人教A版文科数学课时试题及解析(6)函数的奇偶性与周期性A

2021年高考数学专题复习第6讲函数的奇偶性与周期性练习新人教A版[考情展望] 1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力．一、奇(偶)函数的定义及图象特征1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)；(2)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．2．奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．1．奇、偶函数对称区间上的单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．2．奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.二、周期性1．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a.(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(5)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a －b|.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－13B.13C.12D．－12【解析】依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝1 3，则a＋b＝13 .【答案】 B2．下列函数为偶函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝ln x2＋1【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．【答案】 D3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(8)＝f(0)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.【答案】 B4．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 由题意可知1－a ＝0，即a ＝1. 【答案】 15．(xx·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－2【解析】 利用奇函数的性质f (－x )＝－f (x )求解． 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 D6．(xx·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |【解析】 A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.【答案】 C考向一 [016] 函数奇偶性的判断判断下列各函数的奇偶性： (1) f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝lg 1－x2|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x ＜0－x 2＋x x ＞0.【思路点拨】 先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断．【尝试解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1－x1＋x≥0得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0|x －2|≠2得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝lg1－x2－x. 又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－lg 1－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． (3)显然函数f (x )的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数． 规律方法1 1.本例第1题，若盲目化简：fx ＝x ＋12·x －1x ＋1＝x 2－1 将扩大函数的定义域，作出错误判断.第2题易忽视定义域无从入手.2.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f －x与f x 的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断.考向二 [017] 函数奇偶性的应用(1)设函数f (x )＝x ＋1x ＋ax为奇函数，则实数a 的值为________．(2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．(3)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －xx＞0的解集为________．【思路点拨】 (1)利用奇函数定义或特值法求解．(2)设x ＜0，则－x ＞0，借助偶函数定义求其解析式． (3)分“x ＞0”和“x ＜0”两类分别解不等式，取并集即可． 【尝试解答】 (1)方法一：∵f (x )＝x ＋1x ＋ax为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即－x ＋1－x ＋a－x＝－x ＋1x ＋ax，∴a ＝－1. 方法二：∵f (x )＝x ＋1x ＋ax为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0， 即1＋11＋a1＋－1＋1－1＋a－1＝0，∴a ＝－1.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x (x ＜0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0.(3)因为f (x )为偶函数，所以不等式f x ＋f －x x ＞0，等价于f xx＞0.①当x ＞0时，f xx＞0等价于f (x )＞0， 又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0. 所以f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜2}． ②当x ＜0时，f xx＞0等价于f (x )＜0， 又f (x )在(－∞，0)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0. 所以f (x )＜0的解集为{x |x ＜－2}． 综上可知，不等式f x ＋f －xx的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜2}．【答案】 (1)－1 (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0(3){x |x ＜－2或0＜x ＜2}规律方法2 1已知函数的奇偶性求函数的解析式，常利用奇偶性构造关于f x的方程，从而可得f x 的解析式.2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f x±f－x＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.对点训练(1)(xx·郑州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )A．2 B.154C.174D．a2(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝15 4.(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴函数f(x)在R上是增函数．由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a.解得－3＜a＜1.【答案】(1)B (2)(－3,1)考向三 [018] 函数的周期性及其应用设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．【思路点拨】(1)证明f(x＋4)＝f(x)(2)先求[－2,0]上的解析式，再求[2,4]上的解析式；(3)根据周期性求解．【尝试解答】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.所以x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0＋1＋0＋(－1)＝0.规律方法31本例2在求解中先借助周期把区间[2，4]转换到区间[－2，0]上，然后借助奇函数实现[－2，0]与[0，2]间的转化.2证明一个函数f x是周期函数的关键是借助已知条件探寻使“f x＋T＝f x”成立的非零常数T.3周期性与奇偶性相结合的综合问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号的作用.对点训练(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是( )A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f x，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 015)＝________.【解析】(1)由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出f(x)的部分图象，如图．由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．(2)当x≥0时，f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(2 013)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 013)＝f(2 013)＝1，f(2 015)＝f(3)＝－1f1＝－1，∴f(－2 013)＋f(2 015)＝0.【答案】(1)D (2)0思想方法之三利用奇偶性求值——“方程思想”闪光芒方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、或者构造方程(组)，通过求方程(组)、或讨论方程(组)的解的情况，使问题得以解决．在函数的奇偶性中，方程思想的具体体现如下：(1)函数奇偶性的判断，即验证等式“f(x)±f(－x)＝0”是否对定义域中的每个x均成立．(2)求解析式，在同时含有f(x)与f(－x)的表达式中，如bf(x)＋f(－x)＝a(ab≠0)中，常用“－x”代式子中的“x”，重新构建方程，联立求解f(x)．(3)求值，已知f(a)的值探求f(－a)的值，其方法如同(2)．————[1个示范例] ———[1个对点练] ———(xx·湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )A．4 B．3C．2 D．1【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②由①②，得g(1)＝3.(xx·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋b sin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )A．－5 B．－1 C．3 D．4【解析】因为log210与lg 2(即log102)互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log210)＝x，则lg(lg 2)＝－x，而f(x)＋f(－x)＝(ax3＋b sin x＋4)＋[a(－x)3＋b sin(－x)＋4]＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3，故选C.【答案】 Ca725472 6380 掀 31723 7BEB 篫36634 8F1A 輚23686 5C86 岆21453 53CD 反22262 56F6 囶28235 6E4B 湋5928151 6DF7 混25387 632B 挫。

