2011年华中师大一附中高考数学知识专题检测---排列组合二项式定理概率与统计

高考数学排列组合与二项式定理选择题1. 某班级有40名学生，其中有15名女生，25名男生，现随机选取4名学生参加比赛，求选取的4名学生中恰好有2名女生的概率。

2. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到6，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

3. 一个图书馆有30本书，其中15本小说，15本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

4. 一个班级有20名学生，其中有10名男生，10名女生。

现随机选取3名学生参加竞赛，求选取的3名学生中恰好有1名男生的概率。

5. 一个密码锁有4个轮盘，每个轮盘上有数字1到4，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

6. 一个图书馆有20本书，其中10本小说，10本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

7. 一个班级有30名学生，其中有15名男生，15名女生。

现随机选取4名学生参加比赛，求选取的4名学生中恰好有2名女生的概率。

8. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到5，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

9. 一个图书馆有15本书，其中8本小说，7本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

10. 一个班级有40名学生，其中有20名男生，20名女生。

现随机选取5名学生参加比赛，求选取的5名学生中恰好有3名男生的概率。

11. 一个密码锁有4个轮盘，每个轮盘上有数字1到4，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

12. 一个图书馆有30本书，其中15本小说，15本非小说。

随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。

13. 一个班级有20名学生，其中有10名男生，10名女生。

现随机选取3名学生参加竞赛，求选取的3名学生中恰好有1名男生的概率。

14. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到5，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。

求解开锁的总方法数。

基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计一、概率与分布列1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nmP(A)=. 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数互斥对立5. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 6．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；（4）n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. （5）事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.二、数学期望与方差.n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)(（2）两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） （3）二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B （P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差σξξσξ.D =为ξ的标准差ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） （2）两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：npq D =ξ三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.四、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

概率统计 2011（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ） 13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）． 20122．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种6．如果执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。

高中数学专题复习《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．1 ．（汇编年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ） A ．9B ．10C ．18D ．202．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种(汇编福建文)（8）3．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）A. C C 61942B. C C 61992C. C C 1003943-D. P P 1003943-(汇编北京春季理)（9）4．8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C （汇编北京理4）5．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（汇编全国卷2理数）（6）6．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种（汇编全国卷2文数）（9）7．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种（汇编全国卷Ⅰ文）【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

知识专题检测六排列、组合、二项式定理、概率与统计一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A.36个B.24个C.18个D.6个2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有A.108种B.186种C.216种D.270种3．（06湖南）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有A.16种B.36种C.42种D.60种4．10)31(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 A.0 B.2 C.4 D.65．（理科做）已知2n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2i =－1，则展开式中常数项是A.－45iB.45iC.－45D.45（文科做）若(x 3—)x 1n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为A.－540B.－162C.162D.5406．(06重庆)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A.1800B.3600C.4320D.50407．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为Ａ．12344812161040C C C C C Ｂ．21344812161040C C C C C Ｃ．23144812161040C C C C C Ｄ．13424812161040C C C C C 8．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为A ．17B ．27C ．37D ．479．(06重庆)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是A ．20B ．30C ．40D .5010．（06江苏）右图中有一个信号源和五个接收器。

高中数学专题复习《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 (A)1412C124C 84C (B)1214C 412A 48A(C)33484121214A C C C (D) 1214C 412A 48C 33A (汇编北京理) 2．(汇编全国1理)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．43．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ） A ．155B ．355C ．14D ．13（汇编重庆卷文）4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种（汇编全国卷Ⅱ文）5．若(3)n x y +展开式的系数和等于10(7)a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为---（ ）(A) 15 (B ) 10 (C ) 8 (D) 5 6．1．从,,,,A B C D E 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为----------------------------------------------------（ ）(A) 48 (B) 24 (C) 120 (D)7 7．2．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有不同的选法数为----------------------------------------------------------------------（ ）(A) 9 (B) 20 (C ) 45 (D) 548．一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 60种 (B ) 17种 (C) 12种 (D) 3种9．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ C ） Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．832010．集合(){}3,2,1|,,±=±=±=z y x z y x 的元素个数是 （ ）A.1B.4C.6D.811．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．612．在AOB ∠的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点（均除O 点外），连同O 点共1m n ++个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有（）A ．211211m n n m C C C C +++B ．2121m n n m C C C C +C ．112121n m m n n m C C C C C C ++D ．121211n m n m C C C C +++第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数中偶数的个数为 ▲ ．（用数字作答） 14．61()2x x-的二项展开式中含4x 的项的系数为_______. 15．若在4(1)(1)x ax +-的展开式中，4x 的系数为15，则a 的值为_________.16．（汇编年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x项的系数为10-,则______a =17．（汇编年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯W ORD 版））设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当1,2,3===c b a 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ,求.::c b a18．（汇编年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得汇编的所有正约数之和为________________________ 19． 3．1031()x x-展开式中的常数项是_________________ 20．41()xx x+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 72 （用数字作答）． 评卷人得分三、解答题21．已知二项式n xx )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10:1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项22．有8对不同型号的螺栓和螺帽，从中任取螺栓和螺帽各3只，（1）恰好全部配对；（2）恰好配成2对；（3）都不配对，有多少种不同取法。

