OC＝OD∴△OCD是等边三角形∴DM＝CD•sin60°＝，OM＝CM＝CD•cos60°＝∴AM＝OA﹣OM＝3﹣＝∴AD＝＝即P A+PC的最小值为故选：B．二、填空题（共30分）11．解：∵正方形ABCD的面积为8，AC＝BD，∴AC•BD＝8，即AC2＝16，∴AC＝4故答案为：4．12．解：因为AB＝9米，AC＝12米，根据勾股定理得BC＝＝15米，于是折断前树的高度是15+9＝24米．故答案为：24．13．解：如图，设三边长为3xcm，4xcm，5xcm，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∵周长为24cm，∴3x+4x+5x＝24，解得：x＝2，∴3x＝6，4x＝8，∴它的面积为：×6×8＝24（cm2），故答案为：24．14．解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，即S3＝2+5+1+2＝10．故答案是：10．15．解：∵|a﹣5|+（a+b﹣17）2+＝0，∴a﹣5＝0，a+b﹣17＝0，c﹣13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13，∵52+122＝132，∴这个三角形为直角三角形，故答案为：直角三角形．16．解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM＝CF，∵OC＝5，OM＝4，∴CM＝3，∴CF＝3，故答案为：3．17．解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的长为3．∴点E的坐标为（10，3），解法二：证明△AOF∽△FCE，求出EC即可．故答案为：（10，3）．18．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC＝同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．19．解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B、C为EF、FD的中点，S△ABC＝S正方形AEFD﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CDA＝，＝．BC＝＝．∴△ABC中BC边上的高是×2÷＝．故答案为：．20．解：①如图（1），当∠BQP＝90°时，则∠BPQ＝30°，BP＝2BQ，∵BP＝12﹣3t，BQ＝t，∴12﹣3t＝2t，解得：t＝；②如图（2）当∠QPB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，若0＜t＜4，则t＝2（12﹣3t）．t＝，若4＜t≤6时，则t＝2（3t﹣12），t＝；故答案为、、．三、解答题（共60分）21．解：（1）∵AB＝13，BD＝1，∴AD＝AB﹣BD＝13﹣1＝12．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝5；（2）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∴BC＝＝＝．22．解：由题意得：甲船的路程：AO＝8×2＝16（n），乙船的路程：BO＝15×2＝30（n），∵302+162＝342，∴∠AOB＝90°，∵AO是北偏东60°方向，∴BO是南偏东30°．答：乙船航行的方向是南偏东30°．23．解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形．24．解：（1）写出两组勾股数：（6，8，10），（9，12，15）．（2）证明：x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝z2，即x，y，z为勾股数．故答案为：6，8，10；9，12，15．25．解：∵AD＝8，AC＝10，CD＝6，AB＝24，BC＝26，∴AD2+CD2＝AC2，AB2+AC2＝BC2，∴△ACD、△ABC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，故这个零件符合要求．26．解：∵BF＝CF＝8，∠C＝30°，∴∠FBC＝∠C＝30°．∴∠DFB＝60°．由题易知BE与BC关于直线BF对称，∴∠DBF＝∠FBC＝30°．∴∠BDC＝90°．∴DF＝BF＝4．∴BD＝＝＝4．∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABD＝30°．∴AD＝BD＝2．∴AB＝＝＝6．27．解：当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2．证明：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．设CD＝x．在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2﹣DC2＝b2﹣x2；在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2＝c2﹣（a+x）2．∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2，整理，得a2+b2＝c2﹣2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＝c2﹣2ax＜c2．∴当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2．。