抽象函数的周期性和对称性

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。

如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。

如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。

如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。

如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。

需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。

例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。

练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。

练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。

要求求出f(7.5)的值。

由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。

又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。

故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。

抽象函数 一、内容回顾抽象函数,即没有给出具体解析式的函数.由于抽象函数问题可以把函数的三要素、函数性质的考查集于一体，因此在高考试题中常常出现抽象函数问题.1、抽象函数性质（1）单调性：对于函数()f x ，若在定义域内某个区间上任取12,x x ，当12x x <时，都有1212()()(()())f x f x f x f x <>，则称函数()f x 在这个区间上是增（减）函数.（2）奇偶性：对于函数()f x ，若在定义域内任取x ，都有()()(()())f x f x f x f x -=-=-，则称函数()f x 为偶（奇）函数.（3）周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.T 叫这个函数的周期.（ⅰ）若0,()(),a f x a f x ≠+=-则()f x 的一个周期2T a =；（ⅱ）若10,(),()a f x a f x ≠+=±则()f x 的一个周期2T a =. （4）对称性：（ⅰ）若函数)(x f y =的定义域为R ，且()(2)f x f a x =-恒成立，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称，反之亦然；（ⅱ）若函数)(x f y =的定义域为R ，且()(2)2f x f a x b +-=恒成立，则函数)(x f y =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然.例1（2019上饶模拟理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.解 由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+. 优解 由性质知()()()()()114(),51(5)(3).(1)5f x f x f f f f f f f +=∴==-===- 类型二 判断抽象函数的奇偶性例2 （2019宜春模拟理）已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,则()f x 为（ ）.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定解 令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.选B.优解 联想公式cos()cos()2cos cos ,x y x y x y ++-=不妨视()cos f x x =，显然此函数为偶函数，选B.类型三 证明抽象函数单调性例3 （2019宝安单元理）设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=，求证：()f x 在R 上为增函数.证明 在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f =.若(0)0f =，令0,0x y >=，则()0f x =，与()1f x >矛盾.所以()0f x ≠，即有(0)1f =.当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0,()10x f x ->->>, 而()()(0)1f x f x f -==，所以1()0()f x f x =>-. 又当0x =时，(0)10f =>,所以对任意x R ∈，恒有()0f x >,设12x x -∞<<<+∞，则21210,()1x x f x x ->->,所以21211211()(()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->.所以()y f x =在R 上为增函数. 类型四 抽象函数的周期性例4 （2018全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足(1)(1),f x f x -=+若，则（ ）.A ．50-B ．0C ．2D ．50解 因为是定义域为的奇函数，且，所以，，，因此，，，，从而，选C ．优解 由题设知，()f x 关于原点对称，且关于直线1x =对称，类比正弦函数的图像，可知()f x 的一个周期为4(10)4,(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(2)0,T f f f f f f f f =-=∴+++=+--=，从而，选C ． 例5 （2019宝安单元理）已知函数()f x 的定义域为R ,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ； (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n ∈N ；(3)判断函数()f x 的单调性,并证明.解 (1)令12m n ==，则1111()2()2222f f +=+1(1)2f ⇒=. （2）∵1(1),2f =111(1)(1)()()()1222f n f f n f n f n +=++=++=+ ∴(1)()1f n f n +-=，∴数列{}()f n 是以12为首项,1为公差的等差数列， 故(1)(2)(3)...()f f f f n ++++=(1)22n n n -+=22n =. (3)任取1212,,x x x x ∈<R 且,则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-()f x (,)-∞+∞(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…()f x (),-∞+∞()()11f x f x -=+()()11f x f x +=--()()()311f x f x f x ∴+=-+=-4T ∴=()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()3142f f f f =-=-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()22220f f f f =-=-∴=()()()()()1235012f f f f f ++++==()()()()22220f f f f =-=-∴=()()()()()1235012f f f f f ++++==211121211111()()()()()()0,2222f x x f x f x f x x f x x f =-++-=-+=-+>> 12()().f x f x ∴<故函数()f x 是R 上的单调增函数.