《直角三角形三边的关系》课件

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直角三角形的三边关系ppt

数学上可以说明： c b 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 a 为a、b，斜边为c，那么一定有 • a2+b2=c2 • 这种关系我们称为勾股定理 • 勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
• ∟
勾股定理
a b c
2 2
2
b
a
c 2 2 2 2 2 a c b ， a c b 2 2 2 2 2 b c a ，b c a 2 2 2 2 2 c a b ，c a b
a b c
5
3 4 5
10 15 20 — 5n 5 7 9 11 — 12 24 40 60 — 13 25 41 61 —
从表1、2中你发现了什么规律？你能根据发现的规律写出的更多的勾股数吗？
勾股定理
9周四作业：（P55）习题14.1 2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝90°， AC＝13cm，ＢＣ＝5 cm,求ＡＢ的长． 3. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．
40 30
思考
勾股定理
是不是所有的三角形的三边都符合勾股定理？如果不是，那么勾股定理是针对哪一类三角形而言的 ?
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
实际应用勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
10
解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=10米，BC=24米，利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 AC ＋ AB = 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米.
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：

《三角形三边之间的关系》优质课件

特殊三角形性质
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等；三线合一（底边上的中线、高线和顶角的平分线互相
重合）。
等边三角形性质
三边相等，三个内角都等于60°；三线合一（任意一边上的中线、高线和这边
所对角的平分线互相重合）。
直角三角形性质
有一个角为90°的三角形；勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于
特殊性质
等腰三角形具有轴对称性，即关于底边上的高（也是中线）对称。
直角三角形三边关系
直角三角形的定义
有一个角为90度的三角形。
三边关系
在直角三角形中，最长的边称为斜边，其余两边称为直角边。斜边的平方等于两直角边的平方和，即勾股定理。
特殊性质
直角三角形具有多种特殊性质和定理，如射影定理、正弦定理、余弦定理等，这些性质和定理在解决三角形问题中具有重要的应用价值。
01
任意两边之差小于第三边。
几何意义
02
确保三条线段不仅可以围成一个封闭的图形，而且是一个合理
的三角形，避免出现过于扁平或拉长的形状。
验证方法
03
同样通过测量或计算三角形的三条边长，验证是否满足两边之
差小于第三边的条件。
等腰三角形三边关系
等腰三角形的定义
有两条边长度相等的三角形。
三边关系
在等腰三角形中，两条相等的边称为腰，第三条边称为底。腰与腰之间的夹，两个内角相等。相对于等边三角形，等腰三角形的稳定性稍差，但在一定范围内仍能保持其形状和尺寸稳定。
不等边三角形不等边三角形的三边长度均不相等，三个内角也不相等。相对于等边三角形和等腰三角形，不等边三角形的稳定性最差，容易受到外力作用而发生改变。
实际应用举例

直角三角形三边的关系课件

2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
勾股定理的无字证明
赵爽弦图
c b
a
a
①
②
cb
证明：s总=4s1+s2
4*1ab ba2 2
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 。
又可以表示为
4
ab 2
c2．
对比两种表示方法，看看能不能
得到勾股定理的结论．
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
1
(a+b)(a+b) =
(a2+b2)+ ab
21
S梯形 =
2
1
c2 +2 ·
1
ab =
c2+ab
德证法
2
2
2
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
c2 = a2 + b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去
已知 1=S 12,=S3S3,=2S4,=4,S求 5、 S6、 S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7

直角三角形三边的关系(公开课课件)

读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
图1-1
P
Q R
SR
=724×½ ×3×4 =25
把R“补”成边长为7的正方形面积减去4个直角边为3、4的三角形的面积
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Sa+Sb=Sc
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
a
Sa+Sb=Sc
bc
的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则
AB为
A
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120 B
c a
b c
b
a
(ba)241abc2 2
b22a b a22a b c2 a2b2 c2
a
b c
a
c
b
(ab)2 c241ab 2
AC2+BC2=AB2
在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
AR P
CQ B
把R分“割”成4个直角边为1的三角形
SR
=4×½×C 1×1
=2
AR P
CQ B
SR
=22-4×½C ×1× =2
把R“补”成边长为2的正方形面积减去4个小直角三角形的面积