课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈RB ．y ＝sin2x ，x ∈RC ．y ＝2x ，x ∈RD ．y ＝－⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R2．函数f (x )＝a 2x －1a x (a >0，a ≠1)的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－134＝( ) A.32 B ．－32C.12 D ．－126．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a 2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，若x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1. 11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( )A ．y ＝|x |B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．[2012·石嘴山二联] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．[2013·忻州一中月考] 命题p ：∀x ∈R ，3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( )A ．p ∨q 真B ．p ∧q 真C ．綈p 真D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x 1－x. (1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ； (2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(六)A【基础热身】1．A [解析] y ＝sin2x 在R 上不单调，y ＝－13x 不是奇函数，y ＝2x 为增函数，所以B ，C ，D 均错．故选A.2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a－x ＝－(a x －a －x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A.4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3.【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A. 6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A. 8．A [解析] 由x 1＋x 2＜0，得x 1＜－x 2.又f (x )为减函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)，又f (x )为R 上的奇函数，所以f (x 1)＞－f (x 2)．所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.同理f (x 2)＋f (x 3)＞0，f (x 1)＋f (x 3)＞0，所以f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0.故选A.9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．①②③ [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以①正确，由f (－x )＋f (x )＝0，可推得选项②，③正确，④中，要求f (－x )≠0，故④错误．11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0；当x ≥0时，f (x )>－2恒成立．综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1. (2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x ＝－x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2， 因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法)【难点突破】13．解：(1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，所以b ＝1.所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，所以a ＝2. (2)方法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 方法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得 －2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0.整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 课时作业(六)B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x ＋e －x 为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13. 3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D. 6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图象向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，该图象的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－15[解析] 因为f (x ＋2)f (x )＝1，所以f (x ＋4)f (x ＋2)＝1，于是有f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，f (－5)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15. 10．－9 [解析] 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10，所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.11．{1} [解析] 因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减，所以f (x )在[－2，2]上单调递减，所以f (3－m )≤f (2m 2)等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤3－m ≤2，－2≤2m 2≤2，3－m ≥2m 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤5，－1≤m ≤1，－32≤m ≤1，即m ＝1，所以m 的取值范围是{1}． 12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：∀a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b 1＋ab 1－a ＋b 1＋ab＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， 所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b 1＋ab. (2)∀x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*)方法一：因为f (x )为偶函数，所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3. 所以x 的取值范围为x ⎪⎪－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5. 方法二：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以(*)等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64，⎩⎨⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R . 所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3. 所以x 的取值范围为x⎪⎪⎪ )－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.。

