1.2.典型例题分析_2

第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

课堂探究探究一 导数公式与导数运算法则的简单应用1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ； (2)y ＝x 4－2x；(3)y ＝sin x ＋3x ； (4)y ＝cos x ·ln x ； (5)y ＝(x －1)(x －2)(x －3)； (6)y ＝x －3x ＋2. 思路分析：分析每个函数的结构特点，紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导，必要时应对函数解析式进行恒等变形．解：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32·12x ＝32x ； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x 4－2x ′＝4x 3＋2x2； (3)y ′＝(sin x ＋3x )′＝cos x ＋3x ln 3；(4)y ′＝(cos x ·ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x ·1x ＝cos x x－sin x ·ln x ； (5)方法1：y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝[(x －1)(x －2)]′(x －3)＋(x －1)(x －2)(x －3)′＝[(x －1)′(x －2)＋(x －1)(x －2)′](x －3)＋(x －1)(x －2)＝(x －2＋x －1)(x －3)＋(x －1)(x －2)＝3x 2－12x ＋11.方法2：由于(x －1)(x －2)(x －3)＝(x 2－3x ＋2)(x －3)＝x 3－6x 2＋11x －6，所以y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝(x 3－6x 2＋11x －6)′＝3x 2－12x ＋11.(6)方法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x ＋2′＝(x －3)′(x ＋2)－(x －3)(x ＋2)′(x ＋2)2＝x ＋2－(x －3)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2； 方法2：由于y ＝x －3x ＋2＝1－5x ＋2， 于是y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x ＋2′＝－－5(x ＋2)′(x ＋2)2＝5(x ＋2)2. 探究二 利用导数公式和运算法则求复杂函,数的导数1．对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，然后再套用公式求导．【典型例题2】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 44＋⎝⎛⎭⎫cos x 44； (3)y ＝cos 2x sin x ＋cos x； (4)y ＝x ln x . 思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝4x 3＋3x 2＋2x .(2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . (3)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x .(4)y ＝x ln x ＝12x ln x ， ∴y ′＝12(x )′·ln x ＋12x ·(ln x )′＝12ln x ＋12. 探究三 复合函数的求导1．复合函数的求导法则如下：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′(其中y x ′表示y 对x 的导数)．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．2．复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可以省略不写．【典型例题3】 求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －1)2； (2)y ＝ln(5x ＋2)；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋1； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x .思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y ＝u 2，u ＝3x －1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·3＝6(3x －1)＝18x －6；(2)设y ＝ln u ，u ＝5x ＋2，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·5＝55x ＋2； (3)设y ＝⎝⎛⎭⎫12u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝⎝⎛⎭⎫12u ln 12·2＝－⎝⎛⎭⎫122x ·ln 2；(4)设y ＝sin u ，u ＝2x －π3，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x ＝cos 2x ＋12，设y ＝12cos u ＋12，u ＝2x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－12sin u ·2＝－sin 2x .探究四 导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发，可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来，从而获得问题的简单、巧妙的解法．【典型例题4】 用导数的方法求和：1＋2x ＋3x 2＋4x 3＋…＋2 014x 2 013(x ≠0，x ≠1)． 思路分析：从幂函数的求导法则入手，结合所求和式的特点求解．解：设f (x )＝1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013，g (x )＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2 014，则f (x )＝g ′(x )．而由等式数列求和公式可得g (x )＝x (1－x 2 014)1－x ＝x －x 2 0151－x， 于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2 0151－x ′＝(1－2 015x 2 014)(1－x )＋(x －x 2 015)(1－x )2＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2， 即1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2.。

六年级数学下册典型例题系列之第二单元比例的计算部分（解析版）编者的话：《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第二单元比例的计算部分。

本部分内容考察比例及解比例，主要为与比例有关的计算题型，考点和题型稍多，建议作为本章重点内容进行讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。

【考点一】比例的意义及判断。

【方法点拨】 1.比例的意义：（1）表示两个比相等的式子叫做比例。

（2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。

2.比例的各部分名称：（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。

（2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

3.比例的三种常见形式： （1）比例式： 例如：80:2=200:5 （2）分数式： 例如：5200280（3）乘积式： 例如：80×5=200×2 【典型例题】能与14∶15组成比例的是（ ）。

A ．4∶5 B ．5∶4C ．15∶14D ．6∶10解析：B 【对应练习1】下面能与3∶8组成比例的是（ ）。

A ．8∶3 B ．15∶40C ．0.2∶0.6解析：B 【对应练习2】下面（ ）组中的四个数可以组成比例。

A．4.5，3，12和1.5 B．2，3，4和5C．1.6，6.4，2和5 D．12，13，14和16解析：D【对应练习3】下面各比中，与11:75能组成比例的是（）。

