正态分布资料

0.1 正态分布，熟悉的陌生人 (2)0.2 邂逅，正态曲线的首次发现 (4)0.3 最小二乘法，数据分析的瑞士军刀 (7)0.4 众里寻她千百度,误差分布曲线的确立 (10)0.5 曲径通幽处，禅房花木深 (16)0.5.1 高斯(1809)的推导 (17)0.5.2 赫歇尔(1850)和麦克斯韦(1860) 的推导 (19)0.5.3 兰登(1941)的推导 (20)0.5.4 基于最大娟的推导 (22)0.6 开疆拓土，正态分布的进一步发展 (24)0.6.1 论剑中心极限定理 (24)0.6.2 进军近代统计学 (28)0.6.3 数理统计三剑客 (32)0.7 正态魅影 (34)0.8 大道至简,大美天成 (36)0.9 推荐阅读 (39)12神说，要有正态分布，就有了正态分布。

神看正态分布是好的，就让随机误差服从了正态分布。

创世纪—数理统计0.1 正态分布，熟悉的陌生人学过基础统计学的同学大都对正态分布非常熟悉。

这个钟形的分布曲 线不但形状优雅，它对应的密度函数写成数学表达式f (x ) = 1 e − √2πσ(x −µ)2 2σ2 也非常具有数学的美感。

其标准化后的概率密度函数1x 2 f (x ) = √2πe 更加的简洁漂亮，两个最重要的数学常量π队e 都出现在这公式之中。

在我 个人的审美之中，它也属于top-N 的最美丽的数学公式之一，如果有人问 我数理统计领域哪个公式最能让人感觉到上帝的存在，那我一定投正态分 布的票。

因为这个分布戴着神秘的面纱，在自然界中无处不在，让你在纷 繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。

Figure 1: 正态分布曲线 正态分布又通常被称为高斯分布，在科学领域，冠名权那是一个很高的荣誉。

2002年以前去过德国的兄弟们还会发现，德国1991年至2001年间− 23发行的的一款10马克的纸币上印着高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)的 头像和正态密度曲线，而1977年东德发行的20马克的可流通纪念钢铺上， 也印着正态分布曲线和高斯的名字。

正态分布（normal distribution ）一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。

概率密度函数， -∞<x<∞二、 参数1、可变参数（1）位置参数 μ E （x ）=μ表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ11 2 3(2) 形态参数 σ表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1 V(x)= σ2固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0 (2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3 * 样本偏度系数g 1与样本峰度系数g 2公式复杂，可参阅其他教材。

三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律P{μ-σ<x<μ+σ}=0.6827P{μ-1.96σ<x<μ+1.96σ}=0.9500 P{μ-2.58σ<x<μ+2.58σ}=0.990022()())2X f X μσ-=-四、 应用1、描述资料分布2、依据面积分布规律求医学参考值范围3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线4、标准正态分布的U 值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。

而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n 、x 、s ）已计算出例：已知x =50，S=10,N=200,求45<x<65的频数 解：令x 1=45 x 2=65U 1=(45-50)/10=-0.5， U 2=(65-50)/10=1.5 查U 值表Ф{-0.5< U 1<0}=0.5-0.3085=0.1915 Ф{0< U 2<1.5}=0.5-0.0668=0.4332 P{-0.5<U<1.5}=0.1915+0.4332=0.6247 200×0.6247=1255、正态分布式在特定条件下一些离散型分布的极限分布，这意味着只要符合特定条件，这些离散型分布亦可按正态近似法处理。

正态分布的性质及实际应用举例正态分布定义：定义1：设连续型随机变量的密度函数（也叫概率密度函数）为：式中，μ 为正态总体的平均值；σ 为正态总体的标准差； x 为正态总体中随机抽样的样本值。

其中μ 、σ 是常数且σ > 0，则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布，记作ξ ~ N(μ,σ).定义2：在（1）式中，如果μ = 0，且σ =1，这个分布被称为标准正态分布，这时分布简化为：（2）正态分布的分布函数定义3：分布函数是指随机变量X 小于或等于x 的概率，用密度函数表示为：标准正态分布的分布函数习惯上记为φ ，它仅仅是指μ = 0,σ =1时的值，表示为：正态分布的性质：正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。

σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。

u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。

正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。

正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。

也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。

应用综述 ：1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。

2. 制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。

（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。

表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。

正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。

但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。

这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。

在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。

这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。

拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。

正态分布是概率论中最重要的一种连续型随机变量分布，也被称为高斯分布。

它的概率密度函数呈钟形曲线，因此也被称为钟形曲线分布。

正态分布的概率密度函数可以表示为：
f(x) = (1/σ√2π) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)
其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。

