4 对数函数及其性质(1)

a ＝ log3π>1 ， b ＝ log2
1 3＝2
故有 a>b>c.故选 A. 【答案】 A
1 (1)已知 loga3>1，求 a 的取值范围； 1 1 (2)已知 log32a<log3(a－1)， 求 a 的取值范围．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①(1)中底数含有参数； ②(2)中底数相同． 解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
2a>a－1 即 ，解得 a>1.即实数 a 的取值范围是 a－1>0
a>1.
1 求函数 y＝log (3＋2x－x2)的单调区间和值域． 2 【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息： 1 ①函数由 y＝log2u 与 u＝3＋2x－x2 复合． ②要注意在函数定义域内讨论单调性．
1 【解析】 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log2 (3＋2x－x2)的定义域是{x|－1<x<3}． 设 u ＝ 3 ＋ 2x － x2( － 1<x<3) ， 又 设 － 1<x1<x2≤1， 1 1 则 u1<u2.从而 log2u1>log2u2，即 y1>y2. 故函数 y 1 ＝log2(3＋2x－x2)在区间(－1,1]上单调递减． 同理可得函数在区间(1,3)上单调递增． 函数 u＝3＋2x－x2(－1<x<3]的值域是(0,4]， 1 1 2 故函数 y＝log (3＋2x－x )的值域是 y≥log 4. 2 2 即{y|y≥－2}．
Байду номын сангаас
(1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对 数函数的单调性． (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则． (3)若含有字母，应考虑分类讨论．

(3)在应用对数运算性质时，要注意公式的逆用，例如 log23 ＋log25－log215＝log23× 155＝log21＝0.
2.换底公式. (1)对数换底公式的证明： 设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数， 得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb. 所以 x＝llooggccba，即 logab＝lloogg运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数 值时，可化为以 10 为底的常用对数进行运算； ②在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算 法则时，可先统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算 法则进行化简与求值.并且这个底数不是唯一的，可由题目的实 际情况选择恰当的底数.
[方法·规律·小结] 1.对数的运算性质. (1)在运算过程中，避免出现以下错误： ①loga(M·N)＝logaM·logaN； ②logaMN ＝llooggaaMN ； ③logaNn＝(logaN)n； ④logaM±logaN＝loga(M±N).
(2)要特别注意它的前提条件：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0， 尤其是 M，N 都是正数这一条件.若 M，N 中有一个小于或等于 0，就导致 logaM 或 logaN 无意义.另外还要注意，M＞0，N＞0 与 M·N＞0 并不等价.

2

3

返回
学点三 对数函数的图像 已知a＞ 且 的图像只能是（ 已知 ＞0且a≠1，函数 ，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ） 的图像只能是 【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底 分析】应先由函数定义域判断图像的位置， 进行讨论， 数a进行讨论，最后选出正确选项 进行讨论 最后选出正确选项. 【解析】解法一:首先 曲线 首先,曲线 解析】解法一 首先 曲线y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只 只可能在上半平面 只 可能在左半平面上,从而排除 从而排除A,C. 可能在左半平面上 从而排除 其次,从单调性着眼 其次 从单调性着眼,y=ax与 从单调性着眼 y=loga(-x)的增减性正好相反 又 的增减性正好相反,又 的增减性正好相反 可排除D. 可排除 故应选B. 故应选
单调性
当0<x<1时，y∈(0,+∞) 时 ∈ 函数值的 当 x=1 时，y=0; 变化规律 当 x>1 时, y<0.
当x=1时， y=0 ; 时 当x>1时， y>0 . 时
返回
学点一 比较大小 比较大小： 比较大小：
4 6 log 1 ，log 1 ； （1） ） 2 5 2 7
2） （2） 1 3, log 1 5 ; log
） （2） y = log 2 2 ） . - x + 2x + 2 (1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 ∵ 又 在 上是增 函数, 函数
(x2-4x+6);
∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). 函数的值域是［ (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 + 2x + 2 <0或 - x 2 + 2x + 2 ≥ 1 . 或 1 3 1 ≥ log 2 ∴ 2 log - x + 2x + 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 ,+∞ ,