专题30排列组合、二项式定理【理】年份题号考点考查内容2011理8二项式定理二项式定理的应用，常数项的计算2012理2排列与组合简单组合问题2013卷1理9二项式定理二项式定理的应用以及组合数的计算卷2理5二项式定理二项式定理的应用2014卷1理13二项式定理二项式展开式系数的计算卷2理13二项式定理二项式展开式系数的计算2015卷1理10二项式定理三项式展开式系数的计算卷2理15二项式定理二项式定理的应用2016卷1理14二项式定理二项式展开式指定项系数的计算卷2理5排列与组合计数原理、组合数的计算卷3理12排列与组合计数原理的应用2017卷1理6二项式定理二项式展开式系数的计算卷2理6排列与组合排列组合问题的解法卷3理4二项式定理二项式展开式系数的计算2018卷1理15排列与组合排列组合问题的解法卷3理5二项式定理二项式展开式指定项系数的计算2019卷3理4二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2020卷1理8二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数卷3理14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2021年预测考点102两个计数原理的应用23次考2次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点103排列问题的求解23次考0次考点104组合问题的求解23次考4次考点105排列与组合的综合应用23次考2次考点106二项式定理23次考11次十年试题分类考点102两个计数原理的应用1．(2016全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．92．(2014新课标理1理)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A ．18B ．38C ．58D ．783．(2012湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4位回文数有个；(Ⅱ)21()n n ++∈N 位回文数有个．4．(2011湖北理)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有种，(结果用数值表示)考点103排列问题的求解5．(2016四川理)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．726．(2015四川理)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．(2015广东理)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．(用数字作答)8．(2014北京理)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种．9．(2013北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是．10．(2013浙江理)将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．考点104组合问题的求解11．【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种12．(2018全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．11813．(2017山东理)从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518B ．49C ．59D ．7914．(2014广东理)设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为()A ．60B ．90C ．120D ．13015．(2014安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对16．(2013山东理)用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为A ．243B ．252C ．261D ．27917．(2012新课标理)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种18．(2012浙江理)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种19．(2012山东理)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是A ．232B ．252C ．472D ．48420．【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．21．(2018全国Ⅰ理)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．(用数字填写答案)22．(2014广东理)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．23．(2014江西理)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．24．(2013新课标2理)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n =________．25．(2011湖北理)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有种，(结果用数值表示)考点105排列与组合的综合应用26．【2020全国Ⅱ理14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．．27．(2017新课标理Ⅱ理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种28．(2018浙江理)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)29．(2017浙江理)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．(用数字作答)30．(2017天津理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．(用数字作答)31．(2014浙江理)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种(用数字作答)．考点106二项式定理32．【2020全国Ⅲ理14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是(用数字作答)．33．【2020浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =；123a a a ++=．34．【2020天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．35．(2020全国Ⅰ理8)()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．2036．【2020北京卷3】在)52-的展开式中，2x 的系数为()A ．5-B ．5C ．10-D ．1037．(2019全国I 理II 理4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．2438．(2019浙江理13)在二项式9)x +的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______．39．(2018全国Ⅲ理)252()x x+的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8040．(2017新课标Ⅰ理)621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．3541．(2017新课标Ⅲ理)5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．8042．(2016四川理)设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含4x 的项为A ．－154xB ．154xC ．－204ixD ．204ix43．(2015湖北理)已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A ．122B ．112C ．102D ．9244．(2015陕西理)二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =A ．4B ．5C ．6D ．745．(2015湖南理)已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =A B ．C ．6D ．－646．(2014浙江理)在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则(3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f =A ．45B ．60C ．120D ．21047．(2014湖南理)51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A ．－20B ．－5C ．5D ．2048．(2014福建理)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A ．()()()555432111c b a a a a a +++++++B ．()()()554325111c b b b b b a +++++++C ．()()()554325111c b b b b b a +++++++D ．()()()543255111c c c c c b a +++++++49．(2013辽宁理)使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．750．(2013江西理)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为A ．80B ．－80C ．40D ．－4051．(2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是()A ．3-B ．2-C ．2D ．352．(2012天津理)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为A ．10B ．－10C ．40D ．－4053．(2011福建理)5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．1054．(2011陕西理)6(42)xx --(x ∈R)展开式中的常数项是A ．20-B ．15-C ．15D ．2055．(2019天津理理10)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为．56．(2018天津理)在5(x -的展开式中，2x 的系数为．57．(2018浙江理)二项式81)2x+的展开式的常数项是___________．58．(2017浙江理)已知多项式32(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a =___，5a =___．59．(2017山东理)已知(13)nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =．60．(2016山东理)若25(ax+的展开式中5x 的系数是-80，则实数a=_______．61．(2016全国I 理)5(2x +的展开式中，x 3的系数是．(用数字填写答案)62．(2015北京理)在()52x +的展开式中，3x 的系数为．(用数字作答)63．(2015新课标2理)4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =______．64．(2014新课标1理)8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为．(用数字填写答案)65．(2014新课标2理)()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =___．(用数字填写答案)66．(2014山东理)若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为．67．(2013安徽理)若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______．68．(2012广东理)261()x x+的展开式中3x 的系数为______．(用数字作答)69．(2012浙江理)若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++55(1)a x +++ ，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a =．70．(2011浙江理)设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是．。