A．5∶7 B．11:57C．7∶5 D．0.7∶0.5解析：A【考点二】已知比值，求比例。

【方法点拨】此类题型，组成比例的两个比，前一个比不知后项，后一个比不知前项，就用比的前项除以比值，即可求出前一个比的后项，用比的后项乘比值，即可求出后一个比的前项，最后再写出比例。

第1章计算机网络概论大纲要求：●网络拓扑结构。

●网络分类(LAN、MAN、WAN、接入网、主干网)。

●OSI/RM。

●TCP/IP协议，包括应用层协议、传输层协议(TCP、UDP)、网络层协议(IP)、数据链路层协议。

1.1 计算机网络的形成和发展1.1.1 考点辅导计算机网络是指由通信线路互相连接的许多自主工作的计算机构成的集合体。

这里强调构成网络的计算机是自主工作的，是为了和多终端分时系统相区别。

在计算机网络中的各个计算机(工作站)本身拥有计算机资源，能独立工作，完成一定的任务，同时还可以使用网络中其他计算机的资源(如CPU、大容量外存或信息等)。

1. 早期的计算机网络早期的计算机网络出现在20世纪50年代，它实际上是以单个计算机为中心的远程联机系统。

在这种系统中，除了一台中心计算机，其余的终端不具备自主处理能力。

这种网络也称为面向终端的计算机网络。

2. 现代计算机网络的发展20世纪60年代中期出现了大型主机，典型代表是ARPANET。

该时期的计算机网络是多台主机通过通信线路连接起来的，它和以单台计算机为中心的远程联机系统的主要区别是，在这种网络中每台计算机都有独立的处理能力，在这些机器之间不存在主从关系。

但是由于该时期的计算机网络是由研究单位、大学等部门各自研制的，没有统一的网络体系结构，因此要把这些计算机连接起来很困难。

网络工程师考试同步辅导(上午科目)(第3版)3. 计算机网络标准化阶段1977年，国际标准化组织(ISO)的TC97信息处理系统技术委员会SC16分技术委员会开始着手制定开放系统互联参考模型(OSI/RM)。

作为国际标准，OSI规定了可以互联的计算机系统之间的通信协议，遵从OSI协议的网络通信产品都是“开放系统”。

这种网络具有统一的网络体系结构，能够很方便地把不同的计算机连接起来。

4. 微型机局域网的发展时期20世纪80年代初期出现了微型计算机。

1972年，Xerox公司发明了以太网，以太网与微型机的结合使得微型机局域网得到了快速的发展。

第一章概论1.1重点、难点分析1.2典型例题解析例1-1 下图是液压千斤顶的传动系统图，试说明其工作原理。

1，6—活塞，2，7—液压缸，3，8—单向阀，4—截止阀，5—手柄，9—油箱图1-1 例1-1图解：当抬起手柄5时，活塞6向上运动，缸7容积增大形成真空，单向阀3关闭，缸7通过单向阀8从油箱吸油；当压下手柄5时，活塞6向下运动，单向阀8关闭，缸7中的油液通过单向阀3进入缸2，推动活塞1向上运动，抬起重物。

再抬起手柄5，缸7从油箱吸油；压下手柄5，油液进入缸2……，这样，油液不断地被吸入缸7，压入缸2，就可以把重物抬起到所需的高度。

由于单向阀3的作用，重物升高后不会落下来，当需要放下重物时，打开截止阀4，缸2中的油液流回油箱，重物就被放下来。

重物放下来后，关闭截止阀4，待下次需要放油时打开。

1.3练习题1-1液压传动与机械传动相比，有哪些优缺点？列举液压传动应用实例。

1-2液压系统有哪几部分组成？各部分的作用是什么？1-3目前液压传动技术正向着什么方向发展，请您举出实例。

1-4一个企业能否采用一个泵站集中供给压力油？说明理由。

第二章 液压油与液压流体力学基础2.1重点、难点分析2.2典型例题解析例2-1 如图所示，容器内盛满液体，已知活塞面积A =10×10-3m 2，负载重量G =10kN ，问压力表的读数p 1，p 2，p 3，p 4，p 5各为多少？图2-1 例2-1图解：容器内的液体是静止的，忽略由于其自重产生的压力，则液体内部各点的压力相等，即，MPa 1Pa 1011010100006354321=⨯=⨯======-A G p p p p p 例2-2 如图所示，半径为R =100 mm 的钢球堵塞着垂直壁面上直径为d =1.5R 的圆孔，若已知钢球密度ρ1=8000kg/m 3，液体密度ρ2=900kg/m 3，问钢球中心距容器液面的深度H 为大时，钢球才能处于平衡状态？图2-2 例2-2图解： 当钢球重量减去球浸没部分所受浮力对A 点的力矩与水深H 对钢球产生的水平方向作用力对A 点的力矩相平衡时，才能使钢球处于平衡状态。