三、方法总结1.计算函数数值：抽象函数值的计算，一般采用赋值方法.如何赋值，不但取决于函数定义域，还需要根据题设的具体情况.如果自变量的数值较大，则可能要关注抽象函数的周期情况.2.判断奇偶性质：解题时，应紧扣定义，先判断定义域是否关于原点对称，再看是否满足()(),f x f x -=或()()f x f x -=-；若给出的条件涉及x 、y 两个变量，则可考虑对其中一个变量以恰当的特值，如0，使之变成一个变量.3.证明单调性质：首先是基于函数定义域，在依照函数单调性定义进行证明. 如遇思维受阻，可以透过所给抽象函数关系，寻觅隐藏在背后的具体函数进行类比推理证明.4.性质综合求解：综合求解问题，不仅可以涉及以上纵向的多层面的知识方法，还可涉及不等式、数列等横向的数学知识方法.解决此类问题的关键在于，搞清问题结构，针对问题题型，采取相应的求解策略，如对选填题，常常可以采取特值法，归纳推理求解；对于解答题，可以采取化整为零的解题策略.四、高考链接1.（2014全国1卷）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）.A..()f x ()g x 是偶函数B.()f x |()g x 是奇函数C..()f x |()g x |是奇函数D.|()f x ()g x |是奇函数解析 设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.2. (2014湖南理)已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x -=321x x ++，＝（ ）.A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 用x -换x ，得32()()()()1f x g x x x ---=-+-+，化简得 32()()1f x g x x x +=-++，令1x =，得(1)(1)1f g +=，选C ．3.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<解析 由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．4.（2017全国1卷）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）.A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，选D ．(),()f x g x (1)(1)f g +则5. (2014山东理)对于函数()fx ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）.A ．()f x x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+解析 由()(2)f x f a x =-可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；选D ．6.(2011陕西理)设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+= ,则()y f x =的图像可能是（ ）.解析 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B ，D 符合；由得是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，选B ．7. (2016山东理)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时， ；当 时， ；当 时，，则f (6)= （ ）. A ．−2B ．−1C ．0D ．2 解析 当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，选D ．8.( 2016全国2卷理)已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（ ）.A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析 由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，选B ． ()()f x f x -=()y f x =()y f x =y (2)()f x f x +=()y f x =3()1f x x =-11x -≤≤()()f x f x -=-12x >11()()22f x f x +=-9. (2018北京理)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．解析这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如()sin f x x =，答案不唯一．10.(2014全国2卷)偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=___．解析 ∵函数()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==．11.(2016天津理)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32. 12. (2014湖北理)设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(b a c b a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数． (Ⅰ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；(Ⅱ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数b a ab +2； (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析 过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线的方程为()()()()f a f b y f a x a a b +-=--， 令0y =得()()()()af b bf a c f a f b +=+．()()()()af b bf a f a f b +=+()()()()a b bf a af b ⇒+=+，可取()0)f x x =>． （Ⅱ）令调和平均数2()()()()ab af b bf a a b f a f b +=++，得()()()()ab ba af b bf a a b f a f b ++=++，可取()(0)f x x x =>．五、巩固提高1.（2019邵阳联考理）若函数()f x 的定义域为[0,6]，则函数()3f x x -的定义域为（ ）. A.(0,3) B.[1,3](3,8] C.[1,3) D.[0,3)解析 ∵函数()f x 的定义域为[0,6] ,由02603,30,x x x ≤≤⇒≤≤-≠∴函数()3f x x -的定义域为[0,3)．选D ．2.（2019九江模拟理）已知函数()f x 满足：①对任意,()()0,x f x f x ∈+-=R(4)()0f x f x ++-=成立；②当(0,2)x ∈]时，()(2),f x x x =-则(2019)f =（ ）.A ．