专题20 排列组合、二项式定理测试题满分150分 时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 42.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．60种D ．72种4.已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024 D ．－1 0245.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．168C ．144D ．1006.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．457．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．4848.若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－29.某校开设A 类课3门，B 类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种10.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则不同的安排方法有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．114种11.若n⎛⎫的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中3y 的系数是（ ） A ．15 B ．15- C ．20 D ．20-12.在(x －2)2 006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S ＝( ) A ．23 008 B ．－23 008 C ．23 009 D ．－23 009 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有 ． 14．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．16.若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则函数f (x )＝a 2x 2＋a 1x ＋a 0的单调递减区间是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？18.赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？19、在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.20（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．21.从1到9这九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？22、已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012(23)(1)(1)n x a a x a x -=+-+-(1)n n a x ++-L .（1）求2a 的值； （2）求123n a a a a ++++L 的值.专题20 排列组合、二项式定理测试题参考答案一、选择题1.解析：选A 二项式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r，由6－r ＝4，得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 2.故选A.2.解析：选D 从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是取四个偶数，即C 44＝1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即C 25C 24＝60种方法；第三类是取四个奇数，即C 45＝5，故有5＋60＋1＝66种方法．学_科网3.解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．4.解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－943. 5.解析：选D 先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．(1)小品1，相声，小品2.有A 22A 34＝48； (2)小品1，小品2，相声．有A 22C 13A 23＝36； (3)相声，小品1，小品2.有A 22C 13A 23＝34.共有48＋36＋36＝100种． 6.解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r·x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.7..解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C.8.解析：选C 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.9.解析：可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 25种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 15种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C 13C 25＋C 23C 15＝30＋15＝45(种)．答案：C10解析：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为(2,2,1)时，有C 25C 23A 22·A 33＝90种，A ，B 住同一房间有C 23A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类计数原理共有42＋72＝114(种)，故选D. 答案：D11. 【答案】A 【解析】由题意得264,6nn ==，因此3363622166r r r r r r r T C C x y ---+==，从而333,42r r -==，因此展开式中3y 的系数是426615.C C ==选A. 12. 答案：B 解析：设(x －2)2 006＝a 0x 2 006＋a 1x 2 005＋…＋a 2 005x ＋a 2 006，则当x ＝2时，有a 0(2)2006＋a 1(2)2 005＋…＋a 2 0052＋a 2 006＝0①；当x ＝－2时，有a 0(2)2 006－a 1(2)2 005＋…－a 2 0052＋a 2 006＝23 009②.①－②得2[a 1(2)2 005＋…＋a 2 005(2)]＝－23 009，即2S ＝－23 009，∴S ＝－23 006.故选B. 二、填空题 13．【答案】65【解析】分二类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，52＋4×2×5＝65．14.解析：T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案：－215.解析：把8张奖券分4组有两种方法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，∴不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60. 答案：6016.解析：∵(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴a 0＝1，a 1＝－C 15＝－5，a 2＝C 25＝10，∴f (x )＝10x 2－5x ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋38，∴函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14三、解答题17、解 方法一 共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种).方法二 将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个18.解 分三类，第一类.2人只划左舷的人全不选，有C 35C 35＝100(种)；第二类，2人只划左舷的人中只选1人，有C 12C 25C 36＝400(种)；第三类，2人只划左舷的人全选，有C 22C 15C 37＝175(种).所以共有C 35C 35＋C 12C 25C 36＋C 22C 15C 37＝675(种).位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84(种)放法.故共有84种不同的选法.19.解：展开式的通项为2311()(0,1,22n rr r r n T C x r -+=-=,…,)n由已知：00122111()()()222n n n C C C -,,成等差数列，∴ 121121824n n C C n ⨯=+∴=,（1）5358T = （2）令1x =，各项系数和为125620.【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8=n ．∴ 中，令1=x（2）通项公式为 ，1，2， (8)整数，即8,5,2=r 时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即21.解 (1)分步完成：第一步：在4个偶数中取3个，有C 34种情况. 第二步：在5个奇数中取4个，有C 45种情况. 第三步：3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况.所以符合题意的七位数有C 34·C 45·A 77＝100 800(个).(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34·C 45·A 55·A 33＝14 400(个).(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34·C 45·A 33·A 44·A 22＝5760(个). (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)，共有C 34·C 45·A 44·A 35＝28 800(个).22.【解析】（1）根据二项式的系数和即为2n ，可得25129n n =⇒=，因此可将()f x 变形为99()(23)[2(1)1]f x x x =-=--，其二项展开式的第1r +为9919(1)2(1)(09)r r r r r T C x r --+=--≤≤，故令7r =，可得727292(1)144a C =-=-；（2）首先令令901,(213)1x a ==⨯-=-，再令令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，从而1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L . （1）由二项式系数和为512知，9251229n n ==⇒= 2分，99(23)[2(1)1]x x -=-- ，∴727292(1)144a C =-=- 6分；（2）令901,(213)1x a ==⨯-=-，令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，∴1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L 12分．。

