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【2015锦州一模】辽宁省锦州市2015年高三质量检测（一）理科数学参考答案一.选择题：CDDDD BCADC AA 二.填空题（13） 40 （14 （15）{x |x >1} （16）43三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. ………………6分 (2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C ＋1的取值范围为(－1，2]． ………………12分18. （本小题满分12分）解 (1)以C 为坐标原点，分别以CD ，CB ，CE 所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，D (2，0,0)，B (0，2，0)，A (2，2，0)，F (2，2，1)，连接BD ，则AC ⊥BD .因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，且平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，所以DB →是平面ACEF 的一个法向量．又DB →＝(－2，2，0)，DF →＝(0，2，1)，所以cos 〈DF →，DB →〉＝DF →·DB →|DF →|×|DB →|＝33.故直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值为33. ………………6分 (2)设P (a ，a,0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a,1)，DA →＝(0，2，0)． 因为〈PF →，DA →〉＝60°，所以cos 60°＝2(2－a )2×2(2－a )2＋1＝12. 解得a ＝22或a ＝322(舍去)，故存在满足条件的点P (22，22，0)为AC 的中点．…………12分 19. （本小题满分12分）解（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． …………3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． …………6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 10分 X812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． …………12分20. （本小题满分12分）解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. …………6分(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). …………8分∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)． …………12分 21. （本小题满分12分）解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b . 由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线． ∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2. …………6分 (2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2， 由f ′(x )<0得x <－2， ∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增， 在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3， ∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2(－3<t <－2)2e t (t ＋1)(t ≥－2) …………9分(3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0. ∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立， ∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1. F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4 ＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k；由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0，不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0.③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．F (x )min ＝F (ln 1k )＝ln k (2－ln k )>0，满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]． …………12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲(Ⅰ)证明:∵AE=AB, ∴BE=AB,∵在正△ABC 中,AD=AC,∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC, …………5分 即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D 四点共圆. (Ⅱ)解:如图,取AE 的中点G,连接GD,则AG=GE=AE, ∵AE=AB, ∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G 是△AED 外接圆的圆心,且圆G 的半径为.由于A,E,F,D 四点共圆,即A,E,F,D 四点共圆G,其半径为. …………10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ …………5分 (2）把直线12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-= 122t t =-，则点到,A B 两点的距离之积为2。