1B ．0C ．2D ．﹣1解析 ()()0,()f x f x f x +-=∴为奇函数. (4)()0,f x f x ++-=(4)(),f x f x ∴+=故()f x 是以4为周期的奇函数，(2019)1)(1)1,f f f ∴=-=-=选A ．3. (2019湖南师大附中月考理)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)都是偶函数，且f (1)＝1，则f (－1)＋f (7)＝（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ∵y ＝f (－x )为偶函数，∴f (－(－x ))＝f (－x )，∴f (－x )＝f (x )，∴y ＝f (x )为偶函数，∴当x ＝1时，有f (－1)＝f (1)＝1.又y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，∴f (x －2)＝f (x ＋2)．则f (x )＝f (x ＋4)，∴函数y ＝f (x )为周期函数，且周期为4.∴f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝1.故f (－1)＋f (7)＝2.选C.4. (2019唐山期末理)已知偶函数f x 在0,单调递减，若20f ，则满足10xf x 的x 的取值范围是（ ）.A.,10,3B.1,03,C.,11,3D.1,01,3解析 ∵偶函数在单调递减，且，∴函数在单调递增，且．结合图象可得不等式等价于 或，即或，解得或． 故的取值范围为．选A ．5.（2019东北师大附中摸底理）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）.A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )为周期函数，且周期为8，因此f (－25)＝f (－1)<f (0)＝f (80)<f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．选D.6. (2019宜春模拟理)已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1),f x f x +=-且在[1,+∞)上是增函数,不等式(2)(1)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）. A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1]解析 由定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C 两个选项的集合中,B 中集合是D 中集合的子集,故可通过验证a 的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等()f x [)0,+∞()20f -=()f x (),0-∞()20f =()10xf x ->()0{10x f x >->()0{ 10x f x <-<0{ 13x x >-<<0{ 1x x <<-03x <<1x <-x ()(),10,3-∞-⋃式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除A,C 两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤12 ,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除D 选项.综上可知,选B.7. (2019宝安检测理)已知定义在R 上的函数()2y f x =-是奇函数，且满足(1)1,f -=则(0)(1)f f += .解析 函数()2y f x =-为奇函数，(0)20,()2(()2),()()4,f f x f x f x f x -=--=---+=(1)(1)4,(1)3,(0)(1) 5.f f f f f +-==+=8. (2019广东百校联考)已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则=-+-)1()1(g f．解析： 由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)] 4.f g f g f g -+-=-+=--=-9. (2019湛江模拟理)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1＋m )＋f (m )<0，则实数德州模拟理已知定义在上的函数在区间上单调递增，且(1)y f x =-的图像关于1x =对称，若满足12(log )(2),f x f <-则a 的取值范围是____________．解析 由于(1)y f x =-的图像关于1x =对称，所以()f x 是偶函数，又()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，故由12(log )(2),f a f <-可得 11221(|log |)(2),|log |2(,4).4f a f a a <∴<⇒∈ 11. (2019宝安单元理)已知函数是定义在上的增函数，且满足对于任意的正实数、，都有()()()f xy f x f y =+，且（1）求的值；（2）解不等式解（1）(2)1,(4)(2)(2)2,(8)(4)(2)21 3.f f f f f f f ==+==+=+=（2）.由函数是定义在上的增函数，则即， 依题设，有，，从而不等式的解集为. )(x f ),0(+∞x y .1)2(=f )8(f .3)2()(+->x f x f )]2(8[)()8()2()(3)2()(->⇔+->⇔+->x f x f f x f x f x f x f )(x f ),0(+∞)2(8->x x 716<x ⎩⎨⎧>->020x x ∴2>x )716,2(12. (2019宝安单元理)已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明：(0)1,0()1f x f x =<>且时,；(2)证明: ()f x 在R 上单调递减；(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f >,B={(,)(2)1,x y f ax y a -+=∈R }，若,A B =∅试确定a 的取值范围.解 (1)证明 令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=⋅.∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x >时,0()1f x <<.∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-⇒==>--. (2)证明: 任取1212,,x x x x ∈<R 且,则2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=--211[()1]()f x x f x =--.∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x >∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x >.∴函数()f x 是R 上的单调减函数.(3) ∵{}{}2222(,)()()(1)(,)()(1)A x y f x f y f x y f x y f =>⇒+>。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。

