重庆市南开中学2015届九年级上学期期末考试数学试题

重庆南开中学初2015级九年级(上)阶段测试(二)数学试题参考公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，，对称轴为直线a b x 2-= 一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案。

其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑。

1．上下楼梯时，如果将上3步台阶记为+3，那么下3步台阶应该记为(▲)·A ．﹣3B ．3C ．+3D ．02．计算()23x 的结果是(▲)。

A ．5x B ．6x C ．9x D ．32x3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(▲)。

4．函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是(▲)。

A ．x ≠3B ．3≥xC ．3＜xD ．3≤x5．下列调查中，调查方式选择正确的是(▲)。

A ．为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，选择全面调查B ．为了了解玉兔号月球车的零部件质量，选择抽样调查C ．为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查D ．为了了解中秋节期间重庆市场上的月饼质量，选择全面调查6．如图，直线m l ∥，将含︒45角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若︒=∠251，则2∠的度数为(▲)。

A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°7．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，且32：：=CE DE ，连结AE 、BD 相交于点F ，则△DEF 和△ABF 的面积之比为(▲)。

A ．2：3B ．4：9C ．2：5D ．4：258．分式方程0347=-+x x 的根是(▲)。

A ．3-=x B ．3=x C ．1-=x D ． 1=x9．如图，△ABC 的三个顶点都在O 上，连结CO 、BO ，已知︒=∠55A ， 则BCO ∠的度数是(▲)。