2014-2015年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案及评分标准第I 卷一、选择题： DBCDB BCDAC AB第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）5 （14）8 （15）①②④ （16）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N*)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n . 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ， 又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2，所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. ……………………6分(2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6. ……………………12分(18)（本小题满分12分） 己知向量，记. (I)若，求的值；( II)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(, 求函数的取值范围．解：（Ⅰ）==因为，所以…………………………………4分……………………6分（Ⅱ）因为由正弦定理得所以所以因为，所以，且所以……………………9分所以……………………10分又因为……………………11分故函数的取值范围是……………………12分(19)（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.【解析】（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.又三棱柱为直三棱柱，∴面面，∴面，. -------2分设，则.∴，∴. -------------------4分又，∴平面.-------------------6分（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，，.-------------------8分由（Ⅰ）知，平面，∴可取平面的法向量.设平面的法向量为，FEC1B1A1C BA由∴可取.-------------------10分 设锐二面角的大小为，则cos |cos ,|||||m nm n m n θ=<>===. ∴所求锐二面角的余弦值为.-------------------12分(20)（本小题满分12分）我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.某市环保局对该市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.） (3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.解： (1)由题意，得，解得. ……………4分 （2）个样本中空气质量指数的平均值为由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………8分（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则.的取值为， ，，，. ……………10分 ∴的分布列为：∴. ……………12分（或者(21)（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.解：因为直线的方程为，令，得，即……1分∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为.………………………………………6分（2）存在点P，满足∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为.设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。
辽宁省锦州市2015届高三质量检测（一）理科综合能力试题注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
二、选择题：本大题共8小题，每小题6分，14-18题是单选题；19-21题是多选题，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.在“神舟十号”与“天官一号”自动交会对接过程中。
可认为“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动，且对接轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，则下面说法正确的是A．如不加干预，“天宫一号”的轨道高度将缓慢升高B．如不加干预，在运行一段时间后，“天宫一号”的动能可能会增加C．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间D．航天员在“天宫一号”中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用15.闭合矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁场的方向与导线框所在平面垂直，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示。
规定垂直纸面向里为磁场的正方向，abcda方向为导线线框中感应电流的正方向，水平向右为安培力的正方向。
关于导线框中的电流i与ad边所受的安培力F随时间t变化的图像，下列选项正确的是16.如图所示，带正电的点电荷固定在Q 点，一电子仅在库仑力作用下，做以Q 点为焦点的椭圆运动，M 、P 、N 为椭圆上的三点，P 点是轨道上离Q 最近的点。
v M 、v N 和E M 、E N 分别表示该电子在M 、N 两点的速度和电势能，则电子从M 点逆时针运动到N 点A.电子的动能先减小后增大B ．电场力对电子做了负功C ．v M <v N ，E M >E ND ．v M < v N ，E M <E N17．当今社会小汽车已进人家庭成为主要的代步交通工具。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确） 1.设集合{}22,A x x x R =-≤∈，}2x 1,x y |y {B 2≤≤--==，则()R C AB 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅2. “ 21=m ”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于（ ）A ．3316 B ．)32(4- C ．)32(16+ D ．16 4. 若函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1- 5．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定 6. 若函数2)()(c x x x f -⋅=在2x =处有极大值，则常数c 的值为（ ） A ．6B ．2C ．2或6D ．32 7. 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 0308. 已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ． 3B ．23 C ．0 D ．3- 9. 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线08=-+y x 的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．18 B. 26 C. 25 D. 2410. 在等差数列{}n a 中，若其前n 项和n n S m =，前m 项和m mS n=（m n ≠，,*m n N ∈），则m n S +的值为（ ）A.大于4B.等于4C.小于4D.大于2且小于4 11．已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ） A ．6π B ．10π3C ．3πD ．8π312．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t= .14.椭圆92x +42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是 .15. 已知： sin α－sin β=21-，cos α－cos β=21，则cos(α－β)＝ . 16. 