2018高中数学人教a版必修3：课时跟踪检测(十七) 几何概型 均匀随机数的产生 含解析

课时跟踪训练(十七)正态分布一、填空题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．2．设随机变量X～N(1,4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．3．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.4.右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N(100,102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．二、解答题6.如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图像写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的期望与方差．7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？8．若随机变量X～N(0,1)，查表求：(1)P(0<X≤2.31)；(2)P(1.38≤x<0)；(3)P(|X|<0.5)．答案1．解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，当曲线关于y轴对称时，说明μ＝0.答案：02．解析：∵P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，∴(a＋b)＋(a－b)2＝1.∴a＝1.答案：13．解析：∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(X＞2)＝0.023.∴P(X＜－2)＝0.023.∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9544．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：①②③5．解析：用X 表示此中学数学高考成绩，则X ～N (100,102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝⎛⎭⎫120－10010≈0.023，∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23.答案：236．解：由图易知，该正态曲线关于x ＝72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2π＝1102π得σ＝10，于是概率密度函数的解析式是f (x )＝1102π·e －(x －72)2200，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝72，方差是σ2＝100.7．解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.设分数线为x .则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0<x <x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.又知P (60－2×10<x <60＋2×10)＝0.954 4.∴x ＝60＋2×10＝80(分)．即受奖学生的分数线是80分．8．解：(1)P (0<X ≤2.31)＝P (X ≤2.31)－P (X ≤0)＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P (－1.38≤X <0)＝P (0<X ≤1.38)＝P (X ≤1.38)－P (X ≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P (|X |<0.5)＝P (－0.5<X <0.5)＝P (－0.5<X ≤0)＋P (0<X <0.5)＝2P (0<X <0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)] ＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。

课时跟踪检测（十七） 正态分布1．设随机变量X 的正态密度函数为f (x )＝12π·e －x ＋324，x ∈R ，则参数μ，σ的值分别是( )A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 2 解析：选D 由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝ 2.2．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N (0，σ2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977解析：选C ∵随机变量ξ服从正态分布ξ～N (0，σ2)， ∴正态曲线关于直线x ＝0对称． 又P (ξ>2)＝0.023， ∴P (ξ<－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2) ＝1－2×0.023＝0.954.3．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π解析：选C 由正态分布密度曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12， ∴D (X )＝σ2＝2π.4．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]解析：选C ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝P (100<X ≤120)．5．[多选]对于标准正态分布N(0,1)的正态密度函数f(x)＝12π·e－x22，下列说法正确的是( )A．f(x)为偶函数B．f(x)的最大值是1 2πC．f(x)在x>0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数D．f(x)关于x＝1对称解析：选ABC 由题意知f(x)关于x＝0，对称，∴f(x)为偶函数，当x＝0时，f(x)取最大值12π，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故选A、B、C.6．在某项测量中，测量结果X服从正态分布X～N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．解析：∵X～N(1，σ2)，且P(0<X≤1)＝0.4，∴P(0<X≤2)＝2P(0<X≤1)＝0.8.答案：0.87.如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________，________，________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：①②③8．设ξ～N(2,1)，则P(1<ξ≤3)＝________；P(3<ξ≤4)＝________.解析：∵ξ～N(2,1)，∴μ＝2，σ＝1.所以P(1<ξ≤3)＝p(2－1<ξ≤2＋1)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 7.∵P(3<ξ≤4)＝P(0<ξ≤1)＝[P0<ξ≤4－P1<ξ≤3]2＝12[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.答案：0.682 7 0.135 99．在一次测试中，测试结果X服从正态分布X～N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4)内取值的概率； (2)P (X >4)．解：(1)由X ～N (2，σ2)， 对称轴x ＝2，画出示意图， 因为P (0<X <2)＝P (2<X <4)，所以P (0<X <4)＝2P (0<X <2)＝2×0.2＝0.4. (2)P (X >4)＝12[1－P (0<X <4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布X ～N (20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解：(1)∵X ～N (20,4)， ∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比大约是68.27%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在14～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm 间的零件所占的百分比大约是95.45%.∴尺寸在24～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.73%－95.45%2＝2.14%.因此尺寸在24～26 mm 间的零件大约5 000×2.14%≈107(个)． ∴这批零件中不合格的零件大约有107个．1．若随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X 等于( )A ．4B ．2 C.12D ．1解析：选D 因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D (X )＝1.2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5.)A ．0.045 6B ．0.135 9C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B 由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P －6＜ξ＜6－P －3＜ξ＜32＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9.3．[多选]已知正态分布X ～N (μ，σ2)的密度曲线是f (x )＝12πσ·e －x －μ22σ2，x ∈R的图象．下列命题正确的是( )A ．对任意x ∈R ，f (μ＋x )＝f (μ－x )成立B ．如果随机变量X 服从X ～N (μ，σ2)，且F (x )＝P (X <x )，那么F (x )是R 上的增函数 C ．如果随机变量X 服从X ～N (108,100)，那么X 的期望是108，标准差是100 D ．随机变量X 服从X ～N (μ，σ2)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)＝1－2p解析：选ABD 如果随机变量X ～N (108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故C 错，画出正态分布N (μ，σ2)的密度曲线如图所示．由图可得，图象关于x ＝μ对称，故A 正确，随x 的增加F (x )＝P (X <x )也随着增加，故B 正确，由图象的对称性知D 正确，故选A 、B 、D.4．如图，已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )＝________.解析：因为a ＋4－a2＝2，所以正态分布密度曲线图象的对称性可得：P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36.答案：0.365．某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布ξ～N (μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率．解：(1)因为ξ～N (μ，σ2)，P (ξ≥12)＝0.8，P (ξ≥24)＝0.2， 所以P (ξ<12)＝0.2，显然P (ξ<12)＝P (ξ≥24)，由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝12＋242＝18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月． (2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为 1－0.8＝0.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B (4,0.2)， 故至少两支灯管需要更换的概率P ＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－C 040.84－C 140.83×0.2＝0.180 8.6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 7.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100,0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.。

