实际问题与二次函数(利润问题)

第二十二章二次函数22.3.2 实际问题与二次函数（销售最大利润问题）精选练习答案基础篇一、单选题（共12小题)1．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A．60元B．70元C．80元D．90元【答案】C【解析】设销售该商品每月所获总利润为w，则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．2．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（）A．11元B．12元C．13元D．14元【答案】D【解析】设利润为w，由题意得，每天利润为：w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．故选D．3．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y=10x2﹣100x﹣160B．y=﹣10x2+200x﹣360C．y=x2﹣20x+36D．y=﹣10x2+310x﹣2340【答案】B【分析】根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．【详解】根据题意得：y=（x ﹣2）[50+10（13﹣x ）]整理得：y=﹣10x 2+200x ﹣360．故选：B ．【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．4．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（ ）A ．y =−10x 2+110x +10B ．y =−10x 2+100xC ．y =−10x 2+100x +110D ．y =−10x 2+90x +100【答案】D【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x -9）（100-10x ），y=-10x 2+90x+100．故选：D ．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．5．出售某种文具盒，若每个可获利x 元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】y=x (6-x )=-x 2+6x,x =-2b a =32=3.故选C. 6．在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（ ）A ．1月份B ．2月份C ．5月份D ．7月份【答案】C【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．【详解】设x 月份出售时，每千克售价为y 1元，每千克成本为y 2元，根据图甲设y 1=kx+b ，∴ {3k +b =56k +b =3， ∴ {k =−23b =7， ∴y 1=﹣23x+7，根据图乙设y 2=a （x ﹣6）2+1，∴4=a （3﹣6）2+1，∴a=13，∴y 2=（13x ﹣6）2+1，∵y=y 1﹣y 2，∴y=﹣23x+7﹣[13（x ﹣6）2+1]， ∴y=﹣13x 2+103x ﹣6．∵y=﹣13x 2+103x ﹣6，∴y=﹣13（x ﹣5）2+73．∴当x=5时，y 有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y ＝（x ﹣40）（500﹣10x ）B ．y ＝（x ﹣40）（10x ﹣500）C ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]D ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（50﹣x ）]【答案】C【解析】分析：设销售单价定为每千克x 元,获得利润为y 元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.详解：设销售单价为每千克x 元，此时的销售数量为500−10(x −50)，每千克赚的钱为x −40, 则y =(x −40)[500−10(x −50)].故选C.点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)×销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.8．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x 元，则可列方程为（ ）A ．()()8020088450x x -+=B ．()()4020088450x x -+=C ．()()40200408450x x -+=D ．()()402008450x x -+=【答案】B【解析】利润=售价﹣进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，从而列出方程即可．解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，所以每件售价降价x 元后，利润为每件（40﹣x ）元．每降价1元，每星期可多卖出8件，因为每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，现在的销量为(200+8x )．根据题意得：（40﹣x ）×(200+8x ) =8450.故选B ．点睛：本题主要考查列一元二次方程解决实际问题.解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程.9．某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为2242956y x x =-++，则获利最多为( )．A ．3144B ．3100C ．144D ．2956【答案】B【解析】试题解析：利润y (元)与销售的单价x (元)之间的关系为2242956y x x =-++， 2(12)3100.y x ∴=--+∵−1<0∴当x =12元时，y 最大为3100元，故选B.10．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（ ）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月【答案】D【分析】知道利润y 和月份n 之间函数关系式，求利润y 大于0时x 的取值．【详解】由题意知，利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n -24，∴y=-（n -2）（n -12），当n=1时，y ＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，故停产的月份是1月、2月、12月．故选：D ．【点睛】考查二次函数的实际应用，判断二次函数y ＞0、y=0、y ＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x 轴的交点，结合开口分析，进行判断．11．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )A ．5000元B ．8000元C ．9000元D ．10000元 【答案】C【解析】设单价定为x ，总利润为W ，则可得销量为：500-10（x -100），单件利润为：（x -90），由题意得，W=（x -90）[500-10（x -100）]=-10x2+2400x -135000=-10（x -120）2+9000，故可得当x=120时，W 取得最大，为9000元，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W 关于x 的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．12．（2019·黑龙江中考真题）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.A ．20%；B ．40%；C ．18%；D ．36%. 【答案】A【分析】可设降价的百分率为x ，第一次降价后的价格为()251x -，第一次降价后的价格为()2251x -，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为()225116x -= 解方程得115x =，295x =（舍） ∴每次降价得百分率为20%故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.二、填空题（共5小题)13．（2018·北京101中学初三月考）数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x （x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x 的式子表示）.【答案】 2x +400 −2x 2+520x −24000【解析】分析：运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式． 详解：设月销量y 与x 的关系式为y=kx+b ，由题意得，{100k +b ＝200110k +b ＝180， 解得{k ＝−2b ＝400 . 则y=-2x+400；由题意得，y=（x -60）（-2x+400）=-2x 2+520x -24000点睛：本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 14．某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件．经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件．若该商品想要平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x 元，可列方程为_________．【答案】(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⨯= ⎪⎝⎭【解析】利润=单件利润⨯数量，本题中，单件利润=售价-成本单价 (50)30x =--提升篇5030x =--． 数量100205x =+⨯． ∴利润为1400时，单价利润⨯数量1400=，得到(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⋅= ⎪⎝⎭． 15．（2008·吉林中考真题）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.【答案】70【解析】解：设销售单价定为每千克x 元，获得利润为y 元，则：y=（x -40）[500-（x -50）×10]，=（x -40）（1000-10x ），=-10x 2+1400x -40000，=-10（x -70）2+9000，∴当x=70时，利润最大为9000元．16．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件，当x=____时才能使利润最大．【答案】70【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【详解】解：设获得的利润为w 元，由题意可得，w=（x ﹣40）（100﹣x ）=﹣（x ﹣70）2+900，∴当x=70时，w 取得最大值，故答案是：70．【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日提高____元可获最大利润。