2014届数学一轮知识点讲座：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像,理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理一函数的奇偶性1.定义：如果对于函数f x 的定义域内的任意一个x,都有fx=f-xf-x=fx,那么这个函数就是偶奇函数；2.性质及一些结论：1定义域关于原点对称；2偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称；3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=4若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =因此,“fx 为奇函数”是"f0=0"的非充分非必要条件； 5判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响；6断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- 7设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇8奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反二函数的周期性1.定义：若T 为非零常数,对于定义域内的任一x,使)()(x f T x f =+恒成立,则fx 叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期,周期函数的定义域一定是无限集,但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是fx=0x∈R,其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确若y=fx既是奇函数,又是偶函数,由定义可得fx=0,但不一定x∈R,如例1中的3,故④错误,选A 说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：1fx＝|x|x2＋1；2fx＝错误!＋错误!；3fx＝错误!＋错误!；4fx＝错误!＋错误!；5fx＝x－1错误!.解析 1此函数的定义域为R.∵f－x＝|－x|－x2＋1＝|x|x2＋1＝fx,∴f－x＝f x,即fx是偶函数．2此函数的定义域为x>0,由于定义域关于原点不对称,故fx既不是奇函数也不是偶函数．3此函数的定义域为{2},由于定义域关于原点不对称,故fx既不是奇函数也不是偶函数．4此函数的定义域为{1,－ 1},且fx＝0,可知图像既关于原点对称,又关于y轴对称,故此函数既是奇函数又是偶函数．5定义域：错误!⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间,故此函数为非奇非偶函数．2.奇偶性的应用例3.已知函数()f x 对一切,x y R ∈,都有()()()f x y f x f y +=+,1求证：()f x 是奇函数；2若(3)f a -=,用表示(12)f解：1显然()f x 的定义域是,它关于原点对称.在()()()f x y f x f y +=+中,令y x =-,得(0)()()f f x f x =+-,令0x y ==,得(0)(0)(0)f f f =+,∴(0)0f =,∴()()0f x f x +-=,即()()f x f x -=-, ∴()f x 是奇函数2由(3)f a -=,()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数,得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-例4.1已知()f x 是上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 2已知()f x 是偶函数,x R ∈,当0x >时,()f x 为增函数,若120,0x x <>,且12||||x x <,则 例5设为实数,函数2()||1f x x x a =+-+,x R ∈1讨论()f x 的奇偶性； 2求 ()f x 的最小值解：1当0a =时, 2()()||1()f x x x f x -=-+-+=,此时()f x 为偶函数；当0a ≠时,2()1f a a =+,2()2||1f a a a -=++,∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数2①当x a ≤时,函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++, 若12a ≤,则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减,∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >,函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+,且1()()2f f a ≤②当x a ≥时,函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+, 若12a ≤-,则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-,且1()()2f f a -≤； 若12a >-,则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增,∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+ 综上,当12a ≤-时,函数()f x 的最小值是34a -,当1122a -<≤时,函数()f x 的最小值是21a +, 当12a >,函数()f x 的最小值是34a + 3.函数周期性的应用 例6．设fx 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有fx ＋2＝－fx ．当x ∈0,2时,fx ＝2x －x 2.1求证：fx 是周期函数；2当x ∈2,4时,求fx 的解析式；3计算f0＋f1＋f2＋…＋f2 011．解 1证明：∵fx ＋2＝－fx,∴fx ＋4＝－fx ＋2＝fx ．∴fx 是周期为4的周期函数．2当x ∈－2,0时,－x ∈0,2,由已知得f －x ＝2－x －－x 2＝－2x －x 2,又fx 是奇函数,∴f －x ＝－fx ＝－2x －x 2,∴fx ＝x 2＋2x.又当x ∈2,4时,x －4∈－2,0,∴fx －4＝x －42＋2x －4．又fx 是周期为4的周期函数,∴fx ＝fx －4＝x －42＋2x －4＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈2,4时,fx ＝x 2－6x ＋8.3f0＝0,f2＝0,f1＝1,f3＝－1.又fx 是周期为4的周期函数,∴f0＋f1＋f2＋f3＝f4＋f5＋f6＋f7＝…＝f2 008＋f2 009＋f2 010＋f2 011＝0.∴f0＋f1＋f2＋…＋f2 011＝0.4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R的函数fx＝错误!是奇函数．①求a、b的值；②若对任意的t∈R,不等式ft2－2t＋f2t2－k<0恒成立,求k的取值范围．解：①∵fx是定义在R上的奇函数,∴f0＝0,即错误!＝0,∴b＝1,∴fx＝错误!,又由f1＝－f－1知错误!＝－错误!,解得a＝2.②由①知fx＝错误!＝－错误!＋错误!,易知fx在－∞,＋∞上为减函数．又∵fx是奇函数,从而不等式ft2－2t＋f2t2－k<0等价于ft2－2t<－f2t2－k＝fk－2t2,∵fx为减函数,∴由上式得t2－2t>k－2t2,即对任意的t∈R恒有：3t2－2t－k>0,从而Δ＝4＋12k<0,∴k<－错误!.一、选择题1．2012·高考陕西卷下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝错误!D．y＝x|x|解析：选D.由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y＝x|x|的图象可知当x＞0时此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D.2．已知y＝fx＋1是偶函数,则函数y＝fx的图象的对称轴是A．x＝1 B．x＝－1C．x＝错误!D．x＝－错误!解析：选A.∵y＝fx＋1是偶函数,∴f1＋x＝f1－x,故fx关于直线x＝1对称．3．函数fx＝x3＋sin x＋1x∈R,若fa＝2,则f－a的值为A．3 B．0C．－1 D．－2解析：选B.fa＝a3＋sin a＋1,①f－a＝－a3＋sin－a＋1＝－a3－sin a＋1,②①＋②得fa＋f－a＝2,∴f－a＝2－fa＝2－2＝0.4．函数fx＝1－错误!x∈RA．既不是奇函数又不是偶函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数但不是奇函数D．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵fx＝1－错误!＝错误!,∴f－x＝错误!＝错误!＝－错误!＝－fx．又其定义域为R,∴fx是奇函数．5．定义在R上的偶函数y＝fx满足fx＋2＝fx,且当x∈0,1时单调递增,则A．f错误!＜f－5＜f错误!B．f错误!＜f错误!＜f－5C．f错误!＜f错误!＜f－5D．f－5＜f错误!＜f错误!解析：选B.∵fx＋2＝fx,∴fx是以2为周期的函数,又fx是偶函数,∴f错误!＝f错误!＝f错误!,f－5＝f5＝f4＋1＝f1,∵函数fx在0,1上单调递增,∴f错误!＜f错误!＜f1,即f错误!＜f错误!＜f－5．二、填空题6．设函数fx＝x e x＋a e－x x∈R是偶函数,则实数a的值为________．解析：因为fx是偶函数,所以恒有f－x＝fx,即－x e－x＋a e x＝x e x＋a e－x,化简得x e－x＋e x a＋1＝0.因为上式对任意实数x都成立,所以a＝－1.答案：－17．函数fx在R上为奇函数,且x＞0时,fx＝错误!＋1,则当x＜0时,fx＝________.解析：∵fx为奇函数,x＞0时,fx＝错误!＋1,∴当x＜0时,－x＞0,fx＝－f－x＝－错误!＋1,即x＜0时,fx＝－错误!＋1＝－错误!－1.答案：－错误!－18．2013·大连质检设fx是定义在－∞,0∪0,＋∞上的奇函数,且fx＋3·fx＝－1,f －4＝2,则f2014＝________.解析：由已知fx＋3＝－错误!,∴fx＋6＝－错误!＝fx,∴fx的周期为6.∴f2014＝f335×6＋4＝f4＝－f－4＝－2.答案：－2三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：1fx＝错误!＋错误!；2fx＝错误!解：1fx的定义域为{－1,1},关于原点对称．又f－1＝f1＝0.∴f－1＝f1且f－1＝－f1,∴fx既是奇函数又是偶函数．2①当x＝0时,－x＝0,fx＝f0＝0,f－x＝f0＝0,∴f－x＝－fx．②当x>0时,－x<0,∴f－x＝－－x2－2－x－3＝－x2－2x＋3＝－fx．③当x<0时,－x>0,∴f－x＝－x2－2－x＋3＝－－x2－2x－3＝－fx．由①②③可知,当x∈R时,都有f－x＝－fx,∴fx为奇函数．10．已知奇函数fx的定义域为－2,2,且在区间－2,0内递减,求满足：f1－m ＋f1－m2<0的实数m的取值范围．解：∵fx的定义域为－2,2,∴有错误!,解得－1≤m≤错误!.①又fx为奇函数,且在－2,0上递减,∴在－2,2上递减,∴f1－m<－f1－m2＝fm2－1⇒1－m>m2－1,即－2<m<1.②综合①②可知,－1≤m<1.一、选择题1．2012·高考天津卷下列函数中,既是偶函数,又在区间1,2内是增函数的为A．y＝cos 2x,x∈R B．y＝log2|x|,x∈R且x≠0C．y＝错误!,x∈R D．y＝x3＋1,x∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间1,2内为增函数,而此时y＝log2|x|＝log2x为增函数,所以选择B.2．2011·高考山东卷已知fx是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,fx＝x3－x,则函数y＝fx的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为A．6 B．7C．8 D．9解析：选B.令fx＝x3－x＝0,即xx＋1x－1＝0,所以x＝0,1,－1,因为0≤x＜2,所以此时函数的零点有两个,即与x轴的交点个数为2.因为fx是R上最小正周期为2的周期函数,所以2≤x＜4,4≤x＜6上也分别有两个零点,由f6＝f4＝f2＝f0＝0,知x＝6也是函数的零点,所以函数y＝fx的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.二、填空题3．若fx＝错误!＋a是奇函数,则a＝________.解析：∵fx为奇函数,∴f－x＝－fx,即错误!＋a＝错误!－a,得：2a＝1,a＝错误!.答案：错误!4．2013·长春质检设fx是－∞,＋∞上的奇函数,且fx＋2＝－fx,下面关于fx的判定：其中正确命题的序号为________．①f4＝0；②fx是以4为周期的函数；③fx的图象关于x＝1对称；④fx的图象关于x＝2对称．解析：∵fx＋2＝－fx,∴fx＝－fx＋2＝－－fx＋2＋2＝fx＋4,即fx的周期为4,②正确．∵fx为奇函数,∴f4＝f0＝0,即①正确．又∵fx＋2＝－fx＝f－x,∴fx的图象关于x＝1对称,∴③正确,又∵f1＝－f3,当f1≠0时,显然fx的图象不关于x＝2对称,∴④错误．答案：①②③三、解答题5．已知函数fx＝x2＋|x－a|＋1,a∈R.1试判断fx的奇偶性；2若－错误!≤a≤错误!,求fx的最小值．解：1当a＝0时,函数f－x＝－x2＋|－x|＋1＝fx,此时,fx为偶函数．当a≠0时,fa＝a2＋1,f－a＝a2＋2|a|＋1,fa≠f－a,fa≠－f－a,此时,fx既不是奇函数,也不是偶函数．2当x≤a时,fx＝x2－x＋a＋1＝错误!2＋a＋错误!,∵a≤错误!,故函数fx在－∞,a上单调递减,从而函数fx在－∞,a上的最小值为fa＝a2＋1.当x≥a时,函数fx＝x2＋x－a＋1＝错误!2－a＋错误!,∵a≥－错误!,故函数fx在a,＋∞上单调递增,从而函数fx在a,＋∞上的最小值为fa＝a2＋1.综上得,当－错误!≤a≤错误!时,函数fx的最小值为a2＋1.。