2.5对数函数及其性质【知识要点】2.反函数（回忆反函数的定义，如何求反函数）3. 对数函数的定义域（回忆求定义域的方法，对照对数函数的性质求对数函数定义域）4. 对数函数的值域（对照函数值域求法求解对数函数的值域）5. 对数函数的单调性及应用（回忆单调性的定义与证明，如何求解）6. 对数函数的综合应用【知识应用】1.方法：在解题时，要会结合函数图象解题，注意底数a 的取值范围。

当a 大于1时，函数是单调增，当a 小于1时，函数是单调减，并且恒过点（1，0），由此画出函数图象。

【J 】例1 集合A={y ∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是（ ）A. A ⋂B={-2，-1}B. （R C A ）⋃B=（-∞，0）C. A ⋃B=（0，+∞）D. （R C A ）⋂B={-2，-1}【L 】例2 以下四个数中的最大者是（ ）A 2ln 2（） B ln （ln2） C D ln2【C 】例3 已知1<x<10，试比较2(lg )x 、2lg x lg （lgx ）的大小。

2. 方法：（1）由反函数定义可知，原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

因此，求反函数时，首先都要对原函数的定义域和值域进行研究，对于分段函数的反函数，应先分别求出每一段函数的反函数，再将它综合成一个函数即可。

（2）反函数的求法：a..由y=f(x)解出x b.把x 与y 的位置互换 c.写出解析式的定义域（注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=2x ；一般来说，单调函数有反函数）（3）反函数的性质：a.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称 b.若函数y=f(x)图像上有一点（a ，b ），则（b ，a ）必在其反函数图像上，反之若（b,a ）在反函数图像上，则（a ，b ）必在原函数图像上。