重庆市南岸区南开（融侨）中学2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.-2的相反数是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可.【详解】的相反数是2.故选A.【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.2.下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断．【详解】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．【点睛】考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A. a＞bB. |a|＜|b|C. a+b＜0D. a＜﹣b【答案】B【解析】【分析】根据数轴上点的位可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后对每个选项进行判断即可.【详解】解：由图可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a＜b，|a|＜|b|，a+b＞0，a＞﹣b．故选：B．【点睛】本题考点：实数与数轴.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：A、无法计算，故此选项错误；B、7m-4m=3m，故此选项错误；C、a5•a3=a8，正确；D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：C．【点睛】考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A. 对国庆期间来渝游客满意度的调查B. 对我校某班学生数学作业量的调查C. 对全国中学生手机使用时间情况的调查D. 环保部门对嘉陵江水质情况的调查【答案】B【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A．对国庆期间来渝游客满意度的调查适合抽样调查，不符合题意；B．对我校某班学生数学作业量的调查适合全面调查，符合题意；C．对全国中学生手机使用时间情况的调查适合抽样调查，不符合题意；D．环保部门对嘉陵江水质情况的调查适合抽样调查，不符合题意；故选：B．【点睛】考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6.不等式组的解集为（）A. ﹣1≤x＜2B. ﹣1＜x＜2C. x≤﹣1D. x＜2【答案】A【解析】【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分即可.【详解】由①得：x<2，由②得：故不等式组的解集为：.故选：A.【点睛】考查解一元一次不等式组，首先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组的解集规律：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，确定不等式组的解集7.如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A. 28°B. 29°C. 30°D. 32°【答案】A【解析】【分析】由平行线内错角相等可得∠BEG=∠FHE，再由三角形外角和定理可求解∠HFG的度数.【详解】解：由AB∥CD可得∠BEG=∠FHE=58°，再由三角形外角和定理可得∠HFG=∠FHE-∠G=58°-30°=28°，故选择A.【点睛】本题考查了平行线中的内错角相等.8.市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设计划每天绿化xm2，根据“结果提前5天完成任务”列出方程．【详解】解：设计划每天绿化xm2，则实际每天绿化的面积为（1+20%）xm2，则根据意可列方程：．故选：C．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，根据关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC，BD交于点O，过点O作OG⊥AB于点G．延长AB至E，使BE=AB，连接OE交BC于点F，则BF的长为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由OG∥BC可知即可求解．【详解】解：∵OG∥BC，∴，其中：OG=BC=3，BE=AB=2，GE=BG+BE=6解得：BF=1，故选：B．【点睛】考查的是矩形性质，涉及到平行线分线段成比例，是一道基本题．10.如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边△ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上，已知点C 的坐标是（3，3），则k的值为（）A. 3B. ﹣C. ﹣D. ﹣3【答案】D【解析】【分析】由对称性可知：OA＝OB，由△ABC是等边三角形得三线合一知，OC⊥AB，再根据C点坐标，求出OC,OB 的长，即可求出B点坐标，再代入即可求出k值.【详解】解：由对称性可知：OA＝OB，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵C（3，3），∴OC＝3，∴OB＝OC＝，∴B（，﹣），把B点坐标代入y＝，得到k＝﹣3，故选：D．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是利用反比例函数的对称性与等边三角形的三线合一.11.Surface平板电脑（如图①）因体积小功能强备受好评，将Surface水平放置时，侧面示意图如图②所示，其中点M为屏幕AB的中点，支架CM可绕点M转动，当AB的坡度i=时，B点恰好位于C点的正上方，此时一束与水平面成37°的太阳光刚好经过B，D两点，已知CM长12cm，则AD的长（）cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】【分析】在Rt△ABC中，解直角三角形求出BC，AC，再在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题；【详解】解：在Rt△ACB中，∵AM=BM，CM=12cm，∴AB=2CM=24cm，∵BC：AC=，设AC=x，则BC=x，则有（x）2+x2=242，∴x=12，BC=12，在Rt△BCD中，CD=，∴AD=CD-AC=16-12，故选：B．【点睛】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；④2a+c＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；⑤若A （x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确．【详解】解：①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；④2a+c＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；故选：D．【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y的值．二、填空13.写一个比大的无理数______．【答案】【解析】【分析】根据实数的大小比较即可求出答案．【详解】解：因为3〉2，所以〉.故答案为：（答案不确定，比大就行）【点睛】考查实数比较，解题的关键是熟练掌握实数比较大小，本题属于基础题型．14.计算：3tan45°++3﹣2=_____．【答案】【解析】【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】原式=3×1+（﹣3）+=3﹣3+=故答案是：．【点睛】考查了实数运算，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．15.周末，爸爸带亮亮到璧山枫香湖儿童公园游玩，游乐区内有红、紫、黄三种颜色的攀爬网和蓝、绿两种颜色的组合木层，由于时间关系，爸爸要求亮亮只能在三种举爬网和两种组合木层中各选一种游玩，那么亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率．【详解】解：由题意可得，选择的所有可能性是：（红，蓝），（红，绿），（紫，蓝），（紫，绿），（黄，蓝），（黄，绿），故亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是，故答案为：.【点睛】考查列举法求概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．16.如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是______．【答案】0＜b＜4．【解析】【分析】利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．【详解】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4）当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．故答案是：0＜b＜4．【点睛】考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17.甲骑自行车从A地到B地，甲出发1分钟后乙骑平衡车从A地沿同一条路线追甲，追上甲时，平衡车电量刚好耗尽，乙立即手推平衡车返回A地，速度变为原速度的，甲继续向B地骑行，结果甲、乙同时到达各自的目的地并停止行进，整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分关系如图所示，则A，B两地相距的路程为______米．【答案】2040【解析】【分析】根据题意，可知甲出发1分钟后甲、乙两人相距120米，由此求出甲骑自行车的速度为120米/分．再根据甲出发3.5分钟时，两人相距45米，求出乙的速度，然后求出乙追上甲的时间，乙返回的时间，进而求出A，B两地相距的路程．【详解】解：由图可知，甲骑自行车的速度为120米/分．设乙的速度为v米/分，则有（3.5-1）（v-120）=120-45，解得v=150．设乙用x分钟追上了甲，则有（150-120）x=120，解得x=4．乙追上甲行驶的路程为：150×4=600（米），乙返回的速度为150×=50（米/分），乙返回的时间：=12（分），A，B两地相距的路程为120×（1+4+12）=2040（米）．故答案是：2040．【点睛】考查了一次函数的应用，路程、速度与时间的关系，以及追击问题的相等关系．求出甲的速度是本题的突破口，得到乙的速度是本题的关键．18.某公司有A，B，C三种货车若干辆，A，B，C每辆货车的日运货量之比为1：2：3，为应对双11物流高峰，该公司重新调配了这三种货车的数量，调配后，B货车数量增加一倍，A，C货车数量各减少50%，三种货车日运货总量增加25%，按调配后的运力，三种货车在本地运完一堆货物需要t天，但A，C两种货车运了若干天后全部被派往外地执行其它任务，剩下的货物由B货车运完，运输总时间比原计划多了4天，且B货车运输时间刚好为A，C两种货车在本地运输时间的6倍，则B货车共运了______天．【答案】24【解析】【分析】设出调配前A，B，C三种货车的辆数以及每辆货车的日运货量，再根据题目的条件列出关系式求解即可得出答案．【详解】解：根据比例设A，B，C每辆货车的日运货量为m，2m，3m，调配前A，B，C三种货车分别为a辆，b辆，c辆，则调配后A，C类货车分别为0.5a辆，0.5c辆，B类货车为2b辆，依题意，得：（am+2bm+3cm）（1+25%）=0.5am+2b×2m+0.5c×3m，①t（0.5am+2b×2m+0.5c×3m）=（t+4）×（2b×2m）+（0.5am+0.5c×3m）×②由①，得0.5a+1.5c=b，代入②，5bt=4b（t+4）+b×，解得t=20，∴t+4=24．故答案是：24．【点睛】考查列代数式．用字母表示出A，B，C每辆货车的辆数以及日货运量来建立等量关系是解题的关键．三、计算题19.先化简，再求值：（x2-4x+4）•（+），其中x=2sin45°．【答案】-2【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入原式进行计算即可．【详解】解：原式=（x-2）2•[+]=（x-2）2•=x-2，当x=2sin45°=2×=时，原式=-2．【点睛】考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.近期，第八届“重庆车博会“在会展中心盛大开幕，某汽车公司推出降价促销活动，销售员小王提前做了市场调查，发现车辆的销量y（辆）与售价（万元/辆）存在如下表所示的一次函数关系：售价x（万元/辆）…20 19.8 19.6 19.4 19.2 19 …销量y（辆）… 5 6 7 8 9 10 …（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每辆车的成本为11万元，在每辆车售价不低于15万元的前提下，每辆车的售价定为多少万元时，汽车公司获得的总利润W（万元）有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=-5x+105；（2）每辆车的售价定为16万元时，汽车公司获得的总利润W有最大值，最大值是125万元．