课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性][时间：35分钟 分值：80分]根底热身1． 假设定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ,那么g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x ) 2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象( )A ．关于点(1,0)对称B ．关于点(0,1)对称C ．关于点(－1,0)对称D ．关于点(0 ,－1)对称3． 设函数f (x )(x ∈R )f (x )的图象可能是( )4． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数 ,那么实数a 的值为________．能力提升5． 以下函数中既是奇函数 ,又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝ln 2－x 2＋xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x ) D ．f (x )＝sin x 6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0) ,那么{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |x ＜－2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜－2或x ＞2}7． f (x )是定义在R 上的偶函数 ,g (x )是定义在R 上的奇函数 ,且g (x )＝f (x －1) ,那么f (2021)＋f (2021)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ∈R ,x ≠0) ,有以下命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞ ,0)上 ,f (x )是减函数；③函数y ＝f (x )的最|小值是lg2；④在区间(－∞ ,0)上 ,f (x )是增函数．其中正确的选项是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③9． 设f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称 ,那么f ⎝⎛⎭⎫－23＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．210．设a 为常数 ,f (x )＝x 2－4x ＋3 ,假设函数f (x ＋a )为偶函数 ,那么a ＝________；f [f (a )]＝________.11． 设f (x )是偶函数 ,且当x >0时是单调函数 ,那么满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．12．(13分)设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ,b ,c 都是整数) ,且f (1)＝2 ,f (2)<3 ,f (x )在(1 ,＋∞)上单调递增．(1)求a ,b ,c 的值；(2)当x <0时 ,f (x )的单调性如何 ?证明你的结论．难点突破13．(12分)定义在(－∞ ,0)∪(0 ,＋∞)上的函数f (x )满足：①∀x ,y ∈(－∞ ,0)∪(0 ,＋∞) ,f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时 ,f (x )>0 ,且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )在(0 ,＋∞)上的单调性；(3)求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最|大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集．课时作业(六)B【根底热身】1．D [解析] 因为函数f (x )是偶函数 ,g (x )是奇函数 ,所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e－x .又因为f (x )＋g (x )＝e x ,所以g (x )＝e x －e －x 2. 2．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ,那么g (x )为奇函数 ,所以g (x )的图象关于原点(0,0)对称 ,当x ＝0时 ,有f (0)－1＝0 ,此时f (0)＝1 ,所以对称中|心为(0,1)．3．B [解析] 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数 ,其图象关于y 轴对称 ,可以结合选项排除A 、C ,再利用f (x ＋2)＝f (x ) ,可知函数为周期函数 ,且T ＝2 ,必满足f (4)＝f (2) ,排除D ,故只能选B.4．－1 [解析] 设g (x )＝x ,h (x )＝e x ＋a e －x ,因为函数g (x )＝x 是奇函数 ,那么由题意知 ,函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数．又函数f (x )的定义域为R ,∴h (0)＝0 ,解得a ＝－1.【能力提升】5．A [解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x为奇函数 ,而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数 ,y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．应选A.6．B [解析] ∵f (x )＝2x －4(x ≥0) ,∴令f (x )＞0 ,得x ＞f (x )为偶函数且f (x －2)＞0 ,∴f (|x －2|)＞0 ,∴|x －2|＞2 ,解得x ＞4或x ＜0 ,∴{x |x ＜0或x ＞4}．7．C [解析] 由题意得g (－x )＝f (－x －1) ,又因为f (x )是定义在R 上的偶函数 ,g (x )是定义在R 上的奇函数 ,所以g (－x )＝－g (x ) ,f (－x )＝f (x ) ,∴f (x －1)＝－f (x ＋1) ,∴f (x )＝－f (x ＋2) ,∴f (x )＝f (x ＋4) ,∴f (x )的周期为4 ,∴f (2021)＝f (3)＝f (－1) ,f (2021)＝f (1)．又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0 ,∴f (2021)＋f (2021)＝0.8．C [解析] 由函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ 0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0 ＋∞ ,且f (－x )＝f (x ) ,所以f (x )为偶函数．当x >0时 ,f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥lg2 ,函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ －1 ,⎝ ⎛⎭⎪⎫0 1上为减函数 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1 0 ,⎝ ⎛⎭⎪⎫1 ＋∞上为增函数．故①③正确． 9．A [解析] 因为f (x )是定义在R 上的奇函数 ,所以f (0)＝y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称 ,所以f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝－f ⎝⎛⎭⎫23＝0 ,应选A. 10．2 8 [解析] 由题意得f (x ＋a )＝(x ＋a )2－4(x ＋a )＋3＝x 2＋(2a －4)x ＋a 2－4a ＋3 ,因为f (x ＋a )为偶函数 ,所以2a －4＝0 ,a ＝2.f [f (a )]＝f [f (2)]＝f (－1)＝8.11．－8 [解析] ∵f (x )是偶函数 ,f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4 , ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4 , 又∵f (x )在(0 ,＋∞)上为单调函数 ,∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4 , 即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4, 整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0 ,设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1 ,x 2 ,方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3 ,x 4.那么(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝⎛⎭⎫－92＝－8. 12．[解答] (1)由f (1)＝2 ,得a ＋1b ＋c ＝2 ,由f (2)<3 ,得4a ＋12b ＋c<3.∵函数f (x )是奇函数 ,∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠－c b , 那么－c b ＝0 ,∴c ＝0 ,于是得f (x )＝ax b ＋1bx ,且a ＋1b ＝2 ,4a ＋12b <3 ,∴8b －32b <3 ,即0<b <32. 又b ∈Z ,∴b ＝1 ,那么a ＝1.a ＝1 ,b ＝1 ,c ＝0符合f (x )在(1 ,＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x.