3.4 连续谱本征函数的“归一化”
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量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数
m
2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的 。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来 它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章 量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数 性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”
2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的 。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来 它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章 量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数 性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”
3.4 连续谱本征函数的“归一化”
L dp h n
1 1 ip x x / ik x x δ x x dpe dke 2π 2π
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
结论 在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面 波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 p x 代替不能归一化的 p x . 在计算的最后结果才让 L .
(b)
比较式(a)与(b), δ 函数也可表成
1 ik x x0 δ x x0 d k e 2
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.3 箱归一化
平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间 L / 2, L / 2 中运动 (最 后才让 L ).
ˆ 此时, 为了保证动量算符 px i x 为厄米算符,就要
求波函数满足周期性边条件.
ipx / 动量本征态为 p x ~ e , 在周期条件下
p L / 2 p L / 2
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
因此, 若取动量本征态为
p x dx C
2
2
dx
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
在上例中, p 是不能归一化的. 连续谱的本征函数是不能归一化的. 当然,任何真实的波函数都不会是严格的平 面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有 限区域不为零.
如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度 大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化 极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态.
1 1 ip x x / ik x x δ x x dpe dke 2π 2π
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
结论 在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面 波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 p x 代替不能归一化的 p x . 在计算的最后结果才让 L .
(b)
比较式(a)与(b), δ 函数也可表成
1 ik x x0 δ x x0 d k e 2
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.3 箱归一化
平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间 L / 2, L / 2 中运动 (最 后才让 L ).
ˆ 此时, 为了保证动量算符 px i x 为厄米算符,就要
求波函数满足周期性边条件.
ipx / 动量本征态为 p x ~ e , 在周期条件下
p L / 2 p L / 2
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
因此, 若取动量本征态为
p x dx C
2
2
dx
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
在上例中, p 是不能归一化的. 连续谱的本征函数是不能归一化的. 当然,任何真实的波函数都不会是严格的平 面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有 限区域不为零.
如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度 大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化 极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态.
华南理工大学考试大纲
860普通物理(含力、热、电、光学)考试大纲一.考试内容：力学、热学、电学、光学等。
二.考试要求：（一）力学1. 质点运动学：熟练掌握和灵活运用：矢径；参考系；运动方程；瞬时速度；瞬时加速度；切向加速度；法向加速度；圆周运动；运动的相对性。
2.质点动力学：熟练掌握和灵活运用：惯性参照系；牛顿运动定律；功；功率；质点的动能；弹性势能；重力势能；保守力；功能原理；机械能守恒与转化定律；动量、冲量、动量定理；动量守恒定律。
3.刚体的转动：熟练的掌握和灵活的运用：角速度矢量；质心；转动惯量；转动动能；转动定律；力矩；力矩的功；定轴转动中的转动动能定律；角动量和冲量矩；角动量定理；角动量守恒定律。
4.简谐振动和波：熟练掌握和灵活运用：运动学特征（位移、速度、加速度，简谐振动过程中的振幅、角频率、频率、位相、初位相、相位差、同相和反相）；动力学分析；振动方程；旋转矢量表示法；谐振动的能量；谐振动的合成；波的产生与传播；波的能量、能流密度；波的叠加与干涉；驻波；多普勒效应。
（二）热学1.气体分子运动论：理解并掌握：理想气体状态方程，理想气体的压强公式，麦克斯韦速率分布律，玻耳兹曼分布律，能量按自由度均分定理。
2.热力学：理解：热力学第一定律，热力学第一定律的应用，循环过程、卡诺循环，热力学第二定律。
（三）电磁学1.静电场：熟练掌握和灵活运用：库仑定律，静电场的电场强度及电势，场强与电势的叠加原理。
理解并掌握：高斯定理，环路定理，静电场中导体及电介质问题，电容、静电场能量。
2. 稳恒电流的磁场：熟练掌握和灵活运用：磁感应强度矢量，磁场的叠加原理，毕奥—萨伐尔定律及应用，磁场的高斯定理、安培环路定理及应用。
理解并掌握：磁场对载流导体的作用，安培定律。
运动电荷的磁场、洛仑兹力。
了解：磁介质，介质的磁化问题。
3. 电磁感应：熟练掌握和灵活运用：法拉第电磁感应定律，楞次定律，动生电动势。
理解并掌握：自感、互感、自感磁能，互感磁能，磁场能量。
量子力学讲义4-2(最新版)
ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘 可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)
连续谱本征函数的归一化
包头师范学院本科毕业论文论文题目：连续谱本征函数的归一化院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：赵德胜学号：0809320046指导教师：林海二〇一二年四月内容摘要根据波函数统计诠释,波函数应满足归一化条件.从三种情况讨论波函数的归一化问题.对于分立谱要对其进行归一化，而对于连续谱要对其进行归一化，实则就是他们所选的”归一化”标准不同，但他们之间又有很多微妙的差别和联系，在具体的解决问题时可以体现出来。
波函数（也可称概率幅）是描写粒子体系的量子状态的函数，是概率波，所以对其归一化的研究是非常有意义的。
