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九年级下期2.2 二次函数的图像与性质(3)课件

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北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课

北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
2
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）


顶点(-3，− ）

二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共21张PPT)

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共21张PPT)

【答案】选B.
故障车，此时刹车
有危险（填“会”或
“不会”）.
【答案】会
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
拓展提升：
1.（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
3.抛物线y =3x2+5的开口___向__上__，对称轴是_y__轴___， 顶点坐标是____(0__，__5_)___.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口_____向__下___，对称轴是 _直_线__x__=__－__1_，顶点坐标是___(_－__1_，__0_)___.
探究二：
y
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象， 并与二次函数y=3x2的图象进行比较， 说明它们之间的关系.
探究一：
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
思考：它们的图象之间有 什么关系？
y
o
x
函数
的图象
向上平移2个单位
函数
的图象
函数
向右平移1个单位 的图象
y
o
x
【小组竞赛】
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的__形__状___相同，
____位__置___不同. 2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的__形__状__相同， ___位__置____不同.
达式为____________．
【答案】
或
4．（宁夏·中考）把抛物线

《二次函数的图像与性质》PPT课件

《二次函数的图像与性质》PPT课件

(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的异同点:
相同点： ①形状大小相同 ②开口方向相同 ③对称轴相同
不同点：顶点的位置不同， 抛物线的位置也不 同．
y y=x2+1
10
9
y=x2
8
7
6
5
4
3 2
y=x2－1
1●
-5 -4 -3 -2 -1●o 1 2 3 4 5 x ●
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线
二次函数的图像与性质
学习目标
• 1、能画出y=ax2+ k；y=a(x-h)2的图象，并 能根据图象探索出它的性质。
• 2、能灵活应用y=ax2+ k；y=a(x-h)2的性质 解决相关问题。
二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向 _____，顶点坐标是_____；对称轴是______， 在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在 对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y ＝x2当x＝______时， y有最______值，其最 ______值是______。
后，得到抛物线y=(x-3)2
5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛
物线y=(x-1)2,则m= -10 ,n= 25 .
6.已知二次函数y=8(x -2)2 当 x>2 时，y随x的增大而增大, 当 x<2 时，y随x的增大而减小.
7.抛物线y=3(x-8)2最小值 0 .
8.抛物线y=-3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别为 (-2,0) (0,-12).
大值，这个最大值等
-6
于 c。
-8
总结： 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的 图象形状 相，同只是位置不同；当c>0时，函数 y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 上平移c 个单位

二次函数图像和性质(第3课时)ppt课件

二次函数图像和性质(第3课时)ppt课件
二次函数 y = a(x – h )2
图象
1
画出二次函数 对称轴和顶点．
y1x12,y的图 象1 ，并x考 虑1 它2 们的开口方向、
2
2
x
··· －3 －2 －1
0
1
2
3
···
y 1x12 ··· －2
1
0
1
－2 －4.5 －8
···
2
2
2
y 1x12 ··· －8 －4.5 －2
1
2
2
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点是(h,0).
19
–2
–3
–4
y 1 x2 2
12345
x
12
二次函数y=a(x±h)2的图象和性质.
h>0
y=ax2
当向右平移h时 当向左平移h时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
y=a(x+h)2的图象
a＞0时，开口_____, 最 ____ 点向是上顶点;
低
a＜0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
的
开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．
y 1x12
下
2
x=1
(1,0)
7
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
1y2x32

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共23张PPT)

北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共23张PPT)
（2）y=-3x2与y=-0.5x2 （3）y=-2x2+2与y=-4x2+2
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数

2.2 二次函数的图象与性质 第3课时湘教版九年级下册

2.2 二次函数的图象与性质 第3课时湘教版九年级下册

1.（成都·中考）把抛物线 y x 2 向右平移1个单位，所得 抛物线的函数表达式为（ A. y x 1
2
）
B.
y ( x 1)
2
C. y x 1
2
D. y
( x 1)
2
【答案】D
2.（哈尔滨·中考）在抛物线y＝x2-4上的一个点 是（ ）． B．（1，一4）
抛物线 2 y=x 2 y=X +1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 向上 向上
X=0 X=0 X=0
（０,０） (0，1) (0，-1)
y=x2-1
（4)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线 y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物 线y=x2-1.
（5）它们的位置是由+1、-1决定的.
2
的开口方
向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 y
2
x
2
有什么关系？
画出二次函数 y x 1 , y x 1 的图象，并
2 2
1
1
2
2
考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
y y 1 2 1 2
·· · ·· ·
－3
－2
1 2
－1
0
1 2
1
2
3
·· · ·· · ·· ·
2.2
二次函数的图象与性质
第3课时
1.经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0) 的图象作法和性质的过程. 2.能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0)与 y＝ax2的图象的关系，理解a,m,k对二次函数图象的影响. 3.能正确说出函数y＝ax2＋k,y＝a(x+m)2的图象的开口方 向，顶点坐标和对称轴.