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=（售价-进价）×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式：将（20，5），（19，10）代入，得：y=kx+b，，解得：，则y=-5x+105；（2）根据题意知，W=（x-11）y=（-5x+105）（x-11）=-5x2+160x-1155=-5（x-16）2+125，∵x≥15，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为125，答：每辆车的售价定为16万元时，汽车公司获得的总利润W有最大值，最大值是125万元．【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，理解题意找到蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．21.如图是小西设计的“作已知角∠AOB的平分线”的尺规作图过程：①在射线OB上取一点C；②以点O为圆心，OC长为半径作弧，交射线OA于点D；③分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线OE．则射线OE即为∠AOB的角平分线．请观察图形回答下列问题：（1）由步骤②知，线段OC，OD的数量关系是______；连接DE，CE，线段CO，CE的数量关系是______；（2）在（1）的条件下，若∠EOC=25°，求∠ECB的度数．【答案】（1）OC=OD，CO=CE．（2）50°．【解析】【分析】（1）利用基本作图，可得结论；（2）利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【详解】解：（1）由作图可知：OD=OC，CO=CE，故答案为：OC=OD，CO=CE．（2）∵CO=CE，∴∠COE=∠CEO=25°，∴∠ECB=∠COE+∠CEO=50°．【点睛】考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．22.在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区---区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）【收集数据】连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：区域A0 1 3 4 5 6 6 6 7 8 8 9 11 14 15 15 17 23 25 30B 1 1 3 4 6 6 8 9 11 12 14 15 16 16 16 17 22 25 26 35【整理、描述数据】（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：海豚数x 0≤x≤78≤x≤1415≤x≤2122≤x≤2829≤x≤35区域A 9 5 3 ______ ______区域B 6 5 5 3 1（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示观测点极差平均数中位数众数区域A a 10.65 b c区域B 34 13.15 13 16请填空：上表中，极差a=______，中位数b=______，众数c=______；（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？【答案】（1）2，1；（2）30，8，6；（3）22≤x≤35.【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；（3）根据样本估计整体，集合表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．【详解】解：（1）由收集数据中的数据可得，22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，故答案为：2，1；（2）由收集数据中的数据可得，a=30-0=30，b=8，c=6，故答案为：30，8，6；（3）200×=30（天），答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．【点睛】考查极差、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的中位数、众数、极差．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且点B的横坐标为-3．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接AO，求△AOC的面积；（3）在△AOC内（不含边界），整点（横纵坐标都为整数的点）共有______个．【答案】（1）；（2）6；（3）4.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出点B坐标即可解决问题；（2）利用方程组求出点A坐标，根据三角形的面积公式计算即可；（3）在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个；【详解】解：（1）∵点B在直线y=2x+4上，点B的横坐标为-3，∴B（-3，-2），∵点B在y=上，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=．（2）由，解得或，∴A（1，6），∵C（-2，0），∴S△AOC=×2×6=6．（3）如图，观察图象可知：在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个，故答案为4．【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.如图1，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AD于点E，过AE上一点F作FH⊥CD于点H，交CE 于点K，且KE=DE．（1）若AB=13，且cos D=，求线段EF的长；（2）如图2，连接AC，过F作FG⊥AC于点G，连接EG，求证：CG+GF=EG．【答案】（1）12；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）首先解直角三角形求出EC，再证明△FEK≌△CED（AAS），推出EF=CE=12即可解决问题；（2）如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．证明△EGN≌△EGM（AAS），推出EN=EM，∵GN=GM，EF=EC，推出Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），推出FN=CM，推出CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=13，∵CE⊥AD，FH⊥CD，∴∠FHC=∠CED=90°，在Rt△CDE中，∵cos D==，∴DE=5，∴CE==12，∵∠FEK=∠CED=90°，∠FKE=∠CKE，∴∠EFK=∠ECD，∵EK=DE，∴△FEK≌△CED（AAS），∴EF=CE=12．（2）证明：如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．∵FG⊥AC，CE⊥AD，∴∠FGC=∠FEC=90°，∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴∠FGC+∠FEC=90°，∴E，F，G，C四点共圆，∴∠FGE=∠ECF=45°，∠EGC=∠EFC=45°，∴∠EGN=∠EGM，∵∠EMG=∠ENG=90°，EG=EG，∴△EGN≌△EGM（AAS），∴EN=EM，∵GM=GN，EF=EC，∴Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），∴FN=CM，∴CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG．【点睛】考查平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：平面直角坐标系中，对点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算：A⊗B=x1x2+y1y2．例如：若A（1，2），B（3，4），则A⊗B=1×3+2×4=11材料二：平面直角坐标系中，过横坐标不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线的斜率为k AB=．由此可以发现若k AB==1，则有y1-y2=x1-x2，即x1-y1=x2-y2．反之，若x1，x2，y1，y2满足关系式x1-y1=x2-y2，则有y1-y2=x1-x2，那么k AB=═1．（1）已知点M（-4，6），N（3，2），则M⊗N=______，若点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，那么k AB=______；（2）横坐标互不相同的三个点C，D，E满足C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF=8，请结合图象，求直线CE与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）0，-1；（2）8或72．【解析】【分析】（1）根据材料一和材料二计算即可；（2）由C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），得出x1+y1=x2+y2，即可得出直线CE的斜率为k CE=-1，从而得出直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，然后根据图象即可求得．【详解】解：（1）根据新的运算，M⊗N=-4×3+6×2=0；∵点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，∴y1-y2=-（x1-x2），∴k AB==-1；故答案为0，-1；（2）设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1=2x2+2y2，即x1+y1=x2+y2，由（1）可知：直线CE的斜率为k CE=-1，如图所示，则直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∵DF=8，∴围成的三角形的直角边的长为4或12，∴直线CE与坐标轴围成的三角形的面积为8或72．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；(3)在(2)中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F 为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+6；(2)点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；(3)存在，此时，点B1的横坐标为18．【解析】【分析】（1）直线BC的解析式为y=-x+6，则B（6，0）、C（0，6），把B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y=-x2+2x+6；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d==；点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，即可求解；（3）OM所在直线方程为：y=x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′=-（x-2-2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m=，则H（9，0）．①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x 坐标为9+2，而B′1C=9+2，B′1H=4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH=18．【详解】(1)直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），把点B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y＝﹣x2+2x+6，此时，顶点坐标为（2，8），A（﹣2，0）；(2)设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝，∴当t＝3时，d最大，则M（3，），点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，AM＝＝；∴点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；(3)OM所在直线方程为：y＝x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m＝，（m＝0舍去），则H（9，0），△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，此时，直线BO1的k值为，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，直线B1H的k也为，则B1H所在的直线方程为：y＝x﹣9，①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．故：存在，此时，点B1的横坐标为18．【点睛】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．。

