【精品】2016年浙江省金华市义乌市宾王中学九年级上学期期中数学试卷带解析答案

一、选择题1．有四根长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，并将它们首尾相连，能组成三角形的概率为（ ） A ．14B ．23 C ．34D ．122．连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为（ ） A ．136B ．118C ．112D ．193．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V ”或，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V ”数的概率为（）A ．16B ．15C ．13D ．194．从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花1，2，3，背面朝上搅匀后先抽取一张点数记为a ，放回搅匀再抽取一张点数记为b ，则点(),a b 在直线1y x =-上的概率是（ ）A ．13B ．16C ．29D ．595．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．12或146．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为2120x x m -+=的两根，则m 的值为（ ） A ．32B ．36C ．32或36D ．不存在7．若关于x 的方程2210ax ax -+=的一个根是1-，则a 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．13-D ．3-8．一元二次方程2x ＝﹣3x 的根是（ ） A ．x ＝﹣3B ．x ＝0C ．1x ＝0，2x ＝﹣3D ．1x ＝0，2x ＝3 9．正方形具有而矩形没有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．每条对角线平分一组对角C ．对角线相等D ．对边相等10．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）A ．60AOB ∠=︒ B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC =11．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（ ）A ．6B ．7C ．3D ．512．□ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD 是菱形，那么这个条件可以是（ ） A ．AB=CDB ．AC=BDC ．AC ⊥BDD ．AB ⊥BD二、填空题13．从“武汉加油！中国加油！”这句励志句中任选一个汉字，这个字是“油”的概率是___________．14．布袋中有2个红球．3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是__________．15．如图，有一块长21,m 宽10m 的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为290m ．设人行通道的宽度为xm ，根据题意可列方程：_______________________．16．用换元法解方程时1321x x x x -=--，设1x y x-=，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为______．17．关于x 的方程21090x x ++=的实数根为______．18．如图，Rt∆ABC 中，90ABC ∠=︒，30A ∠=︒，点D ，E ，F 分别是线段AC ，AB ，DC 的中点，下列结论： ①EFB ∆为等边三角形； ②12ACB DFBES S ∆=四边形； ③3AE DF =； ④8AC DG =； 其中正确的是_______．19．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA 1A 2A 3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA 1、A 1A 2、A 2A 3、A 3A 4…的圆心依次是B 、C 、D 、A 循环，则点A 18的坐标是______________．20．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D (4，1)在AB 边上，把△CDB 绕点C 旋转90°，点D 的对应点为点D ′，则OD ′的长为_________．三、解答题21．为弘扬中华传统文化，某初中初三年级举办了“国学经典大赛”．比赛项目：A ．宋词；B ．论语；C ．唐诗；D ．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小明参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率是多少？ （2）小芳和小华组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则如下：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．22．“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别 成绩x 分 频数（人数）第1组 5060x ≤< 6 第2组 6070x ≤< 8 第3组 7080x ≤< 14 第4组 8090x ≤< a 第5组90100x ≤<10请结合图表完成下列各题：（1）①表中a 的值为_________，中位数在第_________组：②频数分布直方图补充完整；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率． 23．解方程：（1）22150x x --=； （2）()()421321x x x +=+24．已知：关于x 的方程220x kx k ++-=．（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若6k =，请解此方程．25．如图一，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =1，BC =5，对角线AC ，BD 相交于O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．（所需图形须在备用图中画出）（1）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等； （2）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；（3）在旋转过程中，当EF ⊥BD ，旋转的角度小于180°时，求出此时绕点O 顺时针旋转的度数．26．如图，在长方形ABCD 中，6AB CD cm ==，BC 10cm =，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：（1）PCcm ．（用t 的代数式表示）（2）当t 为何值时，ABP DCP ≅？（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以v cm /秒的速度沿CD 向点D 运动，当点P 到达C 点或点Q 到达D 点时，P 、Q 运动停止，是否存在这样v 的值，使得ABP △与PQC △全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可．【详解】解：2cm、3cm、4cm、5cm的根木棒中，共有以下4种组合：2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；其中共有以下方案可组成三角形：①取2cm，3cm，4cm；由于4﹣2＜3＜4+2，能构成三角形；②取2cm，4cm，5cm；由于5﹣2＜4＜5+2，能构成三角形；③取3cm，4cm，5cm；由于5﹣3＜4＜5+3，能构成三角形；所以有3种方案符合要求．故能组成三角形的概率是P=3 4故答案选：C【点睛】本题考查了三角形的三边关系和概率公式，正确找到所有组成三角形的情况是解题的关键．2．C解析：C【分析】列举出所有情况，看点数之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：如图所示：4的情况为13，22，31共3种，于是P （点数之和等于4）=31=3612． 