高中数学：高中数学人教版必修四课时达标检测(二十四) 平面向量应用举例 Word版含答案

高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修4平面向量测试题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

黄图盛中学高一数学必修四第二章单元测试卷班级 姓名 座号一.选择题1．以下说法错误的是（ )A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ )A ．＋（B ．（C ．＋D ．；＋－3．已知=（3，4），=(5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知,均为单位向量，它们的夹角为+=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）A 。

)(21→→-b a B 。

)(21→→-a b C. →a ＋→b 21 D. )(21→→+b a 6．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A −→−AD ＝−→−BCB 。

−→−AD ＝2−→−BC C 。

−→−AD ＝－−→−BC D.−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是( ）A. 1 B 。

§平面向量应用举例．平面几何中的向量方法课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．．向量方法在几何中的应用()证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：∥(≠)⇔⇔.()证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量，，⊥⇔⇔.()求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.()求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝．直线的方向向量和法向量()直线＝＋的方向向量为，法向量为．()直线＋＋＝的方向向量为，法向量为．一、选择题．在△中，已知()、()、(－)，则边的中线的长是()．．．点是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点是△的()．三个内角的角平分线的交点．三条边的垂直平分线的交点．三条中线的交点．三条高的交点．已知直线：＋－＝，：＋－＝，则直线与的夹角是()．°．°．°．°．若是△所在平面内一点，且满足－＝＋－，则△的形状是()．等腰三角形．直角三角形．等腰直角三角形．等边三角形．已知点(，)，()，(，)，设∠的平分线与相交于，那么有＝λ，其中λ等于() ．．－．－．已知非零向量与满足·＝且·＝，则△的形状是()．三边均不相等的三角形．直角三角形．等腰(非等边)三角形．等边三角形题号答案二、填空题．如图，在△中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若＝，＝，则＋的值为．．已知平面上三点、、满足＝，＝，＝.则·＋·＋·＝.．设平面上有四个互异的点、、、，已知(＋－)·(－)＝，则△的形状一定是．．在直角坐标系中，已知点()和点(－)，若点在∠的平分线上且＝，则＝.三、解答题．在△中，()，()，(－)，求∠的平分线的方程．。