高中数学-打印版 精校版 盘点几种常见的几何概型 几何概型是一种基本的概率模型，它与古典型的概型的区别是试验的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关。下面对常见的几种几何概型做简单的探究： 一、与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，每个基本事件可理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某一指定区域

中的点：则APA构成事件的长度试验的全部结果所构成的区域长度。 例1、某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于10分钟的概率。 【分析】：假设他在0到60分钟之间任一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率，因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个是段打开收音机的概率只与给时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，之符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件的概率。

【解析】：设10A等待时间不多于分钟，事件A恰好是打开收音机的时刻位于0,60

时间段内，因此由几何概型的求解概率公式得：101606PA。 即“等待报时的时间不超过10分钟的”的概率为16。 【点评】：将此题中的概率通过“比例解法”转化为“长度之比”求解，因而它属于几何概型的一种形式。 二、与面积有关的几何概型 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率为：

APA构成事件的面积试验的全部结果所构成的区域面积，“面积比”是去几何概率的一种重要

方法。 例2、将长为l的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率。

【解析】：设A“3段构成三角形”，,xy分别表示其中两段的长度，

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十七）回归分析的基本思想及其初步应用层级一学业水平达标1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时,有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释;②收集数据(x i，y i),i＝1,2,…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是（)A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①解析：选 D 对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(x i，y i),i＝1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状,判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程,最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①。

2．下列说法错误的是( ）A．自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0。

80的模型拟合的效果好解析：选B 由于线性相关系数｜r｜≤1，且当|r｜越大，线性相关性越强，故r<0时，选项B不正确．3．已知具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所示．若y关于x的回归方程为错误!＝3x－1。

5，则m的值为（)A．4 B．错误!解析：选A 由题意可知，样本点的中心错误!一定在回归直线上,所以代入方程可得m＝4.4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤）的几组对应数据，根据表格提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为错误!＝0。