重庆市南开中学2015年九年级数学上学期期末考试试题参考公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，，对称轴为直线a b x 2-= 一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑。

1．9的相反数是(▲)。

A ．9-B ．9C ．9±D ．91 2．计算()32·x x -所得的结果是(▲)。

A ．5x -B ． 5xC ． 6x -D ．6x3．若分式13-a 有意义，则a 的取值范围是(▲)。

A ．任意实数B ．1-≠aC ．1≠aD ．0≠a4．下列调查中，适合用普查方式的是(▲)。

A ．了解重庆火锅的麻辣程度B ．了解湖南电视台《我是歌手》在全国的收视率C ．了解长江中鱼的种类分布D ．了解初三·18班学生某次语文测验的成绩5．下列根式中与2是同类二次根式的是(▲)。

A ．3B ．5C ．8D ．126．如图，在O 中，︒=∠50ABC ，则AOC ∠等于(▲)。

A ．︒50B ．︒80C ．︒90D ．︒1007．如图，DE AB ∥，︒=∠20ABC ，︒=∠80BCD ，则CDE ∠的度数为(▲)。

A ．︒20B ．︒60C ．︒80D ．︒1008．如图，在ABC ∆中，点F D E 、、分别是边CA BC AB 、、的中点，6=AB ，4=AC ，则四边形AEDF 的周长是(▲)。

A ．10B ．20C ．30D ．409．若直线k x y +=2与x 轴的交点为()02，-，则关于x 的不等式02＜k x +的解集是(▲)。

A ．2-≥xB ．2-≤xC ．2-＜xD ．2-＞x10．课间操时，小超从三教楼(即目前初三年级所在的教学楼)正门前的空地出发，前往篮球场指定位置参加跳绳训练。

选择题下列哪个数集是有限集？A. 所有正整数的集合B. 所有负偶数的集合C. 小于100的正质数的集合（正确答案）D. 所有实数的集合在平面直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴对称的点的坐标是？A. (-3,4)B. (3,-4)（正确答案）C. (-3,-4)D. (4,3)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 7，a5 = 11，则a7等于？A. 13B. 14C. 15（正确答案）D. 16函数f(x) = x2 - 4x + 5的最小值出现在x等于？A. -2B. 0C. 2（正确答案）D. 4下列哪个不等式组无解？A. { x > 2, x < 5 }B. { x ≤ -1, x ≥ 1 }（正确答案）C. { x < -3, x > -5 }D. { x ≥ 0, x ≤ 10 }已知三角形ABC的三边长为a, b, c，且满足a2 + b2 = c2 + 2ab，则三角形ABC是？A. 锐角三角形B. 直角三角形（正确答案）C. 钝角三角形D. 等边三角形若复数z = 2 + 3i，则z的共轭复数乘以z的模等于？A. 5 + 3iB. 3 - 2iC. √13(2 - 3i)（正确答案，模为√13，共轭复数为2 - 3i）D. 13i下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x2 + 1B. f(x) = sin(x)cos(x)C. f(x) = x3 - x（正确答案）D. f(x) = ex + e(-x)已知圆C的方程为(x - 2)2 + (y - 3)2 = 16，则圆心C到直线l: 3x - 4y + 5 = 0的距离为？A. 3B. 4（正确答案）C. 5D. 6。

