广东省佛山市2020届高三上学期第一次模拟考试数学理试题及答案

广东省2020届高三六校第一次联考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.在△中，为的中点，点满足，则（）A. B.C. D.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件则的最大值为______________．14.若，则的展开式中常数项为______________．15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．21.已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．23.已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．广东省2020届高三六校第一次联考数学（理）试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。

立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A­BD­C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。

2020届广东省茂名市五校高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2430x x x A -+≥=，{}22x x B =-≤≤，则A B =I ( ). A ．[2,3] B ．[2,1]-C ．[1,2]D ．[2,3]-【答案】B【解析】先求集合A ，再求A B I . 【详解】{|3A x x =…或1}x „，[]2,1A B =-I ∴.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.2．已知复数Z 满足()12Z i i +=+（i 为虚数单位），则复数Z 的虚部为（ ）. A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】A 【解析】首先21iZ i+=+，然后化简求虚部. 【详解】231122i i i Z +=-+=，虚部为12-.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型. 3．设实数3log 5a =，151log 3b =，22cos 4xc dx ππ-=⎰，则（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】利用定积分运算法则求c ，再利用对数函数的单调性比较大小，即可得到答案． 【详解】由题意得：33log 5log 31a =>=，实数1551log 33b log ==，∴112b <<， 2222cos sin 111|()44442x x c dx ππππ--===--=⎰，a b c >>Q ，故选：C ． 【点睛】本题考查定积分运算、对数函数的单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 4．给出以下几个结论：①命题:p x R ∀∈，211x -≤，则0:p x R ⌝∃∈，2011x -≤②命题“若(1)10x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x x e -+≠” ③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件 ④若02x π<<，则4sin sin x x+的最小值为4 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用命题的否定判断①的正误；运用逆命题的关系判断②的正误；充要条件判断③的正误；函数的最小值判断④的正误． 【详解】对①，命题:p x R ∀∈，211x -≤，则200:,11P x R x ⌝∃∈->，不满足命题的否定形式，故①错误；对②，命题“若(1)10xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x x e -+≠”，满足逆否命题的定义，故②正确；③“命题p q ∧为真”可知“命题p q ∨为真”反之不成立，所以“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件，故③正确；④若02x π<<，则4133sin sin 5sin sin sin 1x x x x x +=++≥=，当且仅当sin 1x =时，表达式取得最小值为5；因为sin 1x <，所以表达式没有最小值，故④错误；∴②③结论正确，故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假以及函数的最值的求解．5．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）. A ．48里 B ．189里C ．288里D ．336里【答案】D【解析】记每天走的路程里数为{}n a ，{}n a 是等比数列，根据等比数列公式求解 【详解】记每天走的路程里数为{}n a ，{}n a 是等比数列，设第一天行走里程数是1a ，12q = ，166112378112a s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，1192a =，33119212336112s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∴，故选：D. 【点睛】本题考查数学文化问题，意在考查抽象，概括和计算求解能力，属于基础题型. 6．某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（ ）.A ．33B ．23C ．3D ．3 【答案】C【解析】根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的高是正视图的高，13V Sh =. 【详解】由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为2的等边三角形，12332S =⨯⨯=，高为3， 13333V =⨯⨯=， 故选：C . 【点睛】本题考查根据三视图，求几何体的体积，意在考查空间想象和计算能力，属于基础题型. 7．函数3sin 2xy x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项. 【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D . 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 8．已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）.A ．1B ．65C ．43D ．32【答案】C【解析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=-2cos 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x Q 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆ ∴23ωπππ+≤，403ω∴<≤ ，综上可知403ω<≤.故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解. 9．若正数,a b 满足211a b +=，则4821a b +--的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．16【答案】B 【解析】把已知211a b +=变形后代入4821a b +--化简后，再利用基本不等式求得最小值． 【详解】 ∵211a b+=，0,0a b >>，∴2,1a b >>，2a b ab +=， ∴484(1)8(2)8420421021(2)(1)22b a a b a b a b a b ab a b -+-+-+===+-------+=212(2)()10a b a b ++-222(5)102(5108a b b a =++-≥+-=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时，等号成立， ∴4821a b +--的最小值是8． 故选：B ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值．解题关键是把待求化简变形，然后凑配出可用基本不等式的形式，即定值，然后用基本不等式求得最值．这时用到了“1”的代换．10．已知函数()()()24sin 21f x x x x x =--++在[]1,5-上的最大值为M ，最小值为m ，则 M m +=（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】D【解析】()()()()()2242124sin 223f x x x sin x x x x x ⎡⎤=--++=---+-+⎣⎦Q令()()()224sin 22g x x x x ⎡⎤=---+-⎣⎦而()()()()()2424sin 2sin 22g x x x x x ⎡⎤-=-----+-⎣⎦ ()()40g x g x ∴-+=则()g x 关于()20，中心对称，则()f x 在[]15-，上关于()23，中心对称， 6M m ∴+=故答案选D点睛：对函数的解析式进行化简，构造出新函数()()()224sin 22g x x x x ⎡⎤=---+-⎣⎦，求得该函数关于点对称，从而计算出最大值与最小值的和．11．在等腰直角三角形ABC 中，,2C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD翻折，使点A 与点B 间的距离为此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．3C ．12πD ．20π【答案】D【解析】如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后AB =(222221cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=o ，设ADB ∆外接圆的半径为r ，24r == ，2r ∴= ， 如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 12．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞ 【答案】A【解析】由已知可知，32()20f x x ex ax lnx '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立，分离系数可知，22lnxa ex x x≥+-在(0,)+∞上恒成立，构造函数即可求解． 【详解】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x -+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A . 【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．二、填空题13．已知两个向量a r ，b r 满足1a =r，2a b -=r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则b =r_________．【答案】3【解析】根据平面向量的数量积与模长公式，列方程求出||b r的值． 【详解】由||1a =r，|2|a b -=r r a r 与b r 的夹角为3π，∴222(2)447a b a a b b -=-+=r r r r r r g ，24141||cos ||73b b π⨯-⨯⨯⨯+=r r ，∴2||2||30b b --=r r ，解得||3b =r 或||1b =-r（不合题意，舍去）．∴||3b =r．故答案为：3． 【点睛】本题考查平面向量的数量积与模长公式的计算问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．14．已知动点(),P x y 满足20030x y y x y -⎧⎪⎨⎪+-⎩……„，则12y x ++的取值范围是___________.【答案】1[,1]5【解析】首先做出可行域，12y x ++表示(),P x y 与()21--，连线的斜率k ，根据数形结合求k 的范围. 【详解】 作出可行域如图，12y x ++表示(),P x y 与()21--，连线的斜率k ，当直线过点()1,2时，k 最大，此时()()21112k --==--，当直线过点()3,0时，k 最小，此时()()011325k --==-- k 的最小值为15， 故答案为：1[,1]5.【点睛】本题考查线性规划，根据目标函数的几何意义求最值，属于基础题型.15．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a 和1n a -是函数21()ln 42f x x x nx =+-的极值点，则数列{}(1)n n S -的前2n 项和为___________.【答案】242n n +【解析】首先求函数的导数，得到2410x nx -+=，所以214n a a n -+=，根据等差数列的性质和求和公式得到22n S n =，再代入()1nn S -，利用并项求和. 