7x＋0.35，则下列结论错误的是( ）A.产品的生产耗能与产量呈正相关B．t的取值必定是3.15C．回归直线一定过点(4.5，3。

5)D．A产品每多生产1吨，则相应的生产耗能约增加0。

几何概型3．3.1& 3.3.2几何概型均匀随机数的产生[新知初探]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果有无限多个．(2)每个结果出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).4．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND 函数． (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”． 5．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果． (2)计算机模拟的方法：用Excel 的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．[小试身手]1.一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5. 2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19B.18C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是( )A.π3B.4π3C.8π3D.16π3解析：选D 设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π3.故选D.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－01－(－1)＝12.★答案★：12与长度有关的几何概型[典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． [解析] (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝2 3.[★答案★](1)B(2)231．解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115. (3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.与面积和体积有关的几何概型[典例] (1)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14 C.38D.12(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.(2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.[★答案★] (1)B (2)231．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6π B.32πC.3π D.233π解析：选D由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝32.球的体积V2＝43πR3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P＝V1V2＝132π＝233π.2.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4解析：选B 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.用随机模拟估计面积型的几何概型[典例] 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m ，宽为14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m 、2 m 、5 m ．若着陆点在圆环B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．[解] 设事件A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝14b 1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8<a <8，－7<b <7的点(a ，b )的个数N .满足1<a 2＋b 2<4的点(a ，b )的个数N 1.(4)计算频率f n (A )＝N 1N即为所求概率的近似值．用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．[活学活用]现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)数出满足不等式b＜2a－43，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25144.[层级一 学业水平达标]1．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19 B.18 C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.2．“抖空竹”是我国的一种传统杂技，表演者在两根直径为8～12 mm 的杆上系一根长度为1 m 的绳子，并在绳子上放一个空竹，则空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m 的概率为( )A.25B.15C.13D.23解析：选B 空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m ，即空竹的运行范围为1－2×0.4＝0.2(m)，故所求事件的概率为P ＝0.21＝15. 3．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. ★答案★：234．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <12V S -ABC的概率是________． 解析：由V P -ABC <12V S -ABC知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC＝1－18＝78. ★答案★：78[层级二 应试能力达标]1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160解析：选A ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23 解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE内部的概率为12. 3．如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A.2πB.1πC.12D.1－2π解析：选D S 扇形＝14×π×22＝π， S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2， ∴P ＝π－2π＝1－2π. 4.如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析：选C 如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P ＝120360＝13.故选C. 5．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59. ★答案★：596．(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解析：由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1＜3，即16k 2＜9，解得－34＜k ＜34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝⎛⎭⎫－342＝34. ★答案★：347．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. ★答案★：16π 8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01. 即“射中黄心”的概率是0.01.9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P＝60°360°＝1 6.。

