七年级数学下册 1.6 完全平方公式的推导及简单应用(第1文库.ppt

1.6 完全平方公式
复习引入
1.两数和的平方. (a+b)2=(a+b)(a+b)=__a_2_+_a_b_+_a_b_+_b_2___=__a_2+_2_a_b_+_b_2. 2.两数差的平方. (a-b)2=(a-b)(a-b)=__a_2-_a_b_-_a_b_+_b_2___=__a_2_-_2_a_b_+_b_2__.
3.计算：(1)(－m－n)2.(2)(－5a－2)(5a＋2). 【解析】(1)(－m－n)2＝(－m)2＋2(－m)(－n)＋(－ n)2＝m2＋2mn＋n2. (2)(－5a－2)(5a＋2)＝－(5a＋2)(5a＋2) ＝－(5a＋2)2＝－(25a2＋20a＋4) ＝－25a2－20a－4.
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【思考】 (a-b)2与(-a+b)2相等吗？ 提示：相等.
例题学习
完全平方公式 【例】(2012·盐城中考)化简：(a-b)2+b(2a+b). 【解题探究】(1)(a-b)2化简后的结果为a2-2ab+b2. (2)b(2a+b)化简后的结果为2ab+b2. 所以原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
合作探究
如图,最大正方形的面积可用两种形式表示： ①_(_a_+_b_)_2 ，②_a_2+__2_a_b_+_b_2 ， 由于这两个代数式表示同一块面积,所以应 相等,即_(_a_+_b_)2_= _a_2_+_2_a_b_+_b_2. 【点拨】公式中的a和b可代表一个字母、一个数 字、单项式或多项式.
巩固训练 1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( ) (A)64 (B)48 (C)32 (D)16 【解析】选A.因为16x=2×x×8，所以这两个数是 x，8，所以k=82=64.

3.计算 (a+b+c)2 = ？
解：(a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b) ·c+c2 =a2+2ab+c2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
练习
1.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x + y – z )
6) a2-8ab+16b2=( a-4b)2
1.运用乘法公式计算
( 2x
பைடு நூலகம்
+5)2-
(x
2
-5)2
解：( +5)2- ( -5)2
2.计算: (a+2b+3)(a+2b-3) 解：原式= [ (a+2b)+3][(a+2b)-3]
= (a+2b)2-32 = (a+2b)(a+2b)-9 = a2+2ab+2ab+4b2-9 = a2+4ab+4b2-9
填空题：
（1）(-3x+4y)2=__9_x_2-_2_4_x_y+_1_6_y_2_．
（2）（-2a-b）2=_4_a_2_+_4_a_b+_b_2___．
（3）x2-4xy+___4_y_2___=（x-2y）2．
（4）a2+b2=（a+b）2+__（__-_2_a_b_)_．
（5）

完全平方公式的结果 是三项， 2 2 2 结果不同： 即 (a b) ＝a 2ab+b ; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到 丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平 时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关
做一做
其边长增加 b 米。 形成四块 实验田，以种植不同的新品种 b (如图1—6). 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较.
完 全a平 方 公 式 因需要将 一块边长为 米的正方形实验田，
探索: 你发现了什么?
a a
图 1 —6
直 2 总面积 = (a+b) ； 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:

对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符 号相反的“项” ; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后， 才能使用平方差公式。
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做 到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时 要注意添括 号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。
推证
(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;
利用两数和的 完全平方公式 推证公式
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a 2 + 2 a (−b) + (−b) 2 = a2 − 2ab + b2.

a2+b2 = (a+b)2 −2ab 或a2+b2 =
例4、已知x+y=8，xy=12，求x2+y2 的值.
练习、1、已知x-y=8，xy=12，求 x2+y2的值.
2、已知：x 1 3
x 的值
求：x 2 1 x2
新知探究二： (a+b)2 = a2+2ab+b2
(a−b)2 = a2−2ab+b2 (a+b)2 = (a−b)2 +（ ）
例6、已知x2＋16x＋k是完全平方式， 则常数k等于( ) 已知x2＋ k x＋9是完全平方式，则常 数k等于( )
拓展练习： 如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线 剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②拼成一个 正方形．提出问题： (1)观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积； (2)请写出三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的一个 等量关系； 问题解决：根据上述(2)中得 到的等量关系，解决下列问题： 已知x＋y＝6，xy＝3，求(x－y)2的值．
2. 通过等式的性质能够对完全平 方公式进行变形，并求一些代数 式的值。
例2 利用完全平方公式计算：
(1) 1022 ;
(2) 1972 .
解: 102² =（100+2）² 解: 197²=（200-3）²
=100²+2×100×2+2² =200²-2×200×3+3²
=10000+400+4
北师大版七年级数学（下）
复习引入：
完全平方公式：
(a+b)2 (a−b)2
= =
a2+2ab+b2 a2−2ab+b2

A．2xy
B．－2xy
C．4xy
D．－4xy
9．(黔东南中考)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所
著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形
称为“杨辉三角”．
(a＋b)0…… …… …… ①
(a＋b)1…… …… … ① ①
b a 图2
类型一：探索完全平方公式 几何解释:
b
a
a
b
a2
ab
和的完全平方公式：
（a+b)2= a2+2ab+b2 .
ab
b2
类型一：探索完全平方公式 几何解释:
a−b b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
(a−b)2 = a2 −ab−b(a−b) =a2−2ab+b2 .
a
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同点 （从公式结构特点及结果两方面）
6．已知(a＋b)2－2ab＝5，则 a2＋b2 的值为
.
7．如果 x2＋kx＋9 恰好是一个整式的平方，那么常数的值为( )
A．6
B．－6
C．±6
D．±3
8．要使等式(x－y)2＋N＝(x＋y)2 成立，则代数式 N 应为( )
类型一：探索完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，
以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你 发现了什么？
b 直接求：总面积=(a+b)(a+b)