故选：C ． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，由于两次实验出现的情况较多，用列表法较好．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．C解析：C 【分析】首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为2163=， 故选：C ． 【点睛】本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．4．C解析：C 【分析】首先列出表格即可求得所有等可能的结果与点(a ，b)在直线1y x =- 上的情况，然后利用概率公式求解即可； 【详解】 列表格为：其中点(a ，b)在直线 上的情况有：由列表可知，一共有种等可能的结果，其中点，在直线上的情况有种，所以点(a ，b)在直线1y x =- 上的概率为29； 故选：C ． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．B解析：B 【分析】用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长. 【详解】∵212350x x -+=， ∴（x-7）(x-5)=0, ∴x=7或x=5； 当x=7时, 3+4=7， ∴三角形不存在； 当x=5时, 3+4＞5， ∴三角形存在，∴三角形的周长为3+4+5=12； 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判断三角形的存在性是解题的关键.6．B解析：B 【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可． 【详解】 分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a ， 依题意得：a+4=12， 解得：a=8，即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去； ②底边为4，设腰长为b ，依题意得：b+b=12， ∴腰长为b=6， 即三边为4，6，6， ∴m=6×6=36； 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，掌握根与系数的关系并能进行分类讨论是解此题的关键．涉及等腰三角形的问题容易漏解或多解，要特别注意．7．C解析：C 【分析】根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a 的方程求解即可. 【详解】∵x 的方程2210ax ax -+=的一个根是1-， ∴2(-1)2(-1)10a a ⨯-⨯⨯+=， 解得 a=13-， 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键.8．C解析：C 【分析】移项，利用因式分解求解即可. 【详解】 解：∵2x ＝﹣3x ， 移项，得2x +3x ＝0，分解因式，得 x （x+3）＝0， ∴x ＝0，或x+3＝0， 解得1x ＝0，2x ＝﹣3，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.9．B解析：B 【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直． 【详解】解：A 、正方形和矩形对角线都互相平分，故A 不符合题意，B 、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B 符合题意，C 、正方形和矩形对角线都相等，故C 不符合题意，D 、正方形和矩形的对边都相等，故D 不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．10．B解析：B 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可． 【详解】∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD = ∴四边形ABCD 是平行四边形若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意； 若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意； 若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意； 若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意； 故选B ． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．11．C解析：C 【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】 ∵AB ⊥AF ， ∴∠FAB=90°， ∵点D 是BC 的中点， ∴AD=BD=12BC=4，∴∠DAB=∠B，∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∵∠AEB=2∠B，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=AD=4，∵，EF⊥AF，∴==3，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】解：A. AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意；B. AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意；C. AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意；D. AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据概率的求法找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【详解】解：∵在武汉加油！中国加油！这8个字中油字有2个∴这句话中任选一个汉字这个字是油的概率是故答解析：1 4【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵在“武汉加油！中国加油！”这8个字中，“油”字有2个，∴这句话中任选一个汉字，这个字是“油”的概率是21=84， 故答案为：14． 【点睛】 本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 14．【分析】直接根据概率公式求解【详解】∵袋中有2个红球3个黄球共有5个球∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是故答案为：【点睛】本题考查了概率公式随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有 解析：35【分析】直接根据概率公式求解．【详解】∵袋中有2个红球、3个黄球，共有5个球，∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是35． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 15．【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为长为∴；故答案是【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用准确分析列方程是解题的关键解析：()()21310290x x --=【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为()102xm -，长为()213x m -，∴()()21310290x x --=；故答案是()()21310290x x --=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 16．【分析】将代入得出再化为一般形式即可【详解】根据题意原方程可化为故答案为：【点睛】本题考查利用换元法解分式方程正确的换元是解题的关键 解析：2230y y +-=【分析】 将1x y x-=代入得出32y y =-，再化为一般形式即可． 【详解】 根据题意原方程可化为32y y =-， 232y y =-，2230y y +-=．