2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）
1．若20 10a b b c ==，，则
a b b c
++的值为 ______________.
2．若实数a ，b 满足21
202
a a
b b -++=，则a 的取值范围是_________________.
3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为________________.
4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎝⎭，（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于____________.
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是 ______________.
6．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于_________.
7．菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于____________.
8．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －11 的值等于 ．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．
10．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AE
AD
= ．
11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
12．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则
AH
AB
的值为 ．
13．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．
14．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．
二、解答题（共3题，每题20分，共60分）
15．设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.
16．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆上一点，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，FB 是⊙O 的切线交AD 的延长线于点F . （1）求证：DE 是⊙O 的切线.
（2）若DE = 3，⊙O 的半径为5，求BE 的长.
17．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的
切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．
2019-2020年初中数学竞赛试题及其答案
附：中国数学会普及工作委员会关于举办“2011我爱数学初中夏令营”的通知
● 参赛办法：每支代表队领队一人、队员三人（队员必须是2011年9月1日以后才可能升入高中的学生）。 ● 活动内容：8月10日全天报到，晚上领队会。8月11日上午进行第一试，时间不超过两个小时；8月12
日上午进行第二试，时间不超过两个小时。8月13日白天自由活动，晚上举行颁奖及闭幕式。
● 奖项设置：个人奖（颁发证书）：第一试一、二、三等奖；第二试一、二、三等奖。团体奖（颁发奖杯和
奖状）：第一试团体前六名；第二试团体前六名；团体总分前六名。 ● 重要提示：
1、每支参赛代表队需要交纳“夏令营活动费”1500元。
2、今年初中夏令营与小学夏令营同时进行，故安排一天自由活动，以便于专家组阅卷评奖。
3、参加夏令营如食宿需组委会协助解决的，请提前填写“食宿安排登记表”。
2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛参考答案
一、填空题
1．解：由题设得1
201210
111
1110
a a
b b
c b c b +++===
+++． 2．解：因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21
202
b ab a -++=
21
()41(2)2
a a ∆--⨯⨯+＝≥0, 解得a≤2-或 a≥4．
3． 解：如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．
由已知可得BE=AE=6，CF ＝22，DF ＝26， 于是 EF ＝4＋6．
过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得
AD 222(46)(6)(224)=++=+＝226+．
4． 解：由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎝⎭
可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，…… 因为2010=4×502+2，所以2010x =2．
5． 解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．
记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．
令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．
6.解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．
7. 解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =
，即 11
a
a a =
+，所以， 210a a --=．由0a >，解得152a +=． 8． 解：由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3
＋4a 2＋3a 2－2a －11＝3a 2＋6a －11＝1
9．解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交
于点N ．
由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，
过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．
设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩
+，
，
解得 13
11
.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．
10． 解：见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ， 所以2AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即
2()10n n
m m
+-=，解得512n m -=
，或512n m --=（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====
512-,即AE
AD
=512-．
11．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为
5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000
k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
,50003000
,50003000
kx
ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩ 两式相加，得
()()
250003000
k x y k x y k +++=， 则 2
37501150003000
x y +==+
．
12.解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．
由题设知13AC AD =
，1
3
AB AE =，在△FHA 和△EFA 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠
所以 Rt △FHA ∽Rt △EFA ， AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 1
3
=.
13.解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整