c.互为反函数的函数具有相同的单调性、奇偶性。

第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(第一课时)学习目标①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律;②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.合作学习一、设计问题,创设情境在研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题(1个细胞一次分裂为2个细胞),某种细胞分裂时,得到的细胞个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2x表示.现在,我们来研究相反的问题,要想得到1万个,10万个,…细胞,1个细胞要经过多少次分裂?二、自主探索,尝试解决经过分析,发现分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式.如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数是.三、信息交流,揭示规律1.对数函数的定义问题1:请同学们类比“指数函数”的定义,给出“对数函数”的定义.问题2:在函数的定义中,为什么要限定a>0,且a≠1?问题3:为什么对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域是(0,+∞)?2.对数函数的图象与性质问题4:画出函数y=log2x与y=lo g1x的图象(师生一起用几何画板画出图象).2问题5:y=log2x与y=lo g1x的图象有什么关系?并且说明这两个函数的相同性质和不同性2质.问题6:选取底数a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象,看看是否还有类似于问题5中的结论.问题7:由问题5和问题6的结论,试猜测函数y=log a x与y=lo g1x(a>0,且a≠1)的图象之间a有怎样的位置关系?并证明你的结论.问题8:由问题5和问题6的结论,结合指数函数的性质,试猜测函数y=log a x(a>0,且a≠1)有怎样的性质.先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质.(投影)四、运用规律,解决问题【例1】求下列函数的定义域(1)y=log a x2;(2)y=log a(4-x);(3)y=log a(9-x2).【例2】比较下列各组数中两个值的大小:(1)log 23.4,log 28.5;(2)log 0.31.8,log 0.32.7;(3)log a 5.1,log a 5.9(a>0,且a ≠1).小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤:①②③小结2:分类讨论的思想.五、变式演练,深化提高1.求下列函数的定义域:(1)y=log 3(1-x );(2)y=1log 2x ; (3)y=log 711-3x;(4)y=√3x .2.函数y=log a (x+1)-2(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点 .3.已知函数y=log a (x+1)(a>0,a ≠1)的定义域与值域都是[0,1],求a 的值.4.让学生每人各编一个关于对数函数的定义域的题和单调性的题.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获吗?1.2.3.七、作业精选,巩固提高1.课本P 74习题2.2A 组第7,8,10题;2.继续完成课堂上自编的尚未解决的求定义域和单调性的题目;3.已知log m 7<log n 7<0,按大小顺序排列m ,n ,0,1;4.已知0<a<1,b>1,ab>1.比较log a 1b ,log a b ,log b 1b 的大小; 参考-=-=答案=-=-一、设计问题,创设情境10000=2x 1,100000=2x 2,…二、自主探索,尝试解决x=log 2y y=log 2x三、信息交流,揭示规律问题1:一般地,我们把函数y=log a x (a>0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).问题2:根据对数式与指数式的关系,知y=log a x可化为a y=x,由指数的概念,要使a y=x有意义,必须规定a>0且a≠1.问题3:因为y=log a x可化为x=a y,不管y取什么值,由指数函数的性质知,a y>0,所以x∈(0,+∞).问题4:通过列表、描点、连线作y=log2x与y=lo g12x的图象:问题5:y=log2x与y=lo g12x的图象关于x轴对称;相同性质:两图象都位于y轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,+∞),且x=1时,y=0.不同性质:y=log2x的图象是上升的曲线,y=lo g12x的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数,后者在(0,+∞)上是减函数.问题6:分别取a=3,13,4,14,即在同一平面直角坐标系内作出对数函数y=log3x,y=lo g13x,y=log4x,y=lo g14x的图象.图象如右:有类似于问题5中的结论.问题7:函数y=log a x与y=lo g1ax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.证明如下:y=lo g1a x=-log a x,又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称,所以y=log a x与y=lo g1ax的图象关于x轴对称.问题8:(0,+∞)R(1,0)10增减四、运用规律,解决问题【例1】(1){x|x≠0};(2){x|x<4};(3){x|-3<x<3}.【例2】(1)log23.4<log28.5(2)log0.31.8>log0.32.7(3)a>1时,log a5.1<log a5.9;当0<a<1时,log a5.1>log a5.9.小结1:①确定所要考查的对数函数;②根据对数、底数判断对数函数的单调性;③比较真数大小,然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小.小结2:对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.五、变式演练,深化提高1.解:(1)由1-x>0,得x<1,故所求函数定义域为{x|x<1};(2)由log 2x ≠0,得x ≠1,又x>0,故所求函数定义域为{x|x>0,且x ≠1};(3)由{11-3x>0,1-3x ≠0,得x<13,故所求函数定义域为{x|x<13}; (4)由{x >0,log 3x ≥0,得{x >0,x ≥1,则x ≥1,故所求函数定义域为{x|x ≥1}. 2.(0,-2)3.24.略六、反思小结,观点提炼1.学习了对数函数的定义、图象与性质;2.用到了类比的思想方法;同时,更近一步熟悉了研究函数的方法和步骤;3.学习了用对数函数的图象与性质解对数典型题的基本方法.七、作业精选,巩固提高3.0<n<m<14.log a b<log b 1b <log a 1b。

对数函数及其性质（1）一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。

由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。

教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。

对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________； （2）y =__________________； （3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（ ）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞-，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===， ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-， 3. B 4. C 5. D 6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，， （3）(2)(02)+∞，，，13. A。