平面向量的数量积与平面向量应用举例单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6 B.10 C. 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ， ∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D.2．(2018·绍兴调研)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋2b)＝0，|a|＝|b|＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π3 B ．2π3C.π6D.5π6解析：选B 因为|a|＝|b|＝2，所以a ·(a ＋2b)＝a 2＋2|a||b|cos θ＝4＋8cos θ＝0， 解得cos θ＝－12. 因为0<θ<π，所以θ＝2π3.3．已知|a|＝3，|b|＝2，(a ＋2b)·(a －3b)＝－18，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B (a ＋2b)·(a －3b)＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴cos a ，ba ·b |a ||b |＝36＝12，∴a ，b 60°.4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b)⊥(a －b)，则m 的值是____；|a|＝ _ .解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b)⊥(a －b)，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2.∴a ＝(－1，－3)，|a|＝－12＋－32＝10.答案：－2 10 5．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→＝________. 解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．∴AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83. 答案：－83二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则 |a|＝( )A. 2 B ． 3 C ．2D ．4解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x )， 而(2a －b)·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3， 所以|a|＝1＋x 2＝4＝2.2．(2018·慈溪中学适应)若正三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ―→＝ 13CB ―→＋23CA ―→，则MA ―→·MB ―→的值为( )A ．2B ．－2 3C ．－2D ．－83解析：选D 因为CM ―→＝13CB ―→＋23CA ―→，所以CA ―→＋AM ―→＝13CB ―→＋23CA ―→，即AM ―→＝13CB ―→－13CA ―→，同理可得BM ―→＝－23CB ―→＋23CA ―→.所以MA ―→·MB ―→＝AM ―→·BM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 CB ―→－13 CA ―→ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 CB ―→＋23CA ―→＝－29(CB ―→－CA ―→)2＝－29AB ―→2＝－29×12＝－83.3．平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形解析：选C 因为AB ―→＋CD ―→＝0， 所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→， 所以四边形ABCD 是平行四边形． 又(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→＝0， 所以四边形对角线互相垂直， 所以四边形ABCD 是菱形．4．在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ―→·PC ―→≥P 0B ―→·P 0C ―→，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 解析：选D 设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (－2,0)，B (2，0)，P 0(1,0)，设C (a ，b)，P (x,0)，∴PB ―→＝(2－x,0)，PC ―→＝(a －x ，b)，P 0B ―→＝(1,0)，P 0C ―→＝(a －1，b)． 则PB ―→·PC ―→≥P 0B ―→·P 0C ―→⇒(2－x )·(a －x )≥a －1恒成立， 即x 2－(2＋a)x ＋a ＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0. 即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .5.如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP ―→·BP ―→的取值范围是( )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：选A 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA ―→＋CB ―→＝2CD ―→，所以AP ―→·BP ―→＝(CP ―→－CA ―→)·(CP ―→－CB ―→) ＝CA ―→·CB ―→－2CD ―→·CP ―→＋1＝(23)2cosπ3－2×3×1×cos 〈CD ―→，CP ―→〉＋1 ＝7－6cos 〈CD ―→，CP ―→〉，所以当cos 〈CD ―→，CP ―→〉＝1时，AP ―→·BP ―→取得最小值为1； 当cos 〈CD ―→，CP ―→〉＝－1时，AP ―→·BP ―→取得最大值为13， 因此AP ―→·BP ―→的取值范围是[1,13]．6．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝xe 1＋ye 2，x ，y ∈R.若e 1，e 2的夹角为π6，则 |x ||b |的最大值等于________．解析：当x ＝0时，|x ||b |＝0，当x ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋3·y x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14≤4， 所以|x ||b |的最大值是2，当且仅当y x ＝－32时取到最大值． 答案：27．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则实数λ的值为________；向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 所以由(m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－2×－1＋25×5＝45.答案：－3 458.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP ―→·AD ―→的最小值为________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，A (0,2)，D (1,0)，设P (x ，y )，故BP ―→＝(x ＋2，y )，AD ―→＝(1，－2)，所以BP ―→·AD ―→＝x －2y ＋2.令x －2y ＋2＝t ，根据直线的几何意义可知，当直线x －2y ＋2＝t 与半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得|2－t |5＝1，t ＝2－5， 即BP ―→·AD ―→的最小值是2－ 5. 答案：2－ 59．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC ―→|＋|AB ―→|＝3|BC ―→|，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3， 即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A2＋sin 3A 2sin A 2＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC ―→|＋|AB ―→|＝3|BC ―→|， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.∵0<B <2π3， ∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．10．如图，已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(3cos x,3sin x )，OB ―→＝(3cos x ，sin x )， OC ―→＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA ―→－OB ―→)⊥OC ―→； (2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． 解：(1)证明：OA ―→－OB ―→＝(0,2sin x )， ∴(OA ―→－OB ―→)·OC ―→＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA ―→－OB ―→)⊥OC ―→.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，x ＝π6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·新昌中学检测)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)．动点D 满足|CD ―→|＝1.则|OA ―→＋OB ―→＋OD ―→|的取值范围是( )A ．[7，7＋1]B ． [7－1，7＋1]C ．[7－1，7]D ．[1，7＋1]解析：选B 设D (x ，y )．因为|CD ―→|＝1，所以有(x －3)2＋y 2＝1， 即点D 在以(3,0)为圆心，半径为1的圆上． 因为OA ―→＋OB ―→＋OD ―→＝(x －1，y ＋3)， 所以|OA ―→＋OB ―→＋OD ―→|＝x －12＋y ＋32表示圆上的点到定点(1，－3)的距离，因为(1，－3)到圆心(3,0)的距离为3－12＋3＝7，所以其取值范围是[7－1，7＋1]．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA ―→·BC ―→＝c CB ―→·CA ―→.(1)求角B 的大小；(2)若|BA ―→－BC ―→|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA ―→－BC ―→|＝6，所以|CA ―→|＝6， 即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2a c ≥2a c －2a c ＝(2－2)a c (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即a c ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12a csin B ≤32＋12，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