A.28
B.22
C.10
D.4
3.求下面代数式的值. (x+2)2-(x+1)(x-1)，其中x=-2
课堂小结
课堂小结
1.完全平方公式
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a -b) 2=a2－2ab+b2
2.变形公式
a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab 4ab=(a+b)2-(a-b)2
作业布置
公式运用
完全平方公式：
一.简便运算
二.综合运用
公式运用
题型一：完全平方公式的简便运算
计算 (1) 1022
(2) 1992
解：原式= (100+2)2
=1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404
解：原式= (200 –1)2 =2002-2×200×1+12 =40000 -400+1
题型三：完全平方公式的变形运用
1.若a+b=5,ab=6, 求a2+b2. 解：∵(a+b) 2=a2+2ab+b2
∴ a2+b2=(a+b) 2-2ab =52-2×6 =13
题型三：完全平方公式的变形运用
2.若a-b=5,ab=6, 求a2+b2. 解：∵(a-b) 2=a2-2ab+b2
∴ a2+b2=(a-b) 2+2ab =52+2×6 =37
(2) (x+5)2－(x－2) (x－3)
解：原式
= x2+10x+25－(x2－5x+6)

（3) 992
解： (100 1)2 1002 200 1 9801
预习反馈
3.若x2 4x k (x 2)2， 则k = 4
4.计算(x-y) 2-(y+2x)( y-2x)．
解： (x y)2 ( y 2x)(y 2x) x2 2xy y2 ( y2 4x2 ) x2 2xy y2 y2 4x2 5x2 2xy
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.4. 2221.4. 2213:32 :3213:3 2:32April 22, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年4月 22日星 期四下 午1时3 2分32 秒13:32: 3221.4. 22
情境导入
同学们：你们能用两种方法表示图A面积和图B阴影部分面积吗？
情境导入
根据图形完成下列问题：如图：A、B两图均为正方形：
（1）图A中正方形的面积为___（__a_+__b__）__2，（用代数式表示)； 图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为a__b_+___b__2_+__a__2。+ab 由此可以得到等式： （a+b）2 =ab+ b2 +a2+ab （2）图B中，正方形的面积为Ⅲ的面积为____(a__-_b__)_2____， Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为_2__a_b__-_b_2____， 用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积___a_2_-_2_a__b_+__b__2___。
C． (a+b)2＝a2+b2
D．a6÷a2 ＝a3

你能用自己的语言叙述这一公式吗？
活动探究一
你能用几何图形解释这一公式吗？
活动探究一
你能用图1-5解释这一公式吗？
b
a
a
b
图1—5
活动探究二
(a－b) 2=？
你是怎样做的？
活动探究二 (a－b) 2=a2－2ab+b2
你能用自己的语言叙述这一公式吗？
你能自己设计一个图形解释这一公式吗？
完全平方公式：
1. 注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
完全平方公式的结果是三项
结果不同：
即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果是两项
即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
2. 注意事项：在解题过程中要准确确定a 和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab时不少乘2。
(5) (2x2－3y2)2
讨论交流：
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
点拨释疑：
利用完全平方公式计算：
(1) (－1－2x)2 ；
(2) (－2x+1)2
课堂小结：
• 3.计算： （1） （3x+4)2
(2)(1/2x-1/3y)2 (3)(-2x+5y)2
作业：Байду номын сангаас
1. 教材习题1.11 . 2. 拓展练习：
(a+b)2与(a－b)2有怎样的联系？能否用一个 等式来表示两者之间的关系，并尝试用图 形来验证你的结论？
自学自练：(自学课本例题并练习)

温馨提示：将(a+b)看作一个整 体，解题中渗透了整体的思想
巩固练习
(1)(a-b+3)(a-b-3) (2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (3) (ab+1)2-(ab-1)2
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和
正确认识a，b表示的意义，它们可以
是数、也可以是单项式还可以是多项 在式2.解，解题所题之以技前要巧应记：注得意添观括察号思。考，选择不同
学习目标:
1.进一步熟悉乘法公式的运用， 同时进一步体会完全平方公式 中字母a、b的含义。
2.能运用完全平方公式进行一些 有关数的简便计算，并能灵活 应用公式解决有关问题。
学 有一位老人非常喜欢孩 做一做
子，每当有孩子到他家做客 时，老人都要拿出糖果招待 他们。来一个孩子，老人就 给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两
分析
, 怎样用公式来计算 ?
因为两多项式不同, 即不能写成
( )2,故不能用完全平方公式来计算 ，
只能用平方差公式来计算 .
☾ 三项能看成两项吗? 平方差公式中的相等的项(a)、符号
相反的项(b)在本题中分别是什么？
解: (a+b+3) (a+b−3)
=[ (a+b) +3] [ (a+b) -3] =( a+b )2− 32 =a2 +2ab+b2－9
学一学
例2 利用完全平方公式计算：
(1) 1022 ;
(2) 1972 .
观察&思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ± 2ab+ b2
的左边的底数是两数的和或差.