要
点
梳
理
对数函数图像
对数函数性质
导作业
课本练习第2,3题
反思
收获
合
作
交
流
例2：比较下列各组数中两个值的大小:
(1)
(2)
（3）loga5.1，loga5.9 (a＞0,且a≠ 1).
1、求下列函数的定义域
（1） （2）
随
堂
检
测
１.函数f(x)=lg( )是（奇、偶）函数。
２．已知函数f(x)=log0.5(-x2+4x+5),则f(3)与f（4）的大小关系为。
３．已知函数 在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
重点、难点
[重点]
对数函数的定义、图像和性质．
[难点]
反函数概念的理解．
预
习检
测
1．底数对对数函数图像的影响
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像与直线y＝1的交点是(a，1)，比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．也就是说，沿直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图2-2-1)．
榆中五中“三导六步”数学导学案
主备人
王利霞
年级
高一级
课题
对数函数及其性质一
课时
安排
1课时
导
预
习
填表
对数函数y = logax (a＞0,且a≠ 1)的图像和性质：
0<a<1
a>1
图像
定义域
值域
性质
情景展示
研究函数和的图象；
目
标
展
示
知识与能力
理解对数函数的概念；掌握对数函数的性质；会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较；了解对数函数在生产实际中的简单应用；加深对函数思想的理解．

对数函数及其性质一、教材分析《对数函数》出现在高中数学必修一第二章第二节第二课时。

对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一，无论从知识角度还是思想方法的角度对数函数与指数函数都有类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活、能力要求也更高。

而且学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。

也为解决函数总和问题及其在实际中的应用奠定良好的基础。

二、学情分析函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．学生在高中有一定的形象思维和抽象思维能力，已经学习了三种基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数，已经具有一定的函数基础知识，并且在对数函数之前学习了指数函数，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用；具备通过类比指数函数学习来认识对数函数的性质。

因此本节对数函数既是对以前函数知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后学习提供了必要的基础知识．三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，将对数函数及其性质此节课的教学目标、重点和难点设置为：（一）教学目标：1.知识与技能：进一步理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质；初步利用对数函数的图像与性质来解决简单问题（会求对数函数的定义域；会用对数函数的定义比较两个对数的大小）。

2.过程与方法目标：经过探究对数函数的图像和性质的过程，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力；渗透类比、数形结合、分类讨论等基本数学思想方法。

3.情感态度与价值观目标：在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。

-2
-2
-2.5
-2.5
定义域： 值域：
（0，+∞） (,)
y0
y0
x (0,1)
性 质
过点（1，0），即当x=1时，y=0
x (0,1)
x (1,)
y0
y0
减
函数
x (1,)
在（0，+∞）上是 增 函数
在（0，+∞）上是
谢 谢！
； / 石器时代私服
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定义域： 值域：
（0，+∞） (,)
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x (0,1)
性 质
过点（1，0），即当x=1时，y=0
x (0,1)
x (1,)
y0
y0
减
函数
x (1,)
. 类比指数函数图象和性质的研究研究对数函数的性质：
思考底数a是如何影响函数 y=logax的呢 ? 规律:在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
Ⅰ Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
新授内容： 3．对数函数的性质 a>1
3
0<a<1
3 2.5 2 1.5
2.5
2
1.5
图 象
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5

对数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程组织学生充分讨论、交流，使≠1．．师：用多媒体演示函数图象，对数函数图象有以下特征相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升的，y=log x的图象是下降的备选例题例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x . ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }. 函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.对数函数及其性质（二）（一）教学目标 1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.x（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1a>和a<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有01字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较.在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a ＞1时是增函数，0＜a ＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.对数函数及其性质（三）（一）教学目标 1．知识与技能（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质. 2．过程与方法（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习. （2）综合提高指数、对数的演算能力.（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.3.情感、态度、价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.（二）教学重点、难点重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.难点：反函数概念的理解.（三）教学方法通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.（四）教学过程设计课堂练习答案备选例题例1 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1），∴1log 3a =， ∴3a =.【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a .例2 求函数y = log 4 (7 + 6 x – x 2)的单调区间和值域.【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.【解析】由7 + 6 x – x 2＞0，得(x – 7) (x + 1)＜0，解得–1＜x ＜7. ∴函数的定义域为{x |–1＜x ＜7}.设g (x ) = 7 + 6x – x 2 = – (x – 3)2 + 16. 可知，x ＜3时g (x )为增函数，x ＞3时，g (x )为减函数.因此，若–1＜x 1＜x 2＜3. 则g (x 1)＜g (x 2) 即7 + 6x 1 – x 12＜7 + 6x 2 – x 22， 而y = log 4x 为增函数.∴log(7 + 6 x1–x12)＜log4 (7 + 6x2–x22)，4即y1＜y2.故函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调增区间为(–1, 3)，同理可知函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调减区间为(3, 7).又g (x) = – (x– 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为(0, 16].所以函数y = log4(7 + 6x–x2)的值域为(–∞, 2].【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.。