第十章 排列、组合、二项式定理和概率、统计●考点阐释本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论的基础知识.其中分类计数原理和分步计数原理是本章的基础，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识.在对应用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分步计数原理对问题进行分类或分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键.从两个原理上，完成一件事的“分类”和“分步”是有区别的，因此在应用上，要注意将两个原理区分开.排列、组合也是本章的两个主要概念.定义中从n 个不同元素中，任取M （M ≤n ）个元素“按一定的顺序排成一列”与不管怎样的顺序“并成一组”是有本质区别的.只有准确、全面把握这两个概念，才能正确区分是排列问题，还是组合问题.具体解决手段：只要取出2个元素交换看结果是否有变化.二项式定理中，公式一般都能记住，但与其相关的概念如：二项式系数、系数、常数项、项数等，学生易混，须在平常加以对比分析，对通项公式重点训练.应用上要注意：①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项随之确定.②公式表示的是第r +1项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和为n .④r 的取值从0到n ，共n +1个.古典概型是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练掌握排列组合的基本知识.熟练掌握五种事件的概率以及抽样方法、总体分布的估计、期望和方差. ●试题类编 一、选择题1.（2003京春理，9）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A.42B.30C.20D.122.（2003京春文，10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A.6B.12C.15D.303.（2002京皖春理，6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）A.280种B.240种C.180种D.96种4.（2002京皖春文，6）若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（ ）A.180种B.360种C.15种D.30种5.（2002京皖春理，10）对于二项式（x1+x 3）n（n ∈N *），四位同学作出了四种判断： ①存在n ∈N *，展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项 ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项上述判断中正确的是（ ）A.①③B.②③C.②④D.①④6.（2002京皖春文，10）在（x1+x 2）6的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ） A.20，20 B.15，20 C.20，15 D.15，157.（2002全国文，12、理，11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种8.（2002北京文，9）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（ ）A.480B.240C.120D.969.（2002北京理，9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A.4448412C C C 种B.34448412C C C 种C.3348412AC C种 D.334448412A C C C 种10.（2001京皖春，3）1222C C lim ++∞→n n n nn 等于（ ）A.0B.2C.21D.41 11.（2001天津理，9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种12.（2000京皖春，8）从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“ｑu ”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ）A.120个B.480个C.720个D.840个13.（1999全国理，8）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ax 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ） A.1 B.－1 C.0 D.214.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种B.6种C.7种D.8种15.（1998全国理，11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1 名医生和2名护士.不同的分配方法共有（ ） A.90种 B.180种 C.270种 D.540种 16.（1997全国理，15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A.150种B.147种C.144种D.141种17.（1997全国文）四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有（ ）A.30种B.33种C.36种D.39种 18.（1996全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A.720种 B.360种 C.240种 D.120种19.（1995全国文15，理13）用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）A.24个B.30个C.40个D.60个 20.（1995全国，6）在（1－x 3）（1+x ）10的展开式中，x 5的系数是（ ） A.－297 B.－252 C.297 D.20721.（1994全国，10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种22.（1994上海，18）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）A.5544A A 种 B.554435A A A 种 C.554413A A A 种D.554422A A A 种二、填空题23.（2003上海春，9）8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_____场比赛.24.（2002上海7）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是_____.（结果用数值表示）25.（2002上海春，7）六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是_____.26.（2002上海春，5）若在（xx 15）n的展开式中，第4项是常数项，则n = . 27.（2002全国理，16）（x 2+1）（x －2）7的展开式中x 3项的系数是 . 28.（2002上海文，9）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天.29.（2002天津文，15）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）：其中产量比较稳定的小麦品种是_____.30.（2001上海，7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（结果用数值表示）31.（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .32．（2001上海理，8）在代数式（4x 2－2x －5）（1＋21x ）5的展开式中，常数项为 ． 33.（2001全国文，13）（21x ＋1）10的二项展开式中x 3的系数为 . 34.（2001上海春）在大小相同的6个球中，2个红球，4个白球.若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是_____.（结果用分数表示）35.（2001广东河南，13）已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能（用数字作答）.36.（2001江西、山西、天津理）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_____.（用数字作答）37.（2001上海文）利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_____.38.（2000上海春，4）若（x +a ）5的展开式中的第四项是10a 2（a 为大于零的常数），则x =_____.39.