设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=.))(,(m f m 是曲线()y f x =上一点，则曲线在该点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）主视图242 42 左视图俯视图设ω,,b a 都是正数，函数x b x a x f ωωcos sin )(+=的周期为π，且有最大值4)12(=πf ．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）若],67[m π是)(x f 的一个单调区间，求m 的最大值．18．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 19．（本小题满分12分）在正三棱柱111ABC A B C -中，13,2,AA AB D ==是11A B 的中点，E 在线段1CC 上且12C E =．（Ⅰ）证明DC ⊥面ABE ；（Ⅱ）求二面角D AE B --的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆12222=+by a x ，长轴长为6，一个焦点的坐标为)0,5(．（I ）求椭圆方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；12,l l 是过点P （0，2）且互相垂直的两条直线，1l 交E 于A ，B 两点，2l 交E 交C ，D 两点，AB ，CD 的中点分别为M ，N. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求1l 的斜率k 的取值范围； （Ⅲ）求OM ON 的取值范围.。
辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学（理）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷 （选择题） 和第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分， 共150分， 考试时间120分钟。
答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号， 写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。
4.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、 选择题： 本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1） 已知全集U=R ， 集合A= {}1|0,|1x x B x x x -⎧⎫<=≥⎨⎬⎩⎭，则{ x|x≤0 }等于（A ） A ∩B（B ） A ∪B（C ）∁U （A ∩B ）（D ）∁U （A ∪B ）（2） 复数z 满足.(12)43z i i +=+， 则z 等于（A ） 2-i （B ） 2+i （C ） 1+2i（D ） 1-2i（3） 下列说法不正确的是（A ） 若 “p 且q” 为假， 则p 、 q 至少有一个是假命题 （B ） 命题 “∃x0 ∈ R ，x 20- x 0 - < 0” 的否定是 “∀x ∈ R ，x 2- x - 1≥0”（C ）“ 2πϕ=” 是 “y=sin （2x+ϕ） 为偶函数” 的充要条件（D ） α<0时， 幂函数y=x a 在 （0， +∞） 上单调递减 （4） 某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为 （A ） 200+9π （B ） 200+18π （C ） 140+9π （D ） 140+18π（5） 已知x 、 y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为（A ） -2 （B ） -1 （C ） 1 （D ） 2（6） 若如图所示的程序框图输出的S 是30， 则在判断框中M 表示的 “条件” 应该是 （A ） n≥3 （B ） n≥4 （C ） n≥5 （D ） n≥6（7） 已知向量AB 与AC 的夹角为120°， 且 |AB | = 2， |AC | = 3， 若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥ ， 则实数λ的值为 （A ）37（B ） 13 （C ）6（D ）127（8） 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道， 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家， 且每个居民家都要有人去检查， 那么分配的方案共有（A ）34A 种（B ） 3133.A A 种 （C ）113433.C C A 种 （D ）2343.C A 种 （9） △ABC 各角的对应边分别为a ， b ， c ， 满足1b ca c a b+≥++， 则角A 的范围是 （A ）(0,]6π（B ）(0,]3π（C ）[,)3ππ （D ）[,)6ππ（10） 函数 f (x)= sin(2x + ϕ) ( |ϕ| <2π)的图象向左平移 6π个单位后关于原点对称， 则函数 f (x)在[0,2π]上的最小值为（A （B ）－12（C ）12（D ）（11） 过双曲线 2222x y a b-= 1 (a > 0,b > 0)的一个焦点F 向其一条渐近线作垂线l ， 垂足为A ，l 与另一条渐近线交于B 点， 若2FB FA =， 则双曲线的离心率为（A ） 2（B （C（D （12） 设函数 f (x)的导函数为 f ′(x)， 对任意x ∈R 都有 f (x)> f ′ (x)成立， 则 （A ） 3f （ln2）＜2f （ln3） （B ） 3f （ln2）＝2f （ln3）（C ） 3f （ln2）＞2f （ln3） （D ） 3f （ln2）与2f （ln3） 的大小不确定第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 （13） 题~第 （21） 题为必考题， 每个试题考生必须做答.第 （22） 题~第 （24） 题为选考题， 考生根据要求做答. 二、 填空题： 本大题共4小题， 每小题5分. （13） 设函数 f (x)=(x + a)n， 其中20'(0)6cos ,3(0)n f n xdx f ==-⎰， 则 f (x)的展开式中的x 4系数为_______.（14） 已知x>0， y>0， 且 34x y +=， 则41x y+的最小值为_____________. （15） 已知函数220()10xx f x og xx ⎧≤=⎨>⎩， 且函数()()g x f x x a =+-只有一个零点， 则实数a 的取值范围是_____________.（16） 已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ， 过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、 四象限分别交于A 、 B 两点， 则AF BF的值等于_____________.