直角三角形的三边关系课件

直角边
直角三角形的直角所对的边称为直角边。
勾股定理
勾股定理是指直角三角形两个较短边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
三边关系
1
正弦定理
正弦定理指的是直角三角形中，任意一角的正弦值与其对边之比等于斜边长与其一定点（垂足上方）到该角对边的距离之比。
2
余弦定理
余弦定理指的是任意一三角形中，任意边平方等于另外两边平方和的2倍减去这两边夹角的余弦倍积。
直角三角形的三边关系
本PPT将为大家介绍直角三角形的三边关系。通过了解其定义、性质以及各种定理，我们将掌握如何求解直角三角形的边长，以及它在实际应用中的作用。
引言
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。它有许多独特的性质，我们将从定义和性质入手，理解直角三角形的基本概念和性质。
定义
斜边直角三角形的斜边是三角中最长的一条边。充分理解直角三角形三边关系定理和应用，并经常练习，这是掌握数学和几何学的必要条件。
3
正切定理
正切定理是指直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边长度除以邻边长度。
例题演练
应用题 I
已知一个直角三角形的直角边和斜边，求另一个直角边的长度。
应用题 II
已知一个角的度数和相对边的长度，求直角边的长度。
总结
1 斜边是直角三角形中最长的一条边。 2 勾股定理是直角三角形的基本定理之一。 3 三边定理包括正弦定理、余弦定理、正切定理。
直角三角形的应用
直角三角形的三边关系在几何学及相关学科中有广泛的应用。在实际生活中，我们也可以通过直角三角形的三条边关系，来计算各种日常问题，如测量家具的尺寸，计算建筑物高度，甚至测量星体距离。
结语

三角形的三边关系课件

本节课知识点总结回顾
三角形的基本概念和性质
01
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的
封闭图形。
三角形三边关系定理
02
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形按边的分类
03
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰
三角形和一般三角形。
学生自我评价报告展示
交通网络优化
三角形的三边关系还可以应用于交通网络的优化。通过分析交通网络中各个节点之间的连接关系，可以合理规划道路布局，提高交通网络的通行效率和便捷性。
其他领域应用举例
机械设计
在机械设计中，三角形的稳定性原理被用于设计各种支撑结构和连接件。例如，三角形的支架可以用于支撑机械部件，确保其稳定性和可靠性。
对于多边形，可以将其划分成若干个三角形，然后利用三角形的三边关系定理来推断多边形的边长关系。
实际应用
在建筑、工程等领域中，经常需要利用三角形的三边关系定理来解决实际问题，如测量距离、设计结构等。同时，对于多边形边长关系的探索也可以为相关领域的研究提供新的思路和方法。
THANK YOU
02
三角形三边关系定理
三角形两边之和大于第三边
对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB
+ AC > BC。
三角形两边之和大于第三边是三角形的基本性质之一，也是判断三条线段能否构成三角形的必要
条件。
若三条线段满足三角形两边之和大于第三边的条件，则它们可以构成一个三角形；反之，则不能。
当两点之间直线距离不可达时，可以通过构造三角形并利用三边关系找到最短路径。

《三角形三边的关系》ppt课件

地图制作在制作地图时，利用三角形不等式原理可以根据已知的距离和角度信息，推算出未知地点的坐标位置。
遥感技术在遥感技术中，三角形不等式可用于处理和分析卫星图像数据，提取地物信息和进行地形分析。
其他领域中的实际应用案例
机器人路径规划
在机器人技术领域，三角形不等式可用于规划机器人的行动路径，确保其以最短距离到达目的地。
通过测量或计算三角形的三条边，验证两边之和是否大于第三边。
三角形两边之差小于第三边
01
02
03
定理内容
在任意三角形中，任意两边之差小于第三边。
几何意义
确保三条边能够形成一个稳定的三角形，避免过长或过短的边导致三角形变形。
验证方法
通过测量或计算三角形的三条边，验证两边之差是否小于第三边。
面积的影响。
面积最大化问题
03
在给定周长或某些边长的条件下，探讨如何使三角形面积最大
化。
面积最大化问题探讨
等周长的三角形面积最大化
对于周长一定的三角形，探讨其面积最大化的条件及求解方法。
等腰三角形的面积最大化
对于等腰三角形，在给定底边和腰长的情况下，探讨其面积最大化的条件及求解方法。
直角三角形面积最大化
三边长度可以求出相似比。
在全等三角形中，已知三边长度可以直接判定两个三角形全等，或者已知两边和夹角可以求出第
三边长度。
通过比较相似三角形或全等三角形的三边长度，可以解决一些与三角形有关的实际问题，如测量、
建筑设计等。
06
三角形不等式在实际问题中的应用
城市规划与建筑设计中的应用
道路设计
在道路规划中，利用三角形不等式原理可以确定最短路径，优化