2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。

抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。

这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。

2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。

如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。

奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。

如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。

偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。

3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。

傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。

4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。

周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。

具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。

所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。

综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。

2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。

特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。

二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

谈抽象函数的对称性与周期性作者：李跃庭来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第03期抽象函数的对称性与周期性在试卷命题中常常结合出现,笔者发现,他们之间有以下几种考查模式,在此总结一下并提供换元法证明,以求抛砖引玉。

1.“点点”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点A(a,0)和B(b,0)(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为2(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点A(a,0)和B(b,0)(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x),∴f(2a-x)=f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=f[t+(2b-2a)],即f(x)=f[x+2(b-a)]恒成立,∴函数f(x)的周期为2(b-a).2.“点线”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点A(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为4(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点A(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=-f(2a-x),f(x)=f(2b-x)恒成立,∴-f(2a-x)=f(2b-x),即f(2a-x)=-f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=-f[t+2(b-a)]……①将上式中的t用t+2(b-a)替换得:f[t+2(b-a)]=-f[t+4(b-a)] ……②∴由①②对∈R有f(x)=-f[x+2(b-a)]……③f[x+2(b-a)]=-f[x+4(b-a)]……④∴由③④得f(x)=f[x+4(b-a)]恒成立,∴函数f(x)的周期为4(b-a).3.“线线”对称设函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a和直线x=b(a≠b)对称,则函数f(x)的周期为2(b-a).证明:∵函数f(x)图像关于点x=a和直线x=b(a≠b)对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)恒成立,∴f(2a-x)=f(2b-x),令t=2a-x,则x=2a-t,2b-x=t+2b-2a,∴f(t)=f[t+2(b-a)],∴函数f(x)的周期为2(b-a).4.“偶线”对称设偶函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a对称,则函数f(x)的周期为2a.证明:∵函数f(x)图像关于点x=a对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立,又函数f(x)为偶函数,∴对∈R有f(x)=f(-x)恒成立,∴f(2a-x)=f(-x),令t=-x,∴f(t)=f(t+2a),∴函数f(x)的周期为2a.5.“奇线”对称设奇函数f(x)定义域为R,图像关于点x=a对称,则函数f(x)的周期为4a.证明:∵函数f(x)图像关于点x=a对称,∴对∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立,又函数f(x)为奇函数,∴对∈R有f(x)=-f(-x)恒成立,∴f(2a-x)=-f(-x),令t=-x,∴f(t)=-f(t+2a)……①将上式中的t用t+2a替换得:f(t+2a)=-f(t+4a)……②∴由①②对∈R有:f(x)=-f(x+2a)……③f(x+2a)==-f(x+4a)……④∴由③④得f(x)=f(x+4a)恒成立,∴函数f(x)的周期为4a.因此,在学习和复习函数的对称性和周期性时,了解对称性对周期性的作用,可借助于数形结合,实现复杂问题简单化.。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。

函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。

自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。

命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。

抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性定理1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(b-x)$，则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。

推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$（或 $f(2a-x)=f(x)$），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。

推论2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$，又若方程 $f(x)=0$ 有 $n$ 个根，则此 $n$ 个根的和为 $na$。

定理2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(b-x)=c$（$a,b,c$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。

推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(a-x)=0$（$a$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 对称。

定理3：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 两函数的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。

定理4：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=c-f(b-x)$ 两函数的图像关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。

性质1：对函数 $y=f(x)$，若 $f(a+x)=-f(b-x)$ 成立，则$y=f(x)$ 的图像关于点 $(2,0)$ 对称。

性质2：函数 $y=f(x-a)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。

性质3：函数 $y=f(a+x)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=0$ 对称。

抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。

难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。

2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。

证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。

证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。

证：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 为对称中心。

证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。

抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。

教学实践新课程NEWCURRICULUM高考对抽象函数的考查中经常结合对称性与周期性一同考查，下面我们看看函数的对称性与周期性究竟有什么样的关系？若函数f（x）的图象关于直线x=a对称，也关于直线x=b对称，则f（x）是以T=2a-b为周期的周期函数.证明：因为f（x）的图象关于直线x=a对称，所以有f（a+x）= f（a-x）即f（2a+x）=f（-x），同理f（2a+x）=f（-x）。