课时作业24平面向量应用举例时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9)C．(9,0) D．(0,9)解析：∵f＝f1＋f2＋f3，其中f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，A(1,1)，∴终点坐标为(3＋2＋3＋1,4－5＋1＋1)＝(9,1)．答案：A2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6 B．2C．2 5 D．27解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos60°＝28. ∴|F 3|＝27. 答案：D3．共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2解析：F 1与F 2的合力F ＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2)． 又s ＝(2lg5,1)，所以W ＝F·s ＝2lg5＋2lg2＝2. 答案：D4．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．正三角形D ．等腰三角形解析：BA →·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →)＝－BA →·(CB →＋CA →)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形．答案：D5．如图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ等于( )A.a ·b|a |2 B.a ·b |a ||b | C.a ·b |b |2 D.|a ||b |a ·b解析：BC →＝OC →－OB →＝λa －b . ∵BC ⊥OA ，∴BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0， 即λa 2－a ·b ＝0.∴λ＝a ·b |a |2.答案：A6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 解析：OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)可以化为AP →＝λ(AB →＋AC →)，所以AP →∥(AB →＋AC →)．又AB →＋AC →所在直线平分BC ， 所以AP →所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC 的重心． 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．一艘船从O 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为 4 km/h ，则河水的流速大小为________．解析：如图，|OC →|＝4，|OB →|＝23， 则|OA →|＝42－(23)2＝2.答案：2 km/h8．作用于同一点的两个力F 1，F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为________．解析：|F 1＋F 2|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝32＋2×3×5×cos 2π3＋52＝19，所以|F 1＋F 2|＝19.答案：199．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈[π6，5π6]．答案：[π6，5π6] 三、解答题(共计40分)10．(10分)用向量的方法证明菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD . 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴|AB →|＝|AD →|，且AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝AD →2－AB →2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .11．(15分)一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：如图所示，分别设风对地的速度，车对地的速度，风对车的速度为V 风地，V 车地，V 风车，则V 车地＝V 车－V 风地， |V 车|＝|V 2风车|－|V 风地|2＝23，∴|V 车地|＝(23－2)m/s ，又∵∠DAC ＝60°，∴风向为正南方向．12．(15分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求PM →与PN →的夹角的余弦值．解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12. 因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由函数y ＝2sin(πx ＋π6)及其图象，得M (－16，0)，P (13，2)，N (56，0)．所以PM →＝(－12，－2)，PN →＝(12，－2)． 从而cos 〈PM →，PN →〉＝PM →·PN →|PM →||PN →|＝1517.。

一、选择题1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A1B ．221-C ．231-D ．712．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4B ．25C ．325+D ．63．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角4．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．－15．已知非零向量a →，b→夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．B ．2C D6．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC++=D ．ED 在BC 方向上的投影为767．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A B ．1C ．2D ．8．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC=,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB的取值范围是（ ） A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦ C ．1⎤⎦D ．)1,+∞9．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．2,222]+D ．[222,2]-10．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4511．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A ．2BCD 12．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．4二、填空题13．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________14．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．15．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________. 16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 17．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.18．在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．19．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.20．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．在直角坐标系xoy 中，单位圆O 的圆周上两动点A B 、满足60AOB ∠=︒（如图），C 坐标为()1,0，记COA α∠=（1）求点A 与点B 纵坐标差A B y y -的取值范围； （2）求AO CB ⋅的取值范围； 22．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.23．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值. 24．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值 25．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，3,6AB AC ==（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值．26．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数,m n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立. 因此，AP 的最小值为31. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+.2．B解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b-=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a b a a b t b +=+=++22418t t =+=+，所以29832a b a b t -+-=+，利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，≤=，=此时2t =±.则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到22981382a b a b t t -+-+=++，最后利用基本不等式即可解决.3．D解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.4．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0），此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