重庆市南开中学九年级上册期末精选试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝12t2+12×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，∴12t2+12×6×（6﹣t）＝18×79，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣12t2＝72t2＝8，解得：t1＝477，t2＝﹣477（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝12×6×6﹣12t2﹣12（6﹣2t）2＝12t﹣25t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝45（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝126×6﹣12t2＝8，解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.3．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x 2+2nx ﹣8n 2=0，x 2+2nx=8n 2，x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2，（x+n ）2=9n 2，x+n=±3n ，x 1=2n ，x 2=﹣4n ．4．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A 型销售数量（台）B 型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2 000（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．已知函数2266()22()x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时，①直接写出图象G 对应的函数表达式②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围【答案】（1）①2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(32,1),(32,1)--+--；（2）0a <或2635a <<；（3）314125a --<，1153a <<，1123a <<-【解析】【分析】（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；（3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可．【详解】（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩②当1x >时，2661x x -+=-2670x x -+=1233x x ==当1x ≤时，2221x x -++=-2230x x --=121,3x x =-=（舍）∴坐标为(1,1),(31),(31)----（2）当0a <时266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点顶点坐标为()23,96a a a -+当x a =时，256y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点 将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23a >∴2635a << 即当2635a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点， 综上，0a <或2635a << （3）266y x ax a =-+的对称轴为直线6321a x a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a + ①当a ＜0时， ()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +由()210a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x ＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-当2221561a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：315a --<； 当2221561a a a a ⎧+>⎨-+>-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴有两个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有一个交点解得：315a +-+<<，与前提条件a ＜0不符，故舍去； ②当a ≥0时， ()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>，此时当x=3a 时，y 的最小值为296a a -+，由()2310a --≤可得2961a a -+≤，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1当222221561961961a a a a a a a a ⎧+<⎪-+>⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：115a <<-+且13a ≠； 当222221561961961a a a a a a a a ⎧+<⎪-+<⎪⎨-+<-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点此不等式无解，故舍去；当222221561961961a aa aa aa a⎧+>⎪-+<⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点此不等式无解，故舍去；综上：315a--<或1153a<<或113a<<-【点睛】此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．7．在平面直角坐标系中，点(),p tq与(),q tp()0t≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a是一对泛对称点，求a的值；（2）若P，Q是第一象限的一对泛对称点，过点P作PA x⊥轴于点A，过点Q作QB y⊥轴于点B，线段PA，QB交于点C，连接AB，PQ，判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c=++()0a＜交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线于点M（不与点D重合），过点M的直线y ax m=+与此抛物线交于另一点N．对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M MM x y，(),N NN x y探究当My＞Ny时Mx的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB∥PQ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M，y M)，N(x N，y N)，当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t的值，即可求出a.（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），根据题干条件得到A（p,0），B （0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，设3t＝2解得t＝23所以a＝t×1＝23（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得111pk b tpb tp+=⎧⎨=⎩. 解得11k tb tp=-⎧⎨=⎩分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得2222pk b tpqk b tp+=⎧⎨+=⎩. 解得22k tb tp tp=-⎧⎨=+⎩所以k1＝k2.所以AB∥PQ（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，所以点D的坐标为（0,c）.因为DM∥x轴，所以点M的坐标为（x M,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.可得ax M 2＋bx M＋c＝c，即x M（ax M＋b）＝0.解得x M＝0或x M＝－ba.因为点M不与点D重合，即x M≠0，也即b≠0，所以点M的坐标为（－ba,c）因为直线y＝ax＋m经过点M，将点M（－ba,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－ba）＋m＝c.化简得m＝b＋c所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，解得x1＝－ba，x2＝1.即x M＝－ba，x N＝1，且－ba≠1，也即a＋b≠0.所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）要使M（－ba,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－ba ）.也即a＋b＋c＝（－ba ）·c也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.因为a＋b≠0，所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.8．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.9．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A （﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF （xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278 当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）． （3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1． 在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1．∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ．∴EN=OE﹣ON=1k﹣2k．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴NQ ENOF EF=，即：1221kkkk-=，解得：k=±25，∵k＞0，∴k=25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.10．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数2y ax bx c=++（其中a、b、c 是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【答案】（1）243y x x=-+-；（2）32；（3）E（2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到32ADDC=，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝126＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12AB′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=1BC．2（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵3CF=6，∴tan∠3∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=3，∴PN=2222++=39．DN PD=(3)6【点睛】本题考查四边形综合题．13．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．14．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2，图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2，∴22，即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）123545（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，。