所以有f（2b+x）= f（2a+x），即有f（x）=f（x+2a-2b）.所以，函数f（x）是以T=2a-b为周期的周期函数.定理1：一般的我们有，若函数f（x）满足对于任意的实数x 都有f（a+x）=f（a-x）和f（b+x）=f（b-x）都成立（其中a≠b），即函数f（x）的图象关于两条直线x=a和x=b都对称，则f（x）是周期函数，且周期是T=2b-a.同样的思路我们也可以得出：定理2：若函数f（x）的图象关于直线x=a对称，关于点（m，0）（其中a≠m）中心对称，那么函数f（x）是周期函数，且周期是T= 4a-m.证明：因为f（x）关于直线x=a对称，所以有f（a+x）=f（a-x），即有：f（x）=f（2a-x）又f（x）关于点（m，0）对称，所以有式子f（m+x）=-f（m-x）成立，即有：f（x）=-f（2m-x）由上述两个式子得到：f（2a-x）=-f（2m-x），即有：f（x）= -f（x+2a-2m）令x为x+2a-2m，所以又得到f（x+2a-2m）=-f（x+4a-4m）所以有：f（x）=-f（x+4a-4m）所以f（x）是周期函数，且周期是T=4a-m.推论：若f（x）函数的图象关于直线x=a（a≠0）和原点O对称，则函数f（x）是周期函数，且周期为T=4a.定理3：若函数f（x）的图象关于点（n，0），关于点（m，0）（其中n≠m）中心对称，那么函数f（x）是周期函数，且周期是T=2n-m.证明：由f（x）的图象关于点（n，0）对称，得到f（n-x）=-f（n+x），即：f（x）=-f（2n-x）同理可得：f（x）=-f（2m-x）所以有f（2n-x）=-f（2m-x），即：f（x）=f（x+2n-2m）所以f（x）是周期函数，且周期是T=2n-m.经过上面的分析我们知道，一个函数只要关于两条直线，或者两个点，或者一条直线一个点对称，那么这个函数一定是周期函数，熟悉地理解上述3个定理有助于我们快速解答高考题.下面举两道高考题来看看上述定理的应用.例题1.（2009全国卷Ⅰ理）函数f（x）的定义域为R，若f（x+ 1）与f（x-1）都是奇函数，则（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，∴f（x）函数关于点（1，0）及点（-1，0）对称，根据定理3，函数f（x）是周期T=2［1-（-1）］=4函数，所以有f（x-1）=f（x+3）即f（x+3）是奇函数，故选D.例题2.（2009山东卷理）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间［0，2］上是增函数,若方程f（x）=m （m>0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+ x4=.解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=-f（x），所以，函数图象关于直线x=2对称，根据定理2函数f（x）是以8为周期的周期函数，且f（0）=0，又因为f（x）在区间［0，2］上是增函数，所以f（x）在区间［-2，0］上也是增函数.如图所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.f（x）=m（m>0）yx -8-6-4-202468答案：-8.•编辑鲁翠红106--. All Rights Reserved.。