三、 解答题： 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ， 且满足a 1 = 2， na n + 1 = S n + n(n + 1) . （Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式a n ； （Ⅱ） 设T n 为数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭}的前n 项和， 求T n ； （Ⅲ） 设121n n n n b a a a ++=， 证明：123132n b b b b ++++<（18）（本小题满分12分）如图， 在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， D 、 E 分别是BC 和CC 1的中点， 已知AB=AC=AA 1=4， ∠BAC=90°. （Ⅰ） 求证： B 1D ⊥平面AED ； （Ⅱ） 求二面角B 1-AE-D 的余弦值； （Ⅲ） 求三棱锥A-B 1DE 的体积.（19）（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位： 人）（Ⅰ） 能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （Ⅱ） 经过多次测试后， 甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟， 乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟， 现甲、 乙各解同一道几何题， 求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ） 现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E （X ） ． 附表及公式（20） （本小题满分12分）已知F1F2是椭圆2222x y a b += 1 (a > b > 0)的两个焦点， O 为坐标原点， 点 P(-1,2)在椭圆上， 且112.0,PF F F O =是以F 1F 2为直径的圆， 直线l ： y=kx+m 与⊙O 相切， 并且与椭圆交于不同的两点A 、 B. （Ⅰ） 求椭圆的标准方程； （Ⅱ） 当 .OAOB λ=， 且满足2334λ≤≤时， 求弦长|AB|的取值范围. （21）（本小题满分12分）己知函数32()1(1)f x n ax x x ax =++--． （Ⅰ） 若 x =23为 f (x)的极值点， 求实数a 的值； （Ⅱ） 若 y = f (x)在[l ， +∞） 上为增函数， 求实数a 的取值范围； （Ⅲ） 若a=-1时， 方程 3(1)(1)bf x x x---=有实根， 求实数b 的取值范围．请考生在第 （22） ~ （24） 三题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题计分.做答时， 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分） 选修4-1： 几何证明选讲． 如图， 圆M 与圆N 交于A ， B 两点， 以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C ，D两点，延长DB 交圆M 于点E ， 延长CB 交圆N 于点F.已知BC=5， DB=10．（Ⅰ） 求AB 的长；（Ⅱ） 求.CFDE（23）（本小题满分10分） 选修4-4： 坐标系与参数方程在极坐标系中， 已知圆C 的圆心4π)， 半径（Ⅰ） 求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ） 若 α ∈ 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 直线l 的参数方程为2cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）， 直线l 交圆C 于A 、 B 两点， 求弦长|AB|的取值范围．（24）（本小题满分10分） 选修4-5： 不等式选讲 已知函数 f (x)= |x - 2|，g(x)= -|x + 3| +m ． （Ⅰ） 若关于x 的不等式 g(x )≥0的解集为 ［-5， -1］， 求实数m 的值； （Ⅱ） 若 f (x)的图象恒在 g(x)图象的上方， 求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）-（12）DBCAD BDDBA AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1,+∞（16）3（13）60（14）12 （15）()三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）-----------------（4分）(Ⅱ)由（Ⅰ）所以n n n n T 221121121---=，故1242n n n T -+=- ----------------------- （8分） （Ⅲ）由（Ⅰ），得])2)(1(1)1(1[161)2(2)1(221++-+=+⋅+⋅=n n n n n n n b n))2)(1(1)1(1431321321211(161321++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=++++n n n n b b b b n ))2)(1(121(161++-=n n 321)2)(1(161321<++-=n n . --------------------------（12分）(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为1AB AC AA ==＝4，所以A （0，0，0），B （4，0，0），E （0，4，2），D （2，2，0），B 1（4，0，4）.)4,2,2(1--=B ，)0,2,2(=，)2,4,0(=.因为00441=++-=⋅B ，所以1B D AD ⊥，即1B D AD ⊥. 因为08801=-+=⋅B ，所以B ⊥1，即AE D B ⊥1.又AD 、AE ⊂平面AED ，且AD ∩AE=A ，故1B D ⊥平面AED . ---------------------（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知)4,2,2(1--=B 为平面AED 的一个法向量. （6分）设平面 B 1AE 的法向量为),,(z y x n =，因为)2,4,0(=AE ，)4,0,4(1=AB ，所以由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AB n ，得⎩⎨⎧=+=+044024z x z y ，令y=1，得x=2，z=-2.即)2,1,2(-=n .∴662496||||,cos 111=⨯=⋅>=<D B n B ， ∴二面角1B AE D --的余弦值为6. ---------------------------------（8分） （Ⅲ）------------------------（12分）(19)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ (2)分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.----------（4分）(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18.--------(8分) (Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有yx11O221C =种………8分X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：………11分151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=.