故答案为：2230y y +-=．【点睛】本题考查利用换元法解分式方程．正确的换元是解题的关键． 17．【分析】利用因式分解法解方程【详解】解：（x+1）（x+9）=0∴x+1=0x+9=0∴故答案为:【点睛】此题考查解一元二次方程掌握解方程的方法：直接开平方法公式法配方法因式分解法根据每个一元二次方解析：11x =-，29x =-【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：21090x x ++=（x+1）（x+9）=0∴x+1=0，x+9=0，∴11x =-，29x =-．故答案为: 11x =-，29x =-．【点睛】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．18．①②③④【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定定理即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积即可判断②；先推出BF=AE 结合含30°角的直角三角形的性质即可判断③； 解析：①②③④【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边三角形的判定定理，即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积，即可判断②；先推出BF=AE ，结合含30°角的直角三角形的性质，即可判断③；根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可判断④．【详解】①在Rt ABC ∆中，D 是AC 中点，∴DB=DC=AD ，∵DB=AD ，∴30A DBA ∠=∠=︒，∴60CDB ∠=︒，∴CDB ∆为等边三角形，∵F 是DC 中点，∴BF 是CBD ∠角平分线，BF 是DC 的垂线，∴30DBF FBC ∠=∠=︒，∴60FBE FBG DBA ∠=∠+∠=︒，∴∠AFB=180°-60°-30°=90°，在Rt AFB ∆中，E 是AB 中点，∴EF=AE=BE ，又∵60FBE ∠=︒∴FBE ∆为等边三角形，故①正确；②E 是AB 中点 ∴12DEB ABD S S ∆∆=F 是DC 中点 ∴12DFB BDC S S ∆∆= ∴()1122DEB DFB ABD BDC ABC DFBF S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形，故②正确； ∵30A ∠=︒，90DEA ∠=︒， ∴12BF AB AE ==， 又∵30DBF ∠=︒，90BFA ∠=︒， ∴BF =，即AE =，故③正确；④∵90DEA ∠=︒，60FEB =︒∠，∴30DEG ∠=︒，又60∠=︒EDB ，∴2DG=DE ，在Rt DEA ∆中，30A ∠=︒，2DE=ADAC=2AD=4DE=8DG ，故④正确．故答案是：①②③④．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键.19．(－371)【分析】先求出A1（-1-3）A2（-51）A3（17）A4（9-1）再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1二象限纵坐标都为1三象限横坐标都为-1四象限纵坐标都为-1；相解析：(－37，1)【分析】先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A18的坐标．【详解】正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．AB=1-（-1）=2，A1与B平行y轴，A1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A1（-1，-3）CA1=1-（-3）=4，A2与C平行x轴，A2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A2（-5，1）DA2=1-（-5）=6，A3与D平行y轴，A3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A3（1,7）AA3=7-（-1）=8，A4与A平行x轴，A4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A4（9，-1）A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，相应变化的坐标一周差8，18÷4=4…2，A18在第二象限，4×8=32，四周差32，A18的横坐标为：-5-4×8=-37，A18（-37，1），故答案为：（-37，1）．【点睛】本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．20．3或【分析】由题意可分为逆时针旋转和顺时针旋转进行分析分别求出点OD′的长即可得到答案【详解】解：因为点D（41）在边AB上所以AB=BC=4BD=4-1=3；（1）若把△CDB顺时针旋转90°则点解析：3【分析】由题意，可分为逆时针旋转和顺时针旋转进行分析，分别求出点OD′的长，即可得到答案．【详解】解：因为点D（4，1）在边AB上，所以AB=BC=4，BD=4-1=3；（1）若把△CDB顺时针旋转90°，则点D′在x轴上，OD′=BD=3，所以D′（-3，0）；∴3OD'=；（2）若把△CDB逆时针旋转90°，则点D′到x轴的距离为8，到y轴的距离为3，所以D′（3，8），∴223873OD'=+=故答案为：373【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化——旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．三、解答题21．（1）14；（2）112【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）根据题意，恰好抽中“唐诗”的概率是14；（2）根据题意，树状图如下所示：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共12种，这些结果出现的可能性相等，小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的结果只有1种，所以概率是112． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 22．（1）12；3；补充的频数分布直方图见解析；（2）44%；（3）13【分析】（1）①根据题意和表中的数据可以求得a 的值；②将5个组的人数从小到大排序，处于中间位置的数即为中位数；③由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；（2）根据表格中的数据和测试成绩不低于80分为优秀，可以求得优秀率；（3）根据题意画树状图可以求得所有的可能性，从而可以得到小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．【详解】解：（1）①由题意和表格，可得： 5068141012a =----=，故答案为：12；成绩的中位数是第25和第26的平均数，且前三组人数和为28人∴中位数处于第3组，故答案为：3；②补充完整的频数分布直方图如下图所示：（2）∵测试成绩不低于80分为优秀，∴本次测试的优秀率是：1210100%44%50+⨯=；（3）用A 表示小明，B 表示小强，C 、D 表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：从上图可知共有12种等可能情况，小明与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小明与小强两名男同学分在同一组的概率是P =412=13． 【点睛】此题主要考查频数分布直方图及概率的求解，解题的关键是熟知统计调查的知识及树状图的画法．23．（1）13x =-，25x =；（2）112x =-，234x = 【分析】（1）运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）22150x x --=， ()()530-+=x x ，30x +=，50x -=，∴13x =-，25x =．（2）()()421321x x x +=+()()4213210x x x +-+=，()()21430x x +-=，210x +=或430x -=， 所以112x =-，234x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 24．