2.2 二次函数图象和性质(3)


抛物线y=ax2
向下平移 抛物线 y=ax2－c c个单位
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c 图象 a>0 a<0
c>0
开口
c<0
c>0
c<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
?
y
5
y=2x2
y=2(x+3)2
4. 3. 2. 1.
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
返回
y
5
y=2x2
y=2(x+3)2
4. 3. 2. 1.
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
返回
议一议：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与 y=ax2 有什么关系？
(0,k) (h,0) (h,k)
y a (x h) 2 (a 0)
y a(x h) k(a 0)
2
直线X=0 直线X=h 直线X=h
开口向上
延伸题
1) 若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得 到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1 4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______

《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件


小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______

北师大版九年级数学下册第二章2.1二次函数的图象与性质3(共24张PPT)


对称轴 y轴 y轴
（0,0）
（0,c）
a>0 时 , 向上 y=ax2+c a<0时,向下
探究一
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
y
y 3x 2 ;
y 3x 2 2 ;
y 3( x 1) 2 .
思考：它们的图象之间有 o
什么关系？
x
函数y=3(x-1)²的图像是什么? 它与y=3x²的图像有什么关系？ 1、完成下表
）
B. y ( x 1) 3
2 2 y ( x 1) 3 D.
C. y ( x 1) 3
2
【答案】选B.
5．
若把函数y=x的图象用E（x，x）
记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则 E（x，x 2
2x
x ）怎样平移得到？ 1）可以由E（x，
（ ）
B.向下平移１个单位 D.向右平移１个单位
2
A.向上平移１个单位 C.向左平移１个单位 【答案】选D.
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征. y=a(x-h)2+k a＞0 开口方向 向上 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,k) (h,k)
a＜0
向下
直线x=h
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
y
探究二
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图
象，并与二次函数y=3x2的图象进 行比较，说明它们之间的关系. o x
函数y
3 x 的图象
2
向上平移 2 函数 y 3( x 1) 的图象 2个单位 函数 y 3( x 1) 2 的图象

2.2.3二次函数的图像与性质(3)

二次函数y=ax2的图象的性质：
（a>0）
（a<0） 下
开口方向 顶点坐标 对称轴
上
都是（0，0）
都是y轴
增减性
“左降右升”
“左升右降”
y最大值为0
极值 当x=0时 y最小值为0
探究 二、关于三条抛物 线，你有什么看法？
左右平移得到
2 1 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 x -2 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 -7 2 -8
三、观察三条抛物线： y
(5)增减性怎么样？
归纳 二次函数 y a( x h) 的图象及性质：
2
1.图象是一条抛物线，对称轴为直线x=h，顶 点为(h，0)。 2.当a>0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=h时，y取最小值为0。 3.当a<0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=h时，y取最大值为0。
y
归纳 用平移观点看函数： 抛物线 y a( x h) 可以看作是由 2 抛物线 y ax 平移得到。 y
2
(1)当h>0时，向右平移 h 个单位； (2)当h<0时，向左平移 h 个单位。
o
x
巩固
4、二次函数y ( x 2) 是由二次函 2 数 y x 向 平移 个单位得到的。
2
小结
二次函数 y a( x h) 的图象及性质：
2
(1)形状、对称轴、顶点坐标；
(2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
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1
2
3
4
5
x
1 y x2 2 y=-x2 y=-2x2
问题情境
2 2 2、二次函数y=2x2、 y 2 x 1与 y 2 x 1 的图像有什么 关系？ y 2 y 2 x 1 8
7
二次函数y=2x2与 的图像呢？ y 2( x 1)2
6 5 4 3 2 1
y=2x2
(2)再沿y轴向上或向下平移|k|个单位，便可得到y=a(x-h)2+k 的图像。
新知归纳
二次函数y=a(x-h)2+k的图像及性质：
函数 图像
y a( x h) k
2
抛物线
开口方向
对称轴
a>0，向上
直线x=h (h，k)
当x>h时，y随x的 增大而增大； 当x<h时，y随x的 增大而减小。 当x=h时，y有最小值k
(2)再沿y轴向上或向下平移|k|个单位，便可得到y=a(x-h)2+k 的图像。
课堂小结
2、二次函数y=a(x-h)2+k的图像及性质：
函数 图像
y a( x h) k
2
抛物线
开口方向
对称轴
a>0，向上
直线x=h (h，k)
当x>h时，y随x的 增大而增大； 当x<h时，y随x的 增大而减小。 当x=h时，y有最小值k
巩固练习
4、分别写出两个符合下列条件的二次函数表达式： (1)函数的图像不经过第三、四象限； (2)函数的图像只有顶点坐标不同。
课堂小结
1、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系： 二次函数的图像y=ax2与二次函数y=a(x-h)2+k的图像的 形状完全相同，只是位置不同。 (1)把y=ax2的图像先沿x轴向左或向右平移平移|h|个单位后， 到y=a(x-h)2的图像；
6
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5
x
新知探究
x y
2 y 2 ( x 1 ) Ⅱ、画二次函数 的图像： (1)列表：
… …
-3 8
(-3,8)
-2 2 y
8 7
6 5
-1 0
(1,8)
0 2
1 8
… …
(2)描点：
(3)连线：
y 2( x 1)2
4
-5 -4 -3 -2
8 7 6 5 4 3 2 1 -1 O -1 1 2 3
4
5
x
合作交流
ⅰ、对比二次函数y=2x2与 y 2( x 1) 的图像：
2
(1) 图像的形状有什么关系？
y
8 7
y=2x2
y 2( x 1)2
(2) 它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么？ (3) 当x取哪些值时，y随x增大 而增大？ 当x取哪些值时，y随x增大 而减小？ -5 -4
a<0，向下
顶点坐标
增减性
当x>h时，y随x的 增大而减小； 当x<h时，y随x的 增大而增大。
最值
当x=h时，y有最大值k