【详解】1'()40f x x n x=+-=， 2410x nx -+=∴.214n a a n -+=∴，14n a a n +=∴，22n S n =∴，数列{}(1)n n S -的前2n 项和为 222222222[12345(21)(2)]n S n n =-+-+-+--+L22[37(41)]42n n n =+++-=+L .【点睛】本题考查函数极值点和数列求和的综合应用，重点考查数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.并项求和法，比如本题；6.倒序相加法求和.16．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>且(1)y f x =+是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为_________．【答案】(,2)-∞【解析】设()()x f x g x e=，结合已知可判断()g x 在R 上单调递增，然后由(1)y f x =+是偶函数，及(0)f 可求(2)f ，进而可求(2)g ，即可求解．【详解】 设()()x f x g x e =，()()()0xf x f x x e '-'=>g ∴， ()g x ∴在R 上单调递增，(1)y f x =+Q 是偶函数，()y f x ∴=图象关于1x =对称，2(2)(0)2f f e ∴==，2(2)(2)2f g e ∴==， ()()22x x f x f x e e<⇔<，即()(2)g x g <， 2x ∴<.故答案为：(,2)-∞.【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及转化思想的应用，考查计算能力．三、解答题17．已知向量(cos ,sin ),(cos )m x x n x x ==u r r ，函数1()2f x m n =⋅-u r r . （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3,()625f ππαα∈=（，），求cos2α的值； 【答案】（1）π；（2【解析】（1）首先利用向量数量积得到21()cos cos 2f x x x x =+-，利用三角函数恒等变形得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭ ，然后利用周期公式2T ωπ=求周期；（2）由（1）可知3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】（1）21()cos cos 2f x x x x =-，1cos 21222x x +=+-12cos 22x x =+ sin(2)6x π=+ ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）3()sin(2)65f παα=+=， ,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，72,626ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 4cos(2)65πα+=-∴， cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， =cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα+++4313==525210--⨯+⨯【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，意在考查变形与转化，以及计算求解能力，属于基础题型.18．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n nS n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <. 【答案】（1）31n n a =-；（2）证明见解析；【解析】（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14n T <. 【详解】（1）223n n S n a +=Q ，1122(1)3n n S n a ++∴++=，两式相减得132n n a a +=+ ，113(1)n n a a ++=+∴ ，又111223,2S a a +==∴，∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，13,31n n n n a a +==-∴∴（2）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴ 1111142314n +=-⋅<- 【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.19．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14B =，21AD =ABC V 的面积S ． 【答案】（1）3π．（2）3【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（1）2cos 2c A b a =-Q ，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴，2sin cos sin A C A ∴=，Q sin 0A ≠，1cos 2C ∴=， (0,)C π∈Q ，3C π∴∠=. （2）Q 11cos 14B =，(0,)B π∈，53sin B ∴=， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+53111343214=+=， 43533::sin :sin :sin 8:5:7a b c A B C ∴===， 设8a x =，5b x =，7c x =， 在ACD V 中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅， 22221251620x x x ∴=+-，1x ∴=，8a ∴=，5b =，7c =，1sin 1032ABC S ab C ∴==V【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．20．在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，//PE CD ，2AB BC ==，4=AD ，25PD =，PDA ∠的余弦值为25，1=2PE CD ，F 为BE 中点，G 为PD 中点．（1）求证：//FG 平面ABCD ；（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角(锐角)的余弦值．【答案】（1）答案见解析．（2）35【解析】（1）取EC 的中点H ，连结FH ，GH ，证明//FH BC ，//FH 平面ABCD ，//HG CD ，//HG 平面ABCD ，然后证明平面//FHG 平面ABCD ，推出//FG 平面ABCD ；（2）在PAD ∆中，求出2PA =，说明PA AD ⊥，以AD 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面ADE 所成角的余弦值即可．【详解】（1）取EC 得中点H ，连结FH ，GHF Q 为BE 中点，//FH BC ∴，FH ⊄Q 平面ABCD ．BC ⊂平面ABCD ，//FH ∴平面ABCDG Q 为PD 中点，//EP CD//HG CD ∴HG ⊄Q 平面ABCD ．CD ⊂平面ABCD//HG ∴平面ABCD=FH HG H ⋂Q ∴平面//FHG 平面ABCDFG ⊂Q 平面FHG //FG ∴平面ABCD（2）在PAD △中，222=2cos PA PD AD PD AD PDA +-⋅⋅∠25201622544=+-⨯=， 2PA ∴=，222PA AD PD ∴+=，PA AD ∴⊥，又∴平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PA ∴⊥平面ABCD ，以AD 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，A 为原点建立空间直角坐标系． (0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(4,0,0),(0,0,2)A B C D P --， 设11(,,),2,2E x y z PE CD EP CD =∴=u u u r u u u r Q ， ∴1(,,2)(2,2,0)2x y z ---=，1x ∴=-，1y =-，2z =， ∴点E 的坐标为(1,1,2)--,设平面ADE 的一个法向量：1111(,,)n x y z =u r ，(4,0,0)(1,1,2)AD AE ==--u u u r u u u r ， ∴11114020x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1112,z y =∴=， ∴1(0,2,1)n =u r ，设平面BCE 的一个法向量2222(,,)n x y z =u u r ，22,n BC n BE⊥⊥u u r u u u r u u r u u u r Q ，∴(2,0,0),(1,1,2)BC BE ==-u u u r u u u r ， ∴22222020x x y z =⎧⎨-++=⎩令2212,z y =∴=-，∴2(0,2,1)n =-u u r ，∴123cos ,5n n <>==-u r u u r ∴平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值为35． 【点睛】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．21．已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析．（2）(0,1)【解析】（1）先求()f x 的定义域，然后进行求导，然后结合a 的范围判断导数的正负即可判断，（2）构造函数()0f x =，分离22lnx x a x x +=+，构造函数22()lnx x g x x x+=+，然后结合导数与函数的关系进行判断即可．【详解】（1）Q ()f x 的定义域为(0,)+∞， 1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=， ①当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '>得10ax ->，1x a ∴<， ()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减. （2）令2()ln (2)0f x x ax a x =-+-=得2ln 2x x a x x+=+， 设2ln 2()x x g x x x+=+，22(21)(1ln )()()x x x g x x x +--'∴=+， 令()1ln p x x x =--，1()10p x x'=--<在(0,)+∞上恒成立， ()p x ∴在(0,)+∞上单调递减，又(1)0p =Q ，∴当(0,1)x ∈时()0p x >，即()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时()0p x <，即()0g x '<；()g x ∴在(0,1)上单调递增，(1,)+∞上单调递减，当0x +→时，()g x →-∞，(1)1g =；当x →+∞时，()0g x →作出()g x 的图象如图：a ∴的取值范围为(0,1).【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力． 22．已知函数()sin sin f x x x a x b =++，()cos 2x x g x e x e =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >，证明：()()g x f x >．【答案】（1）1a =，0b =．（2）答案见解析【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，求出切点，代入切线方程，求出b 即可．（2）要证()()g x f x >，即证(cos (1)sin x e x x x +>+，等价于证明：1x e x >+()(0)1xe p x x x =>+，利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值，证明即可．【详解】（1）()sin cos cos f x x x x a x '=++Q ，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，(0)1f a '∴==，又(0)f b =，切点(0,)b 在切线y x =上，0b ∴=.（2）由（1）可知()(1)sin f x x x =+，要证()()g x f x >，即证(cos (1)sin x e x x x >+0x Q >，10x +>，cos 0x >∴等价于证明：1x e x >+ 设()(0)1xe p x x x =>+，2()0(1)x xe p x x '=>+在(0,)+∞上恒成立， ()p x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)1p x p ∴>=，设()y h x ==，cos sin y x x ∴=，sin cos x y x ∴-=，)x ϕ+=，sin()x ϕ∴+=，1≤，解得11y -≤≤，即()1()h x p x ≤<，()()g x f x ∴>．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，构造法的应用以及函数的最值证明不等式，考查转化思想以及计算能力，是难题．。