（1）证明见解析；（2）135x =-235x =-【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案；（2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案．【详解】（1）∵2224(2)48(2)40k k k k k ∆=--=-+=-+>∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）当6k =时，原方程为：2640x x ++=，∴2695 x x++=∴()235x+=∴35x=-±∴135x=-+，235x=--．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式性质，从而完成求解．25．（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FAO=∠ECO，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE；（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（3）根据（1）的结论可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．【详解】解：（1）如图一∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF=EC，∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．（2）如备用图一：证明：∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°．∵∠AOF =90°，∴∠BAC =∠AOF ，∴AB ∥EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴四边形ABEF 是平行四边形．（3）如备用图二：在Rt △ABC 中，AC 22BC AB -．∵AO =OC ，∴AO =1=AB ．∵∠BAO =90°，∴∠AOB =45°∵EF ⊥BD ，∴∠BOF =90°，∴∠AOF =45°，即AC 绕点O 顺时针旋转45°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.26．（1）102PC t =-；（2）t=2.5，理由见解析；（3）存在，v=2.4或者v=2.【分析】(1)根据S=vt 计算线段BP=2t ，利用BP+PC=BC 求PC 即可；(2)根据三角形全等，得BP=PC=5，所以t=52秒； (3)分BP CQ =和BA CQ =两种情形讨论求解.【详解】（1）点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，点P 的运动时间为t 秒， ∴2BP t =，∴102PC t =-．（2）当 2.5t =时，ABP DCP ≅. 理由：当 2.5t =时， 2.525BP =⨯=∴1055PC =-=在ABP △和DCP 中90AB DC B C BP CP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ABP DCP SAS ≅；（3）①当BP CQ =时，AB PC =时，ABP DCP ≅；6AB =，∴6PC =，∴1064BP =-=，∴24t =，解得2t =，∴4CQ BP ==，所以24v = ，2v =；②当BA CQ =， PB PC =时，ABP DCP ≅； PB PC =， ∴152PB PC BC ===， ∴25t =，解得 2.5t =，6CQ BA ==，解得 2.4v =；综上所述，当 2.4v =或者2v =时ABP △与DCP .【点睛】本题考查了矩形中的动点问题，熟练掌握三角形全等，灵活运用分类思想是解题的关键.。

九年级上期期中测试数学试题满分：100分 考试时间：90分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 二次函数3)1(2+--=x y 的图象的顶点坐标是 （ ▲ ）A.（-1，3）B.（1，3）C.（-1，-3）D.（1，-3）2．已知⊙O 的半径为cm 2,弦AB 长为cm 32,则圆心到这条弦的距离为 （ ▲ ）A . 1 B. 2 C. 3 D. 43.如图所示，电路图上有A 、B 、C 三个开关和一个小灯泡，闭合开关C 或者同时闭合开关A 、B ，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ▲ ） (A)13 （B ）12 （C ）14 （D ）234．如图，AB 和CD 都是⊙O 的直径，∠AOC=52°，则∠C 的度数是（ ▲ ） A ．22° B．26° C．38° D．48°5．下列关于抛物线122++=x x y 的说法中正确的是 ( ▲ )A.开口向下B.对称轴方程为x=1C.与x 轴有两个交点D.顶点坐标为(－1，0) 6．当0＜a 时，抛物线1222+++=a ax x y 的顶点在 ( ▲ )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7．已知二次函数k x x y ++-=422(其中k 为常数),分别取98.099.021=-=x x 、、99.03=x ,那么对应的函数值为321,,y y y 中，最大的为( ▲ )A.3yB. 2yC.1yD.不能确定，与k 的取值有关8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成2个和3个扇形， 每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘， 转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（▲ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 9．一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是 （ ▲ ）A ．1.5cmB ．7.5cmC ．1.5cm 或7.5cmD ．3cm 或15cmA10．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（ ▲ ） ①0<ac②0＞ab ③b a ＜2 ④b c a >+⑤024＞c b a ++ ⑥0＞c b a ++A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11. 某班有53位学生，其中有23位女生．在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀．如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有男生名字纸条的概率 ▲ ．12．若二次函数c x x y +-=42的图像与x 轴无交点，则c 取值范围是 ▲13．平移抛物线822-+=x x y .使它经过原点.写出平移后抛物线的一个解析式 ▲ .14. 如图4，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ， 若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则OD ＝ ▲ 厘米． 15.将抛物线2x y =向左平移4个单位，再向下平移 2个单位，此时抛物线的表达式是 ▲ .16．若抛物线542-+=x x y 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 则=PCD S △ ▲ 。