（2000上海春，10）有n （n ∈N *）件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种，则n =_____.40.（2000京皖春理，17）103)1(xx 展开式中的常数项是_____. 41.（2000全国文、理，3）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）.42.（2000年上海，9）在二项式（x －1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .（结果用数值表示）43.（2000上海，10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3.现任取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 .44.（2000两省一市理，13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数以ξ的概率分布是45.（1999全国，16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种（用数字作答）.46.（1999上海理，3）在（x 3+22x）5展开式中，x 5项的系数为 . 47.（1999上海理，11）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率是 .48.（1998全国理，17）（x +2）10（x 2－1）的展开式中x 10的系数为_____（用数字作答）.49.（1998上海，9）设n 是一个自然数，（1＋n x ）n的展开式中x 3的系数为161，则n =_____. 50.（1997全国，16）已知（2x x a）9的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_____. 51.（1997上海，11）若（3x +1）n （n ∈N *）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x 2的系数是_____.52.（1997上海，16）从集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ，所得经过坐标原点的直线有_____条（结果用数值表示）.53.（1996全国，17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_____个（用数字作答）.54.（1996上海，17）有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_____种（结果用数字表示）.55.（1996上海理，14）在（1+x ）6（1－x ）4的展开式中，x 3的系数是_____（结果用数值表示）.56.（1995上海，13）若（x +1）n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1（n ∈N *），且a ∶b ＝3∶1，那么n =_____.57.（1995上海，19）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有_____种.（结果用数值表示）.58.（1995全国，20）四个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____种.（用数字作答）59.（1994全国，16）在（3－x ）7的展开式中，x 5的系数是_____（用数字作答）. 三、解答题60.（2002天津文20，理19）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？61.（2001江西、山西、天津）如图10—1，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1，N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0．80、0．90、0．90.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.62.（2001上海理）对任意一个非零复数z ，m z ={ω|ω=z 2n －1，n ∈N }（1）设α是方程x +21=x的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P .（2）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z .63.（2001全国理，20）已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . （1）证明n i i m A ＜m i i n A ；（2）证明（1＋m ）n ＞（1＋n ）m .64.（2000江西、山西、天津理，17）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？65.（2000上海，22）规定!)1()1(C m m x x x mx+-⋅⋅-⋅=，其中x ∈R ，m 是正整数，且0C x =1，这是组合数mn C （n 、m 是正整数，且m ≤n 的一种推广）.（1）（文）求315C -的值； （理）求515C -的值；（2）（文）设x ＞0，当x 为何值时，213)C (C x x 取最小值？（理，文2）组合数的两个性质： ①m n n mn-=C C . ②mn m n m n 11C C C +-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.（3）（理）已知组合数mn C 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，mn C ∈Z . 66.（1996全国文24，理23）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在图10—1增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?答案解析1.答案：A解析：这是一个插空问题，应分两类：第一类，新增的两个节目连在一起；第二类，两个新增节目不连在一起，而原来的5个节目可看做分出6个空位.第一类则有2×16A 种不同的插法，第二类则有26A 种不同的插法.应用分类计数原理，共有12+30=42种不同的插法. 评述：该题是应用问题，内容贴近学生，有一定的综合性、灵活性、考查分析，解决问题及逻辑思维的能力.同时应有周密的思维习惯.2.答案：D解析：见第1题. 3.答案：B解析：因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作.因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有14A 种，再从余下的5人中选3人从事导游、导购、保洁有35A 种.因此3514A A =240.4.答案：B 解析：46A =360.5.答案：D解析：二项式（x 1+x 3）n 展开式的通项为T r +1=r n C (x1)n －r (x 3)r =r n C x r －n ·x 3r =r n C x 4r －n 当展开式中有常数项时，有4－n =0，即存在n 、r 使方程有解.当展开式中有x 的一次项时，有4r －n =1，即存在n 、r 使方程有解. 即分别存在n ，使展开式有常数项和一次项. 6.答案：C 解析：二项式（x1+x 2）6展开式的通项为： T r +1=636266C )()1(C --=r r r r rx x x∴当T r +1为x 3项时，r =3，∴T r +1=36C ·x 3=20·x 3 当T r +1为常数项时，r =2，∴T r +1=26C =157.答案：B解析：联想以空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即16C ·12C ；也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即：1836C C -. 8.答案：B解析：先把5本书中的两本捆起来（25C ），再分成四份（44A ），∴分法种数为25C ·44A =240（种）.9.答案：A解析：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口，即：412C ·48C ·44C .10.答案：D解析：原式＝n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n 2411)12(21)12)(22()1)(1(A A A A A A A A 122112111222++=++=++++=⋅⋅=++++++++∴41C C lim 1222=++∞→n n n nn 11.答案：A 解析：设该队胜x 场，平y 场，则负（15－x －y ）场，由题意得3x +y =33， ∴y =33－3x ≥0∴x ≤11，且x +y ≤15，（x ，y ∈N ） 因此，有以下三种情况：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==69310011y x y x y x 或或 评述：本题利用不定方程及穷举法解决排列、组合问题. 12.