《数学物理方法》第3章

( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
b 2 4ac A B 4 AB A 2 2 2 2 (d y ) a (d x ) 0 0 4 1 ( a ) 4 a 0 a 0 2 2 x y 双曲型方程 2u 2u 2 2 2 0 0 4 1 1 0 (d y ) (d x ) 0 2 2 x y 椭圆型方程 2 u u a2 2 0 2 4 1 0 0 (dy)2 0 t x 抛物型方程
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
e
( x at ) 2
]
1 2

x at x at

x at
2ase
s 2
ds

( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2

第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。

若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。

(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。

)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。

3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。

阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。

经过补充定义可去奇点b成为F(z)的解析点
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( z b) f ( z) F ( z) lim f ( z ) ( z b) z b
(2)极点 展开式中含有限个负幂项
f ( z)
( n m) lim ( z b) n f ( z ) a m 0 (n m) z b 0 ( n m) z f z n (n 0,1,2, ) 例如： 2
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推论二：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数，而且在D内 某一点a满足：
( n) f1 (a) f 2 (a), f1( n) (a) f 2 (a)(n 1,2,3, )
则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
解析函数的唯一性，是复变函数特有的性质，实变函数则 没有，它提供了解析延拓方法多样性的理论依据.
[ z cosh 易证：
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z]
1
(2n 1)2 2 (n 0,1,2,) 的单极点是0和 4
5
(3)本性奇点 含有(zb)的无限多负幂项(有限个负幂项 , 但无限个负幂项
f ( z ) 不存在. 就不存在极限了) lim z b
如z=0是 e
1 z
1 1 1 k e z ( z 0) k 0 k! z 1 的本性奇点 lim e z z x 0 1 z lim e z x 0 0
1 1 例： 2 2( k 1) 1 z k 0 z
( z 1),
z
是可去奇点
1 1 e k (0 z ), k 0 k! z