关键词：波函数；归一化；概率密度；本征函数；边界条件AbstractAccording to the statistical interpretation wave function, wave function should meet the normalization conditions. From three of the wavelet function to discuss a normalized problem.For division spectrum in its normalization, while for the continuous spectrum in its return change, actually is they selected "normalization" standard between different, but they have a lot of subtle differences and connections, in specific solutions can be reflected. Wave function (can say that probability amplitude) is a description of the quantum state of the particle systems is probability wave function, so for its normalization research is very significant.Key words: Wave function；Normalization；Probability density；Eigen function；Boundary conditions目录引言 (1)1.什么是归一化 (2)2.表同态的不同波函数的归一化 (3)3.连续谱本征函数的“归一化” (4)4.箱式归一化 (5)5.总结 (7)参考文献 (8)致谢 (9)引言与经典物理不同 ,在量子力学中是用波函数来描述微观粒子运动状态的.但并不是所有的波函数都有意义 ,只有那些满足波函数标准条件的函数才能用来描述微观粒子的运动状态. 根据波函数的统计诠释 ,量子力学对波函数Ψ(r,t)提出的要求之一便是一个真实的波函数需要满足归一化条件(平方可积),即|Ψ(r,t) |23d r = 1,量子力学理论体系是在几个基本假定的基础上建立起来的.将有关的基本假定概述如下:量子力学体系的状态由一个波函数描写,力学量用厄密算符表示.力学量算符的本征函数组成一个完备系,且可以构成一个正交归一的完备系.量子力学体系的任一状态波函数Ψ均可按上述的正交归一完备函数系展开.当体系处于Ψ态时,测量力学量 F 得到的结果必为 F 的某个本征值,得到此结果的概率 (或概率密度)为上述展开式中相应本征函数的系数的模平方.总的概率当然应该等于1,于是就要求把本征函数和状态波函数归一化,这就是归一化的物理意义.可见,波函数的归一化问题在量子力学中的地位是多么重要. 本文便从以下几种情况讨论波函数的归一化问题.一、什么是归一化由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于一，因而粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。
量子力学 第3章.
z
r
直角坐标与球坐标之间的变换关系
(II) 球坐标 x r sin cos r 2 x2 y2 z 2
(1)
r
y
r
sin
sin
cos z / r
(2)
x
y
z r cos
tan y / x
(3)
球坐标
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是
dx
x
*
*
|
dx *
x
dx *
x
dx *(
) 0
x x
可以证明：
由于ψ 、φ 是 任意波函数,
所以
( )0
x x
x x
( Aˆ Bˆ )
B~ˆ A~ˆ
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ 是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
（e）算符函数
F(x)
F (n) (0) xn
n0
上面的最后一式称为 Jacobi 恒等式。
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角动量算符的对易式
（1）角动量算符的形式
根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:
经典力学中，若动量为 p，相对 点O 的位置矢量为 r 的
粒子绕 O 点的角动量是： L r p
第8讲 测不准关系的严格证明
量子力学
第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数
1
第8讲目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题
2
一、连续谱本征函数（1）
1、动量
x 分量的本征值与本征函数
设本征值与本征函数为 px 和 ，本征方程为： i p x C exp( ip x x / ) x 若 x (,) ，则 px (,) ，为连续变化：
ˆ iB ˆ d 0 A
2
ˆ iB ˆ iB ˆ )* (A ˆ ) d 0 I ( ) (A
ˆ )* A ˆ i ( A ˆ )* B ˆ d [ 2 ( A
ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B
1 (1) (ax) ( x); (2) ( x) ( x); |a| (3) ( x)dx ( x)dx 1 ( 0); (亦可作为定义 )
(4) f ( x) ( x a)dx f (a);
(5) x ( x) 0
9
三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)
ˆ x ，有 x px ， ˆ 和B ˆ 为厄 问题：对于 x ˆ 和p A
米算符，则 A B ? ， 结论为：A B [ A ˆ, B ˆ] 2 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： I ( )
3、连续谱本征函数的归一化(1)
ipx x / )，若取：C 动量本征态为 p C exp(
第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数
1
第8讲目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题
2
一、连续谱本征函数（1）
1、动量
x 分量的本征值与本征函数
设本征值与本征函数为 px 和 ，本征方程为： i p x C exp( ip x x / ) x 若 x (,) ，则 px (,) ，为连续变化：
ˆ iB ˆ d 0 A
2
ˆ iB ˆ iB ˆ )* (A ˆ ) d 0 I ( ) (A
ˆ )* A ˆ i ( A ˆ )* B ˆ d [ 2 ( A
ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B
1 (1) (ax) ( x); (2) ( x) ( x); |a| (3) ( x)dx ( x)dx 1 ( 0); (亦可作为定义 )
(4) f ( x) ( x a)dx f (a);
(5) x ( x) 0
9
三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)
ˆ x ，有 x px ， ˆ 和B ˆ 为厄 问题：对于 x ˆ 和p A
米算符，则 A B ? ， 结论为：A B [ A ˆ, B ˆ] 2 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： I ( )
3、连续谱本征函数的归一化(1)
ipx x / )，若取：C 动量本征态为 p C exp(
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
《量子力学》复习提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射：∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=** i j 0=⋅∇+∂∂j tρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H μ)(,)(),(r er t r n tE i n n nψψψ-=n n n E H ψψ=附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性 （3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
3．态叠加原理：设 n ψψψ,,21是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加∑=nnn c ψψ也是体系的一个可能状态。
量子力学3-2
Pl ( )
m
1
| m | l
由Legendre多项式的正交关系
1
P
l
m
( ) P ( )d
m l'
2
(l m)!