函数f (x )是奇函数 ,且在(1 ,＋∞)上单调递增 ,根据奇函数的对称性 ,可知f (x )在(－∞ ,－1)上单调递增；以下讨论f (x )在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x 1<x 2<0时 ,f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2 ,显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,1－1x 1x 2<0 , ∴f (x 1)－f (x 2)>0 ,∴函数f (x )在[－1,0)上为减函数．综上所述 ,函数f (x )在(－∞ ,－1)上是增函数 ,在[－1,0)上是减函数．【难点突破】13．[解答] (1)令x ＝y ＝1 ,那么f (1×1)＝f (1)＋f (1) ,得f (1)＝0；再令x ＝y ＝－1 ,那么f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1) ,得f (－1)＝f (x ·y )＝f (x )＋f (y ) ,令y ＝－1 ,那么f (－x )＝f (x )＋f (－1) ,所以f (－x )＝f (x )．又函数f (x )的定义域关于原点对称 ,所以函数f (x )为偶函数．(2)任取x 1 ,x 2∈(0 ,＋∞) ,且x 1<x 2 ,那么有x 2x 1∵当x >1时 ,f (x )>0 ,∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>f (x 1) ,∴函数f (x )在(0 ,＋∞)上是增函数．(3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2) ,又f (2)＝1 ,∴f (4)＝(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数 ,∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最|大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)] ,4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16) ,∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)．又函数f (x )为偶函数 ,且函数f (x )在(0 ,＋∞)上是增函数 ,∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16 ,即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16 ,解得x ≤－2或x ≥83,∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－2或x ≥83.。

正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.( )(6)(2014·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．( )2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上是周期函数．( )[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．2．两个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)．二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±1f x(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)(8).教学过程【例3】(经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小顺序为________．规律方法关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【训练3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．教学效果分析。

第二单元 第四节一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈RC ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ∈R 【解析】 根据定义判断即可． 【答案】 A2．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 【解析】根据条件画草图，由图象可知xf (x )＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，f (x )＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f (x )＞0⇔ －3＜x ＜0或0＜x ＜3. 【答案】 B 3．(精选考题·天津高考)下列命题中，真命题是( ) A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数 【解析】 当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx 是偶函数，故选A. 【答案】 A4．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则当n ∈N *时有( )A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)B ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)C ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )【解析】 由(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，知f (x )在(－∞，0]上是增函数，又f (x )是偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数，∴f (n ＋1)＜f (n )＜f (n －1)． 【答案】 C5．设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝2x ，则f (113.5)的值是( )A ．－27 B.27 C ．－15 D.15【解析】 ∵f (－x )＝f (x )，f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝－1f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (113.5)＝f (19×6－0.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)＝f (－2.5＋3)＝－1f (－2.5)＝－12×(－2.5)＝15.【答案】 D6．定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x(x ⊗2)－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数【解析】 f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2＞0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0， ∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数．【答案】 A7．已知函数y ＝f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数．若x 1＜0，x 2＞0，且x 1＋x 2＜－2，则f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系是( )A ．f (－x 1)＞f (－x 2)B ．f (－x 1)＜f (－x 2)C ．f (－x 1)＝f (－x 2)D ．f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系不能确定【解析】 由f (x ＋1)是偶函数，得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， ∴y ＝f (x )关于x ＝1对称，∴y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数．而x 1＋2＜－x 2＜0， ∴f (x 1＋2)＞f (－x 2)⇒f (－x 1)＞f (－x 2)． 【答案】 A 二、填空题8．如果函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3 (x ＞0)，f (x ) (x ＜0)是奇函数，则f (x )＝________.【解析】 若x ＜0，则－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )－3]＝－(－2x －3)＝2x ＋3. 【答案】 2x ＋39．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下面关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是________．【解析】 f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )， 故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称，由此可得①⑤正确． 【答案】 ①⑤10．若偶函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，又f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－2a ＋1)，则a 的取值范围是________．【解析】 ∵f (x )在(0，＋∞)为减函数，而2a 2＋a ＋1＞0， 3a 2－2a ＋1＞0，∴2a 2＋a ＋1＞3a 2－2a ＋1⇔a 2－3a ＜0,0＜a ＜3. 【答案】 (0,3) 三、解答题11．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x ＞0)，0 (x ＝0)，x 2＋mx (x ＜0)，(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围． 【解析】(1)当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋2x . ∴m ＝2.图象如右图所示． (2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x ＞0)，0 (x ＝0)，x 2＋2x (x ＜0)，由图象知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧|a |－2＞－1，|a |－2≤1， 解得－3≤a <－1或1＜a ≤3.12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．【解析】 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.。