答案：B解析：4436A C ＝480．13.答案：A 14．答案：C解法一：由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种，故共有1＋2＋4＝7种不同的选购方式，答案为C.解法二：先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘、再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿解法一可知选C.评述：本题主要考查分类计数原理、分类讨论思想.背景简单，但无现成模式可用，对分析解决问题的能力有较高要求.15.答案：D解析：设计让3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有2613C C 种，再由学校乙挑选，有2412C C 种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有13C ·26C ·2412C C ＝540种，答案为D.评述：设计一个程序是解答排列组合应用题的常见解法. 16.答案：D解法一：10个点任取4个点取法有410C 种，其中面ABC 内的6个点中任意4点都共面，从这6点中任取4点有46C 种，同理在其余3个面内也有46C 种，又每条棱与相对棱中点共面有6种，各棱中点中4点共面的有3种，故10个点中取4点，不共面的取法共有36C 4C 46410---＝141种.解法二：四面体记之为A —BCD ，设平面BCD 为α，那么从10个点中取4个不共面的点的情况共有四类：（1）恰有3个点在α上，有4（3C 36-）＝68种取法；（2）恰有2个点在α上，可分两种情况：该2个点在四面体的同一条棱上时有3)3C (C 2423-＝27种，该2个点不在同一条棱上，有（2326C 3C -）·（24C －1）＝30种；（3）恰有1个点在α上，可分两种情况，该点是棱的中点时有3×3＝9种，该点是棱的端点时有3×2＝6种；（4）4个点全不在α上，只有1种取法.根据分类计数原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141种．评述：本题对空间想象能力要求较高，对观察能力和思维能力要求也高.在应用背景及其限制条件下合理分类是解题的关键.17.答案：B解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面，点A 所在的每个面中含A 的4点组合有35C 个，点A 在3个面内，共有335C 个组合，点A 在6条棱的三条棱上，每条棱上有3个点，这3点与对棱的中点共面，所以与点A 共面的四点组合共有335C +3=33（个）评述：本题考查组合的知识和空间想象能力.对考生的观察能力和思维能力有较高要求，考生失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算入内.18.答案：C解析：把甲、乙两人看作1个人，这样6个人看作5个人，5个人的全排列有55A 种，甲、乙两个人还有顺序问题，所以排法总数为55A ·22A =240（种）评述：这是一道有限制条件的排列题，考查排列的概念和排列数公式.“相邻问题”是一个常见的典型问题.19.答案：A解法一：其中2在个位的三位数有24A 个，4在个位的三位数有24A 个，故没有重复数字的三位偶数共有224A ＝24个，故选A.解法二：先排个位有12A 种，再排十位、百位有24A 种，于是合乎要求的三位偶数共有2412A A ＝24个.故选A. 评述：本题为有特殊要求的排列问题，考查排列基础知识和逻辑推理能力. 20.答案：D解析：∵原式=（1+x ）10－x 3（1+x ）10.∴欲求原展开式中x 5的系数，只需求出（1+x ）10展开式中x 5和x 2的系数.而（1+x ）10=1+…+210C x 2+…+510C x 5+….故（1－x 3）（1+x ）10展开式中，x 5的系数为510C －210C =207.21.答案：C解法一：从10人中选派4人有410C 种，进而对选出的4人具体分派任务，有1224C C 种，由分步计数原理得不同的选派方法为1224410C C C ＝2520种，答案为C.解法二：据分步计数原理，不同选法种数为210C ·18C ·17C ＝2520种.评述：本题主要考查组合和分步计数原理，答数较大，对组合数的计算要求较高.方法一用的是先选后派方法是处理排列组合应用题的基本方法.22.答案：D解析：先各看成整体，但水彩画不在两端，则为22A ，然后水彩画与国画各全排列，所以共有554422A A A ．23.答案：16解析：分两组比赛，每组有24C 场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，三、四名比赛，冠亚军比赛，共有224C +2+2=16（场）24.答案：133 解析：有效分应该是由没有受贿裁判的评分，因此，7名裁判应从12人中选712C ，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是133C C 714712=.25.答案：201 解析：因为后排每人均比前排人高，因此应将6人中最高的3个人放在后排，其余3人站前排.故所有排法有33A ·33A =36种.故后排每人均比前排同学高的概率为201A A A 663333=⋅ 26.答案：18 解析：∵5183333534)1(C )1()(C ---=-=n n n nx xx T 为常数项. ∴518-n =0，即n =18. 27.答案：1008解析：系数为：17C （－2）6+37C （－2）4=1008.28.答案：11解析：要完成某项工序，必须先完成它的紧前工序且在紧前工序完成的条件下，若干件工序可同时进行，因而工程总时数为：3+2+5+1=11（天）.29.答案：甲解析：根据题意，需要比较2*甲S 和2*乙S由于2*甲S =0.158，2*乙S =0.552 因此甲产量比较稳定. 30.答案：7解析：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有245C 25⨯=＝10（种） 选择方式至少为200种，设素菜为x 种，∴252C C x ≥2002)1(-x x ≥20，x （x －1）≥40，x ≥7 ∴至少应为7种素菜. 31.答案：2n （n －1）解析：先在圆上找一点，2n 个点因为是等分点，所以过圆心的直径应有n ，减去过这点的直径，剩下的直径n －1个都可以与这个点形成直角三角形，∴一个点可以形成n －1个直角三角形，这样的点有2n 个.∴一共为2n （n －1）. 32.答案：15解析：15205)1(1C )4()1(1C 512415202505=+-=+-xx x . 33.答案：15 解析：15816891081C )21(C 3103310=⨯⨯⨯=⨯= 34.答案：54 解析：所选3球中至少有一个红球的选法有12C ·2224C C +·14C =16（种） 从6个球中任选3个球的选法有36C =20（种）. 故概率p =542016=. 评述：本题主要考查对可能事件的概率计算，以及考生分析问题解决问题的能力.古典概率是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练地掌握排列组合的基本知识.35.答案：4900解析：完成这件事可分为两步：第一步：从甲组8人中抽取4个，有48C 种方法； 第二步：从乙组8人中抽取4人，有48C 种方法. 因此，比赛人员的组成共有48C ·48C =4900种可能.评述：本题考查分步计数原理、组合的概念以及组合数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.36.答案：1.2解析：设其中含红球个数为x ，则x =1或 x =2.而含一个红球的概率A 1=106C C C 251213=⋅ 含两个红球的概率为A 2=103C C 2523=∴含红球个数的数学期望为1×106+2×103=1.2 评述：本题考查数学期望的概念、概率的概念及它们的计算.37.答案：A 3解析：A 1的数学期望：1x E =0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7 A 2的数学期望：2x E =0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 A 3的数学期望：3x E =0.25×（－20）+0.30×52+0.45×78=45.7A 4的数学期望：4x E =0.25×98+0.30×82+0.45×（－10）=44.6评述：本题考查概率与数学期望，考查学生识表的能力.对图表的识别能力，是近年高考突出考查的热点.图表语言与其数学语言的相互转换，应成为数学学习的一个重点，应引起高度重视.38.答案：a1 解析：∵x a a x T 33352135410)(C ==-，∴x ＝a1.39.答案：5解析：由11A 2--n n ＝48，得11A --n n ＝24，∵44A ＝24，∴n ＝5. 40.