2l 1 (l m)!
ll '
m l , l 1, ,1,0,1, l 1,l
(2l 1个)
17
可以定义归一化的θ部分的波函数 （为实数）
如何去区分这些简并态呢？
3
§3.3 共同本征函数 §3.3.1 不确定度关系的严格证明
ˆ 在算符A的本征态中测量力学量A，可以得到 确定值，并不出现涨落。如果测量B，则不一定 能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量 不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定
x p
4
x0 y0 z0 (r ) (r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
p( p x , p y , p z )
﹟
相应的本征值为
r0 ( x0 , y0 , z0 )
﹟
12
在讲述两个力学量的共同本征函数的一 般原则以前，先讨论角动量的本征态。
lm ( ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Pl (cos )
m
并满足归一化关系
0
lm
l 'm sin d ll '
ˆ2 , L ) 的正交归一的共同本征函数为 这样， L ˆ z (
18
Ylm ( , ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 4 (l m)!
m
1
| m | l
由Legendre多项式的正交关系
1
P
l
m
( ) P ( )d
m l'
2
(l m)!
2l 1 (l m)!
ll '
m l , l 1, ,1,0,1, l 1,l
(2l 1个)
17
可以定义归一化的θ部分的波函数 （为实数）
如何去区分这些简并态呢？
3
§3.3 共同本征函数 §3.3.1 不确定度关系的严格证明
ˆ 在算符A的本征态中测量力学量A，可以得到 确定值，并不出现涨落。如果测量B，则不一定 能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量 不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定
x p
4
x0 y0 z0 (r ) (r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
p( p x , p y , p z )
﹟
相应的本征值为
r0 ( x0 , y0 , z0 )
﹟
12
在讲述两个力学量的共同本征函数的一 般原则以前，先讨论角动量的本征态。
lm ( ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Pl (cos )
m
并满足归一化关系
0
lm
l 'm sin d ll '
ˆ2 , L ) 的正交归一的共同本征函数为 这样， L ˆ z (
18
Ylm ( , ) (1)
m
(2l 1)(l m)! 4 (l m)!
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x , x δ x x δ x x dx δ x x
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
由周期条件, 得 即e
ipL /
e
ipL / 2
e
ipL / 2
,
所以
1, 或 sin pL / 0,cos pL / 1,
pL / 2n,
n 0, 1, 2,
或
p pn
2n nh L L
(粒子波长 h / p L / n ; 即 n / L ). 可以看出
只要 L , 动量的可能取值 p pn 就是不连续的.
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
量子力学教程(第二版) 3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的
在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化 的; 角动量的取值是离散的; 而能量的取值则视边条 件而定. 例如 一维粒子的动量本征值为 p 的本征函数(平面波)为
p x Ceipx / p 可以取 , 中连续变化的一切实数值.
如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度 大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化 极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态.
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.2
δ 函数
为方便地处理连续谱本征函数的“归一化”, 我们 可以引用数学上的Dirac的 δ 函数.
δ 函数的定义
ˆ 此时, 为了保证动量算符 px i x 为厄米算符,就要
求波函数满足周期性边条件.
ipx / 动量本征态为 p x ~ e , 在周期条件下
p L / 2 p L / 2
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
因此, 若取动量本征态为
L dp h n
1 1 ip x x / ik x x δ x x dpe dke 2π 2π
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
结论 在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面 波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 p x 代替不能归一化的 p x . 在计算的最后结果才让 L .
1 p x eipx / 2
则
1 i p p x / δ p p p , p 2 dxe
这样,就用 δ 函数的形式把平面波的“归一化” 表示出来了. 同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理.