2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题1.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<域为R,所以(0)0f =,且函数的图象关于2x =对称, 因为函数()f x 在区间[0,2]上是增函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<, (80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3.下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是（ ）A ． 21x y =B ．x y cos =C ． x y ln =D ．xy 2=答案 D4．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a 为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 解析 (特例法)∵f (x )＝x 2x ＋1x －a 是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴－1－2＋1－1－a ＝－12＋11－a ， ∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 答案 A【点评】 本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.5．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )．A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数解析 由已知条件对x ∈R 都有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)因此f (－x ＋3)＝f [－(x －2)＋1]＝－f [(x －2)＋1]＝－f (x －1)＝f (－x －1)＝f (－x －2＋1)＝f (－(x ＋2)＋1)＝－f ((x ＋2)＋1)＝－f (x ＋3)，因此函数f (x ＋3)是奇函数．答案 D6.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x－2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5解析 ∵f (x ＋2)＝－1f x ，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f x ＋2＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.答案 D【点评】 本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.7.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1(舍去)，又f (x )的最小正周期为2，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，∴y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.答案 B二、填空题8.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 013)＝________.解析 法一 当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－14；当x ＝2，y ＝1时，f (3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时，f (5)＝14；当x ＝3，y ＝3时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝14；当x ＝4，y ＝4时，f (8)＝－14；…. ∴f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 013)＝f (3＋335×6)＝f (3)＝－12. 法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )， ∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ， ∴f (2 013)＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×2 013＝－12. 答案 －12 9.若函数f (x )＝a －e x1＋a ex (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________． 解析 f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝a －e x a ＋e x ＋1＋ae xae x －11＋ae x e x ＋a＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －11＋ae x e x ＋a＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.答案 1或－110．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析 ∵f (x ＋5)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故f (3)－f (4)＝(－2)－(－1)＝－1.答案 －111．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析 由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)12.对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题：①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数；③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数．其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）解析 函数()f x 和(2)f x +的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数2(2)()lg lg 2lg lg 122x f x f x x x x x +-=--==+--，由复合函数的单调性法则，可知函数(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是减函数。

高考数学一轮复习课时作业6函数的奇偶性与周期性理（含解析）新人教版课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( D ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( B ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.故选B.3．(2019·唐山模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x <0，则g (f (－7))＝( D )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x <0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3，所以g (f (－7))＝g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝－log 2(3＋1)＝－2，故选D. 4．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( B ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝( D )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1 008＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3＋1.6．(2019·北京石景山高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ，x >0，sin x ，x ≤0.则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3－x ，x <0，－sin x ，x ≥0＝－f (x )，所以f (x )是奇函数；x ≤0时f (x )＝sin x 有增有减，所以B 错；x >0，f (x )＝x 3＋x 不为周期函数，C 错；x >0，f (x )＝x 3＋x >0；x ≤0时f (x )＝sin x ∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D.7．(2019·江西联盟质检)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x ＋m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (2 13 )，b ＝f (log 132)，c ＝f (m ＋1)，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a解析：由函数f (x )为偶函数，可知m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，显然f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又|2 13|>1，|log 13 2|＝|log 32|<1，m ＋1＝1，∴a ＝f (2 13 )>c ＝f (m ＋1)>b ＝f (log 132)，故选D.8．(2019·广东综合模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)，给出下列命题：①当x >0时，f (x )＝e －x(x －1)；②函数f (x )有3个零点；③f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；④∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2.