第三章概率3.3 几何概型1．几何概型（1）几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.（2）几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有________多个.②每个基本事件发生的可能性________.（3）古典概型与几何概型的异同点相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：()P A ________________.3．均匀随机数的产生（1）均匀随机数的定义在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，称这样的随机数为均匀随机数.我们常用的是[0,1]上的均匀随机数.（2）均匀随机数的特征由均匀随机数的定义,可得随机数的特征：①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.（3）[0,1]上的均匀随机数利用计算器的RAND（）函数可以产生0~1之间的均匀随机数,试验的结果是区间［0,1］上的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的.因此,可以用计算器产生0~1之间的均匀随机数进行随机模拟.用带有PRB功能的计算器产生均匀随机数的方法如图所示：K 知识参考答案：1．（2）①无限 ②相等 2．A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）K —重点 理解几何概型的概念及基本特点，掌握概率的计算公式 K —难点 理解几何概型的概念及基本特点K —易错几何概型中测度的选取容易弄错，导致计算错误1．与长度有关的几何概型的求法求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A 发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A 的概率.【例1】从区间[]2,2-中随机选取一个实数a ，则函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】()14214221x x x x f x a a +=-⋅+=-⋅+,令20x t =>，则()()221f x g t t at ==-+.若函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，即方程14210x x a +-⋅+=有实根，即方程2210t at -+=有大于零的实根.由根与系数的关系得1210t t =>，故方程的两个根同号，则1220t t a +=>，解得0a >.又因为2440a ∆=-≥，解得1a ≤-或1a ≥.综上所述，满足题意的a 的取值范围是12a ≤≤.故由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是()211224-=--.故本题正确答案为A【名师点睛】本题考查的是函数的零点和几何概型问题.本题中的函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点，通过换元20x t =>，转化为方程2210t at -+=有大于零的实根，由2440a ∆=-≥，1210t t =>且1220t t a +=>，解得12a ≤≤，由几何概型可知函数()1421x x f x a +=-⋅+有零点的概率是14. 2．与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.【例2】已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是A ．π12- B ．π13-C ．π112-D ．π16-【答案】D 【解析】如图，∵三角形的三边长分别是5,5,6，∴三角形的高4AD =，则三角形ABC 的面积164122S =⨯⨯=.易知蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应的区域为图中的阴影部分， 三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的12，又圆的半径为2，则阴影部分的面积为21112π2122π2S =-⨯⨯=-，根据几何概型的概率计算公式可得所求的概率为122ππ1126-=-，故选D.【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论. 3．与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.【例3】已知在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,2PA AB ==,在该四棱锥内部或表面任取一点O ,则三棱锥O PAB -的体积不小于23的概率为______. 【解析】如图,取,,,AD BC PC PD 的中点分别为,,,E F G H ,连接,,,,EF FG GH HE 当点O 在几何体CDEFGH 内部或表面上时,23O PAB V -≥.在几何体CDEFGH 中,易知56CDEFGH G CDEF G DEH V V V --=+=, 又83P ABCDV -=,则所求概率为5568163=.【名师点睛】本题主要考查几何概型、棱锥的体积公式，考查了空间想象能力与计算能力. 4．随机模拟的应用（1）求解不规则图形的面积：利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A 的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()A P A =随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()P A =A 随机取点的全部结构成事件的区域面果构成的积区域面积列等式求解.（2）估算随机事件的概率：用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟.应用随机模拟方法设计模拟试验，可用计算器产生随机数，通过随机数的特征来估计概率.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.【例4】设函数y =f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f (x )≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y =f (x )及直线x =0,x =1,y =0所围成区域的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,…,x N 和y 1,y 2,…,y N ,由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,…,N ).再数出其中满足y i ≤f (x i )(i =1,2,…,N )的点数N 1,那么由随机模拟方法可得S 的近似值为__________．【解析】这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成N 个点,而在曲线y =f (x )及直线x =0,x =1,y =0所围成的区域内的点有N 1个,所以1N S SN ≈矩形,又矩形的面积是1,所以由随机模拟方法得到S 的近似值为1N N. 【名师点睛】用随机模拟的方法构造几何概型求面积,即可求出所求面积的近似值. 【例5】（1）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，求事件“||1AM ≤”的概率；（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x ，y ，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对(,)x y 共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）． 