抽象函数图像的对称性与周期性初探抽象函数f（x），由于不知道其解析式，因而不能画出其图像的全貌，对它的研究成了中学生学习的一个难点.本文介绍有关抽象函数图像对称性与函数周期性的几个定理，帮助同学们提高解决此类函数问题的能力.一、对称性定理1：函数y=f（x）图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.证明：在y=f（x）图像上任取一点，设为P（x，y），则y=f（x）.点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a-x，2b-y）.1.必要性若y=f（x）图像关于点A（a，b）对称，则点P′也在y=f（x）图像上，2b-y=f（2a-x），又y=f（x），f（x）+f（2a-x）=2b成立.由P点的任意性得f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.2.充分性若f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，则f（x）+f（2a-x）=2b，2b-y=f （2a-x），点P′也在y=f（x）图像上.由P点的任意性得y=f（x）图像关于点A对称.说明：f（x）+f（2a-x）=2b有许多等价形式，如f（a+x）+f（a-x）=2b，应用时关键看横坐标之和、纵坐标之和皆为常数.以上证法是证明函数图像对称性的一般方法，以后几个结论可以仿此证明.推论：函数y=f（x）图像关于原点对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0恒成立（即函数为奇函数）.定理2：函数y=f（x）图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）恒成立.说明：f（x）=f（2a-x）也有许多等价形式，如f（a+x）=f（a-x），应用时关键看横坐标之和为常数、纵坐标相等.推论：函数y=f（x）图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）恒成立（即函数为偶函数）.例1.如果二次函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个实根x、x，那么x+x=（）A. 0B.3C.6D.不能确定解析：f（3+x）=f（3-x），f（x）图像关于直线x=3对称（定理2），f（x）图像与x轴两交点关于直线x=3对称，x+x=6，故选C.例2.设f（x）是定义在R上的函数，F（x）=f（x）-f（a-x），求证：y=F（x）图像关于点（a/2，0）中心对称.解析：仿定理1的证明.在y=F（x）图像上任取一点P（x，F（x）），它关于（a/2，0）的对称点为（a-x，-F（x））.F（a-x）=f（a-x）-f[a-（a-x）]=f（a-x）-f（x）=-F（x），点P′也在y=F（x）图像上.由P点的任意性得结论成立.二、周期性定理3：若函数y=f（x）恒满足下列条件之一，则它是周期函数.|2T|是它的一个周期.（1）f（x+T）=-f（x）；（2）f（x+T）=；（3）f（x+T）=-；（4）f （x+T）=；（5）f（x+T）=，其中T≠0.下面对第四个进行证明，其他类似，请同学们自己完成.（4）证明：f（x+2T）=f[（x+T）+T]===f（x），又T≠0，|2T|是f （x）的一个周期.例3.f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=-，当2≤x≤3时，f （x）=x，那么f（5.5）= .解析：由f（x+2）=-，根据定理3，得4为f（x）的一个周期.f （5.5）=f（5.5-8）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5.三、对称性与周期性定理4：若函数y=f（x）图像满足下列条件之一，则y=f（x）是周期函数.其中前两个的一个周期为2|a-b|，第三个为4|a-b|.（1）同时关于点A（a，c）和点B（b，c）（a≠b）中心对称.（2）同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）轴对称.（3）既关于点A（a，c）中心对称，又关于直线x=b（a≠b）轴对称.下面对第三条进行证明，其他类似.（3）证明：y=f（x）图像关于点A（a，c）中心对称f（x）+f（2a-x）=2c①y=f（x）图像关于直线x=b轴对称f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x）②②代入①得f（x）+f（2b-2a+x）=2c③把上式中x换成2b-2a+x得f（2b-2a+x）+f（4b-4a+x）=2c④由③④得f（x）=f（4b-4a+x）a≠b4b-4a≠04|a-b|为f（x）的一个周期.例4.设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），则函数y=f（x）的一个周期为.解析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），根据定理2得函数y=f（x）的对称轴为x=2和x=7.再根据定理4得y=f（x）的一个周期为T=2|7-2|=10.例5.f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：①f（2）=0；②f（x）是以4为周期的函数；③f （x）图像关于y轴对称；④f（x+2）=f（-x），其中正确结论的序号是.解析：①在f（x-2）=-f（x）中令x=2得f（0）=-f（2）；又f（x）是奇函数，f（0）=0f（2）=0正确；②根据定理3知一个周期为4正确；③若正确，则f（x）又为偶函数，应有f（x）恒为0，不正确；④根据周期为4，f（x+2）=f（x-2），再根据题设f（x-2）=-f（x），f （x+2）=-f（x）=f（-x）正确.因此答案是①②④.。

以自变量的和差为定值统领抽象函数的对称性和周期性
在数学中，抽象函数的对称性和周期性的本质依赖于自变量的和差，这也成为
抽象函数理论中重要的研究内容。

例如，如果函数具有偶对称性，它意味着当自变量x满足条件：x＋x＝参数常量a时，函数图像在垂直方向上有对称关系。

而若函数具有周期性，则意味着当自变量x满足条件：x＋x＝参数常量b时，函数图像在水平方向上有相同的结构和形式重复。

以上是抽象函数的对称性和周期性的概念，在互联网，及它服务的应用的许多
场景中，这种理论的实施也有着重要的作用。

例如，通过将抽象函数的对称性和周期性引入信息管理系统，可以确保数据按照统一的标准进行存取，而不会因为计算错误或偏差而出现不一致的情况。

此外，这种理论还可以应用在网络访问量的动态调度和流量均衡等多领域，营造良好的用户体验，为运营和管理带来切实的便利。

虽然抽象函数的对称性和周期性对于互联网来说，有着重要的作用，但要实现
其实际效果，尚存在一些工程技术挑战。

首先，鲁棒性是抽象函数这类理论的重要特征，尤其是在应用领域中，它的容错性得以发挥。

其次，参数优化也应给予重视，依靠适当的调整参数，可以有效地获得更高效也更高质量的结果。

最后，更多精细化算法也有待于发展，充分整合抽象函数的对称性和周期性，才能不断提升互联网的性能与服务水准。