统计平均数、素数、奇数、偶数

五年级数学下册典型例题系列之第二单元因数与倍数提高篇（原卷版）典型例题部分是按照单元顺序进行编辑,主要分为计算和应用两大部分,其优点在于考题典型,考点丰富,变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习,其优点在于选题经典,题型多样,题量适中。

本专题是第二单元因数与倍数提高篇。

本部分内容主要是因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数及其特征的复杂应用和实际问题,考试多以填空、选择、应用等题型为主,题目综合性较强,难度稍大,建议作为重点部分进行讲解,一共划分为六个考点。

【考点一】已知几个连续偶数或奇数的和,求这几个偶数或奇数。

【方法点拨】该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征,即相邻两个偶数或奇数相差2,首先求出这几个数的平均数,再根据平均数分别求出其他的数。

【典型例题1】三个连续的偶数和是96,这三个数分别是多少？【典型例题2】三个连续奇数的和是63,这三个奇数分别是多少？【对应练习1】五个连续奇数的和是135,这五个连续奇数分别是多少？【对应练习2】五个连续偶数的和是130,这五个连续偶数分别是多少？【对应练习3】五个连续自然数的和是135,这五个连续自然数分别是多少？【考点二】倍数特征的复杂应用。

【方法点拨】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。

【典型例题】在3□2□中,□里可以填人适当的数字,使组成的四位数既是3的倍数又是5的倍数,这个数最大是多少？【对应练习1】32□□0是有两个相同数字的五位数,它同时是2、3和5的倍数,这个五位数最小是多少？【对应练习2】一个五位数27a8b,既能被3整除,又能被5整除,a与b可为哪些数字？【对应练习3】一个四位数9A4B 能同时被5和6整除,这个四位数是多少？【考点三】较复杂的猜数问题。

【方法点拨】猜数问题综合性稍强,需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义及一些特殊数。

5.质数与合数1.若n 为正整数，3n +与7n +都是质数，求n 除以3所得的余数.2. （1）求1800的正约数的个数；（2）求恰好有10个正约数的最小正整数n .3.已知,,,a b c d 都是正整数，且322,,5,a b c d d a ==-=求b c -的值.4.对于任意的正整数n ，是否存在连续的n 个合数？5. 有人说：“任何七个连续的整数中一定有质数”，对吗？6.设自然数12,n n >且有221279n n -=，试求12n n 与的值.7.n 是不小于40的偶数.试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和.8. 证明有无穷多个n ，使多项式237n n ++ （1）表示合数； （2）是11的倍数.9. 已知,p q 均为质数，满足25359p q +=，判断以3,1,24p p q p q +-++-为边长的三角形的形状.10.若三个素数的乘积恰好等于其和的23倍，则这三个素数是多少？11.设p 为正整数，且21p -是质数，求证：p 是质数.12.求所有的正整数组{},,x y z ，满足,,x y z 都是质数，且2120x xy z +=+.13.求不能表示成两个合数之和的最大正整数.14.设12,n n 是任意两个大于3的质数，221122121, 1.N n N n N N =-=-与的最大公约数至少为多少？15.有7个不同的质数，它们的和为60，其中最小的是多少？16. 求证：正整数中有无穷多个质数.17. 已知n 是正整数，求证：形如32n +的质数有无穷多个.18. 已知n 是正整数，2n >，求证：在n 与!n 之间一定有一个是质数.19. 求所有形如1n n +且不超过1910的质数，这里n 是正整数.20. 将不同的两个两位数质数，一个放到另一个的右边得到一个四位数，可被两数的平均数整除，求四位数.21. 已知,,a b c 是质数，且86,971a b c ab bc ca ++=++=，求abc 的值.22. 已知,8,16p p p ++都是质数，求它们的平方和.23. 求所有的正整数n ，使得34,45,53n n n ---都是质数.24. 求质数p ，分别使22,10,14p p p +++也是质数.25. 已知n 是大于1的正整数，求证：44n +是合数.26. 已知自然数a 使得4239a a -+是质数，求这个质数.27. 已知p 是质数，281p +也是质数，求282p p -+的值.28. 不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？29. 不能用三个不同的合数之和表示的最大的奇数是多少？30. （1）求2160的正约数的个数；（2）求不大于200的恰有15个正约数的所有正整数.31. 已知质数,,x y z 满足()5xyz x y z =++，求222x y z ++的值.32. 三个不同的质数,,a b c 满足2460a a bc a +=，求a b c ++的值.33. 已知,p q 都是质数，且7p q +与11pq +也都是质数，求,p q 的值.34. 九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有几个？35. 对于数列101,10101,1010101,,请问：其中有多少个质数？36. 若,c d 为正整数，且,1a c d b cd =+-=，求证：22a b +为合数.37. 设n 为正整数，且21n +是质数，证明：存在非负整数k ，使得2.k n =。