课时跟踪检测（二十四） 平面向量应用举例层级一 学业水平达标1．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：选D 由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ⎝⎛⎭⎫－1，－73，B ⎝⎛⎭⎫1，13，C ⎝⎛⎭⎫－12，2，D ⎝⎛⎭⎫－72，－2，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选A ∵AB ＝⎝⎛⎭⎫2，83，DC ＝(3,4)， ∴AB ＝23DC ，∴AB ∥DC ，即AB ∥DC . 又|AB |＝4＋649＝103，|DC |＝9＋16＝5， ∴|AB |≠|DC |，∴四边形ABCD 是梯形．4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12AC －AB ， ∴2BD ＝⎝⎛⎭⎫12 AC －AB 2＝142AC －AC ·AB ＋2AB ， 即142AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 5．已知△ABC 满足2AB ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：选C 由题意得，AB 2＝AB ·AC ＋AB ·CB ＋CA ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＋CA ·CB ＝AB 2＋CA ·CB ， ∴CA ·CB ＝0，∴CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形．6．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功是________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：17．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.解析： 如图，由题意，得∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC |＝10，则|OA |＝|OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：108．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－52.答案：－529．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明：如图，以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )，D ⎝⎛⎭⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2， CE ＝⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 所以AD ·CE ＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0， 所以AD ⊥CE ，即AD ⊥CE .10．已知点A(2，－1)．求过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程．解：设所求直线上任意一点P(x，y)，则AP＝(x－2，y＋1)．由题意知AP∥a，故5(y＋1)－(x－2)＝0，即x－5y－7＝0.故过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程为x－5y－7＝0.层级二应试能力达标1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10 m/s B．226 m/sC．4 6 m/s D．12 m/s解析：选B设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝v2－2v·v1＋v21＝226(m/s)．2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BD＝12BC，则AD·BD的值为()A．－52 B.52C．－54 D.54解析：选C因为BD＝12BC，所以点D是BC的中点，则AD＝12(AB＋AC)，BD＝12BC＝12(AC－AB)，所以AD·BD＝12(AB＋AC)·12(AC－AB)＝14(2AC－2AB)＝14(22－32)＝－54，选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是()A. 2 B．2C．0 D．1解析：选A∵AF＝AD＋DF，AB·AF＝AB·(AD＋DF)＝AB·AD＋AB·DF＝AB·DF＝2|DF|＝2，∴|DF|＝1，|CF|＝2－1，∴AE·BF＝(AB＋BE)·(BC＋CF)＝AB·CF＋BE·BC＝－2(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A.4.如图，设P 为△ABC 内一点，且2PA ＋2PB ＋PC ＝0，则S △ABP ∶S △ABC ＝( )A.15B.25C.14D.13解析：选A 设AB 的中点是D . ∵PA ＋PB ＝2PD ＝－12PC ， ∴PD ＝－14PC ， ∴P 为CD 的五等分点，∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的15. 5．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，则△ABC 的形状为________．解析：(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝(AB －AC )·(OB －OA ＋OC －OA )＝(AB －AC )·(AB ＋AC )＝|AB |2－|AC |2＝0，∴|AB |＝|AC |.答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．解析：物体m 的位移大小为|s |＝2sin 37°＝103(m)， 则支持力对物体m 所做的功为W 1＝F·s ＝|F ||s |cos 90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G ·s ＝|G ||s |cos 53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)． 答案：0 987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ，其中|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°；|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°；|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，求合力F 所做的功．解：以O 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3,33)，所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,2＋43)．又位移s ＝(42，42)，故合力F 所做的功为W ＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×4 2＝42×6 3＝246(J)．即合力F 所做的功为24 6 J.8.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ；(2)求证：A ，G ，C 三点共线．解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ， DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：因为D ，G ，F 三点共线，则DG ＝λDF ， 即AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b . 因为B ，G ，E 三点共线，则BG ＝μBE ， 即AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ， 由平面向量基本定理知⎩⎨⎧ 12λ＝1－μ，1－λ＝12μ， 解得λ＝μ＝23， ∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ， 所以A ，G ，C 三点共线．。

温馨提示：
此套题为版，请按住,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭文档返回原板块。

课时提升作业(二十四)
平面向量应用举例
一、选择题(每小题分，共分)
.(·温州高一检测)在△中，若·，则△是( )
.锐角三角形.钝角三角形
.直角三角形 .等腰直角三角形
【解析】选.因为·，
所以·()，
所以·，所以⊥，
所以∠是直角，△是直角三角形.
【变式训练】在四边形中，，，，则四边形的形状是( ) .矩形 .平行四边形
.梯形 .以上都不对
【解析】选.由已知
()，
所以∥，又与不平行，即∥，不平行，所以四边形是梯形.
.已知△的三个顶点，，及平面内一点满足，则点与△的关系为( )
在△内部
在△外部
在边所在直线上
是边的一个三等分点
【解析】选.因为，
所以，
所以，
所以是边的一个三等分点.
.(·济宁高一检测)如图，，，，分别是任意四边形各边的中点，若
，则四边形必是( )
.正方形.梯形
.菱形 .矩形
【解析】选.连接，，因为，，，分别是四边形各边的中点，所。

课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例一、选择题1．若向量1OF ＝(1,1)，2OF ＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5C. 5D.15 答案：C2．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 答案：A3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N 答案：B4．已知△ABC 满足AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案：C5．△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB D ．AC 答案：B 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________.答案：－528．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案：10 三、解答题9．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2， 所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2， 所以e ·(c －d )＝0.因为BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，所以AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0，所以AD ⊥BC ，即AD ⊥BC .10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解：如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°， 则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G |＝100，① 且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°.② 由①②解得|F a |＝1502－506， ∴A 处所受力的大小为(1502－506) N.11.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ； (2)求证：A ，G ，C 三点共线． 解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ，DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：D ，G ，F 三点共线， 则DG ＝λDF ，AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .B ，G ，E 三点共线，则BG ＝μBE ，AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ，所以A ，G ，C 三点共线．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