考点48 圆的方程1．（广东省2019届高考适应性考试理）若向量a ，b ，c 满足a b ≠，0c ≠，且()()0c a c b -⋅-=，则a b a bc++-的最小值是（）AB ．C ．2D ．32【答案】C 【解析】设向量a OA =，b OB =，c OC =,则由()()0c a c b -⋅-=得0AC BC ⋅=,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2AB ， 因此11||||||(||)||22c OC OM r OA OB AB =≤+=++ 1111(||)(||)(||)(||)2222OA OB OA OB a b a b =++-=++- 从而2a b a bc++-≥，选 C.2．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）设是圆 上的点，直线与双曲线：的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为8，则（）A ．9B ．C ．9或D ．9或【答案】C 【解析】 因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为，所以，解得. 圆的圆心坐标是，半径为，因为圆心到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为，解得或.当时，；当时，.综上，或.故选.3．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选：．4．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）已知点A 在圆22(2)1x y -+=上，点B 在抛物线28y x=上，则||AB 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】由题得圆()2221x y -+=的圆心为（2,0），半径为1. 设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆()2221x y -+=的圆心， 由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1, 设点B 的坐标为(x,y),所以|AB|≥x -(-2)-1=x+1,因为x≥0， 所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1. 故选：A5．（新疆2019届高三第三次诊断性测试数学理）若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【答案】B 【解析】解：因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，即1<因为点P 1， 所以点P 在圆外，故选B ．6．（河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试数学理）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4，l 与圆C 交于A ，B ，圆C 与E 交于M ，N ．若A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点，则E 的方程为（ ）A ．y 2＝xB ．y 2C ．y 2＝2xD ．y 2＝x【答案】C 【解析】 【分析】 如图，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的圆心C （2p ，0）是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点， ∵圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的半径为2， ∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2． ∵A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点， ∴点A ，N 关于直线x ＝2p 对称，即22N A P x x P +=⨯=，∴32N x p =， ∴|NA|＝322p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝2，∴2p ＝2，则E 的方程为y 2＝2x ． 故选：C ．7．（闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考数学理）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，分别过A B 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(2)26x y +++=D ．22(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=即()()()()1211330y y -⨯-+--= ()12121030y y y y ⇒-++= 即101240m -+= 12m ⇒=∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=本题正确选项：A ．8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）Rt ABC ∆中，090ABC ∠=，AB =4BC =，ABD ∆中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（ ） A．2,2] B．(4,2] C．2,2]+ D．2,2]【答案】C 【解析】由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y轴建立直角坐标系；(0,0);(0,4)B A C设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方； 当点D 可能在直线AB 的上方；直线BD 的斜率1yk x=；直线AD的斜率2k =由两直线的夹角公式可得：2121tan12011k k k k x-=⇒=+⋅化简整理的22((1)4x y ++=可得点D的轨迹是以点1)M -为圆心，半径2r =的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：22CM r -== 当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D的轨迹方程：22((1)4x y +-=此时点D的轨迹是以点N 为圆心，半径2r =的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：22CN r +==所以CD的取值范围为2⎡⎤⎣⎦．9．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）已知圆关于对称，则的值为A ．B．1 C．D．0【答案】A【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A．10．（北京市朝阳区2018-2019学年度高三期末）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C （0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A．2 B．C．4 D．【答案】C【解析】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.11．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考)数学理）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 圆心为的中点，半径为，则以线段为直径的圆的方程为.故选D.12．（四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试）点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A ．B ．C ．1D ．3【答案】D 【解析】圆x 2+y 2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M ，N 在圆x 2+y 2+kx+2y-4=0上，且点M ，N 关于直线l ：x-y+1=0对称， 所以直线l ：x-y+1=0经过圆心， 所以．所以圆的方程为：x 2+y 2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C ．13．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）在直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在唯一一点M ，使2M A M O =，则圆心C 的非零横坐标是__________． 【答案】125【解析】圆心在l 上,设(),24C a a -,点(),M x y ,因为2MA MO ==,化简得:()2214x y ++=,所以点(),M x y 在以()0,1D -为圆心,以2为半径的圆上,又点(),M x y 在圆C 上,所以圆C 与圆D 有唯一公共点,即两圆相切,211CD =-=,或者213CD =+=,即251280a a -+=或25120a a -=,解得0a =(舍)或125,故填125. 14．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______． 【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ， 过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 15．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：116．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．【答案】.【解析】 ∵圆的圆心为M （-3，2）， ∴圆关于M （-3，2）中心对称，又曲线，关于（-3，2）中心对称， ∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，不妨设与，与关于（-3，2）中心对称，则，,∴，故答案为.17．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）已知点A （-2，0），B （0，2），若点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则面积的最小值为______．【答案】4 【解析】∵点A （-2，0），B （0，2），∴AB 的直线方程为=1，即x-y+2=0．圆心C （3，-1）到直线AB 的距离为d=，因为点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，所以点P到直线AB距离的最小值为：=，且.则ABP面积的最小值为.故答案为：4．18．（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）已知直线过定点，线段是圆的直径，则________.【答案】7.【解析】直线可化为，联立，解得点，∵线段是圆的直径，∴19．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．【答案】.【解析】如图：，，，，，，，，解得：，故答案为：．20．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）在极坐标系下，点π(1,)2P 与曲线2cos ρθ=上的动点Q距离的最小值为_________．1 【解析】由题得点P 的直角坐标为（0,1），222222cos 2cos +201)1x y x x y ρθρρθ=∴=∴-=∴-+=，，，（，所以曲线是以点（1，0）为圆心，以1为半径的圆，所以点P 11-=.1．21．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()5,0B .若圆()()22:44M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为______.【答案】【解析】根据题意，设P 的坐标为(,)a b ，直线PA 的方程为(1)1by x a =++，其在y 轴上的截距为1b a +， 直线PB 的方程为(5)5b y x a =--，其在y 轴上的截距为55b a --，若点P 满足使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有5()()515b b a a ⨯-=+-， 变形可得22(2)9b a +-=，则点P 在圆22(2)9x y -+=上，若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一点P ，则圆M 与22(2)9x y -+=有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，2，则两圆只能外切， 则有2425m +=，解可得：m =故答案为：22．（湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试理）已知圆22:(6)(6)16M x y -+-=，点(8,4)A ，过点A 的动直线与圆M 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，则OMN ∆面积的最大值为______． 【答案】12 【解析】由题可知MN PQ ⊥，所以点N 在以线段AM 为直径的圆上，OMN ∆的边OM =N 到直线OM 的距离最大时，OMN ∆的面积最大，以线段AM 为直径的圆的圆心为()7,5，直线OM的方程为0x y -=，点()7,5到直线OM=所以N 到直线OM 的距离的最大值为故OMN ∆的面积的最大值为1122⨯=. 故答案为：1223．（江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测考试12月联考数学理）已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于点，，且，设点是圆上的动点，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】由题意，可设圆C 的方程为，则，，所以， 则圆C 的方程为，即，可得，设，则== =，由题意可知，，所以.故答案为：. 24．（江苏省苏州市2018届高三调研测试理）在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________． 【答案】【解析】根据题意，设圆C 的圆心为（m ，n ），半径为r ，则圆C 的标准方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝r 2，则有， 解可得：m ＝1，n ＝﹣2，r，则圆C 的方程为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝225．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）已知椭圆1C ：2214x y +=的左、右两个顶点分别为,A B ，点P 为椭圆1C 上异于,A B 的一个动点，设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若动点Q 与,A B 的连线斜率分别为34,k k ，且3412(0)kk kk λλ=≠，记动点Q的轨迹为曲线2C .（1）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（2）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于,E F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1,3]λ∈，求12S S 的取值范围. 【答案】(1) 224(2)x y x +=≠± (2) []5,7【解析】（1）设()00,P x y ()02x ≠±，则220014x y +=，因为()()2,0,2,0A B -，则2020001222000011422444x y y y k k x x x x -=⋅===-+---(),Q x y 设 ()2x ≠±所以2341222244y y y k k k k x x x λλ=⋅===-+--，整理得 2214x y λ+= ()2x ≠±.所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为 ()2242x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,E x y F x y . 由题意知，直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为：22x y =-+.由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为2214x y λ+= ()2x ≠±，联立 ()2262244x y x x y λλ=-⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()29160y y λλ+-=，得 1691y λλ=+ 联立()2222244x y x x y λλ=-+⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()2120y y λλ+-=，得 221y λλ=+2212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y λλ∠--+=====+∠-- 设()918911g ，λλλλ+==-++ 则()g λ在[]1,3上递增 又()()15,37g g ==，12S S ∴的取值范围为[]5,7 26．（四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学理）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为. （Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点； （Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意知可设过点的直线方程为，由消去整理得，又因为直线与抛物线相切， 所以，解得．当时，直线方程为，可得点坐标为，又因为焦点，所以点在轴上的射影为焦点． （Ⅱ）设直线的方程为，由，其中恒成立.设，，则，所以，．由于圆是以线段为直径的圆过点，则，所以所以，解得或．当时，直线的方程为，圆的方程为；当时，直线的方程为，圆的方程为．27．（江西省抚州市七校2019届高三10月联考数学理）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可知，设圆的方程为，，解得，，所以圆的方程为．（2）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为．又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．由题可知，，．因此，又，同理，所以，当且仅当时取等号．又，所以的取值范围是．。

