7.7二元函数的极值和最值

⼆元函数的极值与最值问题
⽬录
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数，求解极值的通法⼀般有两种：
偏导数法
⼆元全微分法
由于偏导数法操作简单，下⾯仅介绍这种⽅法
⼆元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这⼀节。

我们以驻点为圆⼼在xy平⾯上做⼀个圆（就如同在⼀元函数y=f(x)驻点附近找⼀段区间），若当半径⾜够⼩时，f(x0,y0)是该圆形区域的最⼤值或最⼩值， 那么该驻点就是极⼤值点或极⼩值点。

与⼀元函数类似，驻点不⼀点是极值点。

那么我们如何判断极点呢？
⼀个⽐较常规的想法是，让f x在x=x0的两边异号，让f y在y=y0的两边异号，借此来判断函数的极值点。

但有⼀个很明显的错误：
类⽐地理中的鞍部，这个点被称作鞍点。

那么，该怎么做呢，数学家想到了⼀种⽅法——⼆阶偏导法。

令
A=f xx(x0,y0),B=f xy(x0,y0),C=f yy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极⼩值
A×C−B2>0且A<0==>极⼤值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>⽆法确定
⼆元函数最值
最值问题和极值问题相⽐，最⼤的区别就是最值问题可以通过⽐较各点的值来计算。

我们可以通过求出所有极值点甚⾄⾮极值点的值来得出最终的答案。

既然如此，我们可以求出所有可能的点（各偏导等于零的点）并计算得到最终答案。

二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是指具有两个自变量的函数。

对于二元函数，我们常常需要求解其极值与最值，以确定函数的最优解或者关键点。

在这篇文章中，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值问题。

一、定义与概念在开始讨论二元函数的极值与最值之前，我们先来回顾一下相关的定义与概念。

1. 极值：对于一个函数f(x, y)，如果存在一个点P(x0, y0)，使得在点P的某个邻域内，f(x, y)的值不小于（或不大于）任意其他点处的函数值，那么点P即为f(x, y)的极值点。

2. 最大值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不大于一个确定的常数M，那么M即为f(x, y)的最大值。

3. 最小值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不小于一个确定的常数m，那么m即为f(x, y)的最小值。

二、偏导数的定义与计算在求解二元函数的极值与最值问题时，我们可以使用偏导数的概念与方法。

偏导数是多元函数的导数在某一变量上的投影，可以用来衡量函数在某一方向上的变化率。

对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以通过以下方式计算：1. 对于x的偏导数∂f/∂x表示在y值固定的情况下，函数f关于x的变化率。

2. 对于y的偏导数∂f/∂y表示在x值固定的情况下，函数f关于y的变化率。

根据偏导数的定义，我们可以通过计算∂f/∂x和∂f/∂y来找到函数的极值与最值。

三、求解二元函数的极值与最值接下来，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值。

1. 求解极值：为了求解二元函数的极值，我们需要先求出偏导数∂f/∂x和∂f/∂y的值。

然后，我们将偏导数的值置为零，并求解方程组，得到极值点的坐标。

最后，我们将这些点代入原函数，求出相应的函数值，并比较大小，得出极值。

2. 求解最值：求解二元函数的最值也可以通过偏导数的方法来实现。

二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。

二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。

2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。

具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。

2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。

具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。

2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。

具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。

3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。

3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。

计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。

3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。

二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。

在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。

最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。

本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。

一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。

类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。

2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。

通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。

边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。

最值往往出现在函数在 D 的边界上。

极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。

二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。

2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。

通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。

一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。

二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。

对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。

三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。

2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。

对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。

注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函 数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析 】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

