蒋殿春《高级微观经济学》 第18章 委托—代理理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．(),x ϕθ是θ类的代理人的成本函数。
在18.1.1节中我们说，如果()()12,,x x ϕθϕθ>，且()()12,,x x x x ϕθϕθ>成立，则这两类代理人的无差异曲线只相交一次，请证明这一点。
证明：两类代理人的无差异曲线满足方程：()111,u y x ϕθ=- ()222,u y x ϕθ=-它们的差为：()()212112,,u u u y y x x ϕθϕθ∆=-=-+-对函数求导得到：()()12d ,,0d x x ux x xϕθϕθ∆=-> 从而得到u ∆是严格单调函数，所以最多和x 轴相交一次，即最多存在一个x ，使得21u u =。
另一方面，当0x =时，()11,0x a ϕθ==，()22,0x a ϕθ==。
此时委托人的利润函数变为v y =-，根据利润最大化原则，支付的工资为120y y ==。
所以，当0x =时，两效用函数都为0，无差异曲线相交。
2．参看图18-5中显示的两个分布密度函数：如果代理人的行动是a *，可能的产量将落在区间()(),a a αβ**⎡⎤⎣⎦内；另一个行动a '对应的产量区间是()(),a a αβ''⎡⎤⎣⎦。
（1）证明：只要委托人对生产()(),x a a αα*⎡⎤'∈⎣⎦的代理人处予足够大的惩罚，就能保 证代理人选择a *；（2）是否也存在适当的惩罚机制，保证代理人选择行动a '？ 解：（1）考虑一个简单的两段支付函数：12y y y ⎧=⎨⎩()()()(),,x a a x a a αααα**⎡⎤'∈⎣⎦⎡⎤'∉⎣⎦其中，1y 和2y 都是常数，12y y <。
在此支付结构下，代理人选择行动a '所获的期望效用为：()()()(){}()112,1,u E a F a a u y F y a u y a αα**⎡⎤⎡⎤'''=+--⎣⎦⎣⎦而选择行动a *所获的期望效用为：()()2u E a u y a **=-要阻止代理人选择行动a '，只需：()()(){}()()1122,1,F a a u y F y a u y a u y a αα***⎡⎤⎡⎤''+--<-⎣⎦⎣⎦由于(),0F a a α*⎡⎤'>⎣⎦，所以： ()()()12,a a u y u y F a a α**'-<-⎡⎤'⎣⎦由于效用函数是严格单增的，只要210y y ->足够大，上式便成立。
（2）与（1）相反，只要210y y -<，则保证代理人选择行动a '。
3．如果1θ和2θ两类代理人所占的比例分别是γ和1γ-，γ值的变化会如何影响委托人的最优契约？解：在条件12θθ<条件下，由最优契约条件（18.14）和（18.15），得到：()()()1112111,1,,1a a a x x x x x x γϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+-<⎣⎦()22,1ax x ϕθ=当γ趋近于1时，()11,a x x ϕθ趋向于1。
这表明y 越大，委托人向低效率代理人提供的契约也就越趋近于最优契约。
同时，委托人向高效率代理人提供的契约不随γ的变化而改变。
4．如果18.1节模型中包含三种不同的代理人，利用微分方法或者几何方法说明，最优激励契约中效率较低的两类代理人的产量低于帕累托有效水平，但最有效率的一类代理人生产帕累托有效产量。
解：模型18.1的假设条件下，假设1θ、2θ和3θ三类代理人所占的比例分别是1γ、2γ与121γγ--，则委托人的期望利润为：()()()()()11122212331E v x y x y x y γγγγ=-+-+---设各代理人的保留收益为0u =，他们面临的参与约束与自选择约束条件为：代理人 参与约束自选择约束1()()111221,,y x y x ϕθϕθ-≥-()111,0y x ϕθ-≥（束紧）()()111331,,y x y x ϕθϕθ-≥-2()222,0y x ϕθ-≥()()222112,,y x y x ϕθϕθ->-（束紧） ()()222332,,y x y x ϕθϕθ->-3()333,0y x ϕθ-≥()()333113,,y x y x ϕθϕθ-≥-()()333223,,y x y x ϕθϕθ-≥-（束紧） 在三个束紧的约束等式下，委托人的期望利润最大化问题变为：()()()()1112221233max 1x y x y x y γγγγ-+-+---⎡⎤⎣⎦..st ()111,y x ϕθ=()()()2112233,,,y x x x ϕθϕθϕθ=+-()()()()()31122123323,,,,,y x x x x x ϕθϕθϕθϕθϕθ=+-+-一阶必要条件是：()()()111121111,1,,a a a x x x x x x γϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+-⎣⎦ ()()()1222232221,1,,aa ax x x x x x γγϕθϕθϕθγ--⎡⎤=+-⎣⎦()333,1ax ϕθ=由于0x θϕ<，且123θθθ<<，故而有：()()1211,,a a x x x x ϕθϕθ<，()()2322,,a ax x x x ϕθϕθ<因此，由一阶必要条件易知：()()1111,1,a x x x x ϕθϕθ*<= ()()2222,1,a x x x x ϕθϕθ*<= ()()333333,1,1a x x ϕθϕθ*===由于0x θϕ=，故有11a x x *<，22a x x *<，33a x x *=，即在最优激励契约中低效率的两类代理人产量低于帕累托有效水平，而效率最高的代理人生产帕累托有效水平的产量。