已知向量(sin cos ,2cos )x x x =+m ，sin co,s )s in (x x x =-n ，()1f x =⋅+m n ． （1）求()f x 的解析式，并求函数()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的值域．【肢解1】在已知条件下求出，函数()f x 的解析式.【肢解2】在“肢解1”的基础上，完成问题：函数()f x 的单调增区间. 【肢解3】在已知条件下，求()f x 在[0,]2π上的值域.【解析】（1）22()sin cos 2sin cos 1sin 2cos21)14f x x x x x x x x π=-++=-+=-+．（3分）令222242k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得88k x k π3ππ-≤≤π+，k ∈Z ． 故函数()f x 的单调增区间为[,]88k k π3ππ-π+，k ∈Z ．（6分）（2）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤，从而sin(2)14x π≤-≤，（8分）大题肢解一三角函数的图象及其性质所以0)114x π-+≤，所以()f x 在[0,]2π上的值域为1]．（12分）此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为si (n )y A x B ωϕ++=的形式，再结合正弦函数sin y x =的性质研究其相关性质．（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略：①对函数sin y x =，sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为x ωϕ±.②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【拓展1】已知向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，x ∈R ，已知函数()()f x =⋅+a a b . 求()f x 的最值与最小正周期；【解析】由向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，所以()sin cos ,2cos x x x +=+a b ， 所以()()()2sin sin cos 2cos f x x x x x =⋅+=++a a b ()111sin 2cos 2122x x =+++32224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又[]sin 2-1,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()f x的最大值是322+，最小值是322-，()f x 的最小正周期是22T π==π. 【拓展2】已知函数23()cos cos 2f x x x x =++，当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域.【解析】由题得1cos 23()2sin(2)22226x f x x x +π=++=++， ∵[,]63x ππ∈-， ∴2[,]666x ππ5π+∈-， ∴1sin(2)126x π-≤+≤， ∴函数()y f x =的值域为3[,3]2.（2019年河北省存瑞中学高三上一质检）已知向量)1cos ,,,cos2,2x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R a b ,设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解析】由已知可得：变式训练一()11·cos cos2cos2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭a b ,（3分）（1）()f x 的最小正周期2π2T π==；（5分） （2）由3222,262k x k k ππππ+≤-≤π+∈Z ,可得5,36k x k k πππ+≤≤π+∈Z , ()f x ∴的单调递减区间为()5,36k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（7分）（3）0,2x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,（10分）()f x ∴的最大值为1,最小值为12-．（12分）在锐角ABC △中，角,,AB C 的对边分别为,,a b c ，已知ππsin 2)cos()44B B B =+-. （1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC △的面积为2，求ABC △的周长．【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理求解即可.大题肢解二解三角形【解析】（1）因为在锐角ABC △中，ππsin 2)cos()44B B B =+-，所以ππsin 2cos()sin()44B B B =++，所以sin 22B B =，（3分） 因为cos20B ≠，所以tan 2B =因为π02B <<， 所以π6B =.（6分） （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212cos a c ac B =+-，所以221a c =+，（8分）因为ABC △的面积为2，所以1πsin 26ac =，即ac = 所以227a c +=，（10分）所以22()7(2a c +=+=+，所以2a c +=+所以3a b c ++=+ABC △的周长为3（12分）（1）利用正、余弦定理求边和角的方法：①根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．②选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.③在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． （2）求三角形面积的方法：①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【拓展1】已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ca bA B A C +=--sin sin sin sin , （1）求角C 的大小; （2）若3=c ,求b a +的取值范围. 【答案】（1）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin ,则ca ba b a c +=--.⇒ab c b a =-+222,所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3π=C , （2）由ab c b a =-+222 且3=c ,⇒ab ab b a =--+92)(2, ⇒22)2(339)(b a ab b a +≤=-+, ⇒36)(2≤+b a 所以6≤+b a ,又3=>+c b a ,所以b a +的取值范围是]6,3(.【拓展2】在ABC ∆中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，cos cos 2A aC b c=-+. （1）求角A 的大小；（2）若2,bc =ABC ∆的周长为3，求a 的值.【答案】（1）23A π=（2）a =【解析】（1）因为cos cos 2A aC b c=-+ 由正弦定理得cos sin cos 2sin sin A A C B C=-+ sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ++=sin()2cos sin 0A C A B ++=sin 2cos sin 0B A B +=,(0,)B π∈, 1cos 2A =-,(0,)A π∈,23A π=（2）由余弦定理得2222222cos 2a b c bc Aa b c =+-⇒=++因为周长3a b c ++=，又222a b c =+-（），所以2232a a =+-（），所以a =【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查了逻辑推理能力，考查了方程思想，属于中档题．（百校联盟2019-2020学年高三上学期10月尖子生联考数学理科试题）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .且cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若ABC △的面积为ABC ∆周长的最小值.【解析】（1）cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，且A B C ++=π，()1cos 2cos cos 2A C C C A ⎫∴-+=-⋅⎪⎪⎝⎭，（2分）sin sin cos A C C A ∴⋅=，0C <<π，且0A <<π，sin 0,sin C A A ∴>∴=，3A π∴=.（6分） 变式训练二（2）由1sin 2S bc A ==，得8bc =.（8分） 又222a b c bc =+-，28a bc ∴≥=，（当且仅当b c =时取等号），（10分） ()2224b c a ∴+=+，l a b c a a ∴=++=+≥，l ∴≥=ABC∴△周长的最小值为.（12分）已知函数πππ()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x =-+--∈R .（1）求函数的最小正周期及在区间π2π[,]123上的值域；（2）在ABC△中，ABC △的面积.【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理及三角形的面积公式求解即可.()f x ()f x 5AB =大题肢解三三角函数与解三角形的综合问题【解析】（1）∵πππ()cos(2)2sin()cos()344f x x x x =-+--1πcos 22sin(2)222x x x =++-12cos 2cos 2x x x =+-12cos 22x x =- πsin(2)6x =-.（3分）的最小正周期为2ππ2T ==；∵π2π[,]123x ∈， ∴π7π2[0,]66x -∈，（4分） ∴max ππππ()()sin(2)sin 13362f x f ==⨯-==，min 2π2ππ7π1()()sin(2)sin 33662f x f ==⨯-==-, ∴在区间π2π[,]123（6分）（2π1sin(2)62A -=，即π6A =，（7分） 由余弦定理得2725(0b b b =+-⇒--=，∴b =b =（10分）)(x f ∴()f x∴ABC △（12分）此类问题是将三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，其间只需熟练掌握三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.【拓展1】已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12C c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若sin 2sin B A =，求,a b 的值.【解析】（1）1cos 22()221sin 2212sin 223x f x x x x x π⎛⎫-+ ⎪π⎛⎫⎝⎭=-=+=+- ⎪⎝⎭，所以22T π==π.（4分） （2）因为12sin 1sin 0233C f C C ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=⇒-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0C <<π，所以3C π=.（5分） 因为222222cos 3c a b ab C a b ab =+-⇒=+-①，因为sin sin a b A B=，sin 2sin B A =，所以2b a =②，联立方程①②得：1,2a b ==.（12分）[广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末数学（理)]已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正变式训练三弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.1．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c ，且22sin 30C C -++=．（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC △sin A B ，求sin A 及c 的值．【解析】（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴=，sinA C ∴=，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．2．（2019·沙雅县第二中学押题卷）已知点)P，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅.（1）求函数()f x 的解析式及最小正周期;（2）若A 为ABC △的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆ABC △的周长. 【解析】（1）.()3,1OP =，()3cos ,1sin QP x x =-.∴()f x OP QP =⋅)3cos 1sin x x =-+-42sin 3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π.（2）.因为()4f A =，所以sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0A <<π，所以23A π=，因为1sin 2ABC S bc A ∆=12sin 234bc π==，所以3bc =，根据余弦定理22222cos3a b c b π=+-2()29b c bc bc =+-+=，所以b c +=即三角形的周长为3+3．（四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学试题）锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin C c B +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC △的周长的取值范围．【解析】（1cos sin C c B +=，cos sin sin B C C B A +=， 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入整理得sin sin sin C B B C =，又由(0,)C ∈π，则sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =又因为(0,)B ∈π，所以3B π=. （2）因为3b B π==,且由正弦定理，可得2sin sin sin a b cA B C====， 即2sin ,2sin a A c C ==，所以周长22(sin sin )2(sin sin())3L a b c a c A C A A π=++=+=+=+-32(sin ))26A A A π=+=+，即)6L A π=+又因ABC △为锐角三角形，且23A C π+=， 所以203202A A ππ⎧<-<⎪⎪⎨π⎪<<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，则有sin()6A π+∈ 即(3L ∈， 即ABC △的周长取值范围为(3+.4．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学试题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC △的面积21tan 6S b A =. （1）证明：3cos b c A =；（2）若a c ==，求tanA .【解析】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==得3sin tan c A b A = ． 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又因为0A π＜＜，所以0sinA ≠ ， 因此3b ccosA =．（2）由（1）得3cos b c A A ==，所以2230bccosA cos A =由余弦定理得2222a b c bccosA =+-，所以22845530cos A cos A -=+，解得21cos 5A =因此24sin 5A =，即2tan 4A = 由（1）得cos 0A ＞，所以tan 0A ＞ ， 故tan 2A =．5．（黑龙江省大庆市2019-2020学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+.（1）求角A 的大小；（2）若cos 7B =，a =ABC △的面积S 的值. 【解析】（1）∵由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， ∴有sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=， 则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222b c a bb c a c R R R R⋅+⋅=⋅+⋅， 即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-， 又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =， 由()0,A ∈π，得3A π=； （2）由（1）知，3A π=，则sin 2A =，1cos 2A =，∵cos B =，()0,B ∈π，∴1sin 7B ==， ∴()1113sin sin 272714C A B =+=+⨯=，由正弦定理得，13sin 13sin a C c A===，∴111sin 132272S ac B ==⨯⨯=. 6．（河南省郑州市第一中学2019届高三高考适应性考试数学试题）在ABC △中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，已知3a =，cos cos cos sin cos B A C B C b+=.（1）若c =，求sin A ；（2）若AB 边上的中线长为2，求ABC △的面积.【解析】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C b+=，由正弦定理，得cos cos cos sin cos B A C B C +=，所以cos()cos cos sin cos A C A C B C -++=.所以sin sin cos A C A C =.又因为sin 0A ≠，所以tan C =因为(0,)C ∈π，所以3C π=.又因为sin sin a c A C =，所以3sin A =，所以3sin 4A =. （2）设AB 边上的中线为CD ，则2CD CA CB =+，所以22224()2cos CD CA CB b a ab C =+=++，即23793b b =++，23280b b +-=. 解得4b =或7b =-（舍去）.所以11sin 4322ABC S ab C ∆==⨯⨯=.7．（河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测试卷数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC △的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==. 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.8．（重庆市2019届高三高考全真模拟考试数学试题）已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，sin cos (sin )0A C B B -+=．（1）求角C ；（2）若b =c =AB 边上的高长．【解析】（1）()sin cos sin 0A C B B -=，()()sin cos sin 0B C C B B ∴+-=， ()cos sin 0B C C ∴=，tan C ∴=3C π∴=．（2）由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，可得：210a -=，可得：a =，由等面积可得：11sin 22S ab C ch ==，可得：h =． 9．[惠州市2020届高三第三次调研考试数学（理）]【答案】（1）在ABC ∆中，因为2BC =，π3ABC ∠=，1sin 22ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠=，所以22AB =，解得3AB =． 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，因为0AC >，所以AC =（2）设ACD α∠=，则ππ33ACB ACD α∠=∠+=+． 在Rt ACD ∆中，因为AD =sin AD AC α==． 在ABC ∆中，ππ3BAC ACB ABC α∠=-∠-∠=-， 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即2πsin()3α=-， 所以2sin()sin 3παα-=，所以12(cos sin )sin 22ααα-=，2sin αα=，所以tan α=，即tan ACD ∠=。