【解析】（1）如图，在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，满足条件的点M 落在扇形BAD 内（图中阴影部分），由几何概型的概率计算公式，得π(||1)4ABCDS P AM S ≤==阴影部分正方形， 故事件“||1AM ≤”的概率为π4．（2）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，任取两个小于1的正实数x ，y ，所有基本事件构成区域01(,)|01x x y y Ω⎧⎫<<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<<⎪⎪⎩⎩⎭，即正方形ABCD 内部；事件N =“以x ，y 与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域220101(,)|11x y N x y x y x y ⎧⎫<<⎧⎪⎪⎪<<⎪⎪⎪=⎨⎨⎬+>⎪⎪⎪⎪⎪⎪+>⎩⎩⎭，即扇形BAD 以外正方形ABCD 以内的阴影部分. 由（1）知π()14P N =-，全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x ，y ，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x ，y 与1为边长能构成锐角三角形”的(,)x y 共有12对，即有12个点落在区域N 中，故其概率为1235614=，用频率估计概率，有π31414-≈，即π11414≈，故1122π4 3.143147≈⨯=≈，即π的近似值为3.143．【方法点睛】本题主要考查了几何概型问题，其中解答中涉及几何概型及其概率的计算、几何概型的应用等知识点，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中仔细审题，转化为几何的度量关系是解答的关键． 5．几何概型中测度的选取不正确【例6】在等腰直角三角形ABC 中,直角顶点为C . （1）在斜边AB 上任取一点M ,求AM <AC 的概率;（2）在∠ACB 的内部,以C 为端点任作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM <AC 的概率.（2）在∠ACB 的内部作射线CM ，则所求概率为2AC AC AB AB '==【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB 的内部作射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度. 【正解】（1）如图所示,在AB 上取一点C ',使AC '=AC ,连接CC '. 由题意,知AB 2 C.由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB . 所以()22AC P AM AC AB AC'<===.（2）由于在∠ACB 内作射线CM ,等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB ,又1(18045)67.52ACC '∠=-=，90ACB ∠=，所以()ACC P AM AC ACB '∠<==∠的角度的角度67.53904=.【名师点睛】在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性.1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A B C D2．一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为 A 3B 33C 3D 33．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为A ．13B ．19C ．127D ．344．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为A．22B．2π2C．16D．1π65．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为A．16B．13C．23D．456．在区间[–π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax–b2+π有零点的概率为A．78B．34C．12D．147．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=A．12B．14C．3D．78．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A–A1BD内的概率为___________．9．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为___________．10．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n（n≥3，n∈N）边形内的概率为P n，下列论断正确的是A．随着n的增大，P n减小B ．随着n 的增大，P n 先增大后减小C ．随着n 的增大，P n 增大D ．随着n 的增大，P n 先减小后增大11．某同学到公共汽车站乘车去学校，可乘坐8路、23路公共汽车，其中8路车每10分钟一班，23路车每15分钟一班，则该同学等车不超过8分钟的概率为___________．12．一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中AD=2，DC=2，BC=1．它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率．13．利用计算机随机模拟方法计算y=4x 2与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以执行以下算法步骤：第一步，利用计算机产生两个在[0，1]内的随机数a ，b ； 第二步，对随机数a ，b 实施变换：112-14a a b b =⎧⎨=⎩，得到点A （a 1，b 1）；第三步，判断点A （a 1，b 1）的坐标是否满足b 1<421a ；第四步，累计所产生的点A 的个数m 及满足b 1<421a 的点A 的个数n ；第五步，判断m 是否小于M （一个设定的数），若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法． 若设定的M=150，且输出的n=51，请据此用随机模拟方法估计出区域Ω的面积（结果保留到小数点后两位）．14．已知|p|≤3，|q|≤3，点（p，q）均匀分布．（1）点M（x，y）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点M（x，y）落在上述区域的概率；（2）求方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率．15．已知关于x的一元二次方程x2–2（a–2）x–b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求该一元二次方程有两个正实数根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求该一元二次方程没有实数根的概率．16．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成五组，如下表所示：组别一二三四五候车时间/min [0，5）[5，10）[10，15） [15，20） [20，25）人数 2 6 4 2 1（1）估计这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10 min的人数；（3）若从第三、四组的6人中选2人进行进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．