义乌市九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x＝90时，“＝”成立，所以，当x＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+152m %），即72a （1+ 52m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a （1+ 152m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20． 答：m 的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．3．阅读以下材料，并解决相应问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程42210x x -+=，就可以令21x =，则原方程就被换元成2210t t -+=，解得 t = 1，即21x =，从而得到原方程的解是 x = ±1材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：……………………………………（1）利用换元法解方程：()()222312313+-++-=x x x x（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，n c 表示第(n )1-行第 3 个数，请用换元法因式分解：()41-⋅+n n n b a c 【答案】（1）317x -+=或317x --= 或x=-1或x=-2；（2）()41-⋅+n n n b a c =（n 2-5n+5）2 【解析】 【分析】（1）设t=x 2+3x-1，则原方程可化为：t 2+2t=3，求得t 的值再代回可求得方程的解； （2）根据杨辉三角形的特点得出a n ，b n ，c n ，然后代入4（b n -a n ）•c n +1再因式分解即可． 【详解】（1）解：令t=x 2+3x-1 则原方程为：t 2+2t=3 解得：t=1 或者 t=-3当t=1时，x 2+3x-1=1解得：x =或x =当t=-3时，x 2+3x-1=-3 解得：x=-1或x=-2∴方程的解为：x =或x =或x=-1或x=-2 （2）解：根据杨辉三角形的特点得出： a n =n-1(1)(2)2n n n b --= (2)(3)2n n n c --=∴4（b n -a n ）•c n +1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n 2-5n+4）（n 2-5n+6）+1 =（n 2-5n+4）2+2（n 2-5n+4）+1=（n 2-5n+5）2 【点睛】本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．4．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S SS S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx +b 1经过点A ，C ，连接CD ．（1）求抛物线和直线AC的解析式：（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x2x3=-++；3y x=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得93010b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，∴23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得11303k bb+=⎧⎨=⎩，∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），代入y＝﹣x2+2x+3中，解得，m＝﹣3或m＝2（舍），∴Q 的坐标为（1，﹣3），∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．7．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2．当点C′在y=12-x2+2x上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）．∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移． 【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．8．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】 【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得396a =+ 13a ∴=-∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBAS n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴= 在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=)21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD ++=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m +=∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.9．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的解析式为：243y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0）， ∴AB=-1-（-3）=2， ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴，∠BAC=45°， ∵B （-1，0），D （-2，-1）， ∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ， ∴AB ACBP BA =，即22BP =， 解得，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=3222=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x=--+；（2）存在，点P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y＝﹣23x2﹣43x+2；（2）存在．∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2．连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．则PM＝﹣23m2﹣43m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．∵当x＝0时，y＝﹣23×0﹣43×0+2＝2，∴OC＝2，∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO＝12AO•PM+12CO•PN﹣12AO•CO＝12×3×（﹣23m2﹣43m+2）+12×2×（﹣m）﹣12×3×2＝﹣m2﹣3m∵a＝﹣1＜0∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值∴当m＝﹣2ba＝﹣32时，S△PAC有最大值．∴n＝﹣23m2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52，∴存在点P（﹣32，52），使△PAC的面积最大．（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q1CD与△CBO中，∵11324Q C BC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1， ∴OD ＝OC+CD ＝3， ∴Q 1（2，3）； 同理可得Q 4（﹣2，1）； 同理可证△CBO ≌△BQ 2E ， ∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1， ∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3， ∴Q 2（3，1）， 同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．12．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.（1）连接OP ，求线段OP 的长；（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标；（3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，【答案】（1）37OP =；（2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）． 