重庆一中初2015级14—15学年度上期期末考试数 学 试 卷（答案）一、 选择题：二．填空题 题号 13 1415 答案 2015 4103.1⨯1：2 题号 161718答案 332-π 52 7:4三．解答题19.原式=239211--+⨯+- …………………………………………………… … 6分 =5 …………………………………………………… 7分 20.解：（1）…………………………………………………… 2分 （2）将男生分别标记为21,A A ，女生标记为1B一 1A2A 1B1A()21,A A()11,B A 2A ()12,A A()12,B A1B()11,A B()21,A B……………………………………………………………………………… 5分3264(==一男一女）P …………………………… ……………………… 7分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADADCCDDBDAB二lH21.解：原式=()2223)3992(++⨯+-++x x x x x x =22)2(332++⨯++x x x x x =2+x x…………………………………………………………… 6分 解方程得：1-=x …………………………………………………………8分 当1-=x 时，原式=1- …………………………………10分 22.解：（1） 过点B 作l ⊥BH 交l 于点H ………………………………1分 在中在ABH Rt ∆km BH AB AB BH ABH 5.45.753cos =∴===∠， ………………4分（2）在中H A Rt B ∆，km AH AB AB AH BH 65.7,54A sin =∴===∠∴………………………6分 在中在BCH Rt ∆km CH BH BH CH CBH 185.414tan =∴===∠∴， …………………8分 hkm km AH CH CA /621212=∴=-=∴速度为： ………………………10分答：观测点B 与公路l 的距离是4.5km ，自行车行驶的平均速度是6h km /. 23.解：（1）设2012年采购的书桌为x 张，椅子为y 张.⎩⎨⎧=+=+36000401303400040120y x y x 解得⎩⎨⎧==250200y x ………… …………4分 （2）()()34720)50250%10140%211200%1120=-++⎪⎭⎫⎝⎛-+（a a …7分 令t a =%，则原方程可化简为：0425252=+-t t解得=1a 0.2 ，=2a 0.8(舍) ………………………9分 答：2013年采购书桌和椅子分别是200张和250张. ………………10分24.解：（1） 四边形ABCD 是平行四边形∴AD//BCCE ⊥AD∴ECB CED ∠==∠ 9090,60=∠=∠DEC D∴ 120,30D =∠=∠CF EC BBC=CF 30=∠∴GBC在Rt ∆BCG 中，90=∠GCB∴tan 3233GCBC GC GBC ===∠ ∴GC=2 ……………4分（2）延长EC 到点H ，使得ED =CH ，连接BH ……………5分CGED DC GH BH GBH GBH CF BC CD BH DCE HBC BC EC HCB DEC HCDE DCE HBC +=∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠∠+∠=∠∠=∠∴==∠=∠∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆4534,1252,31 中和在…………………………………………………………………10分25.解：（1） 03202=--=x x y 时，当3,121=-=∴x x )0,3(),0,1(B A -∴ 30-==y x 时，当)3,0(-∴C4)1(3222--=--=x x x y )4,1(-∴D ……………3分（2）设b kx y BC +=: 将代入得：)3,0(),0,3(-C B⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=-+=31330b k b b k 3-=∴x y ，过点D 作y //DE 轴，交BC 于点E21-=∴==E E D y x x3=+=∴∆∆∆CD E BED BCD S S S ……………4分过点P 作y //PQ 轴，交直线BC 于点Q)3,(),32,(2---m m Q m m m P 设①当P 是BC 下方抛物线上一点时，329232=+-=+=∴∆∆∆m m S S S PQC PBQ PCB2)(121=-=∴m m ，舍…………………………………………………… ……………6分②32923)30(2C =-=-=><∆∆∆m m S S S m m BC P PQB PQ PBC 或上方抛物线上一点时是当 2173,217321-=+=m m 解得 ……………8分 综上：=m 22173,2173，-+ （3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+-≤<+-=)43(6383)31(2381)10(3813222a a a a a a a a S ……………12分26.解：（1）在5+=x y 中，令0=y ,得5-=x ，)0,5(A -∴)3,2(D -- 在对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线2-=x⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-∴2205525abb a ，解得:⎩⎨⎧-=-=41b a ∴抛物线的解析式为：542+--=x x y ……………3分（2）PF QP FN QM ⊥⊥⊥,MN MN ，∴ 9062=∠=∠， 90539031=∠+∠=∠+∠，51∠=∠∴又PQ F =P ，PNF MP ∆≅∆∴Q NF MP NP ==∴,MQ ………4分 设)0,(M m （02<<-m ），则54)54,(N 22+--=+--m m MN m m m ，)54,4(F 2+----∴m m m ，42)4(+=---=m m m FN)42(4542+=+--∴m m m ，解得：)(111舍或-=-=m m)0,7(643)0,1(,8MN -∴===∴-=∴Q MN NP MQ M ，， …………7分 （3）)0,1(,15,0542B x x x x ∴=-==+--或得令)6,1(K ∴[][]103)3(6)2(1DK 22=--+--=①若翻折后，点D '在直线GK 上方，记H D '与GK 交于点L ，连接K D 'D GH GHK DGK GHL 212141'∆∆∆∆===∴S S S S ，即KHL G L D G HL ∆'∆∆==S S S L D HL LK '==∴,GL ，是平行四边形四边形GHK D '∴，D 'D '图（1）图（2） 备用图102321D ==='=∴KD KH G D G ，又3,6BK ====AE DE BA AED ABK ∆∆∴和都是等腰直角三角形，23AD =904545DAG =+=∠∴，由勾股定理得：223AG 22=-=AD DG 22922326KG =-=-=∴AG KA ……………9分 ②若翻折后，点D '在直线DK 下方，记G D '与KH 交于点L ，连接K D 'D GH GHK DGK GHL 212141'∆∆∆∆===∴S S S S ，即L K L D G HL G H S S S ∆'∆∆==L D L K '==∴G ,L HL ，是平行四边形四边形GH K D '∴102321KG ==='=∴KD DH H D ……………11分 ③若翻折后，点D '与点K 重合，则重叠部分的面积等于DGK KGH S ∆∆=21S不合题意. ……………12分 综上所述：1023KG 229KG ==或。

重庆南开中学初2015级九年级(下)半期考试数 学 试 题一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号 为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑． 1．2的相反数是( ) A ．2 B ．21 C ．-2 D ．21- 2．计算322·x x -的结果是( ) A ．52x - B ．52x C ．62x - D ．62x 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )4．如图，点O 在直线AC 上，BO ⊥DO 于点O ，若︒=∠1451，则3∠的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°5．若a(a≠0)是关于方程022=-+a bx x 的一个根，则b a +的值为( ) A ．2 B ．-2 C ．0 D ．46．如图，已知DE ∥BC ，且=DB AD ：2:1，则△ADE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1:4 B ．2:3 C ．4:6 D ．4:9 7．下列说法正确的是( )A ．调查重庆市空气质量情况应采用普查的方式B ．若A 、B 两组数据的平均数相同，A 组数据的方差2A S =0.03，B 组数据的方差2B S =0.2，则8组数据比A 组数据稳定C ．南开中学明年开运动会一定会下雨D ．为了解初三年级24个班课间活动的使用情况。

李老师采用普查的方式 8．如图，O 是正方ABCD 的外接圆，点E 是弧AB 上任意一点，则DEC ∠的度数为( )A ．40°B ．45°C ．48°D ．50° 9．关于x 的方程11=+x a的解是负数，则口的取值范围是( ) A ．a<l B ．a<1且a≠0 C ．a≤1 D ．a≤l 且a≠010．2015年4月l8日周杰伦“摩天轮2”演唱会在重庆奥体中心如期举行．小王开车从家出发前去观看，预计1个小时能到达，可当天路上较为拥堵，行驶了半个小时，刚好行驶了一半路程，道路被“堵死”，堵了几分钟突然发现旁边刚好有一个轻轨站，于是小王将车停在轻轨站的车库，然后坐轻轨前往，结果按预计时间到达．下面能反映小王距离奥体中心的距离y (千米)与时间x (小时)的函数关系的大致图象是( )11．将一些形状相同的小棒按如图所示的方式摆放。