小学数学的知识点小学数学的知识点一、小数部分：1、把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。

如1/10记作0.1，7/100记作0.07。

2、小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。

小数部分有几个数位，就叫做几位小数。

如0.36是两位小数，3.066是三位小数。

3、小数的读法：整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。

4、小数的写法：小数点写在个位右下角。

5、小数的性质：小数末尾添0去0大小不变。

化简小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小，1十2百3千倍。

6、小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。

二、分数和百分数。

（一）分数和百分数的意义。

1、分数的意义：把单位“ 1” 平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。

在分数里，表示把单位“ 1” 平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。

2、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。

也叫百分率或百分比。

百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。

百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。

3、百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。

4、成数：几成就是十分之几。

（二）分数的种类。

按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数。

（三）分数和除法的关系及分数的基本性质。

1、除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。

因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。

2、由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。

3、分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。

第9单元总复习本单元包括三部分内容：一是成长小档案；二是数学活动；三是针对全册所学知识的综合练习(教科书P118~121“练习二十八”)。

“成长小档案”是对本册所学内容的复习与整理，包括对数学知识的整理和对学习中最有收获的事情的回顾两个方面。

教科书用4幅图展现了本册教科书的主要学习内容：分数的意义和性质、分数的加法和减法、图形的运动、长方体和正方体、统计、因数与倍数，引导学生对紧密关联的概念、知识进行系统整理，并形成相应的知识网络。

“数学活动”中，活动1是对因数与倍数学习内容的巩固与提高；活动2是复习巩固观察物体的知识，同时综合运用长方体和正方体、分数的意义和性质的学习内容；活动3是针对图形的变换的巩固和提高，同时运用本学期所学分数的相关知识解决问题；活动4是针对折线统计图的整理与回顾。

教科书P118~121“练习二十八”是对全册教科书所学内容的综合练习，目的是通过一定量的练习，使学生巩固本学期所学知识。

练习的编排注意了形式的多样化，有利于促进学生体会和运用数学的思想和方法，在实践和操作中获得基本的数学活动经验，提高学生的数学能力。

五年级的学生，已经具备了一定的整理复习能力，会用列表、画图等方式进行整理，但由于年龄小，对自己的学习状况没有清晰的认识或者对于有些知识还没有弄懂，不一定能准确地进行整理。

所以，在归类、建构知识体系方面，还需要教师指导，根据不同的课时内容进行有序回顾整理。

同时，教师要针对平时的评价和作业状况，安排有针对性的练习。

1.了解学生在本学期学习中的困难和问题，知道学生哪些知识已经掌握，哪些知识容易混淆，哪些知识出错比较多等，从全册的教学目标出发，针对本班实际情况制订出有效的复习计划。

2.复习时要根据教科书的内容和重点，加强对基础知识、基本技能的训练，通过复习让学生的知识结构更加系统完整。

如复习因数与倍数时，既要巩固因数与倍数、质数与合数的概念，还可以联系最大公因数、最小公倍数等知识形成一个系统的知识网络。

辅导讲义➢知识点回顾：1．一个正整数，如果只有____ _和____ _两个因数，这样的数叫做素数，也叫做____ _；如果___________________________，这样的数叫做合数。

2．___________既不是素数也不是合数。

3．每个合数都可以写成几个____ _相乘的形式，其中每个____ _都是这个合数的____ _，叫做这个合数的____ _。

4．把一个合数用____ _相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

5．既是奇数又是合数的最小的正整数是________，最小的奇数素数是____ _；既是偶数又是素数的数________；最小的偶合数是____ _；➢案例1：下面有一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1-56号，再将号码中的素数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．➢案例2：关于素数的猜想：由于人们对素数的着迷，所以自古以来提出了各种各样的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想：1742年6月7日哥德巴赫提出下列猜想：“所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和。

”用如下形式表示：4＝2＋2；6＝3＋3；8＝3＋5；10＝3＋7＝5＋5；12＝5＋7；14＝3＋11＝7＋7；关于这个猜想至今270多年还没有人给出严格的证明！请写成两个素数的和为100的素数对。

知识点1、质数与合数概率质数（素数）：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数，也叫素数。

如：2、3、5、7、11、13、17、19等。

合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

如：4、6、8、9、10等。

注：（1）1不是质数也不是合数，2是最小的质数。

（2）正整数又可以分为1、素数和合数三类。

100以内的素数表：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97【例题1】（1）两个素数的和是39，这两个素数的差是多少？（2）三个互不相同的素数相加，和为40，这三个素数分别是多少？（3）有四个数，一个是最小的奇素数，一个是最小的偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最小素数，求他们的和。

费马小定理素数判定蒙哥马利算法(强烈推荐）2009-11-07 12:42费马小定理素数判定蒙哥马利算法约定：x%y为x取模y，即x除以y所得的余数，当x<y时，x%y=x，所有取模的运算对象都为整数。

x^y表示x的y次方。

乘方运算的优先级高于乘除和取模，加减的优先级最低。

见到x^y/z这样，就先算乘方，再算除法。

A/B，称为A除以B，也称为B除A。

若A%B=0，即称为A可以被B整除，也称B可以整除A。

A*B表示A乘以B或称A乘B，B乘A，B乘以A……都TMD的一样，靠！复习一下小学数学公因数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以整除A也可以整除B，那么C就是A和B的公因数。

公倍数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以被A整除也可以被B整除，那么C就是A和B的公倍数。