正确个数为( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由题意得，当x >0时，则－x <0，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－e －x(－x ＋1)＝e －x(x －1)，所以①是正确的；令e x (x ＋1)＝0，可解得x ＝－1，当e －x(x －1)＝0时，可解得x ＝1，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝0，故函数的零点有3个，所以②是正确的；因为当x <0时，由f (x )＝e x (x ＋1)>0，解得－1<x <0；当x >0时，由f (x )＝e －x(x －1)>0，解得x >1，故f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，所以③是不正确的；因为当x >0时，由f (x )＝e －x(x －1)，图象过点(1,0)，又f ′(x )＝e －x(2－x )，可知当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以函数在x ＝2处取得极大值f (2)＝1e 2，且当x →0时，函数值趋向于－1，当x →＋∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作函数f (x )的图象，可得－1<f (x )<1，所以|f (x 1)－f (x 2)|<2成立，所以④是正确的．综上所述正确的个数为3，故选B.二、填空题9．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为－ln2. 解析：由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2. 10．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝－32.解析：由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x∈R )，则2a ＋3＝0，∴a ＝－32.11．(2019·广西柳州联考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称且f (2)＝4，则f (22)＝－4.解析：因为y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，即函数f (x )为奇函数，由f (x ＋6)＋f (x )＝2f (3)得f (x ＋12)＋f (x ＋6)＝2f (3)，所以f (x ＋12)＝f (x )，T ＝12，因此f (22)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.解析：因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，由题知f (3)＝0，又f (3)＝f (－1)－f (1)，所以f (1)＝0.在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (1)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.13．(2019·河南洛阳一中高三一模)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( B )A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析：由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)，则f (x )＝f (x ＋4)．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.故选B.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是①②.解析：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知函数f (x )＝|2x－m |的图象与函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[4，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,4]D ．[4，＋∞)解析：因为函数y ＝g (x )与f (x )＝|2x－m |的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝|2－x－m |，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，所以函数f (x )＝|2x－m |和函数g (x )＝|2－x－m |在[1,2]上单调性相同，因为y ＝2x －m 和函数y ＝2－x－m 的单调性相反，所以(2x －m )(2－x －m )≤0在[1,2]上恒成立，即1－m (2x＋2－x )＋m 2≤0在[1,2]上恒成立，即2－x ≤m ≤2x在[1,2]上恒成立，得12≤m ≤2，故选B.16．(2019·河南省中原名校联考)已知函数f (x )＝2sin 2(x ＋π4)，g (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4的图象在区间(π2－m ，π2＋m )上有且只有9个交点，记为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，9)，则∑i ＝19(x i＋y i )＝92π＋9.解析：由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4＝1，可得函数g (x )的图象关于点π2，1对称． 又f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos(2x ＋π2)＝1＋sin2x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1对称．故f (x )与g (x )图象的交点也关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1对称，所以∑i ＝19(x i ＋y i )＝∑i ＝19x i ＋∑i ＝19y i＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋π2＋[4×(2×1)＋1]＝9π2＋9.。

课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性][时间：35分钟 分值：80分]根底热身1．f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数 ,那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－122．f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数 ,当x ∈[0,1)时 ,f (x )＝4x －1 ,那么f (－)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1 3．函数f (x )在[－5,5]上是偶函数 ,f (x )在[0,5]上是单调函数 ,且f (－3)<f (－1) ,那么以下不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)4． 假设函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数 ,那么a ＝( ) A.12 B.23 C.34D ．1 能力提升5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1(x >0)－x 2－x －1(x <0) 那么f (x )为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性6． 设偶函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x ＋3)＝－1f (x ),且当x ∈[－3 ,－2]时 ,f (x )＝4x ,那么f ()＝( )A ．10 B.110 C ．－10 D ．－1107． 定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞ ,0]上是减函数 ,且f ⎝⎛⎭⎫12＝0 ,那么不等式f (log 2x )>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 22∪( 2 ,＋∞) B ．( 2 ,＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12∪(2 ,＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12 8．假设x ∈R ,n ∈N ＋ ,规定：H n x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1) ,例如：H 3－3＝(－3)·(－2)·(－1)＝－6 ,那么函数f (x )＝x ·H 7x －3( ) A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9． 设f (x )是定义在R 上的奇函数 ,当x ≤0时 ,f (x )＝2x 2－x ,那么f (1)＝________.10． 函数f (x )是定义在R 上的偶函数 ,且在(－∞ ,0)上单调递增 ,那么不等式f (x 2－3x ＋2)>f (6)成立的x 的取值范围是________．11．定义在R 上的函数f (x )满足：①函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称； ②对∀x ∈R ,f ⎝⎛⎭⎫34－x ＝f ⎝⎛⎭⎫34＋x 成立；③当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－52－74时 ,f (x )＝log 2(－3x ＋2) , 那么f (2021)＝________.12．(13分)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x >0 0 x ＝0 x 2＋mx x <0是奇函数． (1)求实数m 的值； (2)假设函数f (x )在区间[－1 ,a －2]上单调递增 ,求实数a 的取值范围． 难点突破 13．(12分)对任意实数x ,给定区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12 k ＋12(k ∈Z ) ,设函数f (x )表示实数x 与x 的给定区间内整数之差的绝|对值．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 12时 ,求出函数f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12 k ＋12(k ∈Z )时 ,写出用绝|对值符号表示的f (x )的解析式 ,并说明理由； (3)判断函数f (x )的奇偶性 ,并证明你的结论．课时作业(六)A【根底热身】1．B [解析] ∵函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1,2a ]上为偶函数 ,∴b ＝0 ,且a －1＋2a ＝0 ,即b ＝0 ,a ＝13.∴a ＋b ＝13. 2．D [解析] f (－)＝f (－＋6)＝f ()＝4－1＝1.3．D [解析] 函数f (x )在[－5,5]上是偶函数 ,因此f (x )＝f (|x |) ,于是f (－3)＝f (3) ,f (－1)＝f (1) ,那么f (3)<f (1)．又f (x )在[0,5]上是单调函数 ,从而函数f (x )在[0,5]上是单调减函数 ,观察选项 ,只有D 正确．4．A [解析] 法一：由得f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )的定义域关于原点对称 ,由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12且x ≠a ,知a ＝12 ,应选A. 