2022届广东省四校高三第一次联考地理试题命题：佛山市第三中学地理科高三备课组考试时间75分钟，总分100分注意事项：1答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、考号、座位号和试室号填写在答题卡上，用合乎要求的2B铅笔把答题卡上对应准考证号的数字涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用合乎要求的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3非选择题的作答：用合乎要求的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4考试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

每小题3分，共16小题，48分。

）2017年，由新一线城市发起的“人才争夺战”席卷全国，尤其是对一流大学毕业生的争夺日趋激烈，图1是部分城市吸引力综合评价图，其中，经济发展水平用人均GDP衡量，城市舒适性用教育、文化和交通资源衡量，人才政策用落户、安居、就业创业衡量。

读图表回答1-3题。

图11.读图1，下列说法正确的是（）A.天津经济发展指数高于北京B.厦门城市舒适性指数高于重庆C.杭州人才政策指数最高D.呼和浩特综合评价指数最高2.以武汉为代表的新一线城市对一流大学毕业生发起“人才争夺战”，是因为（）A.产业结构升级的需求B.人口老龄化最严重C.人口迁出劳动力严重缺乏D.经济发展水平最高3.影响毕业生空间流动的最关键因素（）A.人才政策B.城市舒适度C.经济发展D.社会福利图2为我国某山脉2001-2017年平均月积雪覆盖面积、山麓气温及降水变化特征。

据此完成4-5题。

图24.该山脉12月积雪面积较前后两月小，其主要影响因素是（）A.光照强B.地温高C.风速大D.降水少5.该山脉最有可能是（）A.祁连山B.长白山C.南岭D.武夷山“冰川风”是指在冰川谷地中，冰川表面较稳定而下沉的冷却气流沿冰面向冰川前方运动而形成的风。