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
现在让 L , pn pn1 pn h / L 0, 即动量的可能取值趋于连续变化. 此时, 可以把 h / L dp , 而 h pn dp L n n 或 于是
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
最后, 当 L 时
px , py , pz 将连续变化
h / L dpxdpy dpz
3 3
而
L3 3 h n ,l , m
d px dp y dpz
1 δ r r 3 h
上式表明, 相空间一个体积元
1 ik x x0 δ x x0 d k e 2
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.3 箱归一化
平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间 L / 2, L / 2 中运动 (最 后才让 L ).
ak k ,
2
的归一化条件
, ak
k 2
1
这是波函数统计诠释的一般表述.
3.4
ak 表示在 下测量 A 得到 Ak 值的概率.
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
例如 一维谐振子, Hamilton 量本身就构成力学量完全 集(也是守恒量完全集).
3.4
3
de
3 ip r r /
h 相当于有一个量子态.
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版) 3.4.4 力学量完全集
定义
设有一组彼此对易,且函数独立的厄米算符
ˆ A ˆ ,A ˆ , , A 1 2 它们的共同本征函数记为 k ,
k 是
一组量子数的笼统记号. 设给定
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
特别是, 在H 不显含 t 的情况下,一个力学量 A
ˆ 与 Η ˆ 是否对易来判断. 是否是守恒量,可以根据 A
具体详见 4.1 节!
3.4
连续谱本征函数的归一化
1 2
k 之后就能够确定体系的一个可能状态，
ˆ ,A ˆ , A 则称 构成体系的一组力学量完全集.
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 k 展 ˆ 的本征值是离散的) 开 (这里假定 A
ak k ,
k
利用
k 的正交归一性
n
三维情况
正交完备的归一化波函数为
1 ipr / p r 3/ 2 e L
则 δ 函数可如下构成: δ r r δ x x δ y y δ z z 1 i2 n x x l y y m z z / 3 e L n,l ,m
量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来 表达, 其含义如下:
ˆ 的某一本征值. 实验上观测 A 的可能值, 必为算符 A
在量子态 之下, 力学量 A 的平均值由下式确定,
ˆ A ,A
力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反 映出来. 例如两个力学量 A 与 B 可以同时具有确 ˆ, B ˆ 0. A 定的观测值的必要条件, 在一般情况下,为 ˆ, B ˆ 0,则一般说来, 力学量 A 与 B 不能 A 反之, 若 同时测定.
δ x x0
x0
0
0,
x x0
x x0
,
x δ x x0 dx δ x x0 dx 1
3.4
( 0)
连续谱本征函数的归一化来自子力学教程(第二版)等价地表示为: 对于在 x x0 领域连续的任何函数 f x
f x δ x x0 dx f x0
(a)
由Fourier积分公式, 对于分段连续函数 f x
1 ik x x0 f x0 d x d k f x e 2
(b)
比较式(a)与(b), δ 函数也可表成
此时, 与 pn 相应的动量本征态取为
1 ipn x / 1 i2 nx / L pn x e e L L
利用正交归一化条件
L/2
L/ 2
dx * pn x pm x δnm
n
利用这一组正交归一完备的函数 p x ,可以构成 如下 δ 函数: 1 ipn x x / 1 i2 n x x / L δ x x e e L n L n
ˆ x 就构成力学量完全集 对于一维粒子, 动量 p ˆ 也可以构成力学量完全集. 与此类似, 坐标 x
对于一维自由粒子 H p2 / 2m, 由于能量本征态有简 并,并不构成力学量完全集.但把空间反射 P 考虑进去, 力学量完全集可以选为 H , P .
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
自然界中实际的物理体系的 H 的本征值都有 下界. 因此, 体系的任何态总可以用包含 H 在内的 一组力学量完全集的共同本征态来展开.
在 H 不显含 t 的情况下,这种力学量完全集称为 守恒量完全集. 在量子力学中, 找寻体系的守恒量完全 集是一个极重要的问题.
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
注意 体系的一组力学量完全集中,力学量的个数
并不一定等于自由度的数目.一般说来,力学量完全集
中力学量的个数≥体系的自由度数目.
用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体 系的任意波函数 , 在数学上涉及完备性这样一个颇
为复杂的问题.
3.4 连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
如力学量完全集中包含有体系的 Hamilton量 经验 H , 而 H 本征值又有下界, 则可以证明, 这一组 力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空 间的一组完备的基矢, 即体系的任何一个态均 可用它们展开.
不难看出，只要 C 0, 则
p x dx C
2
2
dx
3.4
连续谱本征函数的归一化
量子力学教程(第二版)
在上例中, p 是不能归一化的. 连续谱的本征函数是不能归一化的. 当然,任何真实的波函数都不会是严格的平 面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有 限区域不为零.