法二：∵f (x )是奇函数 ,∴f (－x )＝－f (x ) ,又f (x )＝x 2x 2＋(1－2a )x －a, 那么－x 2x 2－(1－2a )x －a ＝－x 2x 2＋(1－2a )x －a在函数的定义域内恒成立 ,可得a ＝12. 【能力提升】5．A [解析] 假设x <0 ,那么－x >0 ,∴f ()－x ＝()－x 2－()－x ＋1＝x 2＋x ＋1＝－f ()x .假设x >0 ,那么－x <0 ,∴f ()－x ＝－()－x 2－()－x －1＝－x 2＋x －1＝－f ()x .∴f ()x 为奇函数．6．B [解析] 由f (x ＋6)＝－1f (x ＋3)＝f (x )知该函数为周期函数 ,周期为 6 ,所以f ()＝f ⎝⎛⎭⎫6×18－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ,又f (x )为偶函数 ,那么f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1f ⎝⎛⎭⎫－52＝－1－10＝110. 7．A [解析] 作出函数f (x )图象的示意图如图 ,那么原不等式等价于log 2x ＞12或log 2x <－12 ,解得x >2或0<x <22.8．B [解析] f (x )＝x (x －3)(x －2)(x x ＋3)＝x 2(x 2－1)(x 2－4)(x 2－9) ,∴f (x )是偶函数．9．－3 [解析] 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且x ≤0时 ,f (x )＝2x 2－x , ∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0 ,那么－x <0 ,∵f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且x ≤0时 ,f (x )＝2x 2－x ,∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ,又f (－x )＝－f (x ) ,∴f (x )＝－2x 2－x (x >0) ,∴f (1)＝－2×12－1＝－3.10．(－1,4) [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数 ,且在(－∞ ,0)上单调递增 ,所以函数f (x )在(0 ,＋∞)上单调递减 ,因此不等式f (x 2－3x ＋2)>f (6)⇔f (|x 2－3x ＋2|)>f (6) ,所以|x 2－3x ＋2|<6 ,所以－1<x <4.11．－3 [解析] 由函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称可得 ,函数f (x )的图象关于原点对称 ,∴f (x )是奇函数．由f ⎝⎛⎭⎫34－x ＝f ⎝⎛⎭⎫34＋x 得 ,f ⎝⎛⎭⎫34＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫x －34 , ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋34＋34＝－f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋34－34＝－f (x ) , ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x ) ,所以函数f (x )是以3为周期的函数 ,又2021＝3×670＋2 ,∴f (2021)＝f (2)＝－f (－2)＝－log 2(6＋2)＝－3.12．[解答] (1)设x <0 ,那么－x >0 ,所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数 ,所以f (－x )＝－f (x ) ,于是x <0时 ,f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ,所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1 ,a －2]上单调递增 ,结合f (x )的图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1a －2≤1 所以1＜a ≤3 ,故实数a 的取值范围是(1,3]．【难点突破】13．[解答] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 12时 ,0为给定区间内的整数 ,故由定义知 ,f (x )＝|x | ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 12. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12 k ＋12(k ∈Z )时 ,k 为给定区间内的整数 ,故f (x )＝|x －k | ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12 k ＋12(k ∈Z )． (3)对任意x ∈R ,函数f (x )都存在 ,且存在k ∈Z ,满足k －12≤x ≤k ＋12 ,f (x )＝|x －k | ,由k －12≤x ≤k ＋12 ,得－k －12≤－x ≤－k ＋12 ,此时－k 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k －12 －k ＋12内的整数 ,因此f (－x )＝|－x －(－k )|＝|－x ＋k |＝|x －k |＝f (x ) ,即函数f (x )为偶函数．。

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真](教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第11页)[基础知识填充]1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B．13C．12D．－12B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋12x D．y＝x2＋sin xD[A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a ＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上()A．最大值4 B．最小值－4C．最大值－3 D．最小值－3B[法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B．法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B．](对应学生用书第12页)(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝lg(1＋4x 2－2x )； (3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【导学号：79170021】[解] (1)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R ，且f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4x 2－2x ＝－lg(1＋4x 2－2x )＝－f (x )． 故原函数为奇函数．(3)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1](1)(2018·商丘模拟)已知函数f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)，则f(x)是() A．奇函数，且在(0，e)上是增函数B．奇函数，且在(0，e)上是减函数C．偶函数，且在(0，e)上是增函数D．偶函数，且在(0，e)上是减函数(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() 【导学号：79170022】A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(1)D(2)C[(1)f(x)的定义域为(－e，e)，关于原点对称．f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．又f(x)＝ln(e2－x2)，所以f(x)在(0，e)上是减函数．(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|·g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．]a＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， ∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1. (2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] (1)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2018·青岛模拟)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(1)A (2)－32 [(1)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)f (－x )＝ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln 1＋e3x e 3x －ax ＝ln(1＋e 3x )－3x －ax ，依题意得，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即ln(1＋e 3x )－3x －ax ＝ln(1＋e 3x )＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，因此2a ＋3＝0，解得a ＝－32.]f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.(1)6 (2)1 009 [(1)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1.∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][母题探究1] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.[母题探究2] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f (x )， ∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1f (x ＋1)＝f (x )． 故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．在解决具体问题时，要注意“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎨⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D ．]。