-----------------------------(12分)（20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，可知211F F PF ⊥，∴22222,1211,1c b a b a c +==+= ，解得1,1,2222===c b a∴椭圆的方程为 ------------------（4分）（Ⅱ）直线l ：m kx y +=与⊙221Ox y +=：相切，则112=+k m，即122+=k m ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1222，得()022421222=-+++m km x x k ， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点.,B A 设()().y ,x B ,y ,x A 2211∴0002≠⇒>⇒>k k,∆，,k m x x ,k km x x 22212212122214+-=+-=+()()22222121212122221+()1212m k k y y kx m kx m k x x km x x m k k --=++=++==++，∴λ=++=+=⋅222121211k k y y x x∴432113222≤++≤k k ∴1212≤≤k ，.y x 1222=+∴AB ==设4221(1)2u k k k =+≤≤，则243≤≤u，3||,24AB u ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ 在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴.---------------（12分）（21） （本小题满分12分）解：(Ⅰ) 222[3(32)(2)]()3211a x ax a x a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ 23x =为f(x)的极值点, 2()03f '∴= 22223+3-2)(2)033a a a ∴-+=（）（且21003a a +≠∴=又当a=0时,()(32)f x x x '=-,从而23x =为f(x)的极值点成立.--------------------（4分）(Ⅱ)因为f(x)在[1,)+∞上为增函数,所以22[3(32)(2)]01x ax a x a ax +--+≥+在[1,)+∞上恒成立.若a=0,则()(32)f x x x '=-,)f x ∴（在[1,)+∞上为增函数不成立; 若0a ≠,由10ax +>对1x >恒成立知0a >.所以223(32)(2)0ax a x a +--+≥对[1,)x ∈+∞上恒成立. 令()g x =223(32)(2)ax a x a +--+,其对称轴为1132x a=-, 因为0a >,所以111323a -<,从而g(x)在[1,)+∞上为增函数,所以只要g(1) 0≥即可,即 210a a -++≥,所以1122a ≤≤,又因为0a >,所以102a +<≤.------（8分） (Ⅲ)若1a =-时,方程3(1)(1)b f x x x ---=可得2ln (1)(1)b x x x x--+-= 即223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在0x >上有解即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域.2(ln )b x x x x =+-令2()ln h x x x x =+-,由1(21)(1)()12x x h x x x x+-'=+-= 4||3AB ≤≤0x >∴当01x <<时, h '（x)>0,从而h(x)在(0,1)上为增函数;当1x >时, ()0h x '<, 从而h(x)在(1,)+∞上为减函数.()(1)0h x h ∴≤=,而h(x)可以无穷小, b ∴的取值范围为(,0]-∞.------------（12分）（22）（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲．解：（Ⅰ）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴△ABC ∽△D B A ，则AB BC DB BA=，故250,AB BC BD AB =⋅==（5分） （Ⅱ）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅， 2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CF DA DB DE=⋅（*）. 由△ABC ∽△D B A ，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*） 得1CF DE=． -------------------（10分）（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由)4C π得，C 直角坐标(1,1),所以圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)3x y -+-=,由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得，圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ---=.------------------（5分）（Ⅱ）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，代入C 的直角坐标方程22(1)(1)3x y -+-=, 得22(cos sin )10t t αα++-= ，则0∆>,设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，则122(cos sin )t t αα+=-+，121t t =-,12||||AB t t =-==因为[0,)4πα∈，所以sin 2[0,1)α∈所以84sin 2[8,12)α+∈,所以||AB 的取值范围为. -----------------------（10分）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）由题意可得﹣|x+3|+m≥0的解集为[﹣5，﹣1]．由﹣|x+3|+m≥0，可得﹣m ﹣3≤x≤m ﹣3，∴，求得m=2．------------（5分） （Ⅱ）由题意可得|x ﹣2|≥﹣|x+3|+m 恒成立，即m≤|x ﹣2|+|x+3|．而|x ﹣2|+|x+3|≥|（x ﹣2）﹣（x+3）|=5，∴m≤5．-----------------------（10分）。
【2015锦州一模】辽宁省锦州市2015年高三质量检测（一）一、选择题（共44分）二、非选择题（共46分）36、（22分）（1）（4分）长江、黄河和东南亚第一巨川湄公河（即澜沧江）均发源于玉树；境内河网密布，水源充裕。
（2）（6分）高寒的气候不利于农作物的生长；高原山地的地形利于发展畜牧业；草甸、草原广布，为发展畜牧业提供充足的草料。
（3）（8分）高寒的气候，植被一旦破坏难以恢复；由于牲畜数量过多造成的过度放牧；由于采药等过度樵采活动造成植被破坏；无序的采矿造成植被破坏。
（4）（4分）使植被破坏，造成土地荒漠化；对水源地及河流中下游地区的生态平衡造成影响。
（论述合理即可得分）37、（24分）（1）河流支流多为自东向西流；河流中上游流速较快，下游流速减慢；河流河网密度较大；流量具有明显的季节变化，冬季流量较大（汛期）；无冰封期；河流整体较短；流域面积较小。
（12分，每点2分，答出6点即可）（2）该地区主要受西风影响，带来降水；受地形影响，北部河谷地形，利于水汽的深入，容易形成地形雨；南部地区沿海有高大山脉，阻挡了水汽的深入，降水较少。