2013-2014学年重庆市南开中学初三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3B．﹣C．3D．2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算（a3b）2结果正确的是（）A．a9b B．a9b2C．a3b2D．a6b24．（4分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．100°5．（4分）计算4sin60°的结果是（）A．2B．2C．3D．26．（4分）已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．9D．﹣97．（4分）甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选（）A．甲队B．乙队C．丙队D．哪一个都可以8．（4分）已知相交两圆的半径分别为3和7，则它们的圆心距可能是（）A．3B．4C．6D．109．（4分）如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF=（）A．4：9B．2：5C．4：5D．2：310．（4分）如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（）A．56B．64C．72D．9011．（4分）如图，有一个球体正好与一个足够大的平面相切．现在固定球体不动，让平面匀速上升，则下面能反映球体被平面所截得的圆（阴影部分）的面积S与移动时间t之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，与x轴交于A、B 两点，交y轴于点C，且OB=OC．则下列结论不正确的是（）A．a＞1B．c＜a C．ac+1=b D．1＜b＜2二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答卷中对应的横线上．13．（4分）重庆长江客运索道起于渝中区长安寺，横跨长江至南岸上新街，全长1166米，有万里长江第一条空中走廊之称．2014年1月1日，完成改造的长江索道重新开放，当日载客置达17850人次，创出了1987年10月建成以来的历史新高．将数据17850用科学记数法表示为．14．（4分）分式方程的解为x=．15．（4分）在一次九年级学生视力检查中，随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，4.2，4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8，则这组数据的中位数是．16．（4分）临近新春，北关工艺厂新推出一种扇形纸扇，其展开图如图胼示．已知外侧竹条AB、AC的夹角为120°，且AB=AC=30cm，AD=AE=10cm，则阴影部分面积是cm2．17．（4分）如图，为某立方体骰子的表面展开图．掷此骰子一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y．记作点（x，y）．若小华前两次掷得的两个点所确定的直线过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴的正半轴上，OA=AB，边OB的中点C在双曲线y=上，将△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，正好落在双曲线y=上．若△OAB的面积为6，则k=．三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题．必须给出丛要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．19．（7分）计算：﹣12014+﹣3tan30°+|2﹣6|+（﹣）﹣2．20．（7分）如图，在边长为l的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点分别在网格的格点上．（1）将四边形ABCD向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，请在网格中画出四边形A1B1C1D1；（2）连结AD1、AC1，将△AC1D1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2C1D2，请在网格中画出△A2C1D2．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答卷中对应的位置上．21．（10分）先化简，再求值：，其中，x是方程x2+2x﹣2=0的解．22．（10分）随着中招体育考试的临近，为更好地了解同学们的锻炼情况，体育老师在初三某班抽取了部分同学进行了一次模拟考试，并将考试结果分成“优秀”、“良好”、“一般”和“差”四类，分别用A、B、C、D表示，并将考试结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）一共有同学参加了此次模拟考试，其中男生名，女生名；（2）请将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，题意老师想从A类和D类同学里分别选取一位同学进行“互帮互助”，请用列表法或画树形图的方法，求出所选两位男生或两位女生的概率．23．（10分）“不览夜景，未到重庆．”乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口．“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．（1）若该游轮每晚获得10000元利润的同时，适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？（2）春节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于44元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最多？24．（10分）如图，▱ABCD中，E在AD边上，AE=DC，F为▱ABCD外一点，连接AF、BF，连接EF交AB于G，且∠EFB=∠C=60°．（1）若AB=6，BC=8，求▱ABCD的面积；（2）求证：EF=AF+BF．五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都丛须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．25．（12分）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．26．（12分）如图1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF 中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．点C、B、E、F在同一直线上，且B、F 两点重合．现固定△ABC不动，将△DEF沿直线BC以1cm/s的速庋向点C运动．当点F到达点C时，△DEF停止运动．设运动的时间是t（s）．其中t＞0．（l）当t=时，点D落在线段AB上；（2）设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；（3）如图2，当点F开始运动时，点P同时从点F出发，在折线FD﹣DE上以2cm/s的速度向点E运动，设DE、DF两边分别与AB边交于M、N两点．①求t为何值时，△PMN为等腰三角形？②如图3，当点P在边DF上运动时，求线段CP的中点Q所经过的路径长度．2013-2014学年重庆市南开中学初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3B．﹣C．3D．【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【解答】解：根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．故选：A．2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．3．（4分）计算（a3b）2结果正确的是（）A．a9b B．a9b2C．a3b2D．a6b2【分析】根据积的乘方法则进行计算．【解答】解：（a3b）2=（a3）2•b2=a6b2．故选：D．4．（4分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．100°【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠D，从而得到∠CAD=∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D，∴∠CAD=∠D，在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°，∴80°+∠D+∠D=180°，解得∠D=50°．故选：A．5．（4分）计算4sin60°的结果是（）A．2B．2C．3D．2【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=4×=2．故选：D．6．（4分）已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】将x=﹣2代入方程即可求出a的值．【解答】解：将x=﹣2代入方程得：﹣4﹣a﹣5=0，解得：a=﹣9．故选：D．7．（4分）甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选（）A．甲队B．乙队C．丙队D．哪一个都可以【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.4，S乙2=18.8，S丙2=25，∴S甲2最小，∴他应选甲队；故选：A．8．（4分）已知相交两圆的半径分别为3和7，则它们的圆心距可能是（）A．3B．4C．6D．10【分析】根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答．【解答】解：∵7﹣3=4，7+3=10，∴相交时，4＜圆心距＜10，∴只有C中6满足．故选：C．9．（4分）如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF=（）A．4：9B．2：5C．4：5D．2：3【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：5∴S△DEF ：S△EBF=2：5，故选：B．10．（4分）如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（）A．56B．64C．72D．90【分析】由题意可知，三角形每条边上有3盆花，共计3×3﹣3盆花，正四边形每条边上有4盆花，共计4×4﹣4盆花，正五边形每条边上有5盆花，共计5×5﹣5盆花，…则正n变形每条边上有n盆花，共计n×n﹣n盆花，结合图形的个数解决问题．【解答】解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32﹣3盆花，第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42﹣4盆花，第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52﹣5盆花，…第n个图形：正n+2边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2﹣（n+2）盆花，则第8个图形中花盆的个数为（8+2）2﹣（8+2）=90盆．故选：D．11．（4分）如图，有一个球体正好与一个足够大的平面相切．现在固定球体不动，让平面匀速上升，则下面能反映球体被平面所截得的圆（阴影部分）的面积S与移动时间t之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意列出S与t的函数关系式，由函数关系式来确定其图象．【解答】解：如图，设球体的半径为R．则由垂径定理知：该截面的球体被平面所截得的圆（阴影部分）的半径为AC=AD．在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2=OA2﹣OD2=R2﹣（R﹣t）2=t2+2Rt．所以S=πAD2=πt2+2πRt（t≥0），显然，该函数是二次函数，其图象是抛物线在x轴上方的部分．故选：D．12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，与x轴交于A、B 两点，交y轴于点C，且OB=OC．则下列结论不正确的是（）A．a＞1B．c＜a C．ac+1=b D．1＜b＜2【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣1，即﹣=﹣1，进而得出a，b的关系，再将（﹣c，0）代入求出a，c的关系，进而分别得出答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，整理得b=2a，由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OB，所以B（﹣c，0），把它代入y=ax2+bx+c，即ac2﹣bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac﹣b+1=0，所以ac+1=b，故选项C正确，不合题意；∵b=2a，ac+1=b，∴a=，∵0＜c＜1，∴＜a＜1，故选项A错误符合题意；∴1＜b＜2，故选项D正确，不合题意；∵由x=﹣1时，图象顶点坐标纵坐标小于0，则a﹣b+c＜0，b=2a，∴﹣a+c＜0，∴c＜a，故选项B正确，不合题意；故选：A．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答卷中对应的横线上．13．（4分）重庆长江客运索道起于渝中区长安寺，横跨长江至南岸上新街，全长1166米，有万里长江第一条空中走廊之称．2014年1月1日，完成改造的长江索道重新开放，当日载客置达17850人次，创出了1987年10月建成以来的历史新高．将数据17850用科学记数法表示为 1.785×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将17850用科学记数法表示为：1.785×104．故答案为：1.785×104．14．（4分）分式方程的解为x=﹣3．【分析】观察可得这个分式方程的最简公分母为（x+1）（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得x﹣1=2（x+1），解方程得x=﹣3．经检验x=﹣3是原方程的根．15．（4分）在一次九年级学生视力检查中，随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，4.2，4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8，则这组数据的中位数是 4.3．【分析】先将这组数据从小到大排序，再取中间两数的平均数，即可得出答案．【解答】解：将这组数据从小到大排序后为：4.0、4.0、4.0、4.2、4.4、4.5、4.5、4.8，则中位数为：=4.3，故答案为：4.3．16．（4分）临近新春，北关工艺厂新推出一种扇形纸扇，其展开图如图胼示．已知外侧竹条AB、AC的夹角为120°，且AB=AC=30cm，AD=AE=10cm，则阴影部分面积是cm2．【分析】分析题干知，贴纸的面积等于大扇形的面积﹣小扇形的面积．【解答】解：由题意得：S大扇形﹣S小扇形=﹣=（cm2）．