答案：210 解析：T r ＋1＝65301031102110)1(C )()(Cr rr rrr xx x ----=-⋅，令30－5r =0，得r =6.∴常数项T 7＝610C ·（－1）6＝210．41.答案：252解析：222733A C A ＝252．42.答案：－462解法一：因为在（x －1）11的展开式中，各项的二项式系数与系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项511C x 6（－1）5．第七项611C x 5（－1）6，所以得系数最小的项的系数为462C 511-=-．解法二：展开式中第r +1项为r rrx)1(C 1111--，要使项的系数最小，则r 为奇数，且使r11C 为最大，由此得r =5，所以项的最小系数为462)1(C 5511-=-．43.答案：141解析：从9面旗帜中任取3面，共有39C （种）取法. 现取3面，颜色与号码均不相同共有13C ·12C ·11C =6（种） 因此，所求概率为141846C 639==. 44.答案：解析：设次品数为ξ，则ξ~（2，0.05），其中p =0.05为次品率，则q =0.95为正品率，于是由二项分布公式（列成表格）：即得所求结果.45.答案：12解析：先考虑A 种植在左边的情况，有三类：A 种植在最左边一垄上时，B 有三种不同的种植方法；A 种植在左边第二垄上时，B 有两种不同的种植方法；A 种植在左边第三垄上时，B 只有一种种植方法.又B 在左边种植的情况与A 时的相同，故共有2×（3＋2＋1）＝12种不同的选垄方法.评述：本题主要考查两个基本原理、分类讨论思想，对分析解决问题的能力有较高要求. 46.答案：40解析：由通项公式T r +1=r5C （x 3）5－r ·（22x）r =r 5C ·2r ·x 15－5r由题意，令15－5r =5.得r =2. ∴含x 5项的系数为25C ·22=40. 47.答案：92解析：掷两次骰子分别得到的总数m 、n 作为P 点的坐标共有16A ·16A =36（种）可能结果，其中落在圆内的点有8个：（1，1）、（2，2）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（3，1）、（2，3）、（3，2），则所求的概率为92368=. 评述：本题考查点与圆的位置关系，概率概念等基础知识以及运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力.48.答案： 179解析：展开式中x 10的系数与（x +2）10的展开式中x 10的系数和x 8的系数有关，由多项式运算法则知所求系数为010C ·（－1）＋210C ·22·1＝179.评述：本题考查在逻辑思维能力上的要求，兼考查分类讨论的思想.49. 答案：4 解析：T r ＋1＝r rn n x )(C ，令r =3得x 3的系数1611C 33=n n ，解得n =4. 50.答案： 4解析：T r ＋1＝929299292C )1()()2()1(C -+---⋅⋅⋅-=-r rrr r r r r rr x a xa x当392=-+r r ，即r =8时，492C )1(28898=⋅⋅--a ，解得a =4. 评述：本题考查二项式定理的基础知识，重点考查通项公式和项的系数的概念，兼考运算能力.51.答案： 54解析：令x =1得展开式各项系数之和4n ＝256解得n =4，所以x 2的系数是24C ·32＝54． 52.答案：30解析：因过原点的直线常数项为0知c =0，从集合中任取两个非零元素作系数A 、B 有26A 种，所以适合条件的直线有26A ＝30条.53.答案： 32解析：7个点任取3点的组合数37C ＝35，其中三点在一线上不能组成三角形的有3个，故组成三角形的个数为35－3＝32个. 评述：本题是有限制条件的组合应用题，背景采用几何图形，对逻辑思维能力要求较高.易出现不排除不构成三角形的情况的错误.54.答案： 1440解析：将数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有55A ＝120种排法，再将3本数学书之间交换有33A ＝6种，2本外文书之间交换有22A ＝2种，故共有223355A A A ＝1440种排法.55.答案： －8解析：原式=（1＋x ）2（1－x 2）4＝（1＋2x ＋x 2）(1－x 2)4含x 3的项为2x ·14C ·(－x 2)＝－8x 3，故x 3的系数为－8.56.答案：11解析：2233C C ,C C nn n n n nb a ====--， 由已知有113)1(62)2)(1(13C C 23=⇒=-⋅--⇒=n n n n n n n n． 57. 答案：350解析：选法是原装取2台组装取3台，原装取3台组装取2台.故不同的选取法有25363526C C C C +＝350种. 58. 答案：144解法一：考虑用分配的数学模型来解.若1号盒空，2号盒放2个球，3号盒和4号盒各放一个球有111224C C C ＝12种放法. 若1号盒空，3号盒放2个球，4号盒和2号盒各放一个球时仍有111224C C C ＝12种放法. 若1号盒空，4号盒放2个球，2号盒和3号盒各放一个球同样有111224C C C ＝12种放法. 即1号盒空共有3×12＝36种放法.同理2号盒空有36种放法，3号盒空有36种放法，4号盒空有36种放法. 故按题中要求恰有一个空盒的放法共有4×36＝144种放法.解法二：先将4个球分成3组每组至少1个，分法有6种.然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组.则恰有一个空盒的放法种数为634A ＝144种.评述：本题是一道排列组合综合题，运用先分组，后排列的方法较好. 59.答案： －189 解析：r r r r x T )()3(C 771-=-+，所以r =5，x 5的系数为57C 32（－1）5＝－189．评述：本题考查二项式定理，重点考查通项公式，兼考计算能力.60.解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即32216415611)5.0(C )5.0(C )5.0(C 1626616606=++-=---.（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为3.03211)5.0(C )5.0(C )5.0(C 666656646>=++至少5人同时上网的概率为：3.0647)5.0)(C C (66656<=+. 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.61.解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）＝0．80，P （B ）＝0．90，P （C ）＝0．90.（Ⅰ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率 P 1＝P （A ·B ·C ）＝P （A ）·P （B ）·P （C ）＝0．80×0．90×0．90＝0．648. 故系统N 1正常工作的概率为0．648． （Ⅱ）系统N 2正常工作的概率)]()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=.∵P （B ）＝1－P （B ）＝1－0．90＝0．10. P （C ）＝1－P （C ）＝1－0．90＝0．10.∴P 2＝0．80×［1－0．10×0．10］＝0．80×0．99＝0．792. 故系统N 2正常工作的概率为0．792. 62.解：（1）解方程x +21=x 得x =i 2222± 当α1=i 2222+时ω=α12n －1=112121])2222[()(ααααn nni i =+=由i n 的周期性知：ω有四个值. n =1时，ω=i i i 22222222+=+ n =2时，ω=i i 222222221+-=+- n =3时，ω=i i i 22222222--=+- n =4时，ω=i i 222222221-=+当α2=2222-i 时，ω=α22n －1=2222)()(αααnni -=n =1时，ω=i i i 22222222-=-- n =2时，ω=i i 222222221--=-- n =3时，ω=i i i 22222222+-=- n =4时，ω=i i 222222221+=- ∴不管α=i 2222+还是α=i 2222- M α={i i i i 2222,2222,2222,2222--+--+ } P =3162C 224== （2）∵ω∈M z ，则ω=z 2m －1，m ∈N任取x ∈M ω，则x =ω2n －1，n ∈N而ω=z 2m －1 ∴x =（z 2m －1）2n －1=z (2m －1)(2n －1) ∵（2m －1）（2n －1）为正奇数 ∴x ∈M z ∴M ω⊆M z评述：复数的运算是复数的基础，本题考查复数的奇数次幂，由于i n 的周期性，因而 α2n －1只有四个值，题目以集合的形式给出复数ω，使复数与集合有机的结合在一起，不仅考查复数还考查集合的表示方法.而证明一个集合是另一个集合的子集在对集合的考查上又高了一个层次.证明尽管不繁，但思维层次较高.63.证明：（1）方法一：ii i m m i m m m m )1()1(A +-⋅⋅-⋅= ii i n ni n n n n )1()1(A +-⋅⋅-⋅=。