5．考虑一个以边际成本c 生产x 商品的独占厂商，市场上有两种可能的消费者。
两类消费者的效用函数分别是()()1,U x q v x q =+，()()2,2U x q v x q =+其中q 是消费者在其他所有商品上的消费，0v '>，0v ''<。
假设厂商是风险中立的，它无法识别具体消费者的特定类型。
利用18.1节的模型，推导厂商的最优定价策略，确认“顶端不扭曲”原理。
解：厂商的期望利润为：()()()()11221E p c x p c x πγγ=-+--消费者的参与约束与自选择约束条件分别为：类型 参与约束自选择约束1 ()1110v x p x -≥（束紧）()()111222v x p x v x p x -≥-2()22220v x p x -≥()()22211122v x p x v x p x -≥-（束紧）假设厂商认为市场上两类消费者的比例分别为γ和1γ-，厂商的期望利润最大化问题为：()()()()(){}112112max 122v x cx v x v x v x cx γγ-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦一阶必要条件为：()121a c v x γ'=-，()22ac v x '= 由于01γ<<，因此()()12a av x v x ''>；又因为0v ''<，故12a a x x <，即低端市场1上的产品供应水平低于最优水平，而在高端市场2上，厂商的供应水平与最优水平一致。
6．政府决定干涉一个独占市场。
假设这个市场上唯一的一个厂商的成本函数可能是1x θ或者2x θ，12θθ<；独占厂商清楚自己的确切成本，但政府不知道，它猜测厂商成本是1x θ的概率是γ()01γ<<；社会从该厂商的消费中获得的总效用是()U x ，从而市场需求（反）函数是()p U x '=。
假设政府可以强制市场价格定在某一特定水平，从而控制厂商的产量；同时，作为对厂商的补偿，政府向厂商发放补贴0T ≥。
在这种政策下，厂商的利润是()i U x x x T θ'-+如果这个利润小于零，厂商将停产。
政府的目标是使下列函数最大化：()i U x x T θ--推导政府的最优干涉政策。
解：政府可考虑一个两可的干预补贴方案：[]11,p T 或[]22,p T ，根据市场需求条件，这等价于(),i i U x T '⎡⎤⎣⎦。
政府需要确定恰当的i x 和i T 。
在上述政策下，企业的参与约束及自选择约束分别为：类型 参与约束自选择约束1111110p x x T θ-+≥11111221220p x x T p x x T θθ-+≥≥-+（束紧）2222220p x x T θ-+≥（束紧）22222112110p x x T p x x T θθ-+≥≥-+因此，政府面临的问题是：()()()11112222max 1U x x T U x x T γθγθ--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦..st ()()1122112220U x x U x x x x T θθ''--+-=()222220U x x x T θ'-+=一阶必要条件是：()()()111111110LU x U x U x x x γθλθ∂''''=--+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ ()()()()()()221222222222210LU x U x U x x U x U x x x γθλθλθ∂'''''''=-----+-+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∂ 110LT γλ∂=--=∂ ()12210LT γλλ∂=--+-=∂ 解得1λγ=-，21λ=，从而有：()()111112U x U x x θ***'''=- ()()1222212U x U x x θθγγ***++'''=- ()()()()1111212111212T U x x x p x x θθθθθθ*******⎡⎤'=-+-=-+-⎣⎦ ()()2222222T U x x p x θθ*****⎡⎤'=-=-⎣⎦ 上述政策的经济含义：信息对称情况下的帕累托最优干预产量为()12,p p x x ，满足条件()p i i U x θ'=。