6
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5
x
合作交流
1 ⅲ、由二次函数y=2x2能得到二次函数 y 2 x 2 、 2 1 2 2 y 2( x 3) 、 y 2( x 3) 的图像吗？ 2 2 2 y y =2 x y 2( x 3) 9
3
(-2,2)
2
(0,2)
1 -5 -4 -3 -2 -1 O (-1,0) -1 1 2 3 4 5
x
合作交流
ⅱ、对比二次函数y=2x2与 y 2( x 1) 的图像：
2
(1) 图像的形状有什么关系？
y 2( x 1)
2
y
8 7
y=2x2
(2) 它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么？ (3) 当x取哪些值时，y随x增大 而增大？ 当x取哪些值时，y随x增大 而减小？ -5 -4
北师大版九年级(下)
2.2 二次函数的图像与性质(3)
问题情境
1 2 1、二次函数y=2x2、y=x2、 y x 的图像： 2
y
8 7
y=2x2 y=x2
y 1 x2 2
二次函数y=-2x2、y=-x2 、 的图像呢？ y 1 x2 2
6
5 4 3 2 1
-5 -4
-3 -2
-1 O -1
巩固练习
2、指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐 标，必要时画草图验证：
(1) y 2( x 3)2 5;
(3) y 3 x 2 1; 4
(2) y 0.5( x 1)2; (4) y 2( x 2)2 5;
3 (6) y ( x 3)2 . 4
1 -5 -4 -3 -2 -1 O -1
(2,2)
1(1,0) 2 3
4
5
x
合作交流
ⅰ、对比二次函数y=2x2与 y 2( x 1) 的图像：
2
(1) 图像的形状有什么关系？
y
y=2x2
y 2( x 1)2
(2) 它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么？ (3) 当x取哪些值时，y随x增大 而增大？ 当x取哪些值时，y随x增大 而减小？
(5) y 0.5( x 4) 2;
2
范例讲解
1 2 例1、对于二次函数 y 3( x ) ，它的图像与二次函数 2 y 3x2 有什么关系？它是轴对称图像吗？它的开口方 向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
巩固练习
3、怎样由函数 y 2 x2 得到函数 y 2( x 1)2 3 的图像？ 对于 y 2( x 1)2 3 ，当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
8
y 2( x 3)2 1 2
7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
y 2 x2 1 2
x
新知归纳
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系： 二次函数的图像y=ax2与二次函数y=a(x-h)2+k的图像的 形状完全相同，只是位置不同。 (1)把y=ax2的图像先沿x轴向左或向右平移平移|h|个单位后， 到y=a(x-h)2的图像；
a<0，向下
顶点坐标
增减性
当x>h时，y随x的 增大而减小； 当x<h时，y随x的 增大而增大。 当x=h时，y有最大值k
最值
巩固练习
1、对于二次函数y=-3(x+2)2: (1)它的图像与二次函数y=-3x2的图像有什么关系？它们是 轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是 什么？ (2)当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些 值时，y的值随x值的增大而减小？
y 2 x2 1
-5 -4
-3 -2
-1 O -1
1
2
3
4
5
x
新知探究
2 Ⅰ、画二次函数 y 2( x 1) 的图像： (1)列表：
x y
… …
-1 8
0 2
1 0
2 2
(3,8)
3 8
… …
(2)描点： (3)连线：
y
(-1,8)
8 7
6 5
y 2( x 1)2
4
3
(0,2)2