【解析】【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =，再利用勾股定理，即可求出OP 的长度；（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN ，作∠CJN 的角平分线，与直线OP 相交与点D ，然后由所学的性质，求出点D 的坐标即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，连接OP ，∵AP ∥OB ，∴∠PAC=60θ=︒，∵PC ⊥OA ，∴∠PCA=90°，∵点P 的斜坐标是()3,6，∴OA=3，AP=6，∴1 cos602ACAP︒==，∴3AC=，∴226333PC=-=，336OC=+=，在Rt△OCP中，由勾股定理，得226(33)37OP=+=；（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，∵点Q在第四象限，∴点Q的斜坐标为（9，3-）；（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，∵点P的坐标为（3，6），∴点D的坐标为（32，3）；②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，∵∠COJ=60°，∴△OCJ是等边三角形，∴∠CJN=120°，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，∴△CJD≌△NJD（SAS），∴∠JCD=∠JND=90°，则由角平分线的性质定理，得CD=ND；过点D作DI∥x轴，连接DJ，∵∠DJN=∠COJ=60°，∴OI∥JD，∴四边形OJDI是平行四边形，∴ID=OJ=JN=OC=6，在Rt △JDN 中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；∴点D 的斜坐标为（6，12）；综合上述，点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D 的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．13．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC 和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由；类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DFEF ； （2）3EF DF =，DFEF ,理由见解析; （3）①3EF DF =，DF EF ;②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【解析】【分析】（1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析；（3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立. 【详解】解：（1）3EF DF =，DF EF ；如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，AD CD =，EGB 为等边三角形.AM MC ∴=，GN BN =. 又点F 为AB 的中点，AF BF ∴=. ()12MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴. MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==.设DM a =，2GB b =， 120ADC ∠=︒，DA DC =， 3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===.tan 33EGB NE GN GN b =⋅==∠.在DMF 和FNE 中，33DM FN a==， 33MF NE b ==， 又90DMF FNE ∠=∠=︒，DMF FNE ∴∽. MDF NFE ∴∠=∠，33DF DM FE FN ==，即3EF DF =.90MDF DFM ∠+∠=︒，90DFM NFE ∴∠+∠=︒.90DFE ∴∠=︒.3EF DF ∴=且DFEF . （2）3EF DF =，DF EF . 理由如下：如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90︒时，则90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，CF BF ∴=.又CE EB =，EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ，∴四边形LCMF 为矩形，90DFE ∴∠=︒.DF EF ∴⊥，//AC EF .DA DC =，120ADC =∠︒，30DCA ∴∠=︒.GEB 为等边三角形，60ECB ∴∠=︒.∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^∘∴D ，C ，E 三点共线.30DCA DEF ∴∠=∠=︒.∴在Rt DEF △中，3tan 3DE DF F F E DF ===∠； （3）①3EF DF =，DFEF .选择题图进行证明：如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，在ADF 和BNF 中，。

九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：12．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．75°4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD •AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=4，PB=2，那么线段BC的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④ C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为．10．弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是．11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．12．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，则= ．13．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC= 度．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤15．计算：tan30°•sin60°+cos230°﹣sin245°•tan45°．16．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的长．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD ⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的长．18．如图，△ABC的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O为位似中心，且与△ABC相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需画出一种情况，A1B1：AB=）19．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距离桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？20．如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．24．如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）计算：AC•AF的值．九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。