禅城区2023届高三统一调研测试（一）数 学注意事项:1．答卷前,考生要务必填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}065|2<−−=x x x A ，则A =R （）A ．{}|16x x −<<B ．{}|23x x <<C ．{}|23x x x ≤≥或D ．{}|16x x x ≤−≥或2.已知复数z 满足(2i)(2i)5z +−=，则=z （ ）A ．3B ．2C ．5D ．63．设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数4.已知ABC △中，2AB =，3AC =，60A ∠=，且13BM BC = ，AN NB = ，则AC NM ⋅=（）A ．25B ．27C ．8 D ．95. 己知函数2()12xxf x =+，则对任意实数x ，有（ ）A . ()()1f x f x −+=B . ()()0f x f x −−=C . ()()0f x f xD . ()()1f x f x −−=− 6. 若{}n a 是等差数列，且2a ，2022a 是方程2430x x −+=的两个根，则32202312222a a a a ××××= （ ）A ．4046B ．4044C ．40462D ．404427. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα°<<°，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ） ABCD8. 已知一组数据4321,,,x x x x 的平均数是3，方差是2，则由1，521−x ，522−x ，523−x ，524−x 这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）A ．4B ．6C ．532 D ．536二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. 已知函数()()11,02ln ,0x x f x x x − ≥ = −< ，则（ ）A ．12log 54f=B ．()f x 在1x =−处的切线是1y x =−− C ．()f x 在R 上单调递减 D ．当2a ≤时，函数()y f x x a =−−有两个零点10. 若224a b +=，a ∈R ,b ∈R ,且0ab ≠，则（ ）A ．2ab >B ．a b +≤C ．22log log 1a b +≤D ．111a b+<11. 九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为31，且每人选择相互独立，则（ ） A ．三人选择社团一样的概率为91 B ．三人选择社团各不相同的概率为98C ．至少有两人选择篮球社的概率为277D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为7512．“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96， ，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10， ，则下列说法中正确的是( )A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410×+ C ．“提丢斯数列”的前31项和为30321211010×+ D ．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13．首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N (100，102)，若测量10000株水稻，株高在(110,120)的约有__株．(若X ～()2,N µσ, ()0.6826P X µσµσ−<<+=, ()220.9544P X µσµσ−<<+=) 14. 已知函数()f x 的最小正周期为π，且在()64ππ，上单调递减，则()f x = ____．（写出符合条件的一个答案即可）15．已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n −+++−=− 且)*N n ∈，且24a =，则n a =___________. 16. 设110a =，111e 1b =−，1111ln 1010c =，则a ，b ，c 的大小关系是________.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.( 10分) 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin B a B +．（1）求角A 的大小； （2）若a =3sin 2sin B C =，求ABC △的面积．18．( 12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足112b a ==，22b a =，34b a =．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）记数列n n a b的前n 项和为n T ．若m 表示不大于m的正整数的个数，求1210+++ ．19．( 12分)已知函数()32227f x x ax a x =−+−, a ∈R . （1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（2）若过点()0,1A 可以作曲线()f x 的三条切线，求a 的取值范围.20．( 12分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．（1）若6a =，ABC △的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；（2）若E 为边BC 上一点，且AE =:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．21．( 12分) 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A 县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 县参加市赛．已知A 县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为54，通过初赛后再通过决赛的概率依次为85，125，165，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至少有1人通过初赛的概率； （2）设这3人中参加市赛的人数为ξ，求ξ的分布列；（3）某品牌商赞助了A 县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为32，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元； 方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．22．( 12分) 设()()1ln f x a x x =−. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当1x ≥时，()1ex x f x −−≥恒成立，求a 的取值范围.禅城区2023届高三统一调研测试（一） 数学参考答案一、选择题: 1-4. DCBB 5-8. ACAC 二、选择题: 9.BD 10.BC11.ACD12.BCD三、填空题: 13. 1359； 14.()sin f x x =−；()cos f x x =；()cos 2f x x =；()()sin 2f x A x ϕ=+,其0A >，6ϕπ≤≤π. 其它符合条件的答案均可；15．2n n a =； 16.b a c <<.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，cos sin sin C A B A B +，……………………………………………………2分()cos sin C A B A B A B =+=， …………………………3分sin sin sin A B A B =， ………………………………………………………………4分(),0,πA B ∈ ，sin 0B ∴≠，tan A ∴，即π3A =. ………………………………5分 （2）由3sin 2sin B C =，得32b c =， ……………………………………………………6分 由余弦定理可得2222cos 28a b c bc A =+−=， …………………………………………7分 则222932842b b b +−=，即27284b =， …………………………………………………8分 解得4b =，6c =， …………………………………………………………………………9分 故ABC △的面积为11sin 4622S bc A ==××=． …………………………10分18.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，12b =，12a =，由题意可得2223422223q d q b a b d a =+ ⇒==+= ， ……………………………………………………1分 整理可得：2320q q −+=， …………………………………………………………………2分解得22q d = = 或1q d = = （舍）， …………………………………………………………………3分所以()2122n a n n =+−×=，1222n n n b −=⋅=． …………………………………………5分 （2）因为12122n n n n a n n b −==⋅，则()01221111111231n n T n n −−=×+×+×++−×+×，()12311111111231222222n nn T n n −=×+×+×++−×+×， ……………6分两式相减得0123111111111222122222222212nn n n n nn n n T − − + =++++−=−=− − ， 整理得1242n n n T −+=−， …………………………………………………………………………10分 显然4n T <，且1102n nn n T T ++−=>，故{}n T 为递增数列， 因为11T =，22T =，311234T <=<，43434T =−>， 所以11=，12=，32T =，4n ≥时，3n =，所以121026+++=． ……………………………………………………12分 19.【解析】（1）()22'34f x x ax a =−+，由()()()2'134130f a a a a =−+=−−=得1a =或3a =.…2分 当1a =时，()()()2'341311f x x x x x =−+=−−，由()'0f x >得13x <或1x >，由()'0f x <得113x <<， 所以()f x 在1,3 −∞− ，()1,+∞上单调递增，在1,13上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意，舍去.…………………………………………………4分当3a =时，()()()2'3129313f x x x x x =−+=−−，可得()f x 在(),1−∞，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值.综上所述，3a =.…………………………………………………………………………………………6分 （2）设点()00,P x y 是()f x 上任意一点，则()f x 在点P 处的切线为：()()()322220000002734y x ax a x xax a x x −−+−=−+−，将点()0,1A 代入，整理得23004ax x =+， ……………………………………………………8分 方法1：整理得：320040x ax −+=，令()324h x x ax =−+，依题意，()h x 有三个零点. ()22'3233a h x x ax x x=−=−……………………………………………………9分当0a <时，()h x 在2,3a −∞ ，()0,+∞递增，在2,03a递减，且()080h =>，所以()h x 只有一个零点； 当0a >时，()h x 在(),0−∞，2,3a +∞ 递增，在20,3a递减，且()040h =>，要使()h x 有三个零点，则23a h388027a =−<，解得3a >. 综上所述，a 的取值范围是()3,+∞. …………………………………………………………………12分方法2：显然00x ≠，所以0204ax x =+，依题意，此方程要有三个解. 令()24g x x x =+，0x ≠，则()()()23332248'x x x x g x x x −++−==， …………………………………10分当(),0x ∈−∞时，()'0g x >，()g x 递增，且()g x 的取值范围是(),−∞+∞ 当()0,2x ∈时，()'0g x <，()g x 递减，且当0x →时，()g x →+∞ 当()2,x ∈+∞时，()'0g x >，()'g x 递增，且当x →+∞时，()g x →+∞所以，当()23a g >=时，0204a x x =+有三个解， 综上所述，a 的取值范围是()3,+∞. ……………………………………………………12分 20. 【解析】（1）因为112sin sin 223Sbc A bc π==，即8bc =， …………1分 由余弦定理可得222a b c bc =++，22368b c ∴=++，得2228b c +=， …………2分又D 为边BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+， ………………………………………3分 则()222211()244AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ， ………………………………4分 ()()()22221112cos 5442884c cb A b c cb b =+−+=−+==， ………………5分即AD =∴中线AD…………………………………………………6分（2）E 为边BC 上一点，:2:BE EC c b =，22c BE BC c b∴=+， ……………………7分()22c AE ABAC AB c b ∴−=−+， 即()22c b AE c AC bAB +=+ ， ………………8分22222222226(2)(2)423c b c AC bAB b c b c b c b c ∴+=+=+−= ，)2c b bc +=，即21bc+， ………………………………………………………10分)214224c bb cb c b c b c∴+=++=++≥………………………………11分当且仅当4c bb c=，即2b c ==2b c +有最小值………………………12分 21.【解析】（1）3人都没通过初赛的概率为1251)541(30=−=P ， 所以这三人中至少有1人通过初赛的概率125124101=−=P P ．……………………………………2分 （2）依题意ξ可能取值为0,1,2,3. 设事件A 表示“甲参加市赛”，事件B 表示“乙参加市赛”，事件C 表示“丙参加市赛”，则451()582P A =×=，451()5123P B =×=，451()5164P C =×=， ……………………4分则1231(0)()2344P P ABC ξ===××=，()12311312111(=1)23423423424P P ABC ABC ABC ξ=++××+××+××==，()1131111211(2)2342342344P P ABC ABC ABC ξ==++=××+××+××=，()1111(3)23424P P ABC ξ===××=，所以ξ的分布列为：7分 （3）方案1：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则X Y 1000=， 且X ～)32,3(B ，所以20003231000)(1000)(=××==X E Y E 元， ………………………9分 方案2： 记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，方法1：则Z 的所有可能取值为1800，2400，3000，3600， 2则2450241360041300024112400411800)(=×+×+×+×=Z E ， ………………………………11分 因为()()E Z E Y >，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．………12分方法2：()1111113012342442412E ξ=×+×+×+×=，方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，进入了市赛的选手再奖600元．则()13()36006001800600245012E Z E ξ=×+=+×=，……………11分 因为()()E Z E Y >，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．………12分 22.【解析】（1）由()()1ln f x x x =−得()1'ln 1f x x x=+−，0x >, ……………………………1分 因为()'f x 在()0,+∞上递增，且()'10f =， ………………………………2分 所以当1x <时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >， ………………………………3分 所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增. ………………………………4分（2）令()()()11e e 1ln x x g x x f x x a x x −−=−−=−−−，1x ≥.则()11'e11ln x g x a x x −=−−−+，令()()'h x g x =，则()1211'e x h x a x x − =−+ ………6分 ①若12a ≤时，()()()1222211111111'e 10222x x x h x x x x x x−+− ≥−+≥−+=≥ ………7分所以()h x 在()1,+∞单调递增，则()()10h x h ≥=，即()'0g x ≥， ……………………………8分 所以()g x 在()1,+∞单调递增，则()()10g x g ≥=，符合题意. ………………………………9分 ②若12a >时，()'1120h a =−<，()'1ln 20h a +>， 所以存在()01,1ln 2x a ∈+，使()0'0h x =， ………………………………10分 且当()01,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，所以()()()'10g x h x h =<=，所以()g x 在()01,x 单调递减，则()()10g x g <=，不符合题意. ………………………………11分 综上所述，a 的取值范围是1(,]2−∞. ………………………………12分。