这个公式表明，正态分布的概率密度函数关于均值对称，且随着离均值的距离增加而逐渐减小。

正态分布在统计学和科学领域中有着广泛的应用。

例如，在描述自然现象、人类行为和社会现象等方面，很多数据都呈现出正态分布的特征。

此外，许多统计方法都基于正态分布假设，例如参数估计、假设检验等。

《正态分布》说课稿引言概述：正态分布是概率论和统计学中最重要的分布之一，它在自然界和社会现象中广泛存在。

本文将从定义、特征、应用等方面详细介绍正态分布的相关知识。

一、正态分布的定义和性质1.1 正态分布的定义正态分布是指在一维空间中，以均值μ和标准差σ为参数的连续概率分布。

它的概率密度函数呈钟形曲线，两侧尾部渐进于x轴，对称分布于均值μ处。

1.2 正态分布的特征正态分布具有以下特征：（1）均值和中位数相等，分布对称；（2）标准差决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽；（3）68-95-99.7法则，约68%的数据落在均值左右一个标准差范围内，约95%的数据落在均值左右两个标准差范围内，约99.7%的数据落在均值左右三个标准差范围内。

1.3 正态分布的应用正态分布在实际应用中有广泛的用途，包括但不限于：（1）自然科学研究，如天文学、物理学等；（2）社会科学研究，如经济学、心理学等；（3）质量控制，如产品质量检测、工艺控制等；（4）统计推断，如参数估计、假设检验等。

二、正态分布的计算方法2.1 Z分数的计算Z分数是指将原始数据转化为标准正态分布的分数，计算公式为：Z = (X - μ) / σ，其中X为原始数据，μ为均值，σ为标准差。

2.2 正态分布的累积概率计算正态分布的累积概率可以通过查找标准正态分布表或使用统计软件进行计算。

标准正态分布表给出了不同Z值对应的累积概率。

2.3 正态分布的反向计算反向计算是指已知累积概率，求对应的原始数据。

可以通过查找标准正态分布表的逆查表或使用统计软件进行计算。

三、正态分布的假设检验3.1 假设检验的基本原理假设检验是统计学中常用的推断方法，用于判断样本数据与某个假设的一致性。

在正态分布中，常用的假设检验方法有单样本均值检验、双样本均值检验、方差检验等。

3.2 假设检验的步骤（1）建立原假设和备择假设；（2）选择适当的检验统计量；（3）计算检验统计量的观察值；（4）确定显著性水平，进行决策；（5）得出结论。

正态分布资料的集中趋势正态分布是统计学中非常常见的一种分布，也称为高斯分布。

对于正态分布的资料，可以使用一些指标来描述其集中趋势。

首先，最常见的描述集中趋势的指标是平均值（mean）或者叫期望值。

平均值是将所有数据相加然后除以数据的个数得到的结果。

对于正态分布的数据，平均值是数据集中的一点，可以用来衡量数据的集中程度。

如果正态分布的数据对称，则平均值等于众数和中位数。

其次，中位数（median）也是一种常见的描述集中趋势的指标。

中位数是将数据按照大小进行排序，然后取中间的数作为中位数。

对于正态分布的数据，中位数也是数据集中的一点，由于对称性，中位数与平均值是相等的。

在正态分布中，平均值和中位数是相等的，而且都位于分布的中心。

这是因为正态分布的形状是钟形曲线，左右对称，中心点即为平均值和中位数。

除了平均值和中位数，正态分布的集中趋势还可以使用众数（mode）来描述。

众数是数据中出现次数最多的数值，对于正态分布的数据，众数与平均值和中位数相等。

另外，标准差（standard deviation）也是一种描述数据集中趋势的指标。

标准差是衡量数据的离散程度，精确度高，反映了数据的集中趋势。

这是因为标准差表示数据与平均值之间的差异，差异越大标准差越高，反之亦然。

对于正态分布的数据，标准差可以用来确定数据的离散程度，标准差越小，数据离散程度越小，数据集中趋势越明显。

此外，正态分布的集中趋势可以使用峰度（kurtosis）来描述。

峰度是一种描述数据分布的尖锐程度的指标。

正态分布的峰度为3，表示数据分布的尖锐程度与正态分布相同。

峰度大于3表示数据分布更尖锐，峰度小于3表示数据分布更平坦。

总结而言，对于正态分布的数据集，可以使用平均值、中位数、众数、标准差和峰度等指标来描述其集中趋势。

平均值、中位数和众数用来表示数据的集中程度，标准差用来表示数据的离散程度，峰度用来表示数据分布的尖锐程度。

这些指标可以在统计分析中用来衡量数据的集中趋势，并帮助我们更好地理解和解释数据的特征和性质。

正态分布概率密度函数绿线代表标准正态分布累积分布函数颜色与概率密度函数同参数location（real）squared scale（real）支撑集概率密度函數累积分布函数期望值中位数众数方差偏度0峰度3信息熵动差生成函数特性函数正态分布normal distribution一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。

从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。