故答案为：．17．（4分）如图，为某立方体骰子的表面展开图．掷此骰子一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y．记作点（x，y）．若小华前两次掷得的两个点所确定的直线过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为．【分析】根据一次函数的性质，找出符合点在这条直线上的点的个数，即可根据概率公式求解．【解答】解：∵每掷一次可能得到6个点的坐标分别是（其中有两个点是重合的）：（1，1），（1，1），（2，3），（3，2），（3，5），（5，3），通过描点和计算可以发现，经过（1，1），（2，3），（3，5），三点中的任意两点所确定的直线都经过点P（4，7），∴小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是：=．故答案为：．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴的正半轴上，OA=AB，边OB的中点C在双曲线y=上，将△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，正好落在双曲线y=上．若△OAB的面积为6，则k=4．【分析】根据折叠的性质推知四边形OA′BA是菱形，故A′B∥OA，且A′B=OA．所以设A（a，0），B（b，c），则A′（b﹣a，c），C（b，c）．然后利用三角形面积公式得到：ac=12，所以由反比例函数k的几何意义列出等式k=（b﹣a）•c=b×c，则bc=ac=×12=16，解得k=bc=4．【解答】解：如图，∵OA=AB，△OAB沿OB翻折后，点A的对应点A′，∴四边形OA′BA是菱形，∴A′B∥OA，且A′B=OA．∴设A（a，0），B（b，c），则A′（b﹣a，c），又∵点C是OB的中点，∴C（b，c）．∵△OAB的面积为6，∴a•c=6，则ac=12．又∵点A′、C在双曲线y=上（由图示知，双曲线位于第一象限，则k＞0），∴k=（b﹣a）•c=b×c，则bc=ac=×12=16，∴k=bc=4故答案是：4．三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题．必须给出丛要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．19．（7分）计算：﹣12014+﹣3tan30°+|2﹣6|+（﹣）﹣2．【分析】先分别根据有理数乘方的法则、数的开方法则、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣1+3﹣3×+6﹣2+9=﹣1+3﹣+6﹣2+9=14．20．（7分）如图，在边长为l的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点分别在网格的格点上．（1）将四边形ABCD向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，请在网格中画出四边形A1B1C1D1；（2）连结AD1、AC1，将△AC1D1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2C1D2，请在网格中画出△A2C1D2．【分析】（1）利用平移的性质得出各对应点的坐标进而得出答案；（2）利用旋转的性质得出各对应点的坐标进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：四边形A1B1C1D1，即为所求；（2）如图所示：△A2C1D2，即为所求．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答卷中对应的位置上．21．（10分）先化简，再求值：，其中，x是方程x2+2x﹣2=0的解．【分析】将括号内部分通分后相加，再将除法化为乘法后进行解答．然后将方程x2+2x﹣2=0转化为x2=﹣2x+2，然后整体代入．【解答】解：原式=÷（﹣+）=÷=﹣×=﹣．由x2+2x﹣2=0得，x2=﹣2x+2，则原分式=﹣=﹣=2．22．（10分）随着中招体育考试的临近，为更好地了解同学们的锻炼情况，体育老师在初三某班抽取了部分同学进行了一次模拟考试，并将考试结果分成“优秀”、“良好”、“一般”和“差”四类，分别用A、B、C、D表示，并将考试结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）一共有40同学参加了此次模拟考试，其中男生18名，女生22名；（2）请将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，题意老师想从A类和D类同学里分别选取一位同学进行“互帮互助”，请用列表法或画树形图的方法，求出所选两位男生或两位女生的概率．【分析】（1）由条形统计图中B类男女人数之和为20，在扇形统计图中所占的百分比为50%，即可求出参加测试的总人数；再由C类男生6人，所占的百分比为25%，由总人数乘以25%求出C类的男女总人数，即可求出女生的人数，A、B、C及D类女生人数相加即可求出女生的总人数，进而确定出男生的总人数；（2）补全条形统计图，如图所示；（3）A类中的男生为1，2，女生为3，4，5，6，D类中男生为7，8，女生为9，10，列表得到所有等可能的结果的个数，找出符合题意的结果个数，即可求出所选两位男生或两位女生的概率．【解答】解：（1）由条形统计图中B中男生与女生的人数之和为8+12=20人，及扇形统计图中B所占的百分比为50%，得到参加测试的学生人数为20÷50%=40（人），∵C在扇形统计图中所占的百分比为25%，∴C男女总人数为40×25%=10人，又男生6人，∴C中女生4人，∴女生的总人数为4+12+4+2=22人，男生为40﹣22=18人；故答案为：40；18；22；（2）补充条形统计图，如图所示：（3）设A类中的男生为1，2，女生为3，4，5，6，D类中男生为7，8，女生为9，10，列表如下：1234567（1，7）（2，7）（3，7）（4，7）（5，7）（6，7）8（1，8）（2，8）（3，8）（4，8）（5，8）（6，8）9（1，9）（2，9）（3，9）（4，9）（5，9）（6，9）10（1，10）（2，10）（3，10）（4，10）（5，10）（6，10）一共有24种等可能的结果，其中符合条件的有12种结果，则P（两位男生或两位女生）==．23．（10分）“不览夜景，未到重庆．”乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口．“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．（1）若该游轮每晚获得10000元利润的同时，适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？（2）春节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于44元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最多？【分析】（1）设票价应定为x元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润建立方程求出其解即可；（2）设每晚获得的利润为W元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润表示出W与x之间的关系，由二次函数的性质求出其解即可；【解答】解：（1）设票价应定为x元，由题意，得（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=10000，解得：x1=80，x2=50．∵适当控制游客人数，保持应有的服务水准，∴x=80．答：为适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为80元；（2）设每晚获得的利润为W元，由题意，得W=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x2﹣130）﹣30000，=﹣10（x﹣65）2+12250．∵，∴44≤x≤46．∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴x=65的左侧，W随x的增大而增大．=8640元．∴x=46时，W最大答：票价应定为46元时，最大利润为8640元．24．（10分）如图，▱ABCD中，E在AD边上，AE=DC，F为▱ABCD外一点，连接AF、BF，连接EF交AB于G，且∠EFB=∠C=60°．（1）若AB=6，BC=8，求▱ABCD的面积；（2）求证：EF=AF+BF．【分析】（1）过D作DM⊥BC，利用60度角的三角函数可求出DM的长，即平行四边形的高，再根据平行四边形的面积公式计算即可；（2）在EF上找点K使得FK=BF，并连接BK，BE，首先证明△ABE是等边三角形，进而证明△ABF≌△BEK，利用全等三角形的性质即可证明EF=AF+BF．【解答】解：（1）过D作DM⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，∵∠C=60°，∴DM=DC•sin60°=3，∴▱ABCD的面积=BC•DM=24；（2）在EF上找点K使得FK=BF，并连接BK，BE，∵四边形ABCD平行四边形，∴∠A=60°，CD=AB，∴AE=AB，∴△ABE是等边三角形，∵∠EFB=60°，FK=BF，∴△BFK是等边三角形，∴BK=BF，∵∠ABF+∠ABK=60°，∠ABK+∠KBE=60°，∴∠ABF=∠KBE，在△ABF和△BEK中，，∴△ABF≌△BEK（SAS），∴AF=EK，∴EF=BF+AF．五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都丛须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．25．（12分）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入B点的坐标求解即可．（2）①由坐标系两点间的距离公式不难得到CD2和DE2的表达式，再将（1）的抛物线解析式代入CD2的表达式中，用y替换掉x后，比较两者的大小关系即可；②∠EDC是钝角，那么点D一定在x轴的上方，且抛物线对称轴的左右两侧各一个（它们关于抛物线对称轴对称），延长ED交x轴于F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，那么DC=2DF、CF=DF，设出DF的长后，可以表示出CD、DE的长，由EF=ED+DF=2即可得出DF的长，从而求出点D的坐标．【解答】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+1，代入B（4，0），得：a（4﹣2）2+1=0，解得：a=﹣∴抛物线的解析式：y=﹣（x﹣2）2+1．（2）①猜想：CD2=DE2；证明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：CD2=（x﹣2）2+y2，DE2=（y﹣2）2；由（1）知：（x﹣2）2=﹣4（y﹣1）=﹣4y+4，代入CD2中，得：CD2=y2﹣4y+4=（y﹣2）2=DE2．②由于∠EDC=120°＞90°，所以点D必在x轴上方，且抛物线对称轴左右两侧各有一个，以左侧为例：延长ED交x轴于F，则EF⊥x轴；在Rt△CDF中，∠FDC=180°﹣120°=60°，∠DCF=30°，则：CD=2DF、CF=DF；设DF=m，则：CF=m、CD=DE=2m；∵EF=ED+DF=2m+m=2，∴m=，DF=m=，CF=m=，OF=OC﹣CF=2﹣，∴D（2﹣，）；同理，抛物线对称轴右侧有：D（2+，）；综上，存在符合条件的D点，且坐标为（2﹣，）或（2+，）．26．（12分）如图1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF 中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．点C、B、E、F在同一直线上，且B、F 两点重合．现固定△ABC不动，将△DEF沿直线BC以1cm/s的速庋向点C运动．当点F到达点C时，△DEF停止运动．设运动的时间是t（s）．其中t＞0．（l）当t=秒时，点D落在线段AB上；（2）设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；（3）如图2，当点F开始运动时，点P同时从点F出发，在折线FD﹣DE上以2cm/s的速度向点E运动，设DE、DF两边分别与AB边交于M、N两点．①求t为何值时，△PMN为等腰三角形？②如图3，当点P在边DF上运动时，求线段CP的中点Q所经过的路径长度．【分析】（1）作出此时的图形，由平移性质可知BF就是运动的路程，用t表示出BF，再利用相似三角形的线段比例关系列出方程，解之即可；（2）求重叠部分面积的关键是要弄清楚重叠部分的几何形状，观察△DEF的整个运动过程可以发现：0＜t≤6重叠部分是一个四边形，6＜t≤重叠部分是一个五边形，＜t≤12重叠部分是一个直角梯形，对三种情况分别用割补法求之即可；（3）①△PMN要为等腰三角形，分PN=PM，NP=NM，MP=MN三种情况分别计算即可．②要求Q点所经过的路径的长度，也就是求运动过程中Q点的轨迹的长度．既然要求轨迹，那么首先要弄清楚轨迹的形状．此问的难点在于P点同时具有水平方向与竖直方向上的速度，这使得问题有点“偏物理”，给分析也带来一定难度．对于这个问题，有以下两种处理思路：第一种，利用极端原理简化处理，由于运动都是匀速直线动，所以我们可以断定Q点的路径是直线型的，这样以来，我们就可简化处理，也就是不必关心中间过程，找到初始时刻Q点的位置（就是BC的中点），再找到终点时刻（即P点到达D点时）Q点的位置，连接起始点与终点线段就是Q点的路径长度，．第二种，对于上一种，虽然可以算出正确答案，但总感觉逻辑上有所欠缺，因为我们事先断定轨迹是直的而不是曲的．本质上讲这是一个轨轨问题，需要借助解析手段才能严格说明为什么Q点的轨迹是直的而不是弯的．为此，我们以C点为坐标原点，CA为y轴，CB为x轴建立坐标系，将P点的坐标用t表示，Q点的坐标也可以用t表示，这样我们清晰地说明Q点始终在一直线上，这条直线的解析式也是可以求出来的，整个运动过程的时间也就是P点走完FD所用的时间，即4秒，这样Q点轨迹长度就迎刃而解了．【解答】解：（1）如图D1，当D点落在AB上时，tan∠ABC=，即，解得（秒）．﹣S （2）当0＜t≤6时，如图D2﹣1，此时重叠部分为四边形GHEF，且S=S△BEG，△BFH∵AC=9，BC=12，∴AB=15，∴sin ∠ABC=，∵EG=BE=（6+t ），BG=BE=（6+t ）， ∴S △BEG =BG ×EG=（6+t ）2，∵FH=BF=t ，∴S △BFH =BF ×FH=t 2， ∴S=S △BEG ﹣S △BFH =（6+t ）2﹣t 2=﹣t 2+t +；当6＜t ≤时，如图D2﹣2，此时重叠部分为五边形JKFCL ，且S=S 梯KFCA ﹣S △AJL ，∵BF=t ， KF=t ， CF=12﹣t ， CE=t ﹣6，CL=CE=（t ﹣6），AL=AC ﹣CL=9﹣（t ﹣6）=﹣t +17，AJ=AL=﹣t +，LJ=AL=﹣t +，∴S 梯KFCA =（KF +AC ）×CF=（t +9）×（12﹣t ）=﹣t 2+54，S△AJL=AJ×LJ=（﹣t+）（﹣t+）=t2﹣t+，∴S=S梯KFCA ﹣S△AJL=﹣t2+54﹣（t2﹣t+）=﹣t2+t﹣，当＜t≤12时，如图D2﹣3，此时重叠部分为直角梯形DFCO，∵CE=t﹣6，CO=CE=（t﹣6），CF=12﹣t，∴S=S△DEF ﹣S△CEO=×8×6﹣×（t﹣6）×（t﹣6）=﹣t2+8t，综合所述，S=（3）①Ⅰ、若PM=PN，如图D3﹣1﹣1，∵BF=t，。