广东省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（广州市2018高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．42、（珠海市2019届高三9月摸底考试）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ∆，C 为PA 中点，43PA =，6PO =，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为A.215B.21562- C.6D.21563-CBAP3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）在半径为4的球O 的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球O 所截得的图形的面积为※※.4、（珠海市2019届高三9月摸底考试）S 为顶点的正四面体S ABC -的底面积为3，D 为SC 的中点，则BD 与AC 所成角的余弦值为A.33B.32C.36D.165、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.32163π-B.16163π-C.3283π-D.1683π-6、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵111C B A ABC -中，4,3,51====BC AB AC AA ，则阳马111A ABB C -的外接球的表面积是7、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为对角线11C A 的中点，F E ,分别为对角线11,BC D A （含端点）上的动点，则PE +PF 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．228、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为____．9、（揭阳市2019届高三第二次模拟）如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为A ．12B ．16C ．18D ．2010、（湛江市2019届高三调研）正三棱锥的正视图如图所示，则侧视图的面积为A ．212B ．312C ．26D ．3611、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图1所示(单位:寸),若π取3,其体积为13.5(立方寸),则图中的x 为()A .2.4B .1.8C .1.6D .1.212、（肇庆市2019届高三上学期期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，124AA AB BC ===，E 是AB 的中点，则三棱锥11E D C C -外接球的表面积为A ．36πB ．32πC ．9πD ．8π13、（珠海市2019届高三上学期期末）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A 、43B 、223C 、83D 、42314、（江门市2019届普通高中高三调研）已知两条直线m n 、，两个平面αβ、，给出下面四个命题：①//,////m n m n αα⇒②//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥③,//m n m n αα⊥⊥⇒或n α⊂④,//m m αβαβ⊥⇒⊥其中，正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．415、（揭阳市2019届高三上学期期末）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．πB ．2πC ．4πD ．16π16、（雷州市2019届高三上学期期末）正四面体ABCD 中，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能是A ．0B ．6πC ．3πD ．2π17、（茂名市2019届高三上期末）如图2，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（）．A 、6B 、18C 、12D 、3618、（汕尾市2019高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．19、（深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）72（B ）64（C ）48（D ）3220、（肇庆市2019高三二模）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2BC ＝4，E 是AB 的中点，则三棱锥E ﹣D 1C 1C 外接球的表面积为（）A ．36πB ．32πC ．9πD ．8π21、（湛江2019高三一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A 、113B 、133C 、143D 、16322、（广东省2019届高三3月一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π23、（广州市2019届高三3月综合测试（一））一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为A.132π B.7πC.152π D.8π二、解答题1、（广州市2018高三一模）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．2、（珠海市2019届高三9月摸底考试）如图，四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点，以BE 为折痕将BEC ∆折起，使C 到C '的位置，且平面BEC '⊥平面ABED (1)求证：AE BC '⊥；(2)求二面角C AE B '--的余弦值．C /EDCBA3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）等边ABC ∆的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（图1）.将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1AC （图2）.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出线段PB 的长；若不存在，请说明理由.4、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）如图所示，在平行四边形ABCD中，04,22,A 45,AB BC BC ==∠=点E 是CD 边的中点，将DAE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且26PB =（1）求证;平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）若平面PAE 和平面PBC 的交线为l ，求二面角B l E --的余弦值.5、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，AF ∥DE ，AD AF ⊥，且平面⊥BED 平面ABCD ．(1)求证：CD AF ⊥;(2)若︒=∠60BAD ，ED AD AF 21==，求二面角E FB A --的余弦值．6、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∠APD ＝90°，且AD ＝PB ．(l)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若AD ⊥PB ，求二面角D －PB －C 的余弦值．7、（揭阳市2019届高三第二次模拟）已知如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 的三等分点．(1)证明：//AF 平面EBD ；(2)已知1AP AD ==,2AB =，求二面角E BD A --的余弦值.8、（湛江市2019届高三调研）如图，在四棱锥ABCD P -中，△PAB 、△PBC 、△ACD 均为等边三角形，BC AB ⊥．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值．9、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如图4,在四棱锥E ABCD -中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,2CD AB ==24CE =,120BCE ∠=︒,25DE =.(Ⅰ)证明:平面BCE ⊥平面CDE ；(Ⅱ)若4BC =,求二面角E AD B --的余弦值.10、（汕尾市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD 。