二元函数极值的充分条件一、引言在数学中，极值是一个非常重要的概念，它可以帮助我们求解许多实际问题。

在二元函数中，极值也是一个非常重要的概念。

本文将介绍二元函数极值的充分条件。

二、二元函数二元函数是指具有两个自变量的函数，通常用f(x,y)表示。

其中x和y 可以是任意实数。

在平面直角坐标系中，可以将二元函数表示为一个三维曲面。

三、极值在一元函数中，极值分为最大值和最小值。

而在二元函数中，极值则包括最大值、最小值和鞍点（即既不是最大值也不是最小值的点）。

四、局部极值局部极值指的是在某一区域内取得的最大或最小的函数值。

如果一个点处取得了局部极大（或局部极小）的函数值，则这个点被称为局部极大（或局部极小）点。

五、全局极值全局极值指的是在整个定义域内取得的最大或最小的函数值。

如果一个点处取得了全局极大（或全局极小）的函数值，则这个点被称为全局极大（或全局极小）点。

六、二元函数极值的充分条件在一元函数中，我们可以通过求导数来判断极值点。

而在二元函数中，我们需要使用偏导数来判断极值点。

具体地说，如果一个点处的偏导数都为0，则这个点可能是极值点。

七、二元函数的偏导数在二元函数中，我们需要计算两个偏导数：f(x,y)对x的偏导数和f(x,y)对y的偏导数。

具体计算方法如下：1. 对x求偏导：将y视为常量，对x求一阶导数。

2. 对y求偏导：将x视为常量，对y求一阶导数。

八、判断极值点在得到二元函数的偏导数后，我们需要判断哪些点是极值点。

具体步骤如下：1. 求出所有可能的极值点（即使得两个偏导数都为0的点）。

2. 对于每一个可能的极值点，计算它们所在位置处的二阶偏导数矩阵（也称海森矩阵）。

3. 判断该矩阵是否正定或负定。

如果是正定，则该点为局部极小点；如果是负定，则该点为局部极大点；如果不是正定也不是负定，则该点为鞍点。

4. 对于所有的局部极小点和局部极大点，比较它们的函数值，得到全局极小点和全局极大点。

九、海森矩阵海森矩阵是一个二阶矩阵，它的元素为二元函数在某一点处的二阶偏导数。

二元函数求极值的方法二元函数是指具有两个自变量的函数。

在数学中，求二元函数的极值是一种重要的问题。

本文将介绍二元函数求极值的方法，帮助读者了解这一问题的基本原理和具体操作方法。

一、定义二元函数是指一个函数，其自变量有两个，通常用符号(x,y)或者(x,y,z)表示。

我们可以将二元函数看作是平面上的一条曲线，或者空间中的一条曲面。

在这里，我们假设函数是可导的，这样我们可以利用导数来求极值。

二、基本思路求二元函数的极值，需要先求出它的偏导数，然后再根据偏导数的形式来确定函数的最大值和最小值。

具体的方法分为以下几步：1.求解偏导数对于一个二元函数f(x,y)，我们需要先求解偏导数，将其表示为f_x和f_y。

偏导数分别表示在x和y方向上，函数f的变化率。

2.求解驻点将f_x和f_y的值设为0，求出二元函数的驻点。

驻点就是函数在某个点上的导数为0的点，它是函数极值的可能位置。

3.求解二阶导数在求解二元函数极值时，还需要考虑二阶偏导数。

二阶偏导数即求偏导数再次求导得到的结果。

4.判断极值通过对二元函数的偏导数和二阶偏导数进行分析，可以判断出函数的极值。

当f_x,f_y均为0，且二阶偏导数f_xx*f_yy-f_xy^2>0时，函数取得极值。

三、注意事项1.求解二元函数极值的方法有多种，但是需要选择最适合我们自己的方法。

2.在使用求导法时，需要确保函数是可导的，否则可能会得出错误结论。

3.在判断极值时，需要对结果进行验证，确保得出的最值是正确的。

4.在求解复杂的二元函数时，可以采用计算机辅助计算，提高求解的准确性和效率。

四、总结求解二元函数的极值需要明确求解偏导数和二阶偏导数的方法，了解驻点和判断极值的基本理论。

同时，需要多加练习和实践，提高求解二元函数极值的能力和技巧。

只有不断深化理解和提高实践技能，才能更好地掌握这一重要的数学问题。

二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是一个带有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)，其中x和y分别是独立变量。

当我们定义一个函数时，我们通常希望找到函数的最大和最小值等重要信息。

在这篇文章中，我们将探讨二元函数的极值点和最值点，以及如何找到它们。

极值和最值的概念首先，我们需要了解的是“极值”和“最值”的概念。

在微积分中，极值是指在一个函数曲线上的局部最大值或最小值。

具体地说，一个函数在一个点上的导数为零，这个点就是函数的驻点。

如果该点是一个局部最大值或最小值，则它是该函数的一个极值点。

最值是在函数的定义域内找到的最大值或最小值。

二元函数的极值点要找到二元函数的极值点，我们需要找到函数曲面上的局部最大值或最小值。

这意味着我们需要找到函数曲面上的所有可能的驻点。

与一元函数类似，我们可以使用偏导数来找到驻点。

因此，对于二元函数f(x, y)，我们可以用以下公式来计算它的偏导数：∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0这些方程可以帮助我们找到一个或多个可能的驻点。

然而，这些驻点可能是最大值或者最小值，或者它们根本不是。

我们还需要使用二阶偏导数来确定驻点的角色。

如果二阶偏导数是：1. 正的，那么这个点是局部最小值点。

2. 负的，那么这个点是局部最大值点。

3. 0，那么这个点不是极点。

最终，我们将找到所有可能的极值点，以及它们的角色和函数值。

二元函数的最值点要找到二元函数的最大值和最小值，我们要按照以下步骤进行：1. 找到函数曲面上的所有极值点2. 在函数的定义域内找到函数曲面上的所有最大值和最小值。

3. 在找到的所有值中找到全局最大值和最小值。

在这个过程中，我们需要使用一些数学方法来找到最大值和最小值。

最常见的方法是使用拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于最值问题的数学方法。

这个方法的基本思想是，如果一个函数f(x, y)在限制条件g(x, y)下取得最大值或最小值，那么这个点的梯度向量（∇f）和限制条件的梯度向量（∇g）之间应该是平行的。