互质数：两个不同的自然数，它们只有一个公因数1，则称它们互质。

费马是法国数学家，又译“费尔马”，此人巨牛，他的简介请看下面。

不看不知道，一看吓一跳。

/BasicStudy/LearnColumn/Maths/shuxuejiashi/j12.htm费马小定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到，原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：(N*(N^(P-1)-1))%P=0请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数，小学知识了^_^又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P因为M是整数，显然：(N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1============================================积模分解公式先有一个引理，如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，则有：(X+Y)%Z=Y%Z这个不用证了吧...设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z想了很长时间才证出来，要分情况讨论才行：1.当X和Y都比Z大时，必有整数A和B使下面的等式成立：X=Z*I+A（1）Y=Z*J+B（2）不用多说了吧，这是除模运算的性质！将（1）和（2）代入(X*Y)modZ得：((Z*I+A)(Z*J+B))%Z乘开，再把前三项的Z提一个出来，变形为：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）因为Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整数倍……晕，又来了。

奇偶数、质数、合数练习1：两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？【详解】39=2+37，乘积为2*37=742：7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？【详解】已知：有7个连续质数且和为偶数假设这些素数全是奇数，那么和也是奇数！不符合题意质数只有2是偶数，所以一个偶数，六个奇数，和为偶数，符合题意，这些素数是：17，13，11，7，5，3，2 所以c 为113：自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【详解】满足个位数字与十位数字都是质数，只能是2、3、5、7这4个数字组成，这样的两位自然数共有5个，23、37、53、57、734：若两位数ab、ba都是质数，我们称它为“无暇质数”。

所有两位“无暇质数”的和等于多少？【详解】“无暇质数”共9个11，13，31，17，71，37，73，79，97．他们的和是4295：将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？（如果要求质数尽可能大呢？）【详解】7+7+7+7+7+5+5+5+5+5=6060/10=6，10个数的平均数是6，所以至少有一个数大于等于6。

6不是质数，7是最小的大于6的质数。

6：用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【详解】1+2+...+9=(9+1)*9/2=45能被9整除不论数字怎么排列都能被9整除，所以9个数字排列一个质数也没有；7：哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？【详解】个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71；其中168－11=157，168－31=137，168－41=127，168－61=107，都不是两位数，只有168－71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+977：两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?【详解】设这两个连续奇数是2n-1和2n+1，(2n-1)(2n+1)=4ｎ２-1=1115554ｎ２=111556=３３４２，2n=334（或-334），(2n-1)+(2n+1)=4n=6688：三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数。

比例法证明没有最大的孪生素数本文证明的方法是将奇数从小到大划分成若干个阶段，每个阶段的起始数是一个奇数的完全平方数。

从2到7共4个奇数为第一阶段。

当然素数2不是奇数也不是完全平方数就不用讨论了。

从9到23共8个奇数为第二阶段。

25至47共12个奇数为第三阶段（如表1）。

下表1中第一列为奇数列，从小到大按顺序排列。

在奇数列的任何一个奇数的行如果没有除数就是素数，相邻两行的除数列都是空的就产生了孪生素数。

例如第5阶段的奇数103的行的横向除数列是空的没有除数，哪么103就是素数。

奇数101、103两个数的除数行中没有除数，哪么这两个奇数就是孪生素数。

奇数105行的除数列有3、5、7共3个除数。

哪么105就是合数。

除数列中如果有合数的除数，就不要计算在内，可以去除。

例如下表1中的除数9全部和除数3是同一行中，就没有必要计算到除数9。

例如除数15、21、25……等都是合数，都不要统计到除数列内。

从下表1中可以看出，素数的排列受除数排列的影响，整体上从小到大基本上素数的占比是均匀的变化，有规律的变化的。

本文计算思路是算出每个阶段素数和孪生素数的占有比例，来求证出无限大阶段中孪生素数存在的比例。

经过计算得出的结论是如果阶段数越大，阶段中的奇数的数量就会越多，虽然孪生素数占有比例会越来越小，但平均每个阶段中孪生素数不小于2对，来证明出没有最大的孪生素数。

例如第3阶段从25到47共12个奇数，不仅有能被除数3整除的数，还有能被除数5整除数。

从下表1中的3阶段可以看出，只要除数3和5覆盖不上的行数就是素数，除数3没有覆盖的行数有23，除数5没有覆盖的行数有45。

第3阶段素数占有的比例计算如下；式1 ；23X45=815第三阶段素数个数计算：式2；815X12=6.39(个)每个阶段的素数比例公式；式3；23X45X67 (X)2N−22N−1= 阶段中的素数比例式中；N——阶段数需要注意的是当式3中如果乘到有合数分母的分数时可以省略不要乘了。

质数与合数B知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑴ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲例题1 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k ，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k 时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【解析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【答案】5、17、29答案不唯一例题2 图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么? 【解析】 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【答案】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．例题3 从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【解析】 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如下图．质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285........................ (3)4765892【答案】98567432例题4 九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【解析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人2⨯+==22232323529 (个)．【答案】24辆车，529位老人例题5 一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为【解析】两位数乘以3之后，数字和一定被3整除。