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7-6 12
例题2
求由方程 x + y + z − 2 x + 2 y − 4 z − 10 = 0
2 2 2
确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值 解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
′ 2 x + 2 z ⋅ z′ x − 2 − 4z x = 0 2 y + 2 z ⋅ z′y + 2 − 4 z′y = 0
B − AC = 0
2
需要其它方法判别
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例题1
求函数的极值 f ( x , y ) = ( x + y ) − 2( x − y )
2 2 2 2 2
f x′ = 4 x ( x 2 + y 2 ) − 4 x f x′ = 0 ′ 2 2 f y′ = 4 y( x + y ) + 4 y f y = 0
2
1 ′ A = z′ , xx | P = 2− z
1 ′ ′ |P = B = z′ C = z′yy , xy | P = 0, 2− z
所以 z = f (1,−1) = 6 为极大值.
7-6 14
求极值的一般步骤
求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
7-6 4
示意图
二元函数的图像一般是一张空间曲面
7-6 5
几个具体例子
例1 函数 z = 3 x 2 + 4 y 2 在 (0,0) 处有极小值． 例２ 函数 z = − x 2 + y 2 在 (0,0) 处有极大值． 例３ 函数 z = xy 在 (0,0) 处无极值．
则可按如下方法求最值： 将函数在区域 D 内的所有驻点处的 函数值及在D的边界上的最大值和最小值 相互比较，其中最大者即为最大值，最 小者即为最小值.
7-6 16
例题3
求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y(4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1.2)(80 + 6 x − 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值. 更一般：给定区域 D 上的二元函数 z=f(x,y) 讨论它的极值和最值问题
7-6 3
二元函数极值的定义
设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) > f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；
求出可能的极值点，再进行判别。
多元函数的最值
求出区域内的极值点和边界上的 极值点，再比较大小。
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例题4
x+ y 在区域{( x , y ) | x + y ≤ 50}上,求 z = 2 x + y2 + 1
2 2
的最大值和最小值.
解 由
( x 2 + y 2 + 1) − 2 x ( x + y ) zx = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1) ( x 2 + y 2 + 1) − 2 y ( x + y ) zy = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1)
f y ( x, y) = 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y 0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步
定出 B
2
− AC 的符号，再判定是否是极值.
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多元函数的最值的求法
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 设函数在有界闭区域 D 上连续，在D内 可微且只有有限个驻点。
解
如图,
先求函数在 D 内的驻点，
y
x+ y=6 D
o x
D
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例题3(续1)
解方程组
f x′ ( x , y ) = 2 xy(4 − x − y ) − x 2 y = 0 2 2 ′ f ( x , y ) = x ( 4 − x − y ) − x y=0 y
得区域 D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) = 4 , 再求 f ( x , y ) 在 D 边界上的最值，
f y ( x 0 , y0 ) = 0 f x ( x0 , y0 ) = 0, f xx ( x0 , y0 ) = A, f xy ( x0 , y0 ) = B , f yy ( x0 , y0 ) = C .
则函数在该点处是否取得极值的条件如下 (1) A < 0 取得极大值 2 1. B − AC < 0 有极值 (2) A > 0 取得极小值 2. B 2 − AC > 0 没有极值 3.
必有
f x ( x0 , y0 ) = 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) = 0 .
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三元函数取得极值的必要条件
推广 如果三元函数 u = f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x0 , y0 , z 0 ) = 0 .
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,−1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
7-6 13
例题2(续)
1 故 B − AC = − < 0 ( z ≠ 2),函数在 P 有极值. 2 (2 − z ) 将 P (1,−1) 代入原方程, 有 z1 = −2, z 2 = 6 , 1 当 z1 = −2 时， A = > 0 , 4 所以 z = f (1,−1) = −2 为极小值； 1 当 z 2 = 6 时， A = − < 0 , 4
2
D
o x
得 x1 = 0, x2 = 4 ⇒ y1 = 6 − x1 = 6, y2 = 6 − x2 = 2,
f (0, 6) = 0, f (4, 2) = −64
比较后可知 f ( 2,1) = 4 为最大值,
f (4,2) = −64 为最小值.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小结
多元函数的(无条件)极值的求法
能取到的最大值 z(5,5)=10/51 能取到的最小值 z(-5,-5)=-10/51 10 10 1 1 < = < 51 50 5 2 比较可知
1 1 ，最小值为 − . 最大值为 2 2
7-6 1
8.6 二元函数的极值和最值
问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 − 5 x + 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 + 6 x − 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 f ( x , y ) =
在边界 x = 0 和 y = 0 上 f ( x , y ) = 0 ,
7-6 18
例题3(续2)
在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x
于是 f ( x , y ) = x ( 6 − x )( −2) ,
2
y
x+ y=6
′ = 4 x ( x − 6) + 2 x = 0 , 由 fx
(1)
(2)
(3)
7-6 6
二元函数取得极值的必要条件
定理 设函数 z = f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数， 且在 点 ( x0 , y0 ) 处有极值， 则它在该点的偏导数必然为 零：
f x ( x 0 , y0 ) = 0，
f y ( x0 , y0 ) = 0 .
2 2 ′′ f xx = 12 x + 4 y − 4 ′′ = 8 xy f xy
⇒
三个驻点
(0, 0),(1, 0),( −1, 0)
2
P = B − AC
2 2 ′′ f yy = 4 x + 12 y + 4 P (0, 0) = 16 (0,0)不是极值点 ′′ (1, 0) = 8 > 0 极小值 P (1, 0) = −64 < 0, f xx ′′ (1, 0) = 8 > 0 极小值 P ( −1, 0) = −64 < 0, f xx
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定理的证明
证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
则对于( x 0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 ) 都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ,
故当 y = y 0 ， x ≠ x 0 时，有 f ( x , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) , 说明一元函数 f ( x , y 0 ) 在 x = x0 处有极大值,