几何体截面问题①定义：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)叫做这个几何体的截面. 截面不唯一，好的截面应包含几何体的主要元素！②画法：常通过“作平行线”或“延长直线找交点”作出完整的截面，作截面是立体几何非常重要的研究课题.③思想：作截面是研究空间几何体的重要方法，它将陌生空问题转化为熟悉的平面问题！技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

1．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =，故由题意知(222R r =+，即(222216R=+=，所以4R =，故选：B ．2．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D 【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形， 因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D3．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A ．89π B ．1118πC ．512π D ．49π 【答案】A【解析】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD V 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则3h a =,在Rt OMD V 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得R =,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===,在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2222111372d a a ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以22221124729r a a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,因为2a BC ==, 所以289r =,所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A4．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ， 记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =， 则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+.在ABC V 中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ， 则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D V 中，OD = 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π， 所以21216R π-π=π，228R =， 球的表面积为2112R 4π=π. 故选:C.5．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（ ）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥， 因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则2R ==，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得122OQ PA ==；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==.因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．6【答案】B【解析】将正四面体补成正方体如图，可得EF ⊥平面CHBG ，且正方形边长为由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=， 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥， ∴KN KL ⊥， ∴MNKLS KN KL =⋅Y 242KN KL +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2KL KN ==时取等号， 故选：B ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（ ）A ．2B C ．D ．【答案】A【解析】如图，连结111,,,AC CB AB BC ，易知11CB BC ⊥，111CB D C ⊥，又1111BC D C C ⋂=，则1CB ⊥平面11BC D ，故11CB BD ⊥，同理可证明CA ⊥平面1BDD ，则1CA BD ⊥，又1CA CB C =I ，故1BD ⊥平面1ACB .取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ， 所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF V 为所求截面.易知MEF V 为正三角形，边长ME ==故12MEF S ==V 故选：A.8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（ ）A ．90︒B ．30°C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】因为，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，取11C D ，1DD ，1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ，根据正方体的特征，易知，若连接PG ，EF ，RQ ，则这三条线必相交于正方体的中心，又////GR EF QP ，所以P ，Q ，R ，G ，F ，E 六点必共面，即为过P ，Q ，R 的截面；所以EP 即为直线m ，FQ 即为直线l ；连接1AB ，1AD ，11B D ，因为1//EP AB ，1//FQ AD ，所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，又因为正方体的各面对角线都相等，所以11AB D V 为等边三角形， 因此1160B AD ∠=︒.故选：D.9．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（ ） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】因为//EF BC EF ⊄，平面BCD ，所以//EF 平面BCD ，又平面EFGH I 平面BDC GH =，所以//EF GH .同理//FG EH ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又AD BC ⊥，所以四边形EFGH 为矩形.所以③是正确的；由相似三角形的性质得EF AF FC FGBC AC AC AD==，， 所以EF FG AF FCBC AD AC AC+=+，2BC AD ==，所以2EF FG +=， 所以四边形EFGH 的周长为定值4，所以①是正确的；212EFGHEF FG S EF FG ⨯⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGH 的面积有最大值1，所以④是正确的.因为①③④正确.故选：D10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．4B C ．4D 【答案】A【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 11．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ） A ．43B ．94C ．92D ．3【答案】B【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ， 且平面ABC I 平面EFGH GH =，平面ABD ⋂平面EFGH EF = 得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==， 可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<， 则3FG x =，()31HG x =-，于是2199(1)9,0124EFGH S FG HG x x x x ⎛⎫=⋅=-=--+<< ⎪⎝⎭当12x =时，四边形EFGH 的面积有最大值94. 故选：B. 二、填空题12．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）【答案】①③④【解析】取11C D 的中点为点H ，连接GH 、AH ，如图1所示，因为//EF GH ,所以AGH ∠就是异面直线EF 与AG 所成的角易知在AGH V 中，3,AG AH GH ===2cos 36AGH ∠==，①正确；图1 图2 图3矩形EFGH 即为过点E 、F 、G 所得正方体的截面，如图2所示，易知EF EG ==所以EFGH S ==分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图3所示直角坐标系,则(2,0,2),(2,1,0),A E(1,0,0),(1,2,2)F G ，1(2,2,2),(1,1,0),(1,1,2)AC FE EG =--==-u u u r u u u r u u u r ， 因为110,0AC FE AC EG ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11,A C EF A C EG ⊥⊥，又EF ⊂平面EFG ， EG ⊂平面EFG 且EF EG E =I ，所以1A C ⊥平面EFG ，故③正确134(111212)22EFC S =-⨯⨯+⨯+⨯=V ，1113G ECF EFC V S C C -=⋅=V ，④正确. 故答案为：①③④13．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】①111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥11B BED -为三棱锥11E BB D -,则底面11BB D 不变,且因为1//CC 平面11BB D ,故点E 到底面11BB D 的距离即三棱锥11E BB D -底面的高不变,故三棱锥11E BB D -的体积不变,所以四棱锥11B BED F -的体积不变,恒为定值,故①正确；②当点E 在点C 处时,总有CG 与平面1EBD 相交,故②错误；③由O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点,则12DO DB =,设H 为1DD 的中点,则在1D DB V 中1//OH D B ,所以//OH 平面1EBD ,故③正确；④四边形1BED F 的周长为()012C BE ED =+,则分析1BE ED +即可,将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为截面平行四边形1BED F 的周长取得最小值时唯一点E ,故④正确；故答案为:①③④14．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面， 记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =，MN =12S =⨯=故答案为：。

考点62 离散型随机变量均值与方差、正态分布1．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布()290,N σ，且()700.2P x <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[]90,110的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为（ ）A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.21【答案】B 【解析】∵290(),x N δ～，且()700.2P x <=，所以()1100.2P x >=∴()901100.50.20.3P x <<=-=， ∴()10,0.3X B ～，X 的方差为()100.310.3 2.1⨯⨯-=．故选B ．2．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】∵考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P （95≤ξ≤105）=0.32， ∴P （ξ≥115）=12（1-0.64）=0.18， ∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B ．3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望()E X =_______． 【答案】300【解析】设没有发芽的种子数为Y ,则有2X Y =,由题意可知Y 服从二项分布，即Y(1000,0.15)B ,()10000.15150E Y =⨯=,()2()300E X E Y ==.4．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A 卷理）已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1 【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =， 结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为：1．5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩2(100,)XN σ.统计结果显示数学考试成绩X 在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________． 【答案】3250 【解析】因为成绩()2100,X N σ~，所以正态分布曲线关于100X =对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的1311248⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以此次考试成绩不低于120分的学生约有12600032508⨯=.6．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）. （1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1）736（2）见解析【解析】设X 表示2名女性观众中认为好看的人数，Y 表示2名男性观众中认为好看的人数， 则12,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭. （1）设事件A 表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则()()()()2,12,01,0P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==,222212022221211123323C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21022111722336C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，()()00,0P P X Y ξ==== 2200221112336C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()11,00,1P P X Y P X Y ξ====+==，= 2210012222111121223233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16=， ()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==,2220112222111121232233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22022*********C C ⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()31,22,1P P X Y P X Y ξ====+==,2212212222112*********C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13=， ()()42,2P P X Y ξ==== 222222121239C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为∴11131170123436636393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7．（天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学理）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。

2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。