对数函数y=log a x (a>0, a≠1) 对数函数
a>1 图 象
o y (1, 0) x y
0<a<1
（1, 0) o
x
(1) 定义域： (0,+∞) 定义域： (2) 值域：R 值域： 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 性 (3) 过点 (4) 当0<x<1时, y<0; 时 (4) 当0<x<1时, y>0; 时 当x>1时, y>0 时 当x>1时, y<0 时 上是增 上是减 上是 在 上是 质 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
我们在研究指数函数性质 研究了哪些方面？ 时，研究了哪些方面？通过 什么来研究? 什么来研究?
二.对数函数图象 对数函数图象
作出函数y=log 的图像， 作出函数y=log2x与 y = log 1 x 的图像，并观察这两
2
个函数图象之间有怎样的关系。 个函数图象之间有怎样的关系。
三.对数函数的性质 对数函数的性质
y 0 1
㈠
a>1 x
㈡ 图象特征 图象都在__轴的右侧 图象都在y __轴的右侧 __ 这些图象都经过______点 这些图象都经过______点 ______ a>1， x∈(0,1)时图象在x a>1，当x∈(0,1)时图象在x轴 时图象在 下 ____方 x∈(1,+∞)时图象 的____方； x∈(1,+∞)时图象 轴的____ ____方 0<a<1,正好 在x轴的____方; 0<a<1,正好 上 相反 从左向右看: 从左向右看: a>1时图象 逐渐上升 a>1时图象 ________; 0<a<1时图象 逐渐下降 时图象_________; 0<a<1时图象_________;

[解析] (1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 对一切 x∈R
恒成立，
当 a2－1≠0 时的所需条件是
a2－1>0， Δ＝a＋12－4a2－1<0.
解得
a<－1
或
5 a>3.
又当 a＝－1 时，有 1>0 恒成立．
∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪53，＋∞. (2)依题意，只要 t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1 能取得(0，＋ ∞)内的所有值，则 f(x)的值域为 R， ∴aΔ2≥－01，>0， 解得 1<a≤53. 又当 a2－1＝0，即 a＝1 时，t＝2x＋1 符合题意． ∴a 的取值范围为1，53.
函数奇偶性判定
[例 4] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)； (2)f(x)＝lg(x＋ x2＋1)； (3)f(x)＝logabb＋－xx(a>0 且 a≠1，b>0)； (4)f(x)＝|lxg＋42－|－x22. [分析] 从奇偶函数的定义出发给予判别．
[解析] 如图：(1)将 y＝log2x 向左平移 1 个单位得到 y＝ log2(x＋1)的图像．
(2)将 y＝lgx 的图像向上平移 1 个单位得到 y＝lgx＋1 的 图像．
(3)将 y＝log2x 图像在 x 轴的上方部分不变，x 轴的下方部 分作关于 x 轴对称的图像．
(4)y＝log2|x|＝lloogg22x－x>x0x，<0. 作出 y＝log2x 的图像，又 y＝ log2|x|为偶函数，再作 y＝log2x 关于 y 轴的对称图像．这两个图像 就是 y＝log2|x|的图像．
对数函数单调性
[例 3] 求函数 y＝log1 (3＋2x－x2)的单调区间和值域．

2.2.2 对数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程一般式吗？.概念．质，.的图象之间有什么关系？对数函数图象有以下特征对数函数有以下性质相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升=log x的图象是下降的.备选例题例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x . ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }. 函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x xx ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.x。