（6分，每点2分）（3）加州南部明媚的阳光；中部谷地肥沃的土壤，北水南调形成发达的农业区；北部湾区（旧金山所在地）秀丽的风光；加上作为美国西海岸的重要门户和集散地，（6分，答出3点即可）【选考题部分】（共10分）42．具有北方独特的历史文化价值和美学价值（3分）；客源地遍布全国，游客数量多（3分）；地理位置优越，交通条件便利（2分）；基础服务设施较完善（2分）。
43．居民饮水安全，尤其是城市用水受到威胁（3分）；恰好与农作物的生长发育季节相吻合，会导致农作物因缺水而减产（2分）；干旱时间长，而我国北方植物的生长周期短，或无法补种，或补种的农作物无法成熟（2分）；对一些用水量大的工矿企业生产造成影响，造成企业无法正常生产或停产（3分）。
44．原因：人口激增，用水量加大，过度开采地下水；干旱的气候，干旱持续时间较长。
辽宁省锦州市2015届高三质量检测（一）数学（理）试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
3.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干后，再涂其他答案标号，写在本试卷是上无效。
答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷是上无效。
参考公式：球的体积公式：V= 43πR3（其中R表示球的半径）锥体体积公式：V=13sh（其中s表示锥体底面面积，h表示锥体的高）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（A）{0，-1} （B）{-1，1} （C）{-1} （D）{0}（2）复数z满足（－1＋i）z＝（1＋i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知向量OA=（2，2），OB=（4，1），点P在x轴上，则.AP BP取最小值时P点坐标是（A）（－3，0）（B）（1，0）（C）（2，0）（D）（3，0）（4）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4 -2a27+3a8 =0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则B2b8b11 等于（A）1 （B）2 （C）4 （D）8（5）已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是（A）310（B）29（C）78（D）79（6）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）64 （B ）72（C ）80 （D ）112（7）执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n 等于 开始 （A ）2 （B ）3 （C ）4（D ）5 （8）已知函数y ＝f （x ）的导函数为f’（x ），且 2()'()s i n 3f x x f x π=+,则'()3f π=（A ）364π- （B ）362π-（C ）364π+ （D ） 362π+（9）若点P （x ，y）满足线性约束条件020,0y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩点A ，O 为坐标原点，则.OAOP的最大值为 （A ）0 （B ）3 （C ）-6 （D ）6（10）已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：2222y x a b -（a>0，b>0），点P 是抛物线y 2 ＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（A ）22123y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -=（D ）22132y x -= （11）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 2=10，S 4=36，则过点P （n ，a n ）和Q （n+2，an+2）（n ∈N*）的直线的一个方向向量是 （A ）1(,2)2-- （B ）（-1，-1） （C ）1(,1)2-- （D ）(2, 12)（12）已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f’(x)g(x)>f(x)g’(x)，且f(x)=a x g(x)（a>0，且a≠1），(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-若数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生必须做答.第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）在5(x的二项展开式中，x 2的系数为____________. （14）在三棱锥A-BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为222则三棱锥A-BCD 的外接球体积为____________. （15）已知函数222(3)14x f x g x -=-，则f （x ）的定义域为____________.（16）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,(2,1),(2,cos )a b c q a p b c C ==-，且q p .（Ⅰ）求sinA 的值； （Ⅱ）求三角函数式2cos 211tan CC-++的取值范围.（18）（本小题满分12分）如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=AF=1.（Ⅰ）求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60°，试确定点P 的位置.（19）（本小题满分12分）某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：2222y x a b -（a>b>0）的离心率为 2，其左、右焦点分别是F 1，F 2，过点F 1的1直线l 交椭圆C 于E ，G 两点，且△EGF 2的周长为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足 OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB -<时，求实数t 的取值范围.（21）（本小题满分12分） 设函数f （x ）=ae x （x+1）（其中，e=2.71828……），g （x ）=x 2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.（Ⅰ）求函数f （x ），g （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在[t ，t+1]（t>-3）上的最小值；（Ⅲ）若∀x≥-2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，求实数k 的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD= A 13C ，AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F.（Ⅰ）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC 的边长为2，求A ，E ，F ，D 所在圆的半径.