1.2运动的描述【典型例题解析】类型一、机械运动例1、下列成语中描述的不是机械运动的是（）A．南辕北辙B．夸父追日C．顺水推舟D．精忠报国【答案】D【解析】A、“南辕北辙”这个成语讲的是我国古代某人要去南方，却向北走了起来，位置发生了变化，是机械运动；B、“夸父追日”这个成语中的夸父和太阳的位置关系发生了变化，是机械运动；C、“顺水推舟”这个成语中的舟和水的位置关系发生了变化，是机械运动；D、“精忠报国”这个成语的意思是将个人理想信念和国家的理想信念连接在一起，没有机械运动；故选D。

类型二、参照物及其选取例2、如图所示，两列火车，西子号上的乘客看到和谐号正在向东行驶，如果以地面为参照物，则下列说法正确的是（）A．若西子号向东行驶，则和谐号一定静止B．若西子号向东行驶，则和谐号一定也向东行驶C．若西子号静止，则和谐号可能向西行驶D．若两车都向西行驶，则西子号行驶得较慢【答案】B【解析】A、如果以地面为参照物，若西子号向东行驶，和谐号静止，则西子号上的乘客应该看到和谐号向西行驶，故A错误；B、若西子号向东行驶，和谐号也向东行驶且速度更快时，西子号上的乘客可以看到和谐号向东行驶，故B正确；C、若西子号静止，和谐号向西行驶，则西子号上的乘客应该看到和谐号向西行驶，故C错误；D、若两车都向西行驶且西子号较慢，则西子号上的乘客应该看到和谐号向西行驶，故D错误。

故选B。

【变式】人们常说太阳东升西落，所选的参照物是（）A、地球B、月亮C、云朵D、太阳【答案】A例3、在火箭推动飞船上升阶段，航天员是被固定在飞船座舱内的，说航天员处于静止，选择的参照物是（）A．月球 B．地球 C．飞船D．太阳【答案】C【变式】诗人曾写下这样的诗句：“人在桥上走，桥流水不流”，其中“桥流水不流”诗人选择的参照物是（）A．桥 B．河岸 C．水D．岸上的树【答案】C类型三、运动和静止的相对性例4、小敏和小华在探究运动和静止的相对性时，用彩笔在一张很长的硬纸片上画出房屋，树木和白云作背景，再在一张宽卡片的下方画上两条横线代表公路，在公路上画一辆汽车，在宽卡片的上部两侧各开一条狭缝，使窄纸片恰好能插入，如图所示①向左拉动窄纸片你会看到小车_______②向右拉动窄纸片你会看到小车_______【答案】①向右运动②向左倒车【解析】向左拉动窄纸片，以窄纸片上的背景作为参照物，公路上小车的相对位置在向右改变；向右拉动窄纸片，则公路上小车的相对位置在向左改变。

1.2等差数列（讲义+典型例题+小练）1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

例1：1．在等差数列{}n a 中，已知28a =-，44a =-，则12a =（ ） A ．10B ．12C ．14D ．162．已知等差数列{n a }，43n a n =-，则公差d 的值是（ ） A ．4 B ．-6C ．8D ．-10举一反三1．已知等差数列{}n a 中，131,5a a ==，则2a =（ ） A ．3-B ．5-C ．5D ．32．已知等差数列{}n a 中，12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于（ ） A ．40B ．42C ．43D ．453．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，342a a =，则公差d =_____. 3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=例2：1．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列第6项6a =（ ） A ．6 B ．8C ．12D ．16举一反三1．已知等差数列{}n a ，且4610a a +=，则5a =（ ）A ．3B ．5C ．7D ．92．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34567150a a a a a ++++=，则9S =_________． 3．已知132a =+，132b =-，则a ，b 的等差中项为（ ）A ．3B ．2C ．33D ．24、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥基础篇（二）（解析版）编者的话：《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第一单元圆柱与圆锥基础篇（二）。

本部分内容主要是圆柱与圆锥体积的基本计算和应用，内容相对简单，多偏向于公式的运用和简单的转化，建议作为必须掌握内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。

【考点一】圆柱体积的意义及体积公式。

【方法点拨】圆柱体积的意义和计算公式（1）意义∶一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。

（2）计算公式的字母表达式∶如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。

【典型例题】一根圆柱形柱子的底面半径为2m，高为5m。

你能算出它的体积吗?（π取3.14）解析：3.14×22×5=62.8（m³）答：柱子的体积为62.8m3。

【对应练习1】一个圆柱的底面直径是6分米，高是20分米，求圆柱的体积。

解析：半径：6÷2=3（分米）S底：3.14×32=28.26（平方分米）V：28.26×20=565.2（立方分米）答：圆柱的体积是565.2立方分米。

【对应练习2】挖一个圆柱形蓄水池，从里面量，底面周长是25.12米，深是2.4米，池内水面距底面0.8米。

蓄水池内现有水多少立方米？解析：半径：25.12÷3.14÷2=4（米）S底：3.14×42=50.24（平方米）h：0.8米V：50.24×0.8=40.192（吨）答：略。