教学目标（一）教学知识点1．对数函数的概念；2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求1．理解对数函数的概念；2．掌握对数函数的图象、性质；3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；2．用联系的观点看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入：1、指对数互化关系：2、)1aay x且的图象和性质．(≠>=a3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数．二、新授内容：1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞．学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=；分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．解：（1）由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x ；11log )3(7-=x y（3）由x-1>0得x>1， ∴函数的定义域是()+∞,1． 2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图象：思考：x y 2log =与x y 21log =的图象有什么关系？3，（1）根据对称性（关于x 轴对称）已知y =3log x 的图像，你能画出y =x 31log 的图像吗？（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质.（1）x y 2log = （2）x y 21log =（3）x y 3log = （4）x y 31log =4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．a ＞1 0＜a ＜1 图 象性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当x =1时，y =0)1,0(∈x 时0<y ),1(+∞∈x 时0>y)1,0(∈x 时0>y ),1(+∞∈x 时0<y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数三、讲解范例：例2．比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log ,4.3log 22；⑵7.2log ,8.1log 3.03.0；⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 解：⑴考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<．⑵考查对数函数x y 3.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确定所要考查的对数函数；②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小． ⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <； 当10<<a 时，x y a log =在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log 1.5log a a >． 小结2：分类讨论的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练习1。

0
1
y log 2 x y log 3 x x y log 1 x
y log 3 1 x
2
问题五： 函数 y log2 x 与 y log 1 x 图象有 2 什么关系 ？ 答： 关于x轴对称。
4.对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
y
（书面作业）
•P91 习题4.4
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
a>1 指数函数 y=ax (a>0, 且a≠1）的 图象和性质： 图 象
(1)定义域:
(2)值域: (3)定点:
y
（0，1） O
0<a<1
y
y=1
x
y=1
O
（0，1）
x
R (0,+∞） (0,1)
在R上是增函数 在R上是减函数
性 质
(4)单调性:
(5) 函数 值的 分布 情况
>1 (x>0) ax
哈哈 ，我们都不是对数函数 你答对了吗？？？
(5) y log5 x 1 (6) y log5 x (7) y logx 5
（×） （×） （×）
我们是对数型函数 请认清我们哈
练习
下列函数中，哪些是对数函数？（导学与评价P53） 2 ① y log a x ; ④ y logx a( x 0, 且x 1); ⑤ y log5 x. ② y log 2 x 1;
log2 x 1 log2 2
-1 -2
y log0.5 x
1. y = log2 x与y = log 0.5 x的图象分析

底数
a 1
0 a 1
y
y
图象
1
O
1
x
O
x
定义域
0,
值域
R
定点 性
过定点 1,0 ,即当 x 1时, y 0
质 函数值 当 0 x 1 时, y 0 ;
当 0 x 1 时, y 0 ;
的正负
当 x 1时, y 0 .
当 x 1时, y 0 .
∴定点的坐标为 3,3
∴函数 y b xc 2 的图象恒过点 3,3
令 x c 3 c 0 ,则 c 3, y b0 2 3 ,符合题意.
∴实数 c 的值是 3.
例 9. 已知函数 f x log2 1 2x ,则函数的值域是【 】
注意 若比较图象与直线 y 1的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小.
说明 在平面直角坐标系中,对数函数 y loga x 的图象与直线 y 1的交点为 a,1,即交
点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就
越大;对数函数
y

log a
（A） 1,1
（B） 1,2
（C） 2,1
（D） 2,2
解:令 x 1 1,则 x 2 , y loga 1 1 1
∴函数 f x 的图象恒过点 2,1 .
选择【 C 】.
例 6. （ 1 ） 函 数 f x loga 2x 3 4 （ a 0 且 a 1） 的 图 象 恒 过 定 点
∴ log2 1≤ log2 x log2 64 ,∴ 0 ≤ log2 x 6 ,即 0 ≤ y 6 .