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=.（Ⅰ）写出直线l 的参数方程；（Ⅱ）设l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，求点P （1，1）到A ，B 两点的距离之积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.（Ⅰ）求不等式f(x)≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围.参考答案一.选择题：CDDDD BCADC AA 二.填空题（13） 40 （14 （15）{x |x >1} （16）43三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. ………………6分 (2)原式＝－2cos 2C1＋tan C ＋1＝1－2C －sin 2C1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1，∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C ＋1的取值范围为(－1，2]． ………………12分18. （本小题满分12分）解 (1)以C 为坐标原点，分别以CD ，CB ，CE 所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，D (2，0,0)，B (0，2，0)，A (2，2，0)，F (2，2，1)，连接BD ，则AC ⊥BD .因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，且平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，所以DB →是平面ACEF 的一个法向量．又DB →＝(－2，2，0)，DF →＝(0，2，1)，所以cos 〈DF →，DB →〉＝DF →·DB →|DF →|×|DB →|＝33.故直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值为33. ………………6分 (2)设P (a ，a,0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a,1)，DA →＝(0，2，0)． 因为〈PF →，DA →〉＝60°，所以cos 60°＝22－a 2×2－a 2＋1＝12.解得a ＝22或a ＝322(舍去)，故存在满足条件的点P (22，22，0)为AC 的中点．…………12分19. （本小题满分12分）解（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． …………3分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． …………6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭． 10分0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． …………12分20. （本小题满分12分）解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. …………6分(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t ＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t ＋2k 2. …………8分∵点P 在椭圆C 上，∴k 22[t ＋2k 22＋2－4k 2[t ＋2k 22＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 4＋2k 22－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)． …………12分21. （本小题满分12分）解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b . 由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线． ∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2. …………6分 (2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2， 由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增， 在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3， ∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2－3<t <－2e tt ＋t ≥－…………9分(3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0. ∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立， ∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1. F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4 ＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k；由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0，不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0.③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．F (x )min ＝F (ln 1k )＝ln k (2－ln k )>0，满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]． …………12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲(Ⅰ)证明:∵AE=AB, ∴BE=AB,∵在正△ABC 中,AD=AC, ∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD ≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC, …………5分 即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D 四点共圆. (Ⅱ)解:如图,取AE 的中点G,连接GD,则AG=GE=AE, ∵AE=AB, ∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G 是△AED 外接圆的圆心,且圆G 的半径为.由于A,E,F,D 四点共圆,即A,E,F,D 四点共圆G,其半径为. …………10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ …………5分 (2）把直线1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-= 122t t =-，则点到,A B 两点的距离之积为2。