排列组合二项式定理与概率训练题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.3 名老师随机从 3 男 3 女共 6 人中各带 2 名学生进行实验，其中每名老师各带 1 名男生和 1 名女生的概率为（）2349A. B. C. D.555102.某人射击 5 枪，命中3 枪， 3 枪中恰有 2 枪连中的概率为（）2311A. B. C. D.5510203.一批产品中，有 n 件正品和 m 件次品，对产品逐个进行检测，如果已检测到前 k（ k＜ n )次均为正品，则第k+1 次检测的产品仍为正品的概率是（）A.n k k 1C.n k 1D.k1 n m kB.n m k 1n m kn m4.有一人在打靶中，连续射击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是（）A. 至多有 1 次中靶B.2 次都中靶C.2 次都不中靶D.只有 1 次中靶5.在一块并排 10 垄的土地上，选择 2 垄分别种植A、 B 两种植物，每种植物种植 1 垄，为有利于植物生长，则A、B 两种植物的间隔不小于 6 垄的概率为（）A.142D.1 30B. C.3015156.某机械零件加工由 2 道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为 b，假定这 2 道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（）A. ab－ a－b+1B.1－ a－ bC.1－ abD.1 － 2ab7.有 n 个相同的电子元件并联在电路中，每个电子元件能正常工作的概率为 0.5，要使整个线路正常工作的概率不小于0.95， n 至少为（）A.3B.4C.5D.68.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，已知至少命中一次的概率为80 ，81则此射手的命中率是（）1212A. B. C. D.33459. (| x |13)5的展开式中的x 2的系数是（）| x |A.275B.270C.540D.54510.有一道，甲解出它的概率1，乙解出它的概率1，丙解出它23的概率1，甲、乙、丙三人独立解答此，只有 1 人解出此的概率是（）4A.111C.17D.1B.24242411．事件 A 与事件 B 互斥是事件 A、事件 B 立的（）A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C.充分必要条件；D. 既不充分也不必要条件12．若 P（ AB）=0，事件 A 与事件 B 的关系是（）A. 互斥事件；B.A、B 中至少有一个是不可能事件；C.互斥事件或至少有一个是不可能事件；D.以上都不二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）13．四封信投入 3 个不同的信箱，其不同的投信方法有种14．如，一个地区分 5 个行政区域，地着色，要求相区域不得2使用同一色，有 4 种色可315供，不同的着色方法共有4种15．若以投两次骰子分得到的点数m、n 作点 P 的坐，点 P落在直 x+y=5 下方的概率是 ________16．在号 1， 2，3，⋯， n 的 n 卷中，采取不放回方式抽，若1号号，在第k次（1≤ k≤ n）抽抽到 1 号卷的概率________三、解答（本大共 6 小，共 74 分解答写出文字明、明程或演算步）17．（本小分12 分）m，n∈ Z +，m、n≥ 1，f（ x）=（ 1+x）m+（1+x ）n的展开式中， x 的系数 19（ 1）求 f（ x）展开式中x2的系数的最大、小；（ 2）于使f（ x）中 x2的系数取最小的m、 n 的，求x7的系数18．（本小题满分12 分）从5 双不同的鞋中任意取出4 只，求下列事件的概率：（1）所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的；（2）所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的19．（本小题满分12 分）有8 位游客乘坐一辆旅游车随机到 3 个景点中的一个景点参观，如果某景点无人下车，该车就不停车，求恰好有 2 次停车的概率本小题满分12 分）已知(3x x 2 ) 2n的展开式的系数和比 (3x1) n的展开式的系数和大1)2 n的展开式中 : ①二项式系数最大的项; ②系数的绝992, 求( 2xx对值最大的项21．（本小题满分12 分）有 6 个房间安排 4 个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A：指定的 4 个房间中各有 1 人；（ 2）事件B：恰有 4 个房间中各有 1 人；（3）事件 C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第 1 号房间有 1 人，第 2 号房间有 3人22．（本小题满分14 分）已知 { a n } （n是正整数）是首项是a1，公比是q 的等比数列（ 1）求和： a1C 20a2C 21a3C 22 , a1C30a2 C31a3C 32a4C 33；（ 2）由（ 1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明；（ 3）设 q1, S n是等比数列的前 n 项的和，求S1 C n0S2 C n1S3 C n2S4 C n3( 1)n S n 1C n n排列组合二项式定理与概率参考答案：1.A2.B3.A4. C5.C6.A7.C8.B9.C10.B11． B12． C13．3414． 7215．116．16n17．设 m， n∈ Z+， m、 n≥ 1，f （ x） =（ 1+x）m+（ 1+x）n的展开式中， x 的系数为 19（ 1）求 f（ x）展开式中 x2的系数的最大、小值；（ 2）对于使 f（ x）中 x2的系数取最小值时的m、 n 的值，求 x7的系数解： C m1 C n119,即 m n 19m19n（ 1）设 x2的系数为T= C m2C n2n219n171(n19 )217119 224∵n∈Z +， n≥1，∴当 n 1或 n 18时 ,T max 153, 当 n 9或 10时 ,T min 81 （ 2）对于使 f （ x）中 x2的系数取最小值时的 m、 n 的值，即f ( x) (1 x)9(1x)10从而 x7的系数为 C 97C10715618．从5 双不同的鞋中任意取出 4 只，求下列事件的概率：（1）所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的；（2）所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的解：基本事件总数是C104=210（ 1）恰有两只成双的取法是C15C 24 C12 C12=1C15C42 C12C121204∴所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的概率为C1042107(2)事件“ 4 只鞋中至少有 2 只是成双”包含的事件是“恰有 2 只成双”和“ 4 只恰成两双” ，恰有两只成双的取法是C15C42C12C12 =1 只恰成两双的取法是C 52=10∴所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的概率C 15C 42 C 12C 12 C 52130 13 C 104210 2119．有 8 位游客乘坐一 旅游 随机到3 个景点中的一个景点参 ，如果某景点无人下 ， 就不停 ，求恰好有2 次停 的概率解： 8 位游客在 3 个景点随机下 的基本事件 数有38=6561 种有两个景点停 ，且停 点至少有1 人下 的事件数有C 32 （ C 18 + C 28 +⋯+ C 78 + C 88 ）=3（28－1） =381 种∴恰好有 2 次停 的概率381 12765612187知 ( 3 xx 2 ) 2 n 的展开式的系数和比( 3x 1) n的展开式的系数和大992, 求12n的展开式中 : ①二 式系数最大的; ②系数的 最大的( 2x)x解：由 意 2 2n 2n 992 , 解得 n 5① (2x1)10 的展开式中第 6 的二 式系数最大 ,x即 T 6 T 51C 105( 2x) 5 ( 1 )58064x② 第 r 1 的系数的 最大,T1C r ( 2x)10 r ( 1 ) r( 1) r C r210 r x 10 2rr10 x10∴C10r210 rC10r 1210 r 1 ,得C10r2C 10r 1 , 即 11 r 2rC 10r210 r C 10r 1 210 r12C 10r C 10r 12( r1) 10 r∴8r 11 , ∴ r 3 , 故系数的 最大的是第4 即33T 4 C 103 (2x) 7 ( 1 ) 315360 x 4x21．有 6 个房 安排4 个旅游者住宿，每人可以随意 哪一 ，而且一个房也可以住几个人 求下列事件的概率：（1）事件 A ：指定的 4 个房 中各有 1人；（ 2）事件 ：恰有 4 个房 中各有1 人； （ 3）事件：指定的某个房BC中有两人；（ 4）事件 D ：第 1 号房 有 1 人，第2号房 有 3人解： 4 个人住 6 个房 ，所有可能的住房 果 数 ：（种）（ 1）指定的 4 个房间每间 1 人共有A44种不同住法P( A)A44 / 641/ 54（ 2）恰有4 个房间每间 1 人共有A64种不同住法P(B)A64 / 64 5 /18（ 3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：C425 5 （种），P(C) C 4252 /6425 / 216（ 4）第一号房间1 人，第二号房间 3 人的不同住法总数为：134C 4 C3（种），(D )4/641/ 32422．已知 { a n } （n是正整数）是首项是a1，公比是q的等比数列⑴求和： a1C 20a2 C21a3C 22 ,a1C 30a2C 31a3C 32a4C 33；⑵由（ 1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明；⑶设 q1, S n是等比数列的前n 项的和，求S C0S C 1S C 2S4C3( 1)n S C n1n 2 n 3 n n n 1n解：（1）a1C20a2 C 21a3C 22a12a1q a1q 2a1 (1q) 2；a1 C30a2 C31a3 C 32a4 C 33a13a1 q 3a1q 2a1 q3a1 (1 q)3（ 2）归纳概括出关于正整数n 的一个结论是：已知{ a n } （n是正整数）是首项是 a1，公比是q的等比数列，则a C 0 a C1a3C2a4C3( 1) n an 1C n a1(1 q) n1 n2n n n n证明如下：a1 C n0a2 C n1a3 C n2a4 C n3( 1)n a n 1 C n n= a C0a1qC 1 a q2 C 2 a q3C 3( 1) n a q n C n1n n1n1n1na [C0C1 q C 2 q 2 C 3q 3 C n( q)n ] a (1 q) n1n n n n n1（ 3）因为S n a1 (1qn)，所以 S k1C n k a1 (1q n ) C n k1q1qS C0S C 1S C 2S4C3( 1)n S C n1n 2 n 3 n n n 1n=a1 [ C n0 C n1Cn2 C n3( 1)n C n n ]a1q[C n0qC n1q2 C n2C n n ( q)n ] 1q 1 q=-a1q(1 q) n 1 q。