实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。

22.3.2实际问题与二次函数------最大利润问题一、教学目标：1、知识与技能：通过探究实际问题与二次函数关系,能用配方法或公式法求二次函数最值，并由自变量的取值范围确定实际问题的最值。

2、过程与方法：（1）、通过研究生活中实际问题,体会建立数学建模的思想. （2）、通过学习和探究“销售利润”问题,渗透转化及分类的数学思想方法.3、情感态度：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际,让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣。

二、学情分析：学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质,学习了列代数式,列方程解应用题,这些内容的学习为本节课奠定了基础,使学生具备了一定的建模能力,但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的运用知识,对学生来说要完成这一建模过程难度较大。

三、教学重难点：教学重点：1、理解数学建模的基本思想,能从实际问题中抽象出二次函数的数学模型。

2、能根据实际问题，确立二次函数解析式，并用配方法或公式法求最值教学难点：从实际情景中抽象出函数模型。

四、教学过程：【活动1】小视频导入本节课的探究内容：某运动服的进价为每套40元,售价是每套60元时，每星期可卖出300套,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10套,每降价1元,每星期可多卖出20套,问：如何定价才能使利润最大?(设计说明:教师通过小视频将这个实际问题呈现给学生，但本问题是一道较复杂的市场营销问题,不能直接建立函数模型,需要分类讨论,初中学生分类讨论的思想较薄弱,这给解题造成了障碍,造成学习上的困难，因此，并没有马上去处理这个问题而是先进行一下知识储备。

)【活动2】小组合作探究解决自主学习中存在的问题：1、与利润有关的几个等式：（1）总价、单价、数量的关系；（2）单件利润、售价、进价的关系；（3）总利润、单件利润、数量的关系。

2、如何求2(0)y ax bx c a=++≠的最值？你有几种方法？3、二次函数2=-+的对称轴是直线，顶点坐标是y x2(3)5当x= 时，y有最值，是。

初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。