直角三角形三边的关系1参考课件

52+122=132
在右图(书本 109页做一做)的方格图中，用三角尺化出两条直角边分别为５cm、12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边，并验证刚才得到的直角三角形三边的关系是否成立。
13
12
５ (每一小格代表１平方厘米)
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_____4_9_____cm2。
2、你是通过什么方法得出这一结论的? 通过数格子和割补法求面积
3、这节课体现了哪些数学思想方法? 数形相结合,从特殊到一般.
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子（公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即
在西方又称毕达
勾股定理（gou-gu哥t拉he斯or定e理m)！
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方．
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c a2 b2
a2=c2 － b2
R Q
P
R
图3

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x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
144 81
z
144
X=81+144
2 2
169
Y=169-144 Y=5
625
576
Z=625-576 Z=7
2
X=15
①
②
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、S6、S7的值
S3
S4
S2 S1 S5
S6
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
A
Q
C
R
图2
P的面积 (单位长度 )
Q的面积 (单位长度 )
R的面积 (单位长度 )
9 9
16 4
25 13
B
图3
P
图2
A
R
P
图3
B
Q
C
P、Q、 R面积关系
SP+SQ=SR
BC2+AC2=AB2
直角三角形三边关系
a2=c2
－ห้องสมุดไป่ตู้
b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
例1、在Rt△ABC中，已知∠B=90°， AB=6,BC=8，求AC.
解：根据勾股定理，可得
AB2+BC2=AC2
所以
AC AB2 BC2 62 82 10
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°．（1）已知a＝6， b＝10，求c；（2）已知a＝24， c＝25，求b． 2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?
1602 1282
＝96（米）．答：从点A穿过湖到点B有96米．
练习
1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积与周长．
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?
勾股定理的无字证明
c b a
赵爽弦图
证明：s总=4s1+s2
a c
① ②
b
4*
1 ab 2
1 ab 2
2
b a
2
2
又s总=c2
故4 *
b a c
2 2
2
化简得， a b c
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．
大正方形的面积可以表示为
C2
勾股定理：对于任意的直角三角形，
如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2。
b
c 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a
勾股定理揭示了直角三角
形三边之间的关系
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c a 2 b2
a c 2 b2
14.1 勾股定理
直角三角形三边的关系
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图 1-1 称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦
勾
股
图1-1
活动一

A
观察左图：（1）正方形P的面积是 R （2）正方形Q的面积是 1 1 平方厘米。平方厘米。
S7
例如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B有多远? 解
如图，在直角三角形ＡＢＣ中，
AC＝１６０米，ＢＣ＝１２８米，
根据勾股定理可得ＡＢ＝＝
AC 2 BC 2
P
C
Q B
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米。
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
Sp=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两
直角边的平方和等于斜边的平方
(每一小方格表示1平方厘米)
Q
R
P
图1-3
R
Q P
图1-4
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
Q P
图3
R
R Q P
图4
1 7 4 3 4 2
2
S正方形R
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
做一做：
①在方格图中，画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形， ②再用刻度尺量出斜边长， ③验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？
(a+b)2
。
对比两种表示方法，看看能不能
ab (a+b)2= 4 2 c2 = a2+ b2
C2
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。
1 1 S梯形= (a+b)(a+b) = (a2+b2)+ ab 2 2 1 2 1 1 2 S梯形 = c +2 · ab = c +ab 2 2 2
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 2。正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm 49
C
D
B
A
7cm
例2、如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)
40 A 90 B C
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽菲尔德证法
c2 = a2 + b2
做一做：
A
625 P P的面积 =______________
225 25 AB=__________
BC=__________ AC=__________
C
400
B
20
15
6 2
4 2 X=______
x 62 22 32 4 2
。
1 2 4 ab （b - a）又可以表示为． 2
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
1 2 （b - a） C = 4 ab 2
2
a
2
b
2
c
2
用四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形．
大正方形的面积可以表示为 ab 2 4 c ．又可以表示为 2 得到勾股定理的结论．
作业：p117 1、2、3
40
160
小结：
1、这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) 2、你是通过什么方法得出这一结论的? 通过数格子和割补法求面积 3、这节课体现了哪些数学思想方法? 数形相结合,从特殊到一般.