课后提升作业二十四平面向量应用举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90°时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10NC.20ND.10N【解析】选B.|F1|=|F2|=|F|cos45°=10,当θ=120°,由平行四边形法则知:|F合|=|F1|=|F2|=10N.2.共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为( )A.lg2B.lg5C.1D.2【解析】选D.因为F1+F2=(1,2lg2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg2)·(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.3.(2016·杭州高一检测)在△ABC中,若·+=0,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为·+=0,所以·(+)=0,所以·=0,所以⊥,所以∠BAC是直角,△ABC是直角三角形.【补偿训练】已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.·+·=·(-)=·(+)=,又=·+·+·,所以=+·,即·=0,从而⊥.4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足++=,则点P与△ABC的关系为( )A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点【解析】选D.因为++=,所以++=-,所以=-2=2,所以P是AC边的一个三等分点.5.(2016·合肥高一检测)已知,是非零向量且满足(-2)⊥,(-2)⊥,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选D.因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·,因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·,所以=,所以||=||,因为=2·=2·cosA,所以2cosA=1,cosA=,∠A=60°,所以△ABC是等边三角形.6.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. B.2 C.5 D.10【解析】选C.因为·=0,所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S=||||=××2=5.7.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1)且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为( )A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)【解析】选A.f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力f的终点为P(x,y),则=+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).8.在△ABC中,·=7,|-|=6,则△ABC面积的最大值为( )A.24B.16C.12D.8【解析】选C.设A,B,C所对边分别为a,b,c,由·=7,|-|=6,得bccosA=7,a=6 ①,S△ABC=bcsinA=bc=bc=,由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=36 ②,由①②消掉cosA得b2+c2=50,因为b2+c2≥2bc,所以bc≤25,当且仅当b=c=5时取等号,所以S△ABC=≤12,故△ABC的面积的最大值为12.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且|AB|=,则·= .【解析】由题意知,△ABC为等边三角形,则·=××cos120°=-.答案:-10.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为.【解析】设两根绳子的拉力分别为F1,F2,灯具的重力为F3,则|F1|=|F2|,|F3|=10,由题意知F1+F2+F3=0,则F3=-(F1+F2),由=+2F1·F2+得,|F1|2=100,从而|F1|=10.答案:10N三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016·洛阳高一检测)平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.(1)求x与y间的关系.(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,即x+2y=0 ①(2)由题意得=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3),因为⊥,所以·=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2+4x-2y-15=0 ②由①②得或当时,=(8,0),=(0,-4),则S四边形ABCD=||||=16,当时,=(0,4),=(-8,0),则S四边形ABCD=||||=16,所以或四边形ABCD的面积为16.12.如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A 为中点,问与的夹角θ取何值时,·的值最大,并求出这个最大值.【解题指南】以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设出点B,C的坐标,根据数量积公式的坐标表示,写出·关于与的夹角θ的函数关系式,利用函数的知识求解.【解析】以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=c,AC=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且PQ=2a,BC=a,设点P(x,y),则Q(-x,-y),所以=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y),所以·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.所以cosθ==,所以cx-by=a2cosθ,所以·= -a2+ a2cosθ,故当cosθ=1,即θ=0时,·最大,其最大值为0.【能力挑战题】如图,用两条同样长的绳子拉一物体,物体受到重力为G.两绳受到的拉力分别为F1,F2,夹角为θ.(1)求其中一根绳子受的拉力|F1|与|G|的关系式,用数学观点分析F1的大小与夹角θ的关系.(2)求F1的最小值.(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|,求θ的取值范围.【解析】(1)由力的平衡得F1+F2+G=0,设F1,F2的合力为F,则F=-G.由F1+F2=F且|F1|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得cos=,所以|F1|=,0°≤θ≤180°,由于函数y=cos在0°≤θ≤180°时为减函数,所以θ逐渐增大时,cos逐渐减小,即逐渐增大.所以θ增大时,|F1|也增大.(2)由上述可知,当θ=0°时,|F1|有最小值为.(3)由题意,≤|F1|≤|G|,所以≤≤1,即≤cos≤1.由于y=cosθ在0°≤θ≤180°时为减函数,所以0°≤≤60°,所以0°≤θ≤120°.关闭Word文档返回原板块。