17．（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 318．（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 19．（2017•江苏）记函数f （x ）=26x x +-定义域为D ．在区间[–4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__________．1 2 3 4 5 6 7 10 17 18 ABCDCBDCAB1．【答案】A【解析】四个选项中小明中奖的概率分别为3111,,,8433，故应选A 中的游戏盘．2．【答案】B【解析】设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则R=33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S=πR2=13πa2．由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P=22341π3aa=334π，故选B．4．【答案】D【解析】点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体1111ABCD A B C D-可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．3314π183π6aPa⨯==，故选D．5．【答案】C【解析】设AC=x cm，则BC=（12–x）cm，若矩形的面积大于20 cm2，则x（12–x）>20，解得2<x<10，故所求概率P=10-212=23．6．【答案】B【解析】由题意，知点（a，b）在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f（x）=x2+2ax–b2+π有零点，需满足4a2+4b2–4π≥0，即a2+b2≥π，a2+b2≥ππ阴影部分所示，所以其面积为4π2–π2=3π2，所以函数f（x）有零点的概率为223π4π=34．8．【答案】16【解析】设事件M 为“此动点在三棱锥A –A 1BD 内”，则P （M ）=11111--A A BD ABCD A B C D V V 三棱锥长方体=11111--A ABD ABCD A B C D V V 三棱锥长方体=11111-1·3ABDABCD A B C D AA S V 长方体=1111·32·ABCDABCD AA S AA S 矩形矩形=16．9．【答案】16【解析】以O 为起点的射线OA 等可能地落在坐标系中，区域角度为360°，而射线OA 落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA 落在阴影内的概率是60360︒︒=16． 10．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式有P n =n S S 正边形圆，而圆的面积固定，正n 边形的面积随n 的增大而增大，所以P n 也增大． 11．【答案】6875【解析】设该同学到站x 分钟后23路车到站，y 分钟后8路车到站，则0≤x ≤15，0≤y ≤10，如图．若等车不超过8分钟，即8分钟内乘坐8路车或23路车，记为事件M ，则事件M 所对应的区域（如图中阴影部分）的面积为8×8+2×8+7×8=136，整个区域（矩形OABC ）的面积为10×15=150，所以所求概率P （M ）=136150=6875．12．【答案】1–π10． 【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，如图所示．在Rt △AFD 中，因为AD=2，DF=BC=1，所以AF=1，∠A=45°，所以梯形ABCD 的面积S 1=12×（2+2+1）×1=52． 扇形DAE 的面积S 2=π×（2）2×45360︒︒=π4．根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P=121S S S -=5π2452-=1–π10．13．【答案】S Ω≈5.28．【解析】因为0101a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，且11214a a b b =-⎧⎨=⎩，所以111104a b -≤≤⎧⎨≤≤⎩，依题意区域Ω为如图所示的阴影部分，设区域Ω的面积为S Ω，则ABCDS S Ω矩形≈150-51150， 所以42S Ω⨯≈99150，解得S Ω≈5.28． 14．【答案】（1）14．（2）36π36-．【解析】（1）点M （x ，y ）的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标， 共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M 有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）， （3，1），（3，2），（3，3），共9个，所以点M（x，y）落在已知区域的概率P1=936=14．（2）因为方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根，所以Δ=（2p）2–4（–q2+1）≥0，解得p2+q2≥1，又|p|≤3，|q|≤3，故由图易知满足条件的点（p，q）所在区域的面积为36–π，所以方程x2+2px–q2+1=0有两个实数根的概率P2=36π36．（2）试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16．设“该一元二次方程没有实数根”为事件B，则构成事件B的区域Ω'={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a–2）2+b2<16}，其面积为S（Ω'）=14×π×42=4π，故所求的概率为P（B）=4π16=π4．【名师点睛】几何概型和古典概型中每个基本事件发生的可能性都是相等的，古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型要求基本事件有无限个，且几何概型多与事件的区域面积（长度或体积）有关．16．【答案】（1）10.5（min）．（2）32．（3）8 15．【解析】（1）这15名乘客的平均候车时间约为115×（2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1）=115×157.5=10.5（min ）． （2）这15名乘客中候车时间少于10 min 的频率为2615+=815，所以这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数大约为60×815=32．17．【答案】A【解析】如图：设BC =2r 1，AB =2r 2，AC =2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12–2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22–S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22–12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ，∴P 1=P 2，故选A ． 18．【答案】B【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S =2π，则对应概率P =24π=8π，故选B ．19．【答案】59【解析】由6+x –x 2≥0得x 2–x –6≤0，得–2≤x ≤3，则D =[–2，3]，则在区间[–4，5]上随机取一个数x